人教版高数必修二第12讲：直线、圆的位置关系(教师版)

直线、圆的位置关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________能判断直线与圆的位置关系并能解决相关问题；能判断圆与圆的位置关系并解决相关问题．一、直线与圆的位置关系1．几何判定法：设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：(1)d>r⇔圆与直线相离；(2)d＝r⇔圆与直线相切；(3)d<r⇔圆与直线相交．2．代数判定法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))消元，得到一元二次方程的判别式Δ，则(1)Δ>0⇔直线与圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与圆相切；(3)Δ<0⇔直线与圆相离．二、圆的切线问题1.切线方程（1）圆上一点处的切线方程为（2）圆上一点处的切线方程为2.切线长公式过圆外一点引圆的切线，设点为,则切线长或三、弦长问题1.几何法直线与圆交于两点，圆心到直线的距离为，则圆的半径，与弦长的一半构成直角三角形的三边，即，故求出后再求．2.代数法——弦长公式设圆，直线：，则被圆截得的弦长或四、圆与圆的位置关系：1、几何方法：两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)圆心距d＝eq\r(a1－a22＋b1－b22)，d>r1＋r2⇔两圆外离；d＝r1＋r2⇔两圆外切；|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交；d＝|r1－r2|⇔两圆内切；0<d<|r1－r2|⇔两圆内含，d＝0时为同心圆．2、代数方法：方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0))有两组不同实数解⇔两圆相交；有两组相同实数解⇔两圆相切；无实数解⇔两圆外离或内含．3．两圆的公切线条数：当两圆内切时有1条公切线；当两圆外切时有3条公切线；相交时有2条公切线；相离时有4条公切线；内含时无公切线．类型一直线与圆的位置关系例1：已知直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1，判断它们的位置关系．解析：由圆心到直线的距离与半径的大小关系判断位置关系，或者由直线与圆的交点数判断．答案：解法一：圆x2＋y2＝1的圆心是O(0,0)，半径r＝1，圆心到直线的距离d＝eq\f(|3×0＋4×0－5|,\r(32＋42))＝1＝r，∴直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1相切．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0,x2＋y2＝1))，得25x2－30x＋9＝0，Δ＝(－30)2－4×25×9＝900－900＝0，∴直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1相切．练习1：判断下列直线与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系：(1)x－y－2＝0；(2)x＋2y－1＝0.答案：(1)解法一：已知圆的圆心为C(1,1)，半径r＝1.圆心C到直线x－y－2＝0的距离d1＝eq\f(|1－1－2|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)>r＝1，∴直线x－y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相离．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0,x－12＋y－12＝1))，得2x2－8x＋9＝0，∴Δ＝(－8)2－4×2×9＝64－72＝－8<0∴直线x－y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相离(2)解法一：已知圆的圆心C(1,1)，半径r＝1.圆心C到直线x＋2y－1＝0的距离d2＝eq\f(|1＋2－1|,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5),5)<1，∴直线x＋2y－1＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0,x－12＋y－12＝1))，得5x2－6x＋1＝0，Δ＝(－6)2－4×5×1＝36－20＝16>0，∴直线x＋2y－1＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交.练习2：直线：与圆：的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定答案：C例2：已知圆的方程是x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？解析：代数法求解答案：解法一：将y＝x－b代入x2＋(y－1)2＝2中消去y得2x2－2(1＋b)x＋b2－1＝0※，其判别式Δ＝4(1＋b)2－8(b2－1)＝－4(b＋1)(b－3)，当－1<b<3时，Δ>0，方程※有两个不等实根，直线与圆有两个公共点．当b＝－1或3时，Δ＝0，方程※有两个相等实根，直线与圆有一个公共点．当b<－1或b>3时，Δ<0，方程※无实数根，直线与圆无公共点．解法二：圆心O(0,1)到直线y＝x－b距离d＝eq\f(|1＋b|,\r(2))，圆半径r＝eq\r(2).当d<r，即－3<b<1时，直线与圆相交，有两个公共点．当d＝r，即b＝－3或1时，直线与圆相切，有一个公共点．当d>r，即b<－3或b>1时，直线与圆相离，无公共点．练习1：当m为何值时，直线x－y－m＝0与圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0有两个公共点？有一个公共点？无公共点？答案：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－m＝0,x2＋y2－4x－2y＋1＝0))，得2x2－2(m＋3)x＋m2＋2mΔ＝4(m＋3)2－8(m2＋2m＝－4m2＋当Δ>0，即－2eq\r(2)＋1<m<2eq\r(2)＋1时，直线与圆相交，有两个公共点；当Δ＝0，即m＝－2eq\r(2)＋1或m＝2eq\r(2)＋1时，直线与圆相切，有一个公共点；当Δ<0，即m<－2eq\r(2)＋1或m>2eq\r(2)＋1时，直线与圆相离，无公共点．练习2：以为圆心的圆与直线相离，那么圆的半径的取值范围是（）A．B．C．D．答案：C例3：已知圆的方程为x2＋y2＝r2，求过圆上一点P(x0，y0)的切线方程．解析：1.当点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内时，过点P的任何直线与圆都相交，此时无切线，但x0x＋y0y＝r2有特殊含义，它与圆相离，PO与该直线垂直，圆上所有点到此直线的距离中，以直线PO与圆的两个交点取最大值与最小值．2．当点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上时，过点P的切线有且仅有一条x0x＋y0y＝r2可作公式应用，其推证方法很重要，要熟练掌握．答案：若x0y0≠0，直线OP的方程为y＝eq\f(y0,x0)x，则过点P的圆的切线斜率为－eq\f(x0,y0).方程为y－y0＝－eq\f(x0,y0)(x－x0)，化简得：x0x＋y0y＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)，∵P点在圆上，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝r2，∴过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2(容易验证，当x0＝0或y0＝0时也满足)．练习1：过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，求该直线的方程．答案：圆x2＋y2＋4x＋3＝0化为标准式(x＋2)2＋y2＝1，圆心C(－2,0)．设过原点的直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即eq\f(|－2k|,\r(k2＋1))＝1.∴3k2＝1，k2＝eq\f(1,3).解得k＝±eq\f(\r(3),3).∵切点在第三象限，∴k>0.∴所求直线方程为y＝eq\f(\r(3),3)x.练习2：若直线与圆相切，则的值等于（）A．或B．或C．或D．或答案：D例4：已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)若直线l与圆C交于A、B两点，当|AB|＝eq\r(17)时，求m的值．解析：本题主要考查直线与圆的相交及弦长问题．(1)问可考虑直线过定点，通过定点在圆内证明，(2)问可利用弦长公式求解．答案：(1)解法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y－12＝5,mx－y＋1－m＝0))，消去y整理，得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0.∵Δ＝(－2m2)2－4(m2＋1)(m2－5)＝16m2＋20>0，对一切m∈R成立，∴直线解法二：由已知l：y－1＝m(x－1)，故直线恒过定点P(1,1)．∵12＋(1－1)2<5，∴P(1,1)在圆C内．∴直线l与圆C总有两个不同的交点．(2)解法一：圆半径r＝eq\r(5)，圆心(0,1)到直线l的距离为d，d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).由点到直线的距离公式，得eq\f(|－m|,\r(m2＋－12))＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝±eq\r(3).解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2x1－x22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋k2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(100k21－k2,k2＋12)－4·\f(25kk－2,k2＋1))))∴m＝±eq\r(3).练习1：直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为4eq\r(5)，求l的方程．答案：解法一：设直线l的方程为y－5＝k(x－5)且与圆C相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－5＝kx－5,x2＋y2＝25))消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0.解得k>0.x1＋x2＝－eq\f(10k1－k,k2＋1)，x1x2＝eq\f(25kk－2,k2＋1).由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．∴|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2x1－x22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋k2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(100k21－k2,k2＋12)－4·\f(25kk－2,k2＋1))))＝4eq\r(5).两边平方，整理得：2k2－5k＋2＝0.解得：k＝eq\f(1,2)，或k＝2.故直线l的方程为：x－2y＋5＝0，或2x－y－5＝0.解法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)×4eq\r(5)＝2eq\r(5)，∴|OH|＝eq\r(|OA|2－|AH|2)＝eq\r(5).∴eq\f(|51－k|,\r(k2＋1))＝eq\r(5).解得：k＝eq\f(1,2)或k＝2.∴直线l的方程为：x－2y＋5＝0，或2x－y－练习2：求直线被圆解得的弦长答案：解法一：圆可化为∴圆心,半径点到直线的距离为∴∴解法二：联立直线与圆的方程消去得：设两交点的坐标分别为由韦达定理有∴弦长类型二圆与圆的位置关系例5：判断圆x2＋y2＋6x－7＝0与圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系．解析：代数方法或者几何方法．答案：解法一：圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为C1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为C2(0，－3)，半径为r2＝6，则两圆的圆心距d＝|C1C2|＝eq\r([0－－3]2＋－3－02)＝3eq\r(2)，∴|r1－r1|<d<r1＋r2，即两圆相交．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－7＝0,x2＋y2＋6y－27＝0))，得2x2＋eq\f(38,3)x＋eq\f(37,9)＝0，Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(38,3)))2－4×2×eq\f(37,9)＝eq\f(1484,9)－eq\f(296,9)＝eq\f(1188,9)>0，∴两圆相交．练习1：判断圆x2＋y2＋2x＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系．答案：解法一：圆x2＋y2＋2x＝0的圆心为C1(－1,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2＋4y＝0的圆心为C2(0，－2)，半径r2＝2，则两圆的圆D心距d＝|C1C2|＝eq\r(1－02＋[0－－2]2)＝eq\r(5)，∴r2－r2<d<r2＋r1，∴两圆相交，解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＝0,x2＋y2＋4y＝0))，得5x2＋8x＝0，Δ＝82－4×5×0＝64－0＝64>0，∴两圆相交.练习2：(2014·山东济南历城区高一期末测试)圆x2＋y2－6x＝0和圆x2＋y2＋8y＋12＝0的位置关系是()A．相离 B．相外切C．相交 D．相内切答案：B例6：实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？解析：由圆心距与两圆的半径和的关系得到不等式，接触k的范围．答案：将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C1：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝eq\r(50－k)，k<50.∴|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5.当1＋eq\r(50－k)＝5，即k＝34时，两圆外切；当|eq\r(50－k)－1|＝5，即k＝14时，两圆内切；当14<k<34时，4<eq\r(50－k)<6，则r2－r1<|C1C2|<r2＋r1当k<14或34<k<50时，两圆相离．练习1：已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时：(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．答案：对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9.圆心C1(m，－2)，半径r1＝3.C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.圆心C2(－1，m)，半径r2＝2.(1)如果C1与C2外切，则有eq\r(m＋12＋m＋22)＝3＋2，∴m2＋3m－10＝0，解得m(2)如果C1与C2内含，则有eq\r(m＋12＋m＋22)<3－2，∴m2＋3m＋2<0，∴－2<m综上所述，当m＝－5或m＝2时，C1与C2外切；当－2<m<－1时，C1与C2内含．练习2:(2014·湖南文，6)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21 B．19C．9 D．－11答案：C例7：已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．解析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x2项、y2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程．利用勾股定理可求出两圆公共弦长．答案：设两圆交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两点坐标是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0,x2＋y2－4x＋2y－11＝0))的解eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(①),\s\do15()),②))①－②得3x－4y＋6＝0.∵A、B两点坐标都满足此方程，∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r＝3.又C1到直线AB的距离为d＝eq\f(|－1×3－4×3＋6|,\r(32＋42))＝eq\f(9,5).∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))2)＝eq\f(24,5).即两圆的公共弦长为eq\f(24,5).练习1：⊙A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，⊙B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断⊙A和⊙B是否相交，若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，说明理由．答案：⊙A的方程可写为(x－1)2＋(y－1)2＝9，⊙B的方程可写为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴两圆心之间的距离|AB|＝eq\r(1＋12＋1＋12)＝2eq\r(2)，满足1<|AB|<5.即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差的绝对值．∴两圆相交．⊙A的方程与⊙B的方程左、右两边分别相减得－4x－4y－5＝0，即4x＋4y＋5＝0为过两圆交点的直线的方程．设两交点分别为C、D，则CD：4x＋4y＋5＝0，点A到直线CD的距离为d＝eq\f(|4×1＋4×1＋5|,\r(42＋42))＝eq\f(13,8)eq\r(2).由勾股定理，得：|CD|＝2eq\r(DA2－d2)＝2eq\r(9－\f(169,32))＝eq\f(\r(238),4).练习2:(2014·福建安溪八中高一期末测试)已知两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x－2y－40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________．答案：2x＋y－5＝01．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1 B．1C．3 D．－3答案：B2．如果a2＋b2＝eq\f(1,2)c2，那么直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切答案：C3．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是()A．内切 B．相交C．外切 D．外离答案：B4．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为()A．1 B．2C．3 D．4答案：C5．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为________．答案：4＋eq\f(3\r(2),2)6．(2014·重庆文，14)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．答案：0或6__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．(2014·广东揭阳一中阶段测试)直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(A．相离 B．相交C．相切 D．不确定答案：B2．(2014·甘肃高台一中月考)圆x2＋y2－4y＋3＝0与直线2eq\r(2)x＋y＋b＝0相切，正实数b的值为()A.eq\f(1,2) B．1C．2eq\r(2)－1 D．3答案：B3．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条答案：B4．(2014·辽宁大连第二中学高一期末测试)已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2eq\r(7)，求圆C的方程．答案：由题意可设圆心坐标为(a，eq\f(a,3))，圆的半径R＝|a|，由题意得(eq\f(|a－\f(a,3)|,\r(2)))2＋(eq\r(7))2＝a2，∴a2＝9，a＝±3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.能力提升5．与圆x2＋(y－2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有()A．6条 B．4条C．3条 D．2条答案：C6．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长是()A.eq\r(6) B.eq\f(5\r(2),2)C．1 D.eq\r