衡水中学2025届高一下数学期末预测试题含解析

衡水中学2025届高一下数学期末预测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若是第四象限角，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角2．已知a,b是正实数,且,则的最小值为()A． B． C． D．3．已知向量，，若，则（）A． B． C． D．4．设，表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则5．一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是()A．12π B．18π C．36π D．6π6．中，，则（）A． B． C．或 D．7．若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，其中m＜0，则m+3n的最大值等于（）A．2 B．2 C．﹣2 D．﹣28．在中，设角，，的对边分别是，，，若，，，则其面积等于（）A． B． C． D．9．若，，那么在方向上的投影为（）A．2 B． C．1 D．10．如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中正确的是（）A．该超市这五个月中，利润随营业额的增长在增长B．该超市这五个月中，利润基本保持不变C．该超市这五个月中，三月份的利润最高D．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知无穷等比数列的首项为，公比为q，且，则首项的取值范围是________．12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知,,，则______．13．直线与间的距离为________．14．已知函数，则函数的最小值是___．15．设为数列的前项和，若，则数列的通项公式为__________．16．函数的定义域为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调增区间；（3）若，求的最大值与最小值.18．某购物中心举行抽奖活动，顾客从装有编号分别为0，1，2，3四个球的抽奖箱中，每次取出1个球，记下编号后放回，连续取两次（假设取到任何一个小球的可能性相同）.若取出的两个小球号码相加之和等于5，则中一等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于4，则中二等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于3，则中三等奖；其它情况不中奖.（Ⅰ）求顾客中三等奖的概率；（Ⅱ）求顾客未中奖的概率.19．如图．在四棱锥中，，，平面ABCD，且．，，M、N分别为棱PC，PB的中点.（1）证明：A，D，M，N四点共面，且平面ADMN；（2）求直线BD与平面ADMN所成角的正弦值．20．已知等比数列满足，，等差数列满足，，求数列的前项和.21．如图，等边所在的平面与菱形所在的平面垂直，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的体积

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

利用象限角的表示即可求解.【详解】由是第四象限角，则，所以，所以是第三象限角.故选：C【点睛】本题考查了象限角的表示，属于基础题.2、B【解析】

设，则，逐步等价变形，直到可以用基本不等式求最值，即可得到本题答案.【详解】由，得，设，则，所以.故选：B【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，化简变形是关键，考查计算能力，属于中等题.3、B【解析】

∵，∴.∴，即，∴,，故选B.【考点定位】向量的坐标运算4、D【解析】

对选项进行一一判断，选项D为面面垂直判定定理.【详解】对A，与可能异面，故A错；对B，可能在平面内；对C，与平面可能平行，故C错；对D，面面垂直判定定理，故选D.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，判断一个命题为假命题，只要能举出反例即可.5、A【解析】

先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积.【详解】长方体的体对角线的长是，所以球的半径是：，所以该球的表面积是，故选A.【点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.6、A【解析】

根据正弦定理，可得，然后根据大边对大角，可得结果..【详解】由，所以由，所以故，所以故选：A【点睛】本题考查正弦定理的应用，属基础题.7、C【解析】

根据题意可得出，再根据可得，将添上两个负号运用基本不等式，即可求解．【详解】由题意，可得，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：C．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8、C【解析】

直接利用三角形的面积的公式求出结果．【详解】解：中，角，，的对边边长分别为，，，若，，，则，故选：．【点睛】本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用及相关的运算问题，属于基础题．9、C【解析】

根据定义可知，在方向上的投影为，代入即可求解．【详解】，，那么在方向上的投影为．故选：C．【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础试题．10、D【解析】

根据折线图，分析出超市五个月中利润的情况以及营业额和支出的相关性.【详解】对于A选项，五个月的利润依次为：，其中四月比三月是下降的，故A选项错误.对于B选项，五月的月份是一月和四月的两倍，说明利润有比较大的波动，故B选项错误.对于C选项，五个月的利润依次为：，所以五月的利润最高，故C选项错误.对于D选项，根据图像可知，超市这五个月中的营业额和支出呈正相关，故D选项正确.故选：D【点睛】本小题主要考查折线图的分析与理解，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据极限存在得出，对分、和三种情况讨论得出与之间的关系，可得出的取值范围.【详解】由于，则.①当时，则，；②当时，则，；③当时，，解得.综上所述：首项的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.12、30°【解析】

直接利用正弦定理得到或，再利用大角对大边排除一个答案.【详解】即或，故，故故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，没有利用大角对大边排除一个答案是容易发生的错误.13、【解析】

根据两平行线间的距离，，代入相应的数据，整理计算得到答案.【详解】因为直线与互相平行，所以根据平行线间的距离公式，可以得到它们之间的距离，.【点睛】本题考查两平行线间的距离公式，属于简单题.14、5【解析】因为，所以，函数，当且仅当，即时等号成立．点睛：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．在用基本不等式时，注意＂一正二定三相等＂这三个条件，关键是找定值，在本题中，将拆成，凑成定值，再用基本不等式求出最小值．15、，【解析】

令时，求出，再令时，求出的值，再检验的值是否符合，由此得出数列的通项公式.【详解】当时，，当时，，不合适上式，当时，，不合适上式，因此，，.故答案为,.【点睛】本题考查利用前项和求数列的通项，考查计算能力，属于中等题.16、【解析】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.考点：函数定义域的求法及运用．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（3）f（x）=2，f（x）=﹣1【解析】

（1）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论；（2）利用正弦函数的单调性，求出f（x）的单调增区间；（3）利用正弦函数的定义域和值域，求得当时，f（x）的最大值与最小值．【详解】（1）∵函数f（x）＝sin4x+2sinxcosx﹣cos4x＝（sin4x﹣cos4x）+sin2x＝﹣cos2x+sin2x＝2sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为＝π．（2）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）若，则2x﹣∈，当2x﹣＝时，f（x）=2；当2x﹣=﹣时，f（x）=．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用列举法列出所有可能,设事件为“顾客中三等奖”,的事件.由古典概型概率计算公式即可求解.（Ⅱ）先分别求得中一等奖、二等奖和三等奖的概率,根据对立事件的概率性质即可求得未中奖的概率.【详解】（Ⅰ）所有基本事件包括共16个设事件为“顾客中三等奖”,事件包含基本事件共4个,所以.（Ⅱ）由题意,中一等奖时“两个小球号码相加之和等于5”,这一事件包括基本事件共2个中二等奖时,“两个小球号码相加之和等于4”,这一事件包括基本事件共3个由（Ⅰ）可知中三等奖的概率为设事件为“顾客未中奖”则由对立事件概率的性质可得所以未中奖的概率为.【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法,对立事件概率性质的应用,属于基础题.19、(1)证明见解析；(2)【解析】

（1）先证，再证，即可得证；要证平面ADMN，可通过求证PB垂直于ADMN中的两条交线来证明（2）求直线BD与平面ADMN所成角，需要找出BD在平面ADMN的射影，可通过三垂线定理去进行证明【详解】解：（1）证明因为M，N分别为PC，PB的中点，所以；又因为，所以．从而A，D，M，N四点共面；因为平面ABCD，平面ABCD．所以，又因为，，所以平面PAB，从而，因为，且N为PB的中点，所以；又因为，所以平面ADMN；（2）如图，连结DN；由（1）知平面ADMN，所以，DN为直线BD在平面ADMN内的射影，且，所以，即为直线BD与平面ADMN所成的角：在直角梯形ABCD内，过C作于H，则四边形ABCH为矩形；，在中，；所以，，，在中，，，，所以.综上，直线BD与平面ADMN所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理，考查了线面角的求解方法，考查了运算能力及空间想象能力，属于中档题.20、【解析】

由等比数列易得公比和，进而可得等差数列的首项和公差，代入求和公式计算可得．【详解】解：∵等比数列满足，，

∴公比，

，

，

∴等差数列中，

∴公差，

∴数列的前项和．【点睛】本题考查等差数列的求和公式，涉及等比数列的通项公式，求出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．21、（1）证明见解析；（2）.【解析】

解法一：（1）取中点，连接，，证出，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）取中点，连接，利用面面垂直的性质定理可得平面，过作于，可得平面，由即可求解.解法二：（1）取中点，连接，证出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证出平面平面，再利用面面平行的性质定理即可证出.（2）取中点，连接，根据面面垂直的性质定理可得平面，再由，利用三棱锥的体积公式即可求解.【详解】解法一：（1）取中点，连接，.因为分别是的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）取中点，连接，则，且，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面同理，在平面内，过作于，则平面