四川省眉山市2023届高三数学一轮讲义8分段函数

分段函数

分段函数的定义：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,

这种函数称为分段函数.

二分段函数的性质

1.分段函数的定义域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的丑集。

-x(x<0)

例.函数/(x)=，2(0V尤<1)的定义域为.

-X2(1<X<4)

2.分段函数的值域：分段函数的值域等于各段函数的值域的法集。

4-x2,x>0,

例.已知函数/(x)=|2,x=0,当—4Wx<3时，则函数/(x)的值域为

l-2x,x<0.

3.分段函数的图像：在同一直角坐标系内画出各段函数的图像即可。

注意：分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

’1,x>0,

例.设函数/'(x)=<0，x=0,g(x)=x2f(x—1),则函数g(x)的递减区间是.

、一1,水0,

三典例分析

1.分段函数的值域或最值

f(1—2a)x+3。，XI,

例1.已知函数f(x)=|的值域为R,则实数a的取值范围是,

[2*i,

例2.【2022年北京】设函数/(*)_}:::若存在最小值，则a的一个取值为

a的最大值为

例3.【2022年浙江】已知函数f(x)=则他办；若当xe[ab]时,

X

1

1<,/(x)§务则上a的最大值是.

2.分段函数的求值

题型一：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值,

当出现f(『(a))的形式时，应从内到外依次求值。

(Igx,x>0,

例L设则标I))=———.

例2.【2021・浙江高考真题】已知aeR,函数小)=]x|一-|4,+x">2W2若/r"/旬卜？，则"

例3.设函数〃力=¥；(：0"<。，则〃_3)+〃iog23)=()

A.9B.11C.13D.15

x-\~——3x》]

例4.(2015•浙江)已知函数F(x)=《x’7'则F"(—3)]=，/U)的最小值是

Jg(/+1),XI,

[l+log(2—x),x<l,

例5.设函数F(x)={2则广(-2)+_f(log212)=()

[2,

A.3B.6C.9D.12

题型2：当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自

变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围。

(2\xWO,1

例1.设函数Ax)=「।、则使Ax)=5的x的集合为________.

Ulog2x|,x>0,乙

2

[Zx—b,XI,5

例2.设函数—若，%—则一)

731

-c--

A.B.84D.2

2%T_2x<]

例3.已知函数/(x)=('—,且/(〃)=—3,则/(6—〃)=()

-log2(x+l),x>l

A.--B.--C.--D.--

4444

3.分段函数与不等式

已知函数的取值范围求自变量的范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自

变量的范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

[x-\-2ax,x22,

例1.已知函数广(x)={若AAD)>32,则a的取值范围是

2、+1,x<2,5

f/+Lx20

例2.已知函数4)=[水°‘则满足不等0式的x的取值范围是一

[2eTX<1,

例3.已知函数f{x}=则f[f(x)]〈2的解集是

[x+x,

例4.(2017•全国III卷)设函数Ax)，'"’"一0'则满足/Xx)+/(x」)>l的x的取值范围是

2”,x>0,2

(2;

例5.(2018•全国I卷)设函数Ax)=L、八贝IJ满足f(x+l)"(2x)的x的取值范围是()

[1,x〉0.

A.(—8,—1]B.(0,+°°)C.(-1,0)D.(—8,o)

3

-x2+2x,%<0

例6.(13年全国卷I)、已知函数/'(%)=若ax,则。的取值范围是

ln(x+1),x>0

A.(-oo,0]B.(-<»,1]C.[-2,1]D.[-2,0]

4.分段函数与方程

/(x+1),-2<x<0

3

例1.已知y(x)=<2x+l,0<x<2。则/,(--)的值为；若F(a)=4且a>0,则实数a的值为.

x2-1,x>2

[2x+a,

例2.已知实数a#0,函数f(x)=|若Al—a)—Al+a),则a的值为

{—x-2a,

(2\x>0,

例3.1.已知函数f(x)=,一若/•(a)+f(l)=0,则实数a的值等于()

〔矛+1,后0.

A.13B.-1C.1D.3

J3x—1,x<\,

2.(2015•山东)设函数广(x)=则满足f(f(a))=2'®的a的取值范围是()

12",x21,

29

A.1]B.[0,1]C.[-,+0°)D.[1,+00)

5.分段函数与绝对值函数

例1.若函数尸|2'—1|,在(一8,加上单调递减，则力的取值范围是

例2.函数_f(x)=|x—2|x的单调减区间是()

A.[1,2]B.[-1,0]C.(0,2]D.[2,+°o)

4

例3.设函数f{x)=x\x-a\,若对Vxi,为6[3,+-),由#如不等式『(七)一)(々)>。恒成立,

苞-x2

则实数a的取值范围是()

A.(-8,-3]B.[-3,0)C.(一8,3]D.(0,3]

分段函数

一分段函数的定义：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,

这种函数称为分段函数.

二分段函数的性质

1.分段函数的定义域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的丑集。

-x(x<0)

例.函数/(无)=，2(0W尤<1)的定义域为.

-X2(1<X<4)

答案：(-吟4]

2.分段函数的值域：分段函数的值域等于各段函数的值域的在集。

4-x2,x>0,

例.已知函数/(x)=<2,x=0,当一4Wx<3时，则函数/(x)的值域为o

1-2x,x<0.

答案:(-5,9]

3.分段函数的图像：在同一直角坐标系内画出各段函数的图像即可。

注意：分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

’1,x〉0,

例.设函数/'(x)=<0,x=0,g(x)=xy(x—1),则函数g(x)的递减区间是.

、一1,水0,

答案[0,1)

x(入>1),

解析由题意知g(x)={。(x=l)，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，

-X(水1),

5

g（x）的递减区间是［0,1）.

三典例分析

1.分段函数的值域或最值

［（1—2a）x+3a,X〈1,

例1.已知函数f（x）=一、的值域为R,则实数a的取值范围是.

〔2,

答案0,习

解析：当时，f{x}=2^-1^1,

［（1—2。）x+3z，T<1,

・・,函数Ax）=一、的值域为R,

（l-2a>0,1

.•.当JKI时，（1—2a）x+3a必须取遍（—8,1）内的所有实数，贝"解得OWaV.

〔1—2a+3a3l,乙

例2.【2022年北京】设函数/（X）二-ax+1.x<a.若存在最小值，则a的一个取值为—

(r-Z)2,xaa

a的最大值为.

答案：0（答案不唯一）1

解析：若同］时,冈，.•.0.....

若同］时,当回时，冈—'i单调递增，当囚’时，0一,故国没有最小

值，不符合题目要求；

若回”时,

当0'*附，0……一单调递减，0……，

当包时，S

冈I或W,

解得百7一，

综上可得0L…二

6

故答案为：0（答案不唯一），1

例3.【2022年浙江】已知函数贝I]W；若当0时,

冈，则的最大值是—

解析：由己知冈，冈

所以因

当同]时,由国可得0，所以因

当叵]时，由0...........可得冈，所以因

故答案为：I区1

2.分段函数的求值

题型一：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值,

当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值。

Rgx,x>0,

例1.设F（x）=,1则/"（『（一2））=

[10,W0,

答案：-2

%2-4,%>2八「“/f-\l

例2.12021•浙江高考真题】已知aeR,函数/（》）=〈,°若//=3,则。=

|x-3|+a,%<2,L\/J

答案：2

解析：/[/（76）]=/（6-4）=/（2）=|2-3|+G=3,故。=2,

故答案为：2.

7

例3.设函数/⑴二臂；!。”“。，则/(_3)+/加23)=()

A.9B.11C.13D.15

答案：B

解析二函数十)=[1鸣

[4,x>0

3

/(-3)+/(log23)=log24+4脸=2+9=11.

故选B.

叶2_3,e,

例4.(2015•浙江)已知函数/<x)x''则f"(-3)]=,f(x)的最小值是

Jg(/+1),KI,

答案：0,272-3.

解析：.."(一3)=lg[(—3)2+l]=lg10=1,

.,.r[r(-3)]=Ai)=o,

2

当x21时，F(x)=x+1一3N2班-3,当且仅当x=m时，取等号，此时F(x)屁“=2镜一3〈0；

当X〈1时，f(x)=lg(/+l)^lg1=0,当且仅当X=0时，取等号，止匕时/'(x)min=0.

.,"(X)的最小值为2/一3.

[l+log(2—x)，x<l,

例5.设函数f(x)=｛一2则广(-2)+_f(log212)=()

[2,x/19

A.3B.6C.9D.12

答案C

解析根据分段函数的意义，/1(—2)=l+log2(2+2)=1+2=3.又log212>l,

.\F(log212)=2(侬2⑵-1=2侬26=6,

因此A-2)+/(log212)=3+6=9.

题型2：当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自

变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围。

2”,xWO,则使f(x)=/的X的集合为.

例1.设函数f(力=

」log2x|,x>0,

答案-1,72

8

解析由题意知，若xWO,则24解得x=—1；

1

1-1

若x>0,则log2X=[,解得x=22或x=2一；

故x的集合为1—1,y[2f半

\Zx-b,XI,5

例2.设函数/<x)=L、若F[aR]=4,则仁(

〔2。6

1

73-

A.1B.~C.TD.2

o4

答案：D

(5、55

解析：f-=3X--/?=--/?,

\Q)62

若|一伙1,即6>薮时，

7

解得6=$，不合题意舍去.

O

5

531

场一后1,即6W,,则22-=4,解得6=万.

2^-2,x<li,

例3.(2015•新课标全国卷I文科・T10)已知函数/(x)=,且/(a)=—3,则

-log2(x+l),x>l

/(6-«)=()

A.--B.--C.--D.--

4444

答案：选A.

【解析】当a<l时不符合题意，所以。>1,即—Iog2(a+D=—3,解得a=7,

,7

所以“6—。)=/(-1)=2一2一2=—了

3.分段函数与不等式

已知函数的取值范围求自变量的范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自

变量的范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

/+2ax,x22,

例1.已知函数广(x)=若AA1))>3^2,则a的取值范围是

2、+1,xV2,

9

答案：(-1,3)

(x+1,xNO

例2.已知函数/<x)=,则满足不等式Hi—V)>f(2x)的x的取值范围是_________

[1,水0

答案(T,镜T)

[1一£>0

解析由题意F(l—3)>f(2x)等价于、25，

[i—x/2x

・,•不等式的解集为(一1,72-1).

例3.已知函数,⑸=陞(+1.，/由1,，贝"团"2的解集是—

答案(一8,1-ln2)

解析当时，F(x)=f+x22,则扛Hx)]<2解集为。.

当时，f(x)=2e"T<2.

所以(所"2等价于/*(等〈1,则2e'T<l,得水1—In2.

故故2的解集为(-8,1—in2).

1X+1,尤"°'则满足/(x)+/(x-3>l的X的取值范围是

例4.(2017•全国m卷)设函数/5)=?

x,x>0,2

_______O

答案：^—―,+0°^

解析：令g(x)=/(x)=/[x-1,

当x<0时，g(x)=/(x)+/1x-g

Y2X+T

当O<X4|■时，g(x)=/(x)+/]x-^]=2x+x+-,

2J2

当X〉g时，g(x)=/(x)+/1x—gX(72+1)2^*,

10

0

xWO,

例5.(2018•全国I卷)设函数f(x)=则满足/'(x+lXf&x)的x的取值范围是()

[1,£>0.

A.(―8,-1]B.(0,+8)C.(-1,0)D.(―8,0)

答案D

解析当xWO时，函数”.)=2一、是减函数，则Ax)2H0)=1.

x+1<0,

作出Ax)的大致图象如图所示，结合图象知，要使〃x+l)V〃2x),当且仅当上水0,或

2x<x+l

卜+120,

12水0,

解得水一1或一lWx<0,即水0.

'2

例6.(13年全国卷I)、已知函数/(%)=<'+2%,'_0,若则。的取值范围是

ln(x+1),x>0

A.(-oo,0]B.(-oo,l]C.[-2,1]D.[-2,0]

答案：选D.

11

解析：=2"""°，，由I/(x)I*x得，<：一°且

ln(x+l),x>0[x-2x>ax^ln(x+l)>ot

x<0

由<2可得aNx—2,则〃2-2,排除A,B,

x-2x>ax

当〃=1时，易证1口(兄+1)<%对1>0恒成立，故〃=1不适合，排除C,故选D.

4.分段函数与方程

/(x+1)-2<x<0

3

例1,已知/(%)=2x+l,0<x<2。则A—5)的值为；若丹0)=4且石>0,则实数3的值为.

%2-1,x>2

3

或

帘2

2-a

331111

解析：(由题意，得)5+1)=F(—〃一5+1)=F(5)=2X5+1=2.

1)A—5乙=a—乙R乙=乙乙乙

3

(2)当0〈水2时，由广(2)=2女+1=4,得a=5，

当〃22时，由/*(〃)=才一1=4,得a=乖或a=一小(舍去),

3

综上所述,2-或

\2x-\-a,x<l,

例2.已知实数》W0,函数f(力=\若"1—a)=F(l+a),则a的值为

[一x—2a,xNl,

答案：-a

解析当〃>0时，1—水1,l+a>l,

由广(1—女)=/1(1+女)，可得2(1—a)+己=—(1+43)—2a,

3

解得a=一万，不合题意.

当水o时，1—少1,1+水1,

3

由广(1—a)=_f(l+a),可得一(1—a)—2d=2(1+〃)+8解得己=一“符合题意.

(2\x>0,

例3.L已知函数广(x)=…若f(a)+f(l)=O,则实数a的值等于()

〔x+t1,xWO.

A.-3B.-1C.1D.3

答案：A