2024年高考数学一模试题分类汇编：基本函数（解析版版）（广东专用）

专题03基本函数

题型01塞函数

1.（2024下•广东广州•高三模拟）若正数加、”、。均不为1,则下列不等式中与"小>〃”等价的

是（）

A.logM>log/B.log/〉log/

aamn

C.m>nD.a>a

【答案】C

【详解】对A：当“e（O,l）时，由log川>log“”可得机<〃，故A错误；

对B：由l°g〃，a>l°g/，则可能有1〈加<〃或故B错误；

对C：由。为正数且不为1,故函数P=x"在x>0时单调递增，

故当〃/>/时，有,故c正确；

对D：当“€（0，1）时，由武”>优可得机<〃，故D错误.

故选：C.

2.（2024下•广东・广州市二中模拟）方程4|cost|-V?=0的实数根的个数为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【详解】设yi=4|cost|,y2=y[t.在同一直角坐标系内画出yi=4|cost|与丫2=V?的大致图象，

当t=5冗时,yi=4>V5n=y2;当t=6TT时,y】=4VV6K=y2.

根据图象可得两个函数共有11个交点.

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故选：c.

3.（2024下•广东惠州•博中一模）已知不，々分别是关于x的方程xlnx=2023,xe*=2023的根,

则下面为定值2023的是（）

再

A.玉+工2B.再一%2C.项%2D.—E.均不是

【答案】c

।202312023

1nx=------e=------

【详解】由已知条件可知，%,工,

_2023

令弘=lnx,%二一7-,

如图所示，

“2023、、2023、

4（西,----）B（X2,-------）

设曲线为分别与曲线外,必交于点再，马

则点A,8关于直线了=尤对称，

“2023、,2023、

4（石,----）（-------,西）

而点再关于直线〉="对称的点为再，即为点

2023

*2=

则再,即再入2=2023,

故选：C.

4.（2024下・广东•省一模）已知集合/=_g,-d2,3；,若a/,ce/且互不相等，则使得指数

函数y=优，对数函数y=bg/,幕函数y=x。中至少有两个函数在（0,+功上单调递增的有序数对

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（a,6,c）的个数是（）

A.16B.24C.32D.48

【答案】B

【详解】若>=能和了=l°g，x在（0，+°°）上单调递增，了二/在电+功上单调递减,

则有抬C=4个;

若V=优和了=V在（°，+00）上单调递增，了=l°g万x在（0,+◎上单调递减,

则有c；C-C；=8个;

若V=log"尤和了=V在（0,+8）上单调递增，7=优在（0,+8）上单调递减，

则有C；C-C[=8个；

若了=优、y=l°g"和了=x。在（0,+功上单调递增，则有A.C；=4个；

综上所述：共有4+8+8+4=24个.

故选：B.

5.（2024下•广东河源•高三联考）若集合/={l,2},8=b|y=x“，贝ijae/是aeB的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由幕函数的性质可知8=[°，+°°）,则A是B的真子集，

则ae/是aw2的充分不必要条件.

故选：A

2

6.（2024下•广东中山•高三模拟）实数a,6,c满足睨-探=l,tz=c+log5（x-x+3）（reR）,则。,6,c

的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

【答案】D

【详解】由我一妣句，得我一版>0,即五〉孤，所以c>6；

由a=c+log5(--x+3)(xER)彳目a-c2—x+3

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121111

y=x2-x+3=x

因为I2+『了

所以噫代-x+3)>log—>log1=0

,s465s,即Qc；

综上，a>c>b

故选：D.

题型02指数及指数函数的图像及性质

1.(2024下•广东湛江•高三一模)已知函数〃x)=2'-9卜05%是偶函数，则实数”()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【解析】

【详解】••,/(一》)=12；£-^77卜05(-%)=1一4.2工+彳卜05%，/(x)为偶函数，

f(-x)=f(x)>则—a=l,解得：a=-1.

故选：B.

2.(2024下•广东清远•高三联考)已知定义在R上的函数〃x)=ei-ei+(x-l)3+x,满足不等式

〃2x-4)+/(2-3x)W2，贝口的取值范围是()

2

A.(-«,-4]B.(-oo,2)C.D.[2-,2)

【答案】A

[详解]令xT=/，则x=，+l，，eR,原函数化为/(/+1)=占_/+〃+/+1,

令g(t)=/«+l)-]=e'-eT+/+f,显然g(_/)=eT_e-=_g⑺，

即函数g⑺是奇函数，又函数了=巴了=-尸/=「+/都是口上的增函数,

因此函数g(')是R上的增函数，不等式/(2'-4)+/(2-3、)220/(2苫一4)-1+/(2-3外一120,

贝ijg(2x-5)+g(l-3x)>0og(2x-5)>-g(l-3x)=g(3x-1)

于是2x-5N3x-l,解得-4,

所以x的取值范围是(一叫"].

故选：A

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3.(2024下•广东梅州•高三联考)设〃ER.若函数/(%)=(〃-1)、为指数函数，且〃2)>〃3),则〃

的取值范围是()

A.1<«<2B.2<a<3

C.a<2D.〃<2且owl

【答案】A

【详解】由函数〃x)=(aT)"为指数函数，故。>1目

当。>2时，函数〃切=("-1)、单调递增，有〃2)</(3),不符合题意，故舍去;

当1<。<2时，函数〃x)=(aT)'单调递减，有/(2)>/(3),符合题意，故正确.

故选：A.

4.(2024下•广东惠州龙门•高三联考)已知集合力=卜卜=--+1},2=[,”<3},则/口8=()

A.0

【答案】D

【详解】因为/N0,所以-x'+lvl,所以N={y|yVl},

,1

9T<3=>3为<3=>-2x<1n尤>——B={x\x>-^}

又因为2,所以

=〈尤VI}

所以2

故选：D.

5.(2024下•广东深圳•高三联考)函数/G)=[1-/：8次的图象大致为

)

【详解】“X)-则“X)的定义域为R,

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22x3xT+—I

-•cos(-x)=1-•COSX•cosx=-/(x)

yx+i3X+1

所以/（M为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD,

2

cos兀=一升----<0

当X=7t时,3兀+1.故排除A.

故选：B.

6.（2024下•广东清远•高三联考）已知函数是定义域为R的偶函数，在区间（0,+司上单调递

增，且对任意再,三,均有/（毛%）=/（占）/（々）成立，则下列函数中符合条件的是（）

A.^=ln|x|B.y=x3C.y=2klD.》=.X

【答案】D

对于A,=再苞|=ln|xj+ln|引=/(再)+〃芍),故A错误;

【详解】

〃T）=T=-/（l）,故V=d不是偶函数，故B错误;

对于B,

/(Xi)/(X2)=2k42M=2"2l=/N+x2),故c错误;

对于C,

/(尤科2Hxi%|=|西|上|=/(xJ/(%),

对于D,

又了=〃x）=k|定义域为全体实数，它关于原点对称，且"r）=H=W=/（x）,

即函数/（x）是定义域为R的偶函数,

当x>0时，/（'）=”单调递增，满足题意.

故选：D.

7.（2024下•广东东莞•高三联考）已知实数加〃满足1>加〉〃>0,设〃=4*6=/00=胪〃，则

()

A.a=b>cB.a>b>cC.c>a>bD.c>a=b

【答案】D

【详解】因为1>加>〃>°,所以lnw>ln”

又为减函数，所以"”.〈胪"，即

又In。=In加•ln〃/nb=In加•ln〃，故q=

所以

故选：D.

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8.(2024下•广东广州•高三联考)已知［可表示不超过x的最大整数，例如［1』=1,［2］=2,卜2.1］=-3,

定义：若/(力=〃在(凡6)上恒成立,则称S=|〃|0-a)为函数/(切在［。为)上的“面积”,函数

［(x)=［2］在［0,3)上的"面积"之和与下面哪个数最接近()

(注①："面积不重复计算"；②6.30=223)

A.7.3B.7.7C.8.7D,9.3

【答案】C

【详解】

因为04x<3,所以142，<8,

当1V2*<2,即0Wx<l时，/(%)=1,

当2V2，<3,即1"<岷3时，/(x)=2,

当342”<4,即1%3(尤<2时，f(x)=3,

当4V2，<5,即24x<bg25时，/(力=4,

当542'<6,即噢?5"<嚏26时，/(x)=5,

当6V2*<7,gplog26<x<log27/(x)=6,

当7V2，<8,即bg27Vx<3时，/(x)=7,

根据"面积"的定义可知，函数在［0,3)上的“面积”之和为：

S=lxl+2x(log23-l)+3x(log24-log23)+4x(log25-log24)+5x(log26-log25)+

6x(log27-log26)+7x(3-log27)=18-(log23+log25+log26+log27)=18-log2630«8.7

故选：C.

9.(2024下•广东佛山・高三联考)已知正数0,6满足ae"=bln6=2,则()

A.a<\<bB.a<b<\

C.a>l>bD.a>b>l

【答案】A

【详解】

由ae"=61n6=2,得

.2

e=—Inx=—2

所以方程1的实根为。，方程1的实根为以

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y—Q,y=luxy—

在同一坐标系下画出“-X的图象，显然

故选:A.

10.（2024下•广东•梅州市一模）（多选）已知函数/（x）=e'm，-e。。'，，则下列说法正确的是（

A./（X）的图象关于直线尤=:对称

B./（X）的图象关于点中心对称

C./（X）是一个周期函数

D./（X）在区间（0,兀）内有且只有一个零点

【答案】BCD

【解析】

【详解】AB选项，/（"）的定义域为R,

所以/（X）关于点

和中心对称，A选项错误，B选项正确.

/(%+2兀)=esin(x+2,t)-ecos(x+2,t)=esinx-ecosx=/(x)

C选项,

所以/（X）是周期函数，C选项正确.

D选项，令/“)=ecSinx-e-cosx=0八得esm'essx

所以sinx=cosx,在区间（°衣）上，解得“一%,

所以/（x）在区间（°建）内有且只有一个零点，所以D选项正确.

故选：BCD

题型03对数运算

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1.（2024下•广东•江门一模）物理学家本・福特提出的定律：在6进制的大量随机数据中，以"开头

H1

的数出现的概率为与（〃）=iog6——.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假

n

或错误.若£%（〃）=霁三化eN*）,则左的值为（）

v

黑l+log25）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】

80左+]左+22121

£耳0（〃）=片o（后）+/（左+D+…+4o（8O）=lg^~+lg~~7+…+馆嬴=映了

K80

【详解】,.=kk+1k

lg8141g3

型工上_=且好

8g

l+log251+lg51+lg5

而1g21g2,故人=9.

故选：c.

2.（2024下•广东•省一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在

前一天的基础上进步2%,而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要

经过（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：lgl02“2.0086,1g99^1.9956,

lg2»0,3010）

A'23B.100C.150D.232

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可.

【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1,〃天后，甲、乙的“日能力值”分别（1+2%）",

依题意，（1+2%）：=20,gp（―）"=20,两边取对数得〃1g四=1g20,

（1-1%）"9999

l+lg21+0,3010

因止匕”=»100,

lgl02-lg992.0086-1.9956

所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.

故选：B

3.（2024下•广东中山•高三联考）14c同位素测年法最早由美国学者WillardFrankLibby在1940年提

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出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的14c的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植

物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变.经研究发现，

动植物死亡后的时间〃(单位：年)与4满足关系式，?lg2=57301g/l,且《=4匕(动植物体内初始14c

的含量为《，死亡〃年后"C的含量为夕).现在某古代祭祀坑中检测出一样本中"C的含量为原来

的70%,可以推测该样本距今约(参考数据：1g2«0.30,lg7«0.85)()

A.275。年B.2865年C.3050年D.3125年

【答案】B

2=—=—wig2=57301g—

【详解】依题意，经过n年后"C含量为0-7《，则有月7,即7,

”=5730、匕1叱22865

解得3,所以"2865.

故选：B

4.(2024下•广东河源•高三联考)已知定义在R上的奇函数/⑶满足/e-力寸⑴，当04x41时,

/(力=2'-1,则〃logzl2)=()

1111

A.——B.——C.-D.-

3432

【答案】A

【详解】在R上的奇函数满足〃2-x)=/(x),则/。)=-八>-2),

于是/(x)=_/(x-2)=_[-/口一4)]="X-4),即函数/(%)的周期为4,

J

而8<12<16,则3<logJ2<4,-l<log212-4<0；又当OWxWl时,/(x)=2-l

34log/1

/(log12)=/(log12-4)=/(log-)=-/(logT)=423-l)=--

所以2224233.

故选：A

5.(2024下•广东东莞•高三联考)物理学家本•福特提出的定律：在6进制的大量随机数据中，以"

开头的数出现的概率为Pb(«)=log,四.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造

n

假或错误.若£%(")=黑丝(丘N*),则左的值为()

合1+log25'

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

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80QIQI

【详解】小（〃）="㈤”小"…”网…丁也瓦丁…+馆rlgr

Ig8141g3

log81_lg421g2

4=21g3=lg9

1+1鸣51+1§51+lg5

而口lg2，故左=9.

故选：C.

题型04对数函数的图像及性质

1.（2024下广东•广州天河区一模）若实数加满足10g2（-加）〈加+1,则加的取值范围为（）

A.B,（0,+oo）C.（-oo,-l）D.（-1,0）

【答案】D

【解析】

【详解】1082（一掰）＜加+10抽2（-冽）一冽一1＜0,因函数/=1唯（一力，.=一—1在（—8,0）

上单调递减，

则函数/（x）=log2（—x）—X—1在（-8,0）上单调递减，又/（—1）=0，则

f（加）＜0o/（加）＜f（-1）o-1（加＜0

故选：D

2.（2024下•广东•广州市广雅模拟）（多选）给定数集/=R,8=（0,+8）,3一满足方程2,-y=0,

下列对应关系/为函数的是（）

A.y=/（x）B.f-.B^A,y=/（x）

C.x=/（y）D.f：BTA,x=f（y）

【答案】ABD

【详解】对于A,y=/（x）=2'X/xeA,均有唯一确定八力（°，+动=',符合函数定义，A正确；

对于B,y=/（x）=2'，VxeB,均有唯一确定了⑴（L+"）=/，符合函数定义，B正确；

对于C,尤=〃力=噫了，取尸1”,x=0^B,不符合函数定义，C错误；

对于D,、=/（力=血2了，"ycB,均有唯一确定/（y）eR=",符合函数定义，口正确.

故选：ABD

3.（2024下•广东东莞•东华学校模拟）（多选）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0,+e）上单调递

增的是（）

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A.y=ln|x|B.y=|lnx|C.y=x~2D.y=ex+e~x

【答案】AD

【详解】

A选项，/(X)=MW定义域为xe(-=o,0)u(0,+=o),

且/(-%)=ln\-x\=ln\x\=f(x)，故=ln|x|为偶函数，

且尤e(°，+°°)时，＞=lnx单调递增，故A正确；

B选项，了超时的定义域为(°，+8),故不是偶函数，故B项错误；

C选项，》€(0,+8)时，厂一单调递减，故c项错误；

D选项，g(x)=e'+「的定义域为％且g(-x)=er+e，=g(x),

故g(x)=e，+ef是偶函数,

旦xe(0,+oo)时.，g'(x)=e'-eT＞0,函数单调递增，故D项正确.

故选：AD

X+]

4.(2024下・广东•番禺)(多选)已知函数3；=——与＞=d相交于4,3两点，与J=lnx相交于C,

X-1

D两点,若4,B,C,。四点的横坐标分别为'1，%2，、3，、4，且再＜、2，、3＜%4，则()

A.X1+%二1B.七通=1

X1

C.XjInx3=1D.x4e=1

【答案】BD

【解析】

d=^±1e'1=

【详解】由题意知，为是方程x—1的一个根，则的T,将一西代入得

e-x,=+1=苞TF_x+1

—占一1西+1,所以_西也是方程X-1的一个根，所以一石=%,

故玉+“2=°,故选项A正确;

—+1

111Xn+IX,

1In——=-lnx.=——-——---

1x+1b_v+1X3X3-1

Inx-----111%3一11

由题意知，项是方程X-1的一个根，则“3-1,则X3

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_J_1X+1_J__丫

—Inx=-----—Z_i

所以当也是方程X-1的一个根，所以吃,故&r羯r—故选项B正确；

_X+ly_X。+1

设点P（Xo/o）在函数了X-1±_,则满足ox°T,即X。—1=0,点P（Xo/o）关

_x+lX=-0+1

于直线y=x的对称点P'（%x。），将P'（为，x。）代入'X-1得°%）T,即

_X+1_X+1

X。-1=0,因此可知产'（％,后）在函数X-1上，即,X-1关于直线V=x的对称,

X]=y=lnx

<33

又y=lnx,>=e*关于直线y=x的对称，因此可知A,C对称，B,。对称，故〔"3=%=9

%=%=1”

和£=8=产，

XlX|

e=x3=—,x4e二1

所以％,故选项D正确；

由于玉=出七,七*士1,故选项c错误；

故选：BD.

1

5.如图，在第一象限内，矩形48co的三个顶点43,。分别在函数y=log^x,y=x3,y=

图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若/点的纵坐标是2,则。点的坐标是

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【详解】由题意，42纵坐标都为2,则B点横坐标为8,即C点横坐标为8,

也了二A=1

所以A点的横坐标为33,C点纵坐标为381,

（11）

由“BCD为矩形及题图知：D点的坐标是水81.

（1,—）

故答案为：381

题型05指数、对数比较大小

3

1.（2024下•广东•广州市一模）已知〃=—,36=5,5°=8,则（）

2

/\.a<b<cB.C.c<b<aD.b<c<a

【答案】C

3

【解析】6=log35与］比大小，

先比较5与1的大小，先比较5?与33的大小.•••52<33,:1<a.

3

c=10858与5比大小.

先比较8与£的大小，先比较8?与5'的大小，82<53,.,.C<G.

55

5b=lo