四川省成都市2023-2024年九年级上学期10月月考数学试题（含答案解析）

四川省成都市成华区成都市第四十九中学校2023-2024年九

年级上学期10月月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列方程中，一元二次方程共有（)

@3x2+x=20②2%2—3盯+4=0③=1④％2=]

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下面四组线段中，不熊成比例的是).

A.a=3,b=6,c=2,d=4B.a=1,b=s/2,,c=-\/6,d=^3

C.a=4,b=4,c=5,d=10D.a=2,b=y/5>

c=y/\5,d=2V3

3.如图，在AABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE〃:BC,若AD：DB=3：

1,AE=6,则AC等于（）

4.下列命题中，真命题是（）

A.两条对角线相等的平行四边形是菱形B.两条对角线互相垂直平分的四边形是

矩形

C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.两条对角线互相平分的四边

形是平行四边形

5.某年爆发世界金融危机，某商品原价为200元，连续两次降价。％后，售价为148

元，则下面所列方程正确的是（）.

A.200(1+a%)2=148B.200(1-«%)2=148

C.200(1-2a%)=148D.200(1-a%)=148

6.如图，在菱形/BCD中，AB=5,BD=6,DEJ.AB于点、E,则DE的长为()

试卷第1页，共6页

D

C.9.6D.10

7.在四边形/BCD中，E,/分别是边4D,BC的中点，G、”分别是对角线5。，AC

的中点，依次连接£,G,F、X得到的四边形一定是（）

A.平行四边形B.菱形

C.矩形D.正方形

8.如图，在“8C中，D、£分别是/3、/C边上的点，DE//BC,3E与CD相交于

点R则下列结论一定正确的是（）

ADDEDFEF

DB-BCSF-FC

二、填空题

9.已知方程/-3x+左=0有两个相等的实数根，则后=.

10.若则*的值等于.

b4a-b

11.已知尸是方程x2+3x-8=0的两个实数根，则4+夕的值为.

12.一个菱形的边长是方程/-9x+18=0的一个根其中一条对角线长为6,则该菱形

的面积为.

13.如图，在平行四边形/BCD中，£为线段/D上一点，CE、BD交于点、F,若

CE=4EF,DF=5cm,则8尸的长为cm.

试卷第2页，共6页

AED

三、解答题

14.解方程：

(1)X2-2X-3=0；

(2)2X+6=(X+3)2.

15.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1.在温室内，沿

前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽

各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2?

前

侧

蔬菜种植区域

地

16.如图，已知△/C8和都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD,的

顶点/在AECD的斜边上，连接80.

(1)求证：BD=AE；

⑵求证：AE1+AD-=2AC2.

17.已知N-8x+16-〃/=()(:存°)是关于x的一元二次方程

(1)证明：此方程总有两个不相等的实数根；

(2)若等腰A48C的:一边长。=6,另两边长6、c是该方程的两个实数根，求

的面积.

18.如图，已知四边形/BCD和CEFG均是正方形，点K在8C上，延长CD到点反，

使DH=BK=CE,连接AK,KF,HF,AH.

试卷第3页，共6页

H

D

G

BKCE

⑴求证：AK=AH；

(2)求证：四边形NKFH是正方形;

⑶若四边形的面积为10,CE=\,求点4后之间的距离.

四、填空题

19.已知a,b,c是非零实数，且==上=片=左，其中a+6+c知，贝I]左的值

b+ca+cb+a

为

20.如图，在矩形。中，点A坐标是点C纵坐标是4,则点3的坐标

21.有8张正面分别标-1,-2,-3,0,1,2,3,4的不透明卡片，除数字不同外,

其余相同，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上数字记为加，使关于x

的分式方程口?+2=有正数解，且使一元二次方程如2+5》一3=0有两个实数根

X-22-x

的概率为.

22.如图，已知/MON=30。，点4,4「-4+|在射线。可上，点4,与广4“+1在射线0M

上，△444，马4,...△4g4+1均为等边三角形，连接禺4，

若。4=1,从左往右阴影面积依次记作百,$2,瓜，…豆，贝1]8=；s"=

试卷第4页，共6页

23.如图，在线段AB上任取一点M（BM<；AB）、把线段MB绕M点逆时针旋转

90。至MC.连接AC,作AC的垂直平分线交AM于N点，此时AN、MN、BM为边的

三角形是一个直角三角形，我们称点M,N是线段AB的勾股分割点.如下右图，已知:

点M,N是线段AB的勾股分割点，MN>AM>BN,AABC.2XMND分别是以AB、

MN为斜边的等腰直角三角形，且点C与点D在AB的同侧，若MN=3,连接CD,则

CD=.

五、解答题

24.某商店在今年2月底以每袋23元的成本价收购一批农产品准备向外销售，当此农

产品售价为每袋36元时，3月份销售125袋，4、5月份该农产品十分畅销，销售量持

续走高.在售价不变的基础上，5月份的销售量达到180袋.设4、5这两个月销售量的月

平均增长率不变.

（1）求4、5这两个月销售量的月平均增长率；

（2）6月份起，该商店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1

元/袋，销量就增加4袋，当农产品每袋降价多少元时，该商店6月份获利1920元？

25.如图，在RtZ\48C中，ZC=24cm,3C=7cm,P点在上，从8点到C点运动

（不包括C点），点尸运动的速度为2cm/s；0点在/C上从C点运动到/点（不包括

/点），速度为5cm/s.若点尸、。分别从2、C同时运动，且运动时间记为f秒，请解

答下面的问题，并写出探索的主要过程.

试卷第5页，共6页

(1)当/为何值时，P、。两点的距离为5vLm?

⑵当:为何值时，△尸CQ的面积为15cm2?

(3)请用配方法说明，点尸运动多少时间时，四边形2尸。区的面积最小？最小面积是多

少？

26.在直角梯形O4BC中，CBHOA,/CQ4=90。，CB=3,OA=6,BA=3亚.分

别以04OC边所在直线为x轴、》轴建立如图1所示的平面直角坐标系.

备用图2

⑴求点B的坐标；

(2)已知。、E分别为线段。C、上的点，8=5,。£=2£5,直线DE交x轴于点尸,

求直线的解析式；

⑶点M是(2)中直线OE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N,

使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，

请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.B

【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程是一元二次方程，根据定义判断即

可.

【详解】解：①3/+尤=20符合定义，是一元二次方程；

②2--3孙+4=0含有两个未知数，不符合定义，不是一元二次方程；

③V-x=l未知数的最高次数是3,不符合定义，不是一元二次方程；

④/=1符合定义，是一元二次方程；

故选：B.

【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键.

2.C

【分析】若a,b,c,d成比例，即有a：b=c：d.只要代入验证即可.

【详解】解：A、3：6=2：4,则a：b=c：d,即a,b,c,d成比例，不符合题意；

BA1：V2=V3：>/6,则a：b=d：c.故a,b,d,c成比例，不符合题意；

C、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例，符合题意；

D、s/5：2=V15：2V3,即b：a=c：d,故b,a,c,d成比例，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序.

3.D

【详解】：AD：DB=3：1,

AAD：AB=3：4,

：DE〃BC,

.ADAE

,•下一就‘

；.AC=8,

故选D.

4.D

【分析】本题考查了命题真假判断、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、矩形

的判定，由平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定逐项分析即可得出

答案，熟练掌握平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定是解此题的关

答案第1页，共20页

键.

【详解】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意；

B、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意；

C、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意；

D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法正确，符合题意；

故选：D.

5.B

【分析】本题可先用a表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价,

然后根据已知条件得到关于a的方程.

【详解】当商品第一次降价a%时，其售价为200-200a%=200(1-a%),

当商品第二次降价a%后，其售价为200(1-a%)-200(1-a%)a%=200(l-a%)2,

所以200(1-a%)2=148.

故答案为B.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再

根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于148即可.

6.A

【分析】由菱形的性质得到对角线互相垂直，利用勾股定理可求得AC的长和菱形面积，利

用等积法可求得DE的长.

【详解】；四边形ABCD为菱形，

AC与BD互相垂直平分，

且AB=5,BD=6,

,OA=VAB2-OB2=A/52-32=4，AC=20A=8,

・•・s菱形ABCD=IAC・BD=yx8x6=24,

・・.AB・DE=24,

・・・5DE=24,

・24

ADE=y,

故选：A.

【点睛】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的对角线相互垂直平分是解题的关键，注意等

积法的应用.

答案第2页，共20页

7.A

【分析】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的判定.熟练掌握三角形的中位线的性质，

平行四边形的判定定理，是解决问题的关键.

根据三角形中位线的性质可得=,HE//FG//CD,进而根据一组对边平行且

相等，证明四边形EG切是平行四边形，即可求解.

【详解】；四边形48co中，E、F、G、”分别是40、BC、BD、/C的中点，

：.FG=-CD,FG//CD.HE=-CD,HE//CD.

22

FG=EH,FG//EH,

四边形EGFH是平行四边形.

故选：A.

8.A

【分析】

本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质.根据平行线分线段成比例,

f口4。AEADAE__,一门口「八门DFDE口口一

可得---=---，---=---，再由△£)£尸saCB/7可得----=---，即可.

ABACDBCEFCBC

【详解】解：・・•£)£〃3C,

*AD受Ap，gAl)=黑AF，故A选项正确，符合题意；C选项错误，不符合题意;

ABACDBCA

DE//BC,

：.^DEFS£BF，

.DF_DE

故B、D选项错误，不符合题意;

…FC~BC

故选：A

9

9.

4

【分析】根据题意可得，判另IJ式△=(-3)2-4左=9-4左=0,通过解这个式子即可得出左的值.

【详解】解：••・方程——3x+左=0有两个相等的实数根,

3『-4左二9—4左=0,

9

解得：k=~,

4

9

故答案为：-

答案第3页，共20页

【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键在于推出△=(-3)2-4左=9-4左=0.

11

10.—.

3

【分析】根据已知等式设a=7k,b=4k,代入求出即可.

【详解】•.,？=]

b4

设a-1k,b=4k,

.a+b_7左+4左_11

a-b7k-4k3'

故答案为：

【点睛】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键.

11.25

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、利用完全平方公式的变形进行计算，由

题意得出。+£=-3,〃=-8,再根据片+尸2=(。+尸『_24，即可得出答案，熟练掌握

关于％的一元二次方程办2+瓜+。=0(。。0)的两个实数根占，巧和系数。，b,c,有如下

bc

关系：x+x-..,x-x=—,是解此题的关键.

x2a12a

【详解】解：•"、乃是方程/+3%-8=0的两个实数根，

:.a+0=-3,cc/3=—8,

a2+/32=(a+-lap=(-3)2-2x(-8)=9+16=25,

故答案为：25.

12.1873

【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，先解方程得出

%=6,%=3,结合一条对角线长为6得出菱形的边长为6,利用勾股定理得出菱形的另一

条对角线为27^^=66,再由面积公式计算即可.

【详解】解:vX2-9x+18=0,

(x-6)(x-3)=0,

解得：玉=6,x2=3,

•••菱形一条对角线长为6,

答案第4页，共20页

菱形的边长为6,

菱形的另一条对角线为2后二铲=66,

..•菱形的面积为二6x66=186,

2

故答案为：18君.

13.15

【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，由题意得出空=(，

CF3

由平行四边形的性质得出，从而得出△。斯s/\3C尸，由相似三角形的性质得出

黑噜j即可得解.

【详解】解：.「CE=4EF,

CF=CE-EF=4EF-EF=3EF,

EF1

,••—-―，

CF3

••・四边形4BCZ)是平行四边形，

/.AD〃BC,

△DEFs^BCF,

•DF_EF_1

,•BF一CF-3'

DF=5cm,

BF=15cm,

故答案为：15.

14.(l)X[=3,X2=-1

(2)X[=-3,々=—1

【分析】

(1)利用因式分解法求解可得;

(2)利用因式分解法求解可得.

【详解】(1)尤2_2X-3=0

：.(x-3)(x+l)=0,

答案第5页，共20页

x—3=0或x+l=O,

..X]=3,x]=一1；

(2)2x+6=(x+3y

整理得：(x+3f—2(尤+3)=0

(x+3)(x+l)=0

x+3=0或x+l=0,

•♦X]=­3,%2=11.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式

法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解.

15.当矩形温室的长为28m,宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2.

【详解】解法一：设矩形温室的宽为xm,则长为2xm.

根据题意得(x-2)•(2x-4)=288.

解得xi=-10(不合题意，舍去)，X2=14.

所以x=14,2x=2x14=28.

答：当矩形温室的长为28m,宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2.

解法二：设矩形温室的长为xm,则宽为gxm.

根据题意得(；x-2)•(x-4)=288.

解这个方程，得xi=-20(不合题意，舍去)，X2=28.

所以X=28,yX=yx28=14.

答：当矩形温室的长为28m,宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2.

16.(1)见详解

(2)见详解

【分析】

(1)根据等腰直角三角形的性质得CE=CD,CA=CB,ZECD=ZACB,再证明

△ACEWBCD,由此即可证明.

(2)由(1)中结论且ABCD,得/E=NBDC=45°,BD=AE,再在中，根

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据勾股定理即可得出结论.

【详解】(1)

证明：和A£CD都是等腰直角三角形，

:.CE=CD,CA=CB,ZECD=ZACB=90°,

ZECA=ZDCB,

在和△BCD中，

CE=CD

<ZECA=ZDCB,

AC=CB

AACE父ABCD6AS).

AE=BD；

(2)

证明：•;AACE知BCD,

是等腰直角三角形，CE=CD,

NE=ZCDE=45°,

,:AACE知BCD,

ZE=ZBDC=45°,BD=AE

NADB=ZEDC+NBDC=450+45°=90°,

AD2+BD2=AB2，

■：AC=BC,NACB=90°,

AB=yjAC2+BC2=4iAC，

AE2+AD2=2AC2.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，寻找全等

三角形是解题的关键.

17.(1)证明见解析；(2)A48C的面积为庄.

【分析】(1)计算判别式的值得到△=4加2,从而得到△>(),然后根据判别式的意义得到结

论；

(2)利用求根公式解方程得到x=4士加，即6=4+%，c—4-m,讨论：当6=a=6时，即

4+m=6,解得加=2,利用勾股定理计算出底边上的高，然后计算A42c的面积；当c=a

答案第7页，共20页

时，即4-冽=6,解得冽=-2,即a=c=6,6=2,利用同样方法计算A45C的面积.

【详解】(1)证明：△=(-8)2-4x(16-m2)

=4冽2,

•.・切WO,

.,.△>0,

・・・此方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：:△=(-8)2-4X(16-m2)=4m2

._8±"加之

•・x=-----------=4±\m\=4±m,

即6=4+加，c=4-m,

*.*

:・b丰c

当b=a时，4+加=6,解得冽=2,即q=6=6,c=2,

如图，BC=AC=6,AB=2,CQ为高，

则AD=BD=\,

•*-CD=飞AC?-AD。=V62-l2=V35

的面积为：yx2xV35=735；

当c=a时，4-m=6,解得〃?=-2,即a=c=6,6=2,

如图，AB=BC=6,AC=2,BD为高,

答案第8页，共20页

B

贝lj4D=CD=l,

•*-AD=yjBC2-BD2=V62-l2=V35

的面积为：三义2义底=底,

即AIBC的面积为而.

【点睛】本题考查了一元二次方程办2+6x+c=0(a#0)的根的判别式△=〃-4ac：①当△

>0,方程有两个不相等的实数根；②当△=(),方程有两个相等的实数根；③当△<(),方

程没有实数根.也考查了三角形三边的关系.

18.(1)见解析

(2)见解析

(3)5

【分析】(1)证明△4。“三A48K(S/S)即可得出结论；

(2)证明AHGF=AKEF=A4BK三A4DH,得AH=AK=HF=FK,即可得出结论；

(3)由正方形/K方H的面积为10,得出K/=J历，再由勾股定理求出KE=3,即可由勾

股定理求得/£长.

【详解】(1)证明：：四边形和CEFG都是正方形，

AB=AD=DC=BC,GC=EC=FG=EF,

'：DH=CE=BK,

HG=EK=BC=AD=4B,

答案第9页，共20页

在AADH和“BK中，

AD=AB

<ZADH=NABK,

DH=BK

；.AADH=AABK(SAS),

：.AK=AH；

(2)证明：/\ADH=AABK,

AHAD=/BAK.

：.ZHAK=90°,

由(1)同理可得：AHGF=AKEF=/\ABK=AADH,

：.AH=AK=HF=FK,

二四边形NK/阳是正方形；

(3)解：：四边形NKFH的面积为10,

又由(2)知四边形NKF〃是正方形，

/•KF=y/io,

EF=CE=1,

KE=yjKF2-EF2=J10T=3，

:.AB=KE=3,

"：BK=EF=\,

：.BE=BK+KE=4,

•*-AE=y]AB2+BE2=V32+42=5，

故点4E之间的距离为5.

【点睛】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正

方形的性质是解题的关键.

19.-/0.5

2

【分析】先将原式写成整式的形式，然后再求解即可.

【详解】解：•••二=上=4=左，

b+c〃b+a

a=(b+c)k,b={a+c)k,c=(a+b)k,

答案第10页，共20页

:.a+b+c=2(a+6+c)k.

当。+6+c/)时，2k=1,即k=g.

故填：y.

【点睛】本题主要考查了分式的性质，根据分式的性质对等式进行变形成为解答本题的关键.

【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐

标与图形，作轴于。，8石，工轴于石，作CR〃夕轴，过点A作/尸〃x轴，交点为尸，

延长C4交x轴于点a,则NF=NBEO=9Q°,由题意可得4D=1,0D=2,

C7=4-1=3,证明A/CF丝AOBE(AAS)得出8E=CF=3,证明■得出

3

OE=~,即可得出点3的坐标，求出点C的横坐标，即可得解.

2

【详解】解：如图，作轴于。，8£，苫轴于石，作。尸〃'轴，过点A作/尸〃x轴，

••,点A坐标是(-2,1),点C纵坐标是4,

AD=1,OD=2,CF=4—1=3,

••・四边形NO5C是矩形，

：.AC//OB,AC=OB,

ZCHO=/BOE=ZCAF,

在和中，

'/BOE=NCAF

<ZF=ZBEO=9（f,

AC=OB

:AACF、OBE（AAS）,

答案第11页，共20页

，BE=CF=3,

•：ZAOD+ZBOE=ZBOE+ZOBE=9(1,

/.ZAOD=ZOBE,

•••ZADO=ZOEB=90P,

:AAODS^OBE,

丝二吗即工=2

OEBEOE3

二点B的坐标为（|，3；AF=OE=^,

点c的横坐标为：-野二-；，

.・•点C的坐标为

故答案为：即，卜；4

3

21.

8

【分析】本题考查了解分式方程、一元二次方程根的判别式、根据概率公式求概率，先解分

2

式方程得出，且工。2,结合题意得出冽<2,且加wl,根据一兀二次方程

2—m

25

3；2+51_3=0有两个实数根，求出加2--，从而可得出冽=-2或-1或0,共3个，最根

据概率公式计算即可得出答案.

【详解】解：去分母得：1—加x+2（x—2）=—1,

去括号得：l-mx+2x-4=-l,

移项得：=—1—1+4,

合并同类项得：（2-m）x=2,

系数化为1得：、=—2，且xw2,

2-m

・•・关于X的分式方程Y+2=4有正数解,

x-22-x

:.2-m>0,且2—加

解得：m<2,且加w1,

•.•一元二次方程小2+5%—3=0有两个实数根，

答案第12页，共20页

，A=52-4x(-3)加=25+12加20,

解得：7力1上25，

12

,••有8张正面分别标-1,-2,-3,0,1,2,3,4的不透明卡片，除数字不同外，其余相

同，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上数字记为加，

；・机=-2或一1或0,共3个，

,概率为：I

O

故答案为：

“V34"-2-A/3

123

【分析】

本题考查相似三角形的性质和判定、等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形

的性质和判定、等边三角形的性质.

根据题意可得/4°4=/44。=3&,从而可得44=。4=1，同理可得

4层=。4=2,鸟4=。4=4，...,久4=2"一，即可得到

=手“邛(2~丫=手""-2=1.4,1=员4"-2,再证得SA与4G，

BCAB1BC1

可得于y'y="二}不，从而得到x^y=根据两个三角形高相等时面积比等于底的比可

A2b2Z4J

得每4ss=今同理可得s“=f-4"广，即可.

【详解】

解：•••△4及4是等边三角形，

.・・/耳44=60°,

•：4M0N=30。,

：.NOBiA]=60。-30。=30。,

/AQBT=AAXBXO=3(P,

BA=OA1=1,

M-1

同理：次用=04=2,=°4=4,...，BnAn=2,

答案第13页，共20页

.・△444，△4与4均为等边三角形,

/B]4A2=NB2A243=6CF,

4耳〃4g2，

.•.△4gGs^B2A2孰,

・B】G二A]B-1

…A2CXA2B22'

.Bg=1

…BXA23'

5=3'即H=；S"48=S'

211

Q“244312

同理S“=；邑444“=；百⑷•二^^'

故答案为：立;3.

123

23.—

2

【分析】如图中，连接CM、CN,将△ACM绕点C逆时针旋转90。得ACBF,将△CDM绕

点C逆时针旋转90。得4CFE只要证明四边形EFDN是平行四边形以及MN=NF就可以了.

如图，连接CM、CN,将△ACM绕点C逆时针旋转90。得ACBF,将ACDM绕点C逆时

针旋转90。得ACFE.

「△ABC,ADNIN都是等腰直角三角形,

AZDMN=ZA=45°,ZCBA=ZDNM=45°

；.DM〃AC,DN〃BC,

.\Z1=Z2=Z3=Z4,

；.EF〃BC,

；.EF〃:BC〃ND,

VDM=DN=EF,

答案第14页，共20页

...四边形EFND是平行四边形,

；.ED=NF,

由ZNBF=ZFBC+ZCBA=90°

贝1|加=底+2/2,

点M,N是线段AB的勾股分割点，(儿WA/MNRV)

贝!]山2=//+底，

又AM=BF,

可知MN=NF,

；.MN=ED,

在RTZ\CDE中，VCD=CE,ZDCE=90°,

DE=0CD,

MN=V2CD,

MN=3,

贝IJCD=[=孚.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，利用旋转法添加辅

助线是解决问题的关键.

24.(1)4、5两个月销售量的平均增长率为20%；(2)每袋降价3元时，获利1920元.

【分析】(1)设4、5这两个月销售量的月平均增长率为x,根据3月份及5月份的销售量,

即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(2)设每袋降价v元，则6月份的销售量为(180+4y)袋，根据总利润=每袋利润x销售数量,

即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】(1)设4、5这两个月销售量的月平均增长率为x,贝心25(1+x)2=180

解得再=0.2=20%,X2=-2.2(不合题意，舍去)

即4、5两个月销售量的平均增长率为20%；

(2)设每袋降价V元，贝I](36-y-23)(180+4〉)=1920

解得％=3,%=-35(不合题意，舍去)

.•.每袋降价3元时，获利1920元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

答案第15页，共20页

关键.

25.（1）1

（2）2或1.5

710na

（3）点尸运动［S时间时，四边形8尸口的面积最小，最小面积是=cm2

【分析】

本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，勾股定理：

（1）根据题意可得PC=（7-2/）cm,CO=5fcm,再根据勾股定理即可求解；

（2）根据三角形的面积公式可得到关于I的方程，即可求解；

（3）根据四边形8P04的面积为S"c-S/oc=，2-§+84=51：］+鲁，进而求出

四边形的面积最小值.

【详解】（1）解：根据题意得：尸C=（7-2f）cm,CQ=5/cm,

•:P、0两点的距离为5j5cm，B.PQ2=PC-+QC2,

（7_2/7+（5/）2=（56『，

解得：f=l或-A（不合题意，舍去）；，

即当:为1时，P、。两点的距离为5，5cm;

（2）解：根据题意得：尸C=（7-2/）cm,C0=5fcm,

：△PC。的面积为15cm2

*•*5x(7—2t)x5/=15,

解得：4=2或15

即当/为2或1.5时，△尸C。的面积为15cm♦

（3）解：根据题意得：尸C=（7-2t）cm,CQ=5/cm,

1135

△PCQ的面积为5PCXQC=DX（7-2f）x5f=-5尸+万/

四边形8尸。4的面积为

答案第16页，共20页

c。1rAu235、u2357丫1099

“BC心2I2)2I.4J16

5>0,

71099

...当/=:时，四边形8尸口的面积取得最大值，最大值为竽.

416

71noo

即点P运动;s时间时，四边形3尸0/的面积最小，最小面积是争cm?.

416

26.⑴点3的坐标为(3,6)

(2)直线D