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文档简介

华中师范大学2008–2009学年第一学期华中师范大学2008–2009学年第一学期期末考试试卷（A卷）解答课程名称实变函数课程编号83410014任课教师题型判断题叙述题计算题解答题总分分分一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“√”或“×”。共5小题，每题3分，共5×3=15分）1、设则集合是可数集合。（×）2、Cantor集是中无处稠密的完备集合。（√）3、设是可测集，若对任何有理数可测，则在上可测。（√）4、若是可测集，则对任何是上的可测集合。（×）5、若是上的有界变差函数，则。（×）二、叙述题(共5小题,每题3分，共5×3=15分)1、Bernstein关于两集合对等的定理答：Bernstein定理：若是两集合，如果存在的子集，的子集，使，则.2、中开集的构造定理答：（1）中非空开集是至多可数个互不相交的开区间的并集，反之亦真。 （2）中非空开集是可数个互不相交的半开半闭区间并集。院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------3、3、Lusin定理答：设是可测集上几乎处处有限的可测函数，则，存在闭子集使在上连续，且。4、Fubini定理答：设在上可积，则（1）对几乎所有的,作为的函数在上可积；（2）在上可积；（3）5、有界闭区间上绝对连续函数的定义答：设定义于上，如果对于任意的>0，使于上的任意一组分点，只要，便有，则称为上的绝对连续函数.，或说在上绝对连续。三、计算题（共1题，共1×10=10分）设为全体有理数所成的集合，在上函数定义如下：求。解：因从而几乎处处于。显然，是上的连续函数，从而在上有界且Riemann可积，故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理，在上Lebesgue可积且由于几乎处处于，故由积分的基本性质第1页(共3页)证：（1）设证：（1）设，记，则且在上单调递增，而因为在上可积，由积分的绝对连续性知，当时，，从而。于是在上是连续函数。（2）因在闭区间上连续，故由介值定理知存在使得记，则且。

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