中考数学总复习《二次函数-解答题》提升训练带答案

中考数学总复习《二次函数-解答题》专项提升训练(带答案)

学校:班级：姓名:考号：

一、解答题

1.如图，在平面直角坐标系中，直线/与X轴交于点4(6,0),与y轴交于点3(0,-6),

抛物线经过点4B,且对称轴是直线x=l.

(1)求直线/的解析式；

⑵求抛物线的解析式；

(3)点户是直线/下方抛物线上的一动点，过点尸作PC_Lx轴，垂足为C,交直线/于

点，，过点P作垂足为M.求PM的最大值及此时P点的坐标.

2.如图，在平面直角坐标系道"中，抛物线氏y--(x-m)2+2nf(/»<0)的顶点2

在抛物线凡y=a/±,直线与抛物线反尸分别交于点4B.

(1)求a的值；

(2)将48的纵坐标分别记为y,“y”设$=%-%,若s的最大值为4,则卬的值是多

少？

(3)。是x轴的正半轴上一点，且可的中点"恰好在抛物线片上.试探究：此时无论如

为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点&使/尸宓总为直角？若存在，请求出点

G的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，仍是等边三角形，过点力作y轴的垂线，垂足为C,点C的坐标为(0,右).尸

是直线48上在第一象限内的一动点，过点尸作y轴的垂线，垂足为。，交40于点、E,

连接四，作〃忆/。交x轴于点轨交4。于点“连接储，BF.

(1)填空：若如是等腰三角形，则点〃的坐标为」

⑵当点夕在线段4?上运动时(点户不与点46重合)，设点材的横坐标为必

①求卬值最大时点〃的坐标；

②是否存在这样的贬值，帙BE=BN若存在，求出此时的加值；若不存在，请说明理

由.

4.在平面直角坐标系中，抛物线y=-Y+bx+c与x轴交于A(-3,0),8(1,0)两点，与

y轴交于点C.

第2页共84页

(2)如图甲，在y轴上找一点〃，使一42»为等腰三角形，请直接写出点〃的坐标；

(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在只0两点使以点4,C,P,0为顶

点的四边形是菱形？若存在，求出只。两点的坐标，若不存在，请说明理由.

5.如图1,抛物线尸ax'+A+c(aWO)与x轴交于4(-2,0),B(6,0)两点，与y

轴交于点乙点一是第一象限内抛物线上的一个动点，过点户作如J_x轴，垂足为。，

如交直线留于点E,设点。的横坐标为m.

(1)求抛物线的表达式；

(2)设线段电'的长度为力，请用含有勿的代数式表示加

⑶如图2,过点尸作"_1_圆垂足为凡当g历时，请求出加的值；

⑷如图3,连接由当四边形比W是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点。，使原点

。关于直线&的对称点。恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件

的点。的坐标.

6.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-bx(6是常数)经过点(2,0).点力在抛物线

上，且点/的横坐标为皿(WHO).以点4为中心，构造正方形PQMN,PQ=2|同,

且尸Q_Lx轴.

(1)求该抛物线对应的函数表达式：

(2)若点8是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧.过点8作x轴的平行线交抛物线

于另一点G连接BC.当3c=4时，求点8的坐标；

(3)若〃?>0,当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x

的增大而减小时，求加的取值范围；

3

⑷当抛物线与正方形尸QMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为;时，直接写

出R的值.

7.已知二次函数『ax'+4ax+6.

5-

4-

3-

2-

1-

IIIIII111111、

-6-5-4-3-2-\O~123456x

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a,6的代数式表示);

(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A,6两点，/庐6,且图象过(1,

c),(3,d),(-1,e),(T,/)四点，判断c,d,e,f的大小，并说明理由；

(3)点ri)是二次函数图象上的一个动点，当"aW/Wl时，〃的取值范围是T

求二次函数的表达式.

第4页共84页

8.已知二次函数y=依2+法+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表:

X…-10123・・・

y.・・430-5-12・・・

⑴求二次函数y=#+法+3的表达式;

⑵将二次函数了=以2+法+3的图像向右平移％(%>0)个单位，得到二次函数

yn/nx'+nx+q的图像，使得当一1cx<3时，y随x增大而增大；当4Vx<5时，y随x

增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数丫=^^+收+4的表达式丫=,实

数力的取值范围是_

(3)A、B、C是二次函数y=o?+法+3的图像上互不重合的三点.已知点A、B的横

坐标分别是机、加+1,点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求/ACS的度数.

9.如图，在jlfiC中，Z4CB=90°,ZA=30°,AB=6cm.动点P从点A出发，以2cm/s

的速度沿边A8向终点8匀速运动.以以为一边作/4却=120。，另一边P。与折线

AC-CB相交于点。，以PQ为边作菱形尸QMN,点N在线段依上.设点尸的运动时

间为x(s),菱形PQMN与_A8C重叠部分图形的面积为y(cm?).

(1)当点。在边AC上时，PQ的长为_cm；(用含x的代数式表示)

⑵当点M落在边8c上时，求x的值；

(3)求y关于尤的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

10.已知二次函数尸ax'+6x+c的图象过点4(-1,0),B(3,0),且与y轴交于点C

(0,-3).

备用图

(1)求此二次函数的表达式及图象顶点〃的坐标;

(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点£，使△/应为股△,若存在，试求点£的坐标,

若不存在，请说明理由;

(3)在平面直角坐标系中，存在点只满足必，如，求线段阳的最小值.

11.如图，抛物线》=-(丁+:X+4与坐标轴分别交于力，B,C三点，夕是第一象限内

抛物线上的一点且横坐标为///.

(l)/f,B,C三点的坐标为—

(2)连接AP,交线段3c于点〃

第6页共84页

①当CP与x轴平行时，求7的值；

D7Ar

PD

②当C尸与x轴不平行时，求三的最大值；

DA

(3)连接CP,是否存在点只使得ZBCO+2NPCB=90。，若存在，求加的值，若不存

在，请说明理由.

12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,相交于点0,A3=10cm,BD=4小cm.动

点户从点1出发，沿A8方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，动点0从点4出发，沿AQ

方向匀速运动，速度为2cm/s.以AP,AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC

交于点反设运动时间为《$乂0＜区5),解答下列问题：

⑴当点M在8。上时，求t的值；

(2)连接8E.设△PE8的面积为S(cn?),求S与f的函数关系式和S的最大值；

(3)是否存在某一时刻t,使点6在NPEC的平分线上？若存在，求出£的值：若不存

在，请说明理由.

13.如图，在矩形A8C。中，AB=1(),BC=6,E是A£＞上一点，AE=2,尸是A3上

的动点，连接族,G是历上一点，且*=kC为常数，自)，分别过点4G

作AB、E尸的垂线相交于点P,设AF的长为x,PF的长为九

⑴若k=；,X=4,则y的值为„；

(2)求y与x之间的函数表达式：

(3)在点尸从点A到点B的整个运动过程中，若线段8上存在点P,则％的值应满足什

么条件？直接写出女的取值范围.

14.如图，抛物线丫=以2+法+以“/0)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2),

直线y=gx+l与抛物线交于瓦〃两点，以B。为直径作圆，圆心为点C,圆，与直线加

交于对称轴右侧的点M(r,D,直线叫上每一点的纵坐标都等于1.

(2)证明：圆。与x轴相切；

(3)过点6作垂足为其再过点〃作/5/，加，垂足为E求厂的值.

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=，zx2+2x+c与坐标轴分别相交于

第8页共84页

点4B,C（0,6）三点,其对称轴为x=2.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点尸是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线■分别与y轴，直线3c交于点

D,E.

①当CD=CE时，求8的长；

②若CAD,CDE,△CEF的面积分别为5,邑，S,,且满足5+S3=2$2,求点F的

坐标.

16.在平面直角坐标系9中，0为坐标原点，已知抛物线y=-gd+6x+c与＞轴交

于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B.

备用图

⑴如图，若抛物线的对称轴为x=3.求抛物线的解析式，并直接写出

时x的取值范围；

（2）在（1）的条件下，若p为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当一PBC为等

边三角形时，求点尸，C的坐标；

⑶若抛物线)，=-；x2+fev+c经过点。(m,2),E(”,2),F(1-1),且〃?<〃，求正整

数如，〃的值.

17.在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，抛物线丁=加+瓜何工。)经过点A(3,3),

对称轴为直线x=2.

(1)求4力的值;

⑵已知点民C在抛物线上，点B的横坐标为，，点C的横坐标为f+1.过点8作x轴的

垂线交直线0A于点D,过点C作为轴的垂线交直线于点E.

(i)当0<f<2时，求,0应)与ZvlCE的面积之和；

(ii)在抛物线对称轴右侧，是否存在点8,使得以8,C,RE为顶点的四边形的面积

为：？若存在，请求出点B的横坐标f的值；若不存在，请说明理由.

2

18.已知二次函数y=A,且经过点8(4,&)和点

(1)请直接写出6,c的值;

(2)直线BC交>轴于点。，点E是二次函数)，=

方的动点，过点E作直线A8的垂线，垂足为尸.

①求£7;'的最大值；

②若△AEF中有一个内角是/A8C的两倍，求点E的横坐标.

19.在平面直角坐标系中，抛物线7=苏+坐+。(。工0)经过点4-1,0)和8(0,3),其顶

第10页共84页

点的横坐标为1.

（1）求抛物线的表达式.

（2）若直线x=”与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点〃，当机取何值时，

使得⑷V+MV有最大值，并求出最大值.

⑶若点P为抛物线y=尔+bx+c（ax0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单

位长度后，Q为平移后抛物线上一动点.在（2）的条件下求得的点是否能与A、

尸、Q构成平行四边形？若能构成，求出。点坐标；若不能构成，请说明理由.

20.定义：在平面直角坐标系xQv中，当点N在图形"的内部，或在图形"上，且点从

的横坐标和纵坐标相等时，则称点“为图形"的“梦之点”.

图①图②

⑴如图①，矩形A8C3的顶点坐标分别是A（—l,2）,C（3,-l）,0（3,2）,

在点必（1,1）,M（2,2）,根（3,3）中，是矩形48co“梦之点”的是；

（2）点G（2,2）是反比例函数y=：图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个

“梦之点”〃的坐标是,直线G”的解析式是，2=.当%＞当

时，X的取值范围是.

1a

⑶如图②，已知点46是抛物线丫=-]/+》+会上的“梦之点”，点C是抛物线的顶

点，连接AC,AB,BC,判断J1BC的形状，并说明理由.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=[x+6与x轴交于点4,y轴交于点反点

4

C在线段AB上，以点，为顶点的抛物线桃y=ox2+6x+c经过点6.

y

---------------------------►X

O

(1)求点儿8的坐标；

⑵求6,c的值；

(3)平移抛物线"至M点C,6分别平移至点尺D,联结8,且CD〃x轴，如果点尸

在x轴上，且新抛物线过点氏求抛物线,V的函数解析式.

22.已知抛物线y=++6x+3交x轴于A(l,0),3(3,0)两点，〃为抛物线的顶点，C,D

为抛物线上不与A,8重合的相异两点，记A3中点为E,直线ARBC的交点为尸.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若C(4,3),O(皿且加<2,求证：C,O,E三点共线；

(3)小明研究发现：无论CD在抛物线上如何运动，只要C,£>,E三点共线,

第12页共84页

AAMP,AMEP,Z\ABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三

角形及其面积，不必说明理由.

23.已知二次函数y=6ix2+6x+c(a>()).

(1)若。=1，c=-l,且该二次函数的图像过点(2,0),求b的值；

(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图像与x轴交于点

A(4,0),B(x”0)，且占＜0＜刍，点，在，0上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上,

3

连接DE,且线段OE交y轴正半轴于点尸，NDOF=NDEO,OF=­DF.

②当点E在线段08上，且BE=1.。的半径长为线段OA的长度的2倍，若

4ac--a2-b2，求2a+b的值.

24.如图，二次函数y=-*+4x的图象与x轴的正半轴交于点力，经过点力的直线与该

函数图象交于点8(1,3),与丁轴交于点C.

（1）求直线A8的函数表达式及点C的坐标；

（2）点尸是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E,与

直线A8交于点。，设点P的横坐标为机.

①当PO=；OC时，求〃?的值；

②当点P在直线AB上方时，连接0P,过点B作BQ_Lx轴于点Q,8Q与0P交于点产，

连接。F.设四边形下。切的面积为S,求S关于〃?的函数表达式，并求出S的最大值.

25.已知直线/：y="+6经过点（0,7）和点（1,6）.

（1）求直线/的解析式；

⑵若点尸（加，〃）在直线/上，以尸为顶点的抛物线G过点（0,-3）,且开口向下

①求掰的取值范围；

②设抛物线G与直线/的另一个交点为Q,当点。向左平移1个单长度后得到的点Q也

在G上时，求G在与WxW弓+1的图象的最高点的坐标.

第14页共84页

参考答案

1.(1)y=x-6

(2)y=+2

(3)PM的最大值是第，此时的户点坐标是卜,-子)

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)根据题意可设抛物线的解析式为y=a(x-l)2+k,再利用待定系数法求解即可；

(3)由题意易证为等腰直角三角形，即得出设点。的坐标为

一?一6]，则D(r,/-6),从而可求出PQ=/--6)=3)?+；.再结

9

合二次函数的性质可知：当，=3时，9有最大值是此时PM最大，进而即可求解.

4

【详解】(1)解：设直线/的解析式为y=，nr+”(加H0),

[6m+〃=0

把儿少两点的坐标代入解析式，得,，

tn=l

解得:

n=-6

二直线/的解析式为y=x-6；

(2)解：设抛物线的解析式为y=a(xi『+MaHO),

•.•抛物线的对称轴为直线X=1,

/.y=a(x-l)2+k.

(25a+k=0

把4〃两点坐标代入解析式，得<,

[a+k7=-6

1

a--

解得：L，

25

T

:.抛物线的解析式为)，=*万--*6

(3)解：：4(6,0)3(0,-6),

第I页共84页

：.0A=OB=6.

V在^AOB中ZAOB=90°,

ZOAB=ZOBA=45°.

・.・PC,无轴，PMLL

：.APCA=ZPMD=90°.

在Rt.APC中，ZPC4=90°,ZOAB=45°,

・•・ZADC=45°，

：.Z.PDM=ZADC=45°.

在RtPAQ中，ZPMD=90°,ZPDM=45°,

sin45°=—

PD

：.PM=­PD.

2

设点尸的坐标为，52一5_61则O&-6),

/.PD=t-6-\-r--z-6|=--r2+-r=--(/-3)2+-.

(42J4244

4

9

•・・"3时，PD有最大值是“此时加最大,

V29972

PMPD=----X-=------

nm当248

当f=3时，-r2--r-6=-x32--x3-6=--

42424

...PAY的最大值是述，此时的尸点坐标是卜,一弓｝

【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性

质等知识.掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键.

2.(1)a=2

(2)m=-73

⑶存在，G(0,-£1±1)

2

【分析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点〃的坐标，再代入抛物线6可得出结论;

第2页共84页

(2)根据题意可分别表达48的纵坐标，再根据二次函数的性质可求出力的值；

(3)过点。作x轴的垂线用V,分别过点户，G作x轴的平行线，与心，分别交于《，N,则4

PKQsXQNG,设出点〃的坐标，可表达点0和点。的坐标，从而可得出结论.

【详解】(1)解：由题意可知,抛物线£：'=-(％-加)2+2*(/«<0)的顶点尸的坐标为(加,2加),

点P在抛物线尸：)，=左上，

/.anf=2"『，

。=2.

(2)解：•直线％=，与抛物线E,尸分别交于点A,B,

222

yA=-(t-m)+2m=-r+2mt+w,yB=2户,

=-t2+2mt+，九2一2r

=-3/+2mt+“

1.4o

=-3(r一一tn)+一加,

33

Q-3<0,

i4

.•.当Z=彳0时，s的最大值为5川，

s的最大值为4,

・二§相~=4,解得加=±，3,

m<0,

m——5/3•

(3)解：存在，理由如下：

设点M的坐标为〃,则MS2/),

/.Q(2n—m,4n2-w2),

点。在x轴正半轴上，

...2〃一6>0且4/一相2=。，

x/2

/.n=-----m,

2

,m2),Q(-\!2m-m,0).

如图，过点。作x轴的垂线MV,分别过点P,G作x轴的平行线，与@分别交于K,N,

第3页共84页

ZPQG=90°,

:.NPQK+NGQN=90°,

NQPK=NGQN,

\PKQ^\QNG,

:.PK:QN=KQ:GN,gpPKGN=KQQN.

PK=—>/2ZM—m—m=—x/2m—2m>KQ=2m',GN=~\[2m—in,

-叵m-2m)(-\/2m-m)=2m2-QN

解得QM=+4

...G(0,-3拒+%.

2

【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似

三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，解题的关键是构造相似三角形得出方程进行求

解.

3.(或(0⑵

2

⑵①点〃坐标为0,;②存在，m=-

【分析】（1）根据题意易得N4次60°从而//妗30°和/如=60°,根据tan30。求得於

的长，再根据sin60°求得A9的长，当以=/〃和〃庐的时分情况讨论，即可得到切的长,

从而得到〃点坐标;

（2）①设点。的坐标为（0,a）,贝IQ〃=a,3百一a,易证AACLJsgOM,从而得出

第4页共84页

CDAC

而一而，代人即可得到而与a的函数关系，化为顶点式即可得出答案;

②作的y轴于点〃，得到4C〃如〃/Wx轴，易得N笠F=玛CD，瑞CH=芸OP,易证

EFDHDHEF

OHCD

ABE4且ABFO得出？1£=尸0,即7^7=^，设0£）=",贝1」DH=OC-CD-OH=2n-也,

DH7L）H7

通过证得^ACD^^DHF得出®=竺，代入即可得到n的值，进一步得到m的值.

CACD

【详解】（1）•••△/仍是等边三角形,

AZAOB=(50°，月叱30°，

•."CLy轴，点C的坐标为（0,丛）,

...妗百，

/.AC=OC-tan30°=6x^=l,

3

当△/勿是等腰三角形,OD-AD,NDAO=ND0=30°,

：.ZCDA=60°,

：.AD=-^-=-43,

sin6003

：.OD^AD=-y/3,

3

〃的坐标为(o,|6),

OC

当△/!勿是等腰三角形,此时二切时，OA=---------=2,

cos30°

：.OI>OA=2,

，点。坐标为（0,2）,

故答案为:或(0,2)；

（2）①解：设点〃的坐标为（0,a）,则⑺=a,CD=+一a,

：△/!仍是等边三角形,

/.ZAOB=ZOBA=ZBAO=60,

A^COA=90-ZAOB=90-60=30,

CA

在Rt卜A0C中,tan^COA=-^9

.・.CA=OCtanNCOA=6义B=\,

3

:.OA=2CA=2f

ADLDM,JZADC+ZODM=90,

第5页共84页

ZCAD+Z\DC=90,/.ZCAD=ZODM，

VZACD=ZDOM=90,

:.^CD^MX)M,

.CDAC6-a1

••一,UJ:---------二一，

OMDOma

.1A(⑹23

・・"/=-〃+73a=-a----+一,

I2J4

.•.当a=立时，)的最大值为

24

・•・/〃的最大值为(时，点〃坐标为I

②存在这样的加值，便BE=BF；

作RALp轴于点〃，

:.AC"PD"FH"x般,

“EF~DH'DH~EF9

BF=BE,

;"BEF=NBFE,

NBEA+NBEF=180，ZBFO+ZBFE=\^，

:./BEA=NBFO,

ZBAE=ZBOF=60,

，\BEA^\BFO(AAS),

第6页共84页

:.AE=FOf

.OHCD

9'~DH~~DH

：.CD=HO,

设OO=〃，则。"=0。-8-0/7=2〃-6，

HF=WOtan30=］（0一〃），

•:NCAD=NODM,NACD=NDHF=90,

：.^ACD^ADHF,

.HDHF

9'~CA~~CD9

：.2〃-上［回〃）,

1A/3-/?

解得：n=-73或〃=,

3

当〃=Ji时，点户与点力重合，不合题意，舍去,

2

二存在这样的而值，使,BE=BF.此时机=§.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数，全等三角形的判定和性质、相

似三角形的判定和性质以及二次函数的综合运用，解题的关键是得出二次函数的关系式，是

对知识的综合考查.

4.（1）y=-x2-2x+3；

⑵（0,0）或（0,—3）或（0,3-3正）或（0,3+3夜）；

⑶存在,P（-L3-7i7）,（2（-4,-烟或尸卜1,3+后）,Q（-4，M）或P（-l,l）,。（-2,2）或

P（-l,呵，Q（2,3+㈣或味1,-网，Q（2,3-炯

【分析】（1）将A（—3,0）,5（1,0）代入y=-/+法+。，求出b,c,即可得出答案；

（2）分别以点。为顶点、以点A为顶点、当以点C为顶点，计算即可；

（3）抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为直线尸—1,设尸（-1J）,。（加,“），求出AC?=18,

第7页共84页

AP2=t2+4,PC2=t2-6t+10,分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为

对角线.

【详解】⑴解：(1),••A(-3,0),3(1,0)两点在抛物线上,

.|O=-(-3)2-3Z?+C

•10=-l2+^+c

伍=-2

解得，〜,

[c=3

抛物线的解析式为：y=-/_2x+3；

(2)令x=0,y=3,

：.C(0,3),

由一AC。为等腰三角形，如图甲，

当以点。为顶点时，DA=DC,点。与原点。重合，

0(0,0)；

当以点A为顶点时，AC=AD,A。是等腰一A8中线，

,OC=OD,

：.0(0,-3)；

当以点C为顶点时，AC=CD=ylo^+OC2=A/32+32=3>/2

二点D的纵坐标为3-3夜或30+3，

第8页共84页

...综上所述，点D的坐标为（0,0）或（0,-3）或（0,3-3夜）或（0,3+3人）.

（3）存在，理由如下：

抛物线y=-f-2x+3的对称轴为：直线厂-1,

设产（-1,。,Q（m,n）,

VA（-3,0）,C（0,3）,

贝ijAC2=（-3y+32=18,

4尸=（一1+3）2+/=产+4,

PC-=（-l）2+（/-3）2=？-6r+10,

•.•以A、C、P,。为顶点的四边形是菱形，

.•.分三种情况：以A尸为对角线或以AC为对角线或以C尸为对角线，

当以转为对角线时，则CP=C4,如图1,

图I

:.产-6r+10=18,

解得：t=3±VF7,

6（-1,3-所）或鸟（-1,3+布）

•.•四边形ACPQ是菱形，

...AP与C。互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合,

当［卜1,3-初）时，

第9页共84页

.TH4-0-3—I〃+30+3-Jl7

>・----------------,----------------------

2222

解得：m=—4,n=—VL7，

.♦.Q4-4,一如)

当山一1,3+炳)时，

.m+0—3—1〃+30+3+y/17

••----------，---------------，

2222

解得：m—-4,n=Vr7,

A02(-4,717)

以AC为对角线时，则PC=AP,如图2,

，产―6，+10=1+4,

解得：t=l,

・・・祖叫，

•・,四边形APC。是菱形，

・・・AC与尸Q互相垂直平分，即AC与CQ中点重合,

.m-\-3+077+10+3

..----=------9，=,‘,

2222

解得：加=-2,力=2,

当以CP为对角线时，则AP=AC,如图3,

第10页共84页

图3

t2+4=18,

解得：t=±V14，

.•.舄（-1,婀闱-1,_旧），

•.•四边形ACQP是菱形，

AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，

.-3+m0-1〃+03±>/14

••-------------,---------------,

2222

解得：〃?=2,〃=3±JiW

.•.0（2,3+婀05（2,3-何，

综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为：网7,3-J万），。（-4,-炳）或4-1,3+，万），

°卜4,后）或P（-1,1）,0（一2,2）或「（一1,旧），Q（2,3+g）或网一1,-旧），2（2,3-714）

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、

坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关

键.

5.（l）y=--y+jr+3

4

1°3

（2）A=—犷+—勿（0VR<6）

42

（3）ni=1

（4）点。的坐标为（2,；）或（2,-1）或（2,4）

第11页共84页

【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；

(2)利用待定系数法可得直线成的解析式为y=-g广3,设点？的横坐标为如则Pim,

—nf,Ekm,-!帆3),即可得出h=—舟—m；

4242

(3)如图，过点氏尸分别作夕Hy轴于点〃，&轴于点G,可证得△608△陪得

出-—-...,可求得必—正'(—nf+—m),再由XCEISXCB0,可得--------,求得

PEBC542EHOB

CE=&m,结合CF=EF,可得EF=；CE=储,建立方程求解即可得出答案；

(4)设0(2,2)，分两种情况：①当点。’恰好落在该矩形对角线切所在的直线上时，②

当点。'恰好落在该矩形对角线缪上时，③当点。'恰好落在该矩形对角线加延长线上时，

分别求出点0的坐标即可.

【详解】(1)解：,抛物线y=a/+^c(aWO)与x轴交于4(-2,0),B(6,0)两点，

J4a-2+c=0

[36«+6+c=0

解得：

c=3

，抛物线的表达式为y=-v/+^3；

4

(2)解：•.•抛物线尸户3与7轴交于点G

4

・"(0,3),

设直线8c的解析式为尸★A4把夕(6,0)、C(0,3)代入,

62+。=0

得:

6=3

k=--

解得：2,

b=3

，直线区的解析式为尸-gx+3,

设点尸的横坐标为勿，则〃(勿，-1万'+研3),E(/7A；〃汁3),

4

[।[3

：•h=—犷+朋3-(-k研3)=—/+—m,

4242

・・,点户是第一象限内抛物线上的一个动点，

.*.0</77<6,

第12页共84页

:.h=—nf+—m(O</72<6)；

42

(3)解：如图，过点A厂分别作夕Ly轴于点"RLy轴于点G,

,:P（勿，一,滔加3）,£（加，-!/3）,

42

1,3

:・Pb=—炉+一加，

42

♦：PF1CE,

:./EP分/PEF=9G0,

・・•月上Lx轴，

：・NEB［）y/BED=9&,

又•：ZPEF=/BED,

:・/EPF=/EBD,

ZBOC=ZPFE=90°,

:./XBOCSAPFE,

.EF_PC

^~PE~~BC'

在欣△加C中，BC=SB'OC?=代+32=3石，

二EF=—XPE=-4=（--nf+-/n）石/1，3、

=—（——犷+—%）,

BC3V542542

•・•碘y轴，"JLx轴,

/.AEHO=£EDO=ZDOH=90°,

・・・四边形6!W是矩形,

：.EH=OD=m,

■:EHl/x蝴,

第13页共84页

.CE_BCmCE3N/5

EHOBm6

:.CE=Bm,

2

・・・CF=EF,

：.EF=^CE=—m,

24

/.^-m=—(-—

4542

解得：勿=0或加=1,

V0<z»<6,

/n=1；

(4)解：；抛物线/=-1/+户3,

4

1

抛物线对称轴为直线X=-U=2,

•.•点0在抛物线的对称轴上，

.♦.设0(2,力，设抛物线对称轴交x轴于点儿交炉边于点G,

贝ijG0=3-3CG=2,N3g90°,

①当点。'恰好落在该矩形对角线即所在的直线上时，如图，

则“垂直平分00',即CQX.OD,

:"CO抖4OCQ=9Q°,

又..•四边形0。力是矩形，

勿=4,0c=3,N0CP=9G,

，N/WNa?0=90°,

：.APCQ=ACOP,

第14页共84页

CP4

/.tanZPCQ=tanZCOP=,

GO4

---=tanPCQ——,

CG3

.3-t_4

••，

23

解得：

••Q(2,—)；

②当点O'恰好落在该矩形对角线切上时，如图，连接口交"于点《

・・•点。与点"关于直线8对称，

・・・&垂直平分例'，

，/0CQ=/DCQ,

•・•GH//oa

：・/CQG=/OCQ,

：.ADCQ=ZCQG,

：.CK=KQ,

•：C、〃关于对称轴对称，即点G是b的中点，GH//OC//PD,

・・.点4是切的中点，

:,K(2,1),

2

GK=­,

2

/.CK=KQ=--t,

2

在应△函中，cd+GH=cK,

解得：力=1(舍去)，然=-L

第15页共84页

，0(2,-1)；

③当点。'恰好落在该矩形对角线加延长线上时，如图，过点。'作0'也y轴于点4,连

接00'交。于点机

；点0与点、0'关于直线8对称，

垂直平分。。，

...N0CQN0'CM,/0MC=N0'比=90°,O'C=0C=3,

"：AO'KC=ND0C=9Q°,CK=NDC0,

,△O'CKs△DCO,

.OKCKCOmOKCK_3

ODCOCD435

129

AffK=—,CK=%,

924

：.0K=0C+CK=3-=—,

55

争，

,:悬M是00’的中点，

：.M(-1,y),

设直线S的解析式为x+b',

-^k'+b'=—

则《55.

b'=3

女,=1

解得：，2,

。'=3

，直线8的解析式为y=3户3,

当x=2时;y=gx2+3=4,

第16页共84页

・・・。（2,4）；

综上所述，点0的坐标为（2,g）或（2,-1）或（2,4）.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，矩形的

性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称性质等知识，解题的关

键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.

6.（1）y=x2-2x

⑵网-1,3）

（3）0＜帆4,或加23

2

313

（4）机=-［或m或加=；.

o22

【分析】（1）将点（2,0）代入y=待定系数法求解析式即可求解；

（2）设3（见病-2向，根据对称性可得C（2-m,*-2〃?），根据BC=4,即可求解;

（3）根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形尸QMN点。在x轴上时，此时〃与。点

重合，当PO经过抛物线的对称轴x=l时，进而观察图像即可求解；

（4）根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解.

【详解】（1）解：•••抛物线），=/-版（8是常数）经过点（2,0）

，4-2/?=0

解得6=2

y=x2-2x

（2）如图，

第17页共84页

由y=/_2彳=(1)2_]

则对称轴为直线x=l,

设-2/77),则C(2-m,m2-2m\

BC=2-—4

解得m=-1

(3)点力在抛物线上，且点力的横坐标为〃/(〃件0).以点力为中心，构造正方形PQMN,

PQ=2|，"|,且PQ_Lx轴

.-.MN=PQ=2\^,且M,N在y轴上，如图，

①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形PQMN点。

在x轴上时，此时M与。点重合，

PN=PQ

的解析式为y=x

第18页共84页

/.A[m,ni),将A(m,w)RAj=x2-2x

即rrV-Im—m=0

解得吗=0,网=3

m>0

.・.A(3,3)

观察图形可知，当，”23时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；

②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当PQ经过抛物线的对称轴

x=l时，

MQ=PQ=2帆,>0

2m=1

解得瓶=；，

观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随X的增大而增大;

综上