安徽省池州市普通高中2024届高三教学质量统一监测数学试题（含答案与解析）

绝密★启用前

2024年池州市普通高中高三教学质量统一监测

数学

满分：150分考试时间：120分钟

注意事项：

1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

4+3i

z一

1.若复数1+为，则z的实部为（）

A.1B.-lC.2D.-2

2.已知向量。力满足|〃|=1,|Z?|=2,|〃+6|二百，则。与的夹角为（)

兀兀5兀2兀

A.-B.-C.——D.——

3263

已知sin£+cos尸=g,〃£(0,兀)，则tan()

3.

11

A.7B.-7C.-D.——

77

4.对于数列{。“},若点（〃,4）都在函数丁=。。’的图象上，其中q>0且qwl,贝/'彳〉1”是“{4}为递

增数列，，的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C,必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.已知圆锥的底面半径为3,其内切球表面积为12兀，则该圆锥的侧面积为（）

A.9扃B.18兀C.18氐D.27兀

6.甲乙两人分别从风仇c,d,e五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有

（）

A.30种B.60种C.45种D.90种

7.己知实数九,丁满足加/+2/=4（加〉0）,若|x+2y|的最大值为4,则机=（）

AV3R100n_L

3322

8.已知圆+y2=4和两点人（一加,0）,3（加,0）（机＞o）,p为圆。所在平面内的动点，记以E4为直径

的圆为圆M,以PB为直径的圆为圆N,则下列说法一定正确的是（）

A若圆加与圆。内切，则圆N与圆。内切

B.若圆加与圆。外切，则圆N与圆。外切

C.若m=l,且圆M与圆。内切，则点尸轨迹为椭圆

D.若机=3,且圆加与圆。外切，则点尸的轨迹为双曲线

二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.在去年某校高二年级“校长杯”足球比赛中，甲乙两班每场比赛平均进球数、失球数及所有场次比赛进球

个数、失球个数标准差如下表：

进球个数平均数失球个数平均数进球个数标准差失球个数标准差

甲班2.31.50.51.1

乙班1.42.11.20.4

下列说法正确的是（）

A.甲班在防守中比乙班稳定

B.乙班总体实力优于甲班

C.乙班很少不失球

D.乙班进攻中有时表现很好有时表现较差

10.已知函数/（x）=cos2x—百sin2x,则（）

A."%）的图象关于点［-对称

B.””在区间（0,2兀）内有2个极大值点

D.将函数/(尤)的图象向左平移三个单位，所得图象关于直线x=兀对称

11.已知函数〃尤)的定义域为R,”％+1)是奇函数，且X/xeR,恒有"“x))=x,当xe[a,l]时(其

中/(%)=aloga(%+Z?).^/(0)+fRj=1,则下列说法正确的是()

A.7(%)图象关于点(1,0)对称

B.7(%)图象关于点(0,1)对称

C.4a+Z?=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4=卜62||尤|<2},3={%|(2尤+l)(x-3)<0},则AB=.

13.造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世

纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折

法.如图，在一张矩形纸片上取一点P,记矩形一边所在直线为/,将点P折叠到/上(即尸')，不断重复

这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线

C：f=4y的所有包络线中，恰好过点4(2,1)的包络线所在的直线方程为.

14.如图，在各棱长均相等的正三棱柱444-A4AA中，给定依次排列的6个相互平行的平面

使得4e%(，=1,2,,,6),且每相邻的两个平面间的距离都为1.若

22cAA=尸,4尸=42&，则4=,该正三棱柱的体积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再

参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为

0.5,0.6,0.8,且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题：

(1)求该小组学生甲参加考试次数X的分布列及数学期望E(X)；

(2)规定：在2次以内测试通过(包含2次)获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组

3位学生中获得优秀证书的人数为y,求使得P(K=k)取最大值时的整数入

r»-I

16.记S.为数列｛4｝的前九项的和，已知一^=4+丁一吗=2.

n2

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵令bn=2F,求b®-b2b3++(―1)”儿「

17.如图，在三棱锥P—ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PB=PC=3近,24=3夕，点

石分别在棱AB,AC上，DE=2,且三棱锥P—ADE的体积为走.

(1)求AD+AE的值;

(2)若点“满足尸〃=2跖4，求直线CM与平面"DE所成角的余弦值.

18.已知双曲线C:5-1=1(°>0,6>0)的右焦点网2,0),离心率为半，过尸的直线乙交C于点

A3两点，过歹与4垂直的直线4交C于。,E两点.

7T

(1)当直线4的倾斜角为一时，求由4瓦。,后四点围成的四边形的面积；

4

(2)直线/：%=冲+3分别交I1/于点若以为AB的中点，证明：N为OE的中点.

19.已知集合服是满足下列性质的函数/(%)的全体：存在实数丁，对任意的XGR,有

f(x+T)+f(x-T)=Tf(x).

(1)试问函数/(X)=*否属于集合M?并说明理由;

(2)若函数/(x)=x—sinGxwM,求正数。的取值集合;

⑶若函数证明：公血坛一后疯母W1.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

4+3i

z二----

1.若复数1+万，贝ijz的实部为()

A.1B.-lC.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】将复数z的分子分母同乘以分母的共朝复数，化简整理即得.

4+3i_(4+3iXl-2i)石&=2-i,可得z的实部为2.

【详解】由

2=l+2i-(l+2i)(l-2i)

故选：C.

2.已知向量a1满足|a|=l,|A|=2.|a+切=6,则。与匕的夹角为()

【答案】D

【解析】

【分析】利用平面向量数量积的运算求向量的夹角.

【详解】因卜+4=Gn（a+bI=3=3

nl+2xlx2xcosa,Z?+4=3ncos(a,6)=-/[=《心=2茎兀

故选：D

3.已知sin尸+cos〃=g,〃e(0,7i),则

tan/?+；=()

11

A.7B.-7C.一D.——

77

【答案】D

【解析】

1

【分析】由sin/7+cos/=y可求tan/?,再由两角和的正切可求tan]/?+]J.

5

【详解】因为sin/+cos/e(0,7i),故sin?/+cos?/+2sin/cos/=*

24/、

故2sin/cos〃=一行<0,而尸£（0,兀），故/，兀)，故sin/?>0,cos/?<0,

49743

而(sin〃-cos〃)9,故sin〃—cos〃=g，所以sin/?=《,cos/?=一弓,

+1

4万兀4

故tan/?=――,故tan[/?+1J=

7

31-xl

故选：D.

4.对于数列{4},若点5,4）都在函数了=叩'的图象上，其中4>0且qwl,贝『”>1”是“{4}为递

增数列，，的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用等比数列的性质，结合指数函数的性质和充分必要条件的判断求解.

【详解】因为（八在函数y的图象上，所以a“=cq"=cqqn-1

即｛%｝是以，为首项，q为公比的等比数列.

若q°〉l,且q＞0,则可能的情况由两种:

（1）0＜q＜l则c＜0,所以等比数列｛%）首项为负，公比0＜彳＜1,所以等比数列｛%｝单调递增;

（2）4＞1则c＞0,所以等比数列｛4｝首项为正，公比4＞1,所以等比数列｛。“｝单调递增.

所以“必＞1”是“｛%｝为递增数列”的充分条件.

若｛?｝为递增数列，为+1-%=为（〃-1）＞。，又＜?＞。且qwl,

Q<q<lq>l

所以：＜或V

4<0an>0

Q<q<l0<^<1

由＜n<n矿>1；

q<0。<0"

q>\q>\

由＜=><n9,>1；

k>0c>0”

所以“必〉1”是“｛4｝为递增数列”的必要条件.

故选：A

5.已知圆锥的底面半径为3,其内切球表面积为12兀，则该圆锥的侧面积为（）

A.9后B.18兀C.18岛D.2771

【答案】B

【解析】

【分析】先利用题给条件求得圆锥的母线长，再利用公式即可求得该圆锥的侧面积.

【详解】球表面积为12兀，则该球半径为G，

设圆锥的高为心则圆锥的母线长为后寿,

则此圆锥的轴截面面积为

lx6A=-x+2^+h~),解之得人=36,

22

则该圆锥的侧面积为3兀=18兀

故选：B

6.甲乙两人分别从a,"c,d,e五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有

（）

A.30种B.60种C.45种D.90种

【答案】B

【解析】

【分析】利用先选后排可得不同的选法数.

【详解】两人恰好有两项科目相同的选法为C：A；=60.

故选：B.

7.已知实数九,V满足以2+2/=火根〉o）,若|x+2y|的最大值为4,贝明=（）

、61V2

Bc

332

【答案】D

【解析】

【分析】利用题给条件构造关于机的方程，解之即可求得加的值.

【详解】令》+2'=心则『＜16，则m＞0时,

x+2y=t

整理得(4nz+2)y2-4mty+mt2-4=0,

mx1+2y2=4

则A=—4(4/71+2)(jnt2—4)20,

整理得『〈生幽，则士艺竺=16,解之得加=

m

故选：D

8.已知圆O:£+V=4和两点A（-m,0）（加＞0）,P为圆。所在平面内的动点，记以E4为直径

的圆为圆M,以为直径的圆为圆N,则下列说法一定正确的是（）

A.若圆M与圆。内切，则圆N与圆。内切

B.若圆M与圆。外切，则圆N与圆。外切

C.若加=1,且圆加与圆。内切，则点尸的轨迹为椭圆

D.若机=3,且圆M与圆。外切，则点P的轨迹为双曲线

【答案】C

【解析】

【分析】先证明当加>2时，若PB—B4=T,则圆/与圆。内切，圆N与圆。外切；若P5—必=4，

则圆M与圆。外切，圆N与圆。内切，从而A和B错误；然后当〃?=1时，将条件变为1%+网=4,从

而根据椭圆定义知点P的轨迹为椭圆，C正确；当机=3时，将条件变为？B-B4=4,从而根据双曲线定

义知点尸的轨迹为双曲线的左支，D错误.

【详解】我们分别记的中点为",N,显然。是A5的中点，故ON=-PA.

当0<m<2时，在圆。内，此时，圆Af和圆N不可能与圆0外切，而圆A/与圆。内切等价于

OM=2-PM,

即工。3=2—即以+F3=4，同理，圆与圆。内切也等价于m+?B=4；

22

当相>2时，A3在圆。外，故“圆M与圆。内切”和“圆M与圆。外切”分别等价于。0=9—2

和。W=PM+2,

即工=—2和一PB=—P4+2,即PB—B4=T■和PB-PA=4.

2222

所以，此时“圆加与圆。内切”和“圆加与圆。外切”分别等价于P5—八4=7和/>5—24=4，同

理，“圆N与圆。内切”和“圆N与圆。外切”分别等价于QB—m=4和P5—P4=T.

下面考虑四个选项（我们没有考虑加=2的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有选项的正确

性）：

由于当口>2时，若PB—PA=4则圆M与圆。内切，圆N与圆。外切；

若？B—八4=4,则圆M与圆。外切，圆N与圆。内切

这分别构成A选项和B选项的反例，故A和B错误；

若加=1,则0（加<2,此时“圆加与圆。内切”和“圆N与圆。内切”都等价于外+?3=4,

22

而根据椭圆定义，/%+?6=4对应的轨迹即为土+乙=1，C正确；

43

若机=3,则加>2,此时“圆M与圆。外切”等价于PB—/>A=4,

22

而根据双曲线定义，QB—B4=4对应的轨迹为乙=l（x<0）,

45V7

仅仅是双曲线的半支，D错误.

故选：C.

二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在去年某校高二年级“校长杯”足球比赛中，甲乙两班每场比赛平均进球数、失球数及所有场次比赛进球

个数、失球个数的标准差如下表：

进球个数平均数失球个数平均数进球个数标准差失球个数标准差

甲班2.31.50.51.1

乙班1.42.11.20.4

下列说法正确的是（）

A.甲班在防守中比乙班稳定

B.乙班总体实力优于甲班

C.乙班很少不失球

D.乙班在进攻中有时表现很好有时表现较差

【答案】CD

【解析】

【分析】由平均数及标准差的大小关系逐一判断各选项.

【详解】由失球个数的标准差可得A错误；

由进球个数和失球个数的平均数可得B错误；

由失球个数的标准差可知C正确；

由进球个数的标准差可知D正确.

故选：CD

10.已知函数〃尤）=cos2尤一6sin2尤，则（）

A."%）的图象关于点［吟0卜称

B."%）在区间（0,2兀）内有2个极大值点

D.将函数7（%）图象向左平移冷个单位，所得图象关于直线兀对称

【答案】BCD

【解析】

【分析】先用辅助角公式把函数化成/(X)=ACOS(CM+0)的形式，再结合函数〃x)=Acos3x+0的

图象和性质进行判断.

【详解】因为/(x)=cos2x—gsin2x=2cos^2x+j^.

因为了2cos0=2,所以X=-9是〃％)的一条对称轴，故A错误;

6

7T71

由/(x)=2cos[2x+(=2n2%+—=2kn,kwZnx=kit——,k$Z,

36

所以x可能为：-巳，g,等，—,等等，在(。,2兀)内只有两个极大值点g和等，故B正确;

又y=cosx在(0㈤上单调递减，所以

故C正确;

把〃龙)的图象向左平移;个单位，可得y=2cos2%+|+|=2cos(2x+兀)=-2cos2x,

当了=兀时，y=-2cos2兀=-2为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故D正确.

故选：BCD

11.已知函数〃九)的定义域为R,〃x+l)是奇函数，且X/xeR,恒有〃〃X))=X,当为目区1］时(其

中。/(x)=aloga(x+3•若“0)+/5)=:，则下列说法正确的是()

A〃力图象关于点(1,0)对称

B.7(%)图象关于点(0,1)对称

C.4a+Z?=l

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据/(X+1)是奇函数判断A项正确；由/(1)=0代入可得6=0,又由〃/(x))=x推导出

丁=/("图象关于直线丁=%对称，从而判断B项；利用题设条件得到分类讨论。的取值情

况求出。的值，从而判断C项；利用选项C的结论，求得了否定D项.

【详解】对于A项，由/(％+1)是奇函数得了(—x+l)+/(x+l)=0,

所以函数〃%)关于点(1,0)对称，故A项正确；

对于B项，由函数“X)的定义域为R,且“X)关于点(1,0)对称，则/(1)=0,

所以/(l)=alog“(1+》)=0,因0<°<1,故解得6=0.

由〃/(x))=x得点在函数y=/(%)图象上，

又点(%,/(%))在函数y=/(九)图象上，

所以函数y=/(x)图象关于直线丁=%对称.

又由了(%)关于点(1,0)对称，可得"%)关于(0,1)对称，故B项正确；

对于C项，由函数/(%)关于点(0,1)对称得”0)=1,

由函数八%)关于点(1,0)对称得=

73

故由/(0)+/

①当0<a«!时，-e[tz,l],所以==!,(-)°=,

44⑷44v4

1_

因g(%)-户”(0,；］是增函数，又=0,故得a=；；

②当a〉；时，由函数/（%）关于直线y=x对称可知函数/（%）在（0,1）内单减,

所以又==；，所以a<；,

这与题设。〉工矛盾，舍去.所以。=工，又5=0,即4a+0=l,故C项正确；

44

1

对于D项，由上分析，当xeJ/时，/（^）=7ogiX="|log2x,

4J48

显然由函数"%）关于丁=%对称，可知/、）=；，

由/（X）关于点（0,1）对称得了故D项错误.

故选：ABC.

【点睛】思路点睛：本题解题思路在于利用函数奇偶性及相关条件推断出函数具备的轴对称和中心对称的

特征，再利用对称性推断结论，得到相关点的函数值，确定参数值，得到函数的解析式，再利用函数对称

性求出相应函数值.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知集合4={尤62卜区2},3={玳2尤+1）（尤—3）<0},则AB=.

【答案】{0,1,2}

【解析】

【分析】求出集合A3后可得AC8.

【详解】A={-2,-2,0,l,2},B={x|-1<x<3},故AB={0,1,2}.

故答案为:{0,1,2）.

13.造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世

纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折

法.如图，在一张矩形纸片上取一点P,记矩形一边所在直线为/,将点P折叠到/上（即尸,），不断重复

这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线

C：f=4y的所有包络线中，恰好过点A（2,l）的包络线所在的直线方程为.

【答案】X-y—1=0

【解析】

【分析】根据给定条件，设出所求直线方程，与抛物线方程联立，结合判别式求解即得.

【详解】依题意，抛物线。：好=4'的每条包络线与该抛物线相切，

显然过点4(2,1)的包络线所在的直线斜率存在，设方程为y-1=左(x-2),

[y-1=k{x-T)

由《9消去丁并整理得：X?—4Ax+8左—4=0，

卜=4y

则A=16严—32/+16=0,解得％=1，

所以所求直线方程为％—y-1=0.

故答案为：x-y-l=0

14.如图，在各棱长均相等的正三棱柱A4A-A4A4中，给定依次排列的6个相互平行的平面

，使得4e%(i=l,2,-,6),且每相邻的两个平面间的距离都为1.若

a,cAA=尸,A尸=，则4=，该正三棱柱的体积为.

【解析】

【分析】先根据平行平面的性质可得P为AA的中点，同理可确定应与棱44的交点为棱44的中点，

从而可根据平行的性质得到各平面的分布，结合距离为1可求棱长，故可求体积.

【详解】由题设，过点a作平面与44交于点尸，且4,4到平面的距离相等,

故尸为AA的中点，故九=1,

由正三棱柱的对称性，不妨设a2与A4交于点B,

而平面%〃%,故«5与棱AA,的交点为棱A4,的中点，

因为％〃%,则%与平面4444的交线与平行，且与棱AA有交点，

故过4,A,4,A的平面分布如图所示.

因为％%,%，%，%，。6的距离均为1，故B为A4的三等分点，且ABugaAt.

设该正三棱柱的底面边长为“，则AC=g，48=3,则5C=巫a

236

由正三棱柱可得4尸，平面4444,过点A作族的垂线，垂足为。，

因为平面44AA4，A。u平面4444,故

而A£)_L5尸，BPA1P=P,BP，4Pu平面B4P,故4。！.平面

aa

23

故4。为四,%之间的距离，故

713=1,

---a

6

,所以体积为手=

所以a=y/13

故答案为：1,身叵

4

4

【点睛】关键点点睛：立体几何中与平面有关的计算问题，注意根据过关键点的平面的位置关系确定其他

平面的位置关系.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再

参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为

0.5,0.6,0.8,且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题:

（1）求该小组学生甲参加考试次数X的分布列及数学期望E（X）；

（2）规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组

3位学生中获得优秀证书的人数为Y,求使得P（K=k）取最大值时的整数入

【答案】（1）分布列见解析，E（X）=1.7

(2)3

【解析】

【分析】（1）确定X的可能值，利用独立事件的概率公式计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望;

53,g

（2）确定y所有可能取的值为0』,2,3,得出y,利用二项公布的概率公式计算出各概率后可

P（Y=k）

得，也可以解不等式,<>1得出结论.

=k-i）

【小问1详解】

由题意知，X所有可能取的值为1,2,3,

P(X=1)=0.5,P(X=2)=(1-0.5)x0.6=0.3,P(X=3)=(1-0.5)x(l-0.6)=0.2,

X的分布列如下:

X123

P0.50.30.2

.•.E(X)=lxO.5+2xO.3+3xO.2=1.7；

【小问2详解】

4

由题意知，每位学生获得优秀证书的概率P=P(X=1)+P(X=2)=0.5+0.3=0.8=1，

方法一：

y所有可能取的值为0』,2,3,且yB|3,1

p(y=0)=C°

p(y=l)=C；

p(y=2)=c；

p(y=3)=C；

P(Y=0)<P(Y=1)<P(Y=2)<P(Y=3),

所以使得P(F=%)取得最大值时，整数化的值为3.

方法二：

由yB(3,|

得==，左=0,1,2,3,

4(4/44

k33

所以p(F=3)>p(y=2)>p(y=i)>p(y=i),

所以使得P(F=外取得最大值时，整数化的值为3.

Q1

16.记S“为数列｛4｝的前〃项的和，已知字=%,+膏1吗=2.

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵令么=2~”,求帅-帅++(T)"+也％.

【答案】⑴4=〃+1

【解析】

【分析】(1)先利用数列通项与前〃项和的关系判定数列｛4｝是等差数列，进而求得其通项公式;

(2)先利用(1)的结论，求得数列｛(-I)"%/"1｝是等比数列，进而求得其前w项和.

【小问1详解】

二当2时，2s“t=25-4)a“T

则有：20-邑T)=2W“-2(〃T%+2(1-n)

化简得4—a,t=l(n>2)

又，4=2:.｛%｝是以2为首项，1为公差的等差数列,4="+1

的通项公式为％,="+1

【小问2详解】

a

由(1)知：bn=^"=2一"

(―1)"乜也+-%=1

,)〜〜+1__〜+]_____

(-1)他也一而一Z

｛(-1)"+1勿2+1｝是以g为首项，-;为公比的等比数列

又.b\b2=g-

17.如图，在三棱锥尸—ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PB=PC=3e，PA=3不，点、

(1)求AD+AE的值;

(2)若点“满足pw=2MA，求直线CM与平面所成角的余弦值.

【答案】(1)4(2)晅

4

【解析】

【分析】(1)作出辅助线，由线线垂直得到线面垂直，得到PH为三棱锥P-ADE的高，由余弦定理得

到角，进而得到边长，根据三棱锥体积得到三角形面积，结合三角形面积公式求出AZ>AE=4,由余弦

定理求出AD+AE=4；

(2)证明出面面平行，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的正弦公

式求出线面角的正弦值，进而得到余弦值.

【小问1详解】

如图所示，取中点。，连接尸。,4。，

ABC是边长为6的正三角形，。为中点，

.-.OB=OC=3,且

又PB=PC=3叵,

PO1BC,

又，AOPO=O,AO,POu平面APO,

/.3cl平面POL,

过点尸作/WLAO,点”为垂足,

u平面POA,

:.BC±PH,

又AOBC=O,AO,BC^ABC,

.•.W，平面ABC,

；•PH为三棱锥P—ADE的高，

PA=3^,AO=yjAC2-OC2=3y/3,PO=^PC2-OC2=3'

尸O+A。?—尸々32+（3石）2_（3夕）2_g

在，POL中,cos/POA=

2poAO2x3x30-2

ZPOA=-n,

6

571

ZPOH=71——71=—,

66

：・。”当印4,

又Yp_ADE=gADE，PH=当，:.SADE=6

:.-ADAE-sin-=j3,

23

.-.AD-AE=4®,

JT

又,.在VADE中，/DAE=-,DE=2,

3

•••由余弦定理DE1=AD2+AE2-2AD-AEcos^DAE得，

（AD+AE）2-3AD-AE=4@,

由①②得AD+AE=4；

【小问2详解】

过。作。。PH，以。为坐标原点，分别以直线OCQAOQ为x，y，z轴建立空间直角坐标系,

则3（-3,0,0）,。（3,0,0）,尸0,-^-,-,A（0,3A/3,0）,

I22J’

且CM=CP+PM=CP+aP4=-3,^-,-,取CM的方向向量a=卜6,36,1}.

3I22J

由（1）知AD=AE=2,

:.BD=2DA,CE=2EA,

DEBC,

又・。£0平面。8。,8。匚平面「5。，

:.DE"平面尸5C,

又•.PM=2MA-

：,MEPC,同理可证ME平面P5C,

又・MEcDE=E,

平面平面「5C,

所以直线CM与平面所成的角等于直线CM与平面P5C所成的角，且记为0,

n-BC=6x=0

设平面尸5c的法向量）=（x,y,z）,贝川363，

n-OP=-------y+—z=0

I22

解得x=0,令y=L则z=6,

故"=倒」6),

MT1(-6,3A1)-(O,1^3)1^

sm〃=cosa,n\=',二,——.----1=----=——

11\a\-\n\736+27+1x71+32x84

cos6=Jl-sin.e=，

所以直线CM与平面MDE所成角的余弦值叵

4

18.己知双曲线C:5-/Mim〉。/〉。）的右焦点尸（2,0）,离心率为半，过尸的直线4交C于点

A3两点，过歹与4垂直的直线4交。于D,E两点.

7T―

（1）当直线4的倾斜角为一时，求由4氏。,E四点围成的四边形的面积；

4

（2）直线/：%=阳+3分别交I1%于点〃，N,若M为AB的中点，证明：N为。石的中点.

【答案】（1）6（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求得双曲线的标准方程，再求得|人到,|£。|的长，进而求得由A5。,E四点围成的四边形

的面积；

（2）利用设而不求的方法结合同一法即可证得N为OE的中点.

【小问1详解】

由题意知g=2A/?,0=2...a=y/3,b2=c1—a1=4—3=1>

a3

2

所以。的方程为土r—V=1

3

直线4的倾斜角为个，过点F（2,0）直线的方程为y=x-2

设人（%,%）,5（%2，%），联立,3，2=1，

y=x-2

xt+x2-6

得2%2—12%+15=0<15

石无2=—

/.\AB\=Jl+B?|xt-x2|=母,,(%i+々)2—4%1%2=

k与4互相垂直•.・，2的倾斜角为彳.•・由对称性可知\ED\=\AB\=2V3

设的方程分别为y=一2）,丁=左2（%—2）由/1」2互

相垂直可得左£=T①

y=^(x-2)3-2kjn

联立《[x=J+3得②

y=k(x-2)

联立《i

x2-3y2=3

/\/\—]2k2

整理得(1—342)/+12k；X—3(44+1)=0,.•./+

用是AB的中点,与二菁：*2=③

乙i3K]

1④

由②③得三都二三'即加4f

y=k(x-2)3—2km

同理联立＜2?

x=my+3“⑤

由①④⑤得

6k「6k20—k；)_6k「6k?+6k；《

6k26k2—6片

2左；)A—2左：左;

2Al—34(1—2l34+3&3k2+kx3kL1—3

k2

联立

x—3y=3

2

得（/1—3抬\卜2+12抬x—3（/4%+1\）=0,X。+%E=—]2k

—6k2

取OE中点N',所以如I-；2⑦

13k2

由⑥⑦得M与N重合，即N是OE中点.

方法二：由题意可知4的斜率存在且不为。，设心4的方程分别为x=:y+2,x=/2y+2

由，1」2互相垂直可得秘2=-1

设A,3的坐标分别为（％,%）,（%2，%）

x=ty+2

联立《r

x2-3y2=39

得—3）/+44y+]=0,又彳_3w0.,.%+%=

X+%24

M是AB的中点丁”=一~一=3"

=,6’62。、

一%+2=―,..M

j—4、3一片3-彳,

,6,2为、

整理可得的D£中点N'

^3—t23_g,

又.・直线/：%=爪、+3恒过定点8（3,0）,

31_3-263-3.2tl2M—3+3_3/；）_

3—3f；-13fj—13—（3T；）（3f；—1）

,-.HMHN'三点共线

所以。E的中点N'在/上，又。E上的点N在/上

所以N'与N重合，即N是。£中点

方法三：由题意可知4,4的斜率存在且不为0,设4，/2的方程分别为丁=匕（工—2）,丁=左2（%—2）

由4,4互相垂直可得匕%=T①

分得M^-2kmk]、

[k}

联立，所以%OM——1—②

x=my+3l-kxm,1-k^m>3-2kxm

2

%2

y-

一-

31

设AB的坐标分别为（石,%）,（%,必），代入。得＜2

%2

y-

一-

32

（22、

两式相减得-r—；—（＞；一＞；）=。,

X+%y.—y11_

变形为人上—19二.’即心乂,左=1③