2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（一）试卷及答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试试题

数学（一）

本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

L答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8,5,7,5,8,

6,8,则这组数据的众数和中位数分别为

A.5,7B.6,7

C.8,5D.8,7

2.二次函数y=a*（a#0）的图象为抛物线，其准线方程为

3.设等差数列｛%｝的前九项和S,,若$3=9,$6=36,则七十恁十劭=

A.18B.27

C.45D.63

4.某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安

排两人，则安排方法数为

A.30B.60

C.120D.180

5.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长

与短半轴长的乘积.如图，为椭圆E：[+[=l（a>0,6>0）的左、右焦点，中心

ab

为原点，椭圆E的面积为畲江，直线丁=4上一点P满足是等腰三角形，且

NBF2P=120°,则E的离心率为

数学（一）第1页（共4页）

6.在等边△ABC中，已知点D,E满足而=4比,蕊=云瓦BD与CE交于点0,则花在

衣上的投影向量为

A.|-ACB.^ACC.jACD.-AC

7.函数/(丁)=2彳-2+ln_r,若/(W+/(4)=0,则3〃z+=的最小值为

x\n/n

A.2展B.4C.2#D.1

&正三棱柱ABC—AiBiG中，AB=2,AAI=B，O为BC的中点，M为棱小3上的动

点，N为棱AM上的动点，且皆=黑，则线段MN长度的取值范围为

A.1学,B.Jg,乎]cjg,乎]D.[73,76]

—<4：」'-LiI

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知复数劭满足i3z°=/^，则

1—21

A.z。的实部为总

B.z。的虚部为《

0

C.满足：人|《|劭|的复数2对应的点所在区域的面积为7T

D.z0对应的向量与工轴正方向所在向量夹角的正切值为:

10.在△ABC中，内角人,_8,。所对的边分别为。，6,0,其中6=3,且6(esinA-cosC)=

(c-a)cosB,若AC边上的中点为M,则

A.B=^B.S.ABC的最大值为学

C.a+6+c的最小值为3+2西D.BM的最小值为名

11.在平面直角坐标系X。)中，圆C：/2+y2=i,点p为直线乙7一2=0上的动点，则

A.圆C上有且仅有两个点到直线/的距离为;

B.已知点M(3,2),圆C上的动点N,则|PM|十|PN|的最小值为07—1

C.过点P作圆C的一条切线，切点为Q,NOPQ可以为60°

D.过点P作圆。的两条切线，切点为M,N,则直线MN恒过定点(；，一；)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合人={l[0<]<2},B={尤|久2<1},则AHB=.

13.若函数/(久)=sin(皿Tg)在区间内没有零点，则正数s的取值范围是.

14.若函数/(x)=(x2—2JS)(x2+ax+b)的图象关于x=—2对称，则a+b=,

/(彳)的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

i

已知函数f(x}=^-\-ax-\-bx-\-c在z及JC=1处取得极值.

(1)求a,6的值；

(2)若方程f⑺二0有三个不同的实根，求c的取值范围.

16.(本小题满分15分)

某学校组织一项竞赛，在初赛中有两轮答题:第一轮从A类的三个问题中随机选两题

作答，每答对一题得20分,答错得0分;第二轮从B类的分值分别为20,30,40的3个问

题中随机选两题作答，每答对一题得满分，答错得0分.若两轮总积分不低于90分，则晋

级复赛.甲、乙同时参赛，在A类的三个问题中，甲每个问题答对的概率均为乙只能答

对两个问题；在B类的3个分值分别为20,30,40的问题中，甲答对的概率分别为1,1,

1Q11

吉，乙答对的概率分别为nq.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.设甲、乙在第一

轮的得分分别为x,y.

(1)分别求x,丫的概率分布列；

(2)分别计算甲、乙晋级复赛的概率，并请说明谁更容易晋级复赛？

17.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，点Q为PD的中点，PAJ_底面ABCD,平面PAB,平

面PBC,AB=BC=2,PA=4.,BD=245.

(1)证明：

(2)若求直线CQ与平面PBC所成角的正弦值.

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18.（本小题满分17分）

已知双曲线C：（一《=1的左、右焦点分别为K，B，点P在C的右支上.。为原点，

36

且PO±PF2,\PO\=河

（1）若点E为PFz的中点，求OE的长度；

（2）过K作直线/与C的右支交于两点，当△ABO的面积为6历时，求直线I

的方程.

19.（本小题满分17分）

数歹I」A”：,“2,…，a”（">4）满足：“1=1,a*=M,a归+1—a%=0或1

（左=1,2,…—1）.对任意3）,都存在§,，，使得a2+a,=a、+Q1,其中t,j,s,tC

{1,2,…，/z}且两两不相等.

（1）若加=2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1,1,1,2,2,2；

②1,1,1,1,2,2,2,2；③1,1,1,1,1,2,2,2,2,2；

（2）记5="1+O2+—+。〃，若机=3,求S的最小值；

（3）若m=l000,求n的最小值.

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参考答案及解析数学（一）

2024年普通高等学校招生全国统一考试试题

数学（一）参考答案及解析

一、选择题6.C【解析】过。作。F〃CE交AB于F,由平行线的

1.D【解析】数据由小到大排列为5,5,6,7,8,8,8,因"色，曰AF_AD_'BO_BE_5_

性质侍,而=觉=4.丽=际=豆'所以B°=

此，这组数据的众数为8,中位数为7.故选D.

IBD,AO=AB+BO=AB+IBD=AB+1.

2.C【解析】将y=（&片0）,化为抛物线的标准方

程/=-^-y当a＞0时，2/=工，得到p=公一翁卜春就+告公，所以而在最：上的

aa

；，由抛物线的准线方程为，=19当。＜0

La

N4a投影向量为

IAC「

时，2/=—得到/=—/，由抛物线的准线方程

aNa

春翁•公+等公2

AC=-AC=~AC.故选C.

为厂名=岸；；综上：其准线方程为y=一；.故\AC\2

N4a

【解析】由/'（工）=，；＞得函数/（工）单

选C.7.C2+7+0

3.C【解析】由题意得S3,S6—S3，S9—S6成等差数

调递增，由题八）=-2.（5）+十Tn（］）

歹!］，即9,36—9,劭+恁+劭成等差数列，即2XT

（36—9）=9+。7+。8+。9，解得。7+。8+。9=45.故

-/(!)，"⑺+/(!)=0,则即,n=

选C.

4.B【解析】先从5人中选出4人值班，再从4人中选/'3根+*=3/+*》2行弓=29'当且仅

出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天，所以安

当储=§时.等号成立.故选C.

排方法数为段・Q・&=60.故选B.

5.B【解析】由题可知，时冗=兀诏，即ab=收,8.B【解析】取By中点Q,连接OQ,OA,则OC,

OA,OQ两两垂直，如图，以。为原点，OC,OA,OQ为

△F1PF2是ZF1F2P=120°的等腰三角形，则有：

久，y,2轴建立空间直角坐标系，

IF1F2|=IPF2HNPBB=NBPB=30°,

NBPA=30°,所以|=2\AF2I=2（4—c）=

8—2c,又因为I=2c,即2c=8—2c,c=2,可

=/

fccb-,^5-fCLy5'

得:Jc=2，解得｛c=2，故离心率为e=2=

la2=b2-\-c2b=l

隼.故选B.

5

数学(一)参考答案及解析

Ci(1,0,^/3")，因为M是棱BIG上一'动点，设>3ac,ac&3,当且仅当a=c时等号成立，因为

M,o,73")，且aG［—，所以OM=(a,0,£),

aSAABC=acsinB=ac,所以S^ABC的最大值为

MA=(i，西产遮)，由题意得给=黑，即MN=

竽，故B正确；对于C,由B知9=/+c2+ac=

MO2a2+3a?+3工曰人

羽=4y疔+厅=E'于7£令,=(a+c)2—ac,则(a+c)2=9+ac,所以(a+c)?=9+ac

412=>々+(7&2同,当且仅当a=c时等号成立，所以a+

^+6,t.e［同,"］，所以=-=,一

Va+61

b+c的最大值为3+2遮，故C错;对于D,因为BM为

7，tG［而,夕］，又函数丁=力-7在tG［v停,才"［上AC边上的中线,所以俞=4函+告诫，|俞|=

为增函数，所以线段MN长度的取值范围为

J|BZ12+|12+2.B工=x/c2~\~a2ac,

百手；故选B.

得|或|=J，9—2ac,因为ac&3,所以|碱|的最

二、选择题

小值为与，故D正确.故选ABD.

9.AC【解析】因为F/=召?.所以一心=言投■

1-Z11—Z1

11.ABD【解析】选项A：圆C的圆心(0,0)到直线I,

所以坐不去=貂=三,Z。的实部为高,

工一y—2=。的距离为d=I:1=伍，圆C上的点

%的虚部为一4,，所以A正确，B错误；因为|,备|,=

到直线/的距离的最小值为声一1<5,最大值为

1,所以满足：|之|&|6|的复数之对应的点所在区域

的面积为冗，所以C正确，2。对应的向量与卫轴正方所以圆C上有两个点到直线I的距离

为十，故A正确；选项B：点M(3,2)关于直线I的

向所在向量夹角的正切值=告，所以D错

对称点为M'(4,1)，根据对称性，|PM\+

误.故选AC.

|PN|的最小值为|M'N|的最小值.圆C：/+

10.ABD【解析】对于A：6(V3-sinA—cosC)=(c—a)

5>2=1的圆心(0,0),半径r=l,又M'(4,1)，所以

•cosB,由正弦定理得sinB(A/3-sinA—cosC)=

\M'C\=742+12=即点M'在圆夕卜，所

(sinC—sinA)cosB，用sinBsinA—sinBcosC=

以|M'N|向“=\M'C\-r=1,故B正确；选

sinCeosB—sinAcosB，V3-sinBsinA+sinAcosB

项C：由切线的性质可知AOrQ为直角三角形，

=sinA,因为Ag(0,TO,所以sinAWO,所以

sin/OPQ=।।=।।，所以当|OP|最小时.

73-sinB+cosB=l,sin(B+£)=-^-,_6=空，故A

sinZOPQ最大，此时NOPQ最大，|OP|1m.=■#,

正确；对于B,由余弦定理知b2=a2+/—2accosB,

sin/OPQ=g<§,所以最大角小于60°,所以

9=〃2+c2+ac,因为a>0,c>0，所以9=a2c2ac

2

参考答案及解析数学（一）

/OPQ不可能为60°,故C错误；选项D：设点73（5归-1）_p.、3（5人一1）,曰八一一3件匚I”

*—1或--H#OVsWm，所以

NO55

M（其1,y1）,N（亚，2），P（①0，Vo），宕+yi=1,

3/Cr）=sin（3z+*）在区间（方，苧）内没有零

曷+修=1,①）一No—2=0,kPM=—J,切线PM的

点时，0VG〈M.

方程为：y—yi=一红（1一11），整理得：yiy+处15

解法二：即（4-T）U（系田U…=

一抬一乂=0,即gv+m—1=0,同理切线PN的

方程为^）+亚丁一1=0,因为点P（io,）0）分别在（告,+8）,若f（久）=sin（QZ+1~）在区间

两条切线上，所以有yiyo+了1久0—1=0,j/23^o+亚々）

（年，亨）内不存在零点，则0<3《告.故答案

—1=0,所以直线MN的方程为处。+1%）—1=0,

又因为XQ—yQ—2=0,所以有zyyo+£（、）+2）—1

（1+/=0

=0,（K+JOJ/O+21-1=0,所以<，解得

14.34；—36【解析】因为函数/（1）=（/一2］）・

121一1=0

（12+々比+少）的图象关于j;=-2对称，令/（1）=

卜、二十

《，所以直线MN恒过定点（4,一；）,故0,可得V—2久=0,可得2=0或1=2,由对称性可

知，方程£?+〃2+6=0的两根分别为久=—4、1=

卜一3

f一4一6—一a

D正确.故选ABD.—6,由韦达定理可得<，可得

［（一4）X（―6）=6

三、填空题

（a=10

12.{x|0<x<l）【解析】因为工2<1,所以一1<工<<，所以，/（］）=久（久一2）+io尤+24）=

［6=24

1,所以B={oc|—1<^<1},因为A=

j;（j7—2）（1+4）（久+6）,贝］I/（—4—==（―J?—

{*|0ViV2}，所以AC\B={1|OViVl）.故答案

4）（—1—6）（一①）（一£+2）=1（1-2）（x+4）•

为{①|0OV1}.

（1+6）="%）,所以，函数/（1）=力（1-2）（尤+

13.（0,41【解析】令f（G=0得，?=

\5」oco

4）（1+6）的图象关于直线1=—2对称得证，则a+

）若f（工+管）在区间

&CZ,=sin36=34,因为/（x）=（7+心）（/+4支一12）,令

t=x2+4比=（J?+2）2-4>一4,令h（z）=

内存在零点，则浜ez满足：

方（/-12）=/—122=（Z一6）2—36,所以,。（力）111出=

（5为「1〉”<萼，因为3>0,所以5%—1>0,所以2

无（6）=—36.故答案为34；—36.

四、解答题

1,所以m&CZ,且满足：3（5加1）<3<

15.角单：（1）,.•/（1）+。*2+Azr+c,

必52一1），解法一*若〃z）=sin（3H+（）在区间

）=3/+2。1+6,（1分）

（专考）内不存在零点，则VACZ,且41满足由已知得,日,1是312+2ai+6=0的两个根，

3

数学（一）参考答案及解析

所以X的分布列为

故，.解得a=-2,&=1;（3分）

X02040

「NT111

PTTT

此时—2/+i+c,

则/（I）=3久2—48+1,令/（了）<0,解得、■<文（5分）

由已知得，丫=20,40,（6分）

VI,令-（了）〉0,解得或

所以p（y=4o）=G?=卷1，

Jo

所以函数/（①）在（一8,^~）和（1,+8）上单调

19

P（Y=20）=l-y=y.（8分）

递增，在（9，1）上单调递减.（6分）

所以丫的分布列为

可知1=3■和1=1均为极值点，符合题意，Y2040

21

••a=12,6=1.（7分）P"3""3"

（2）由（1）得/（了）=/—2J；2+I+C,

（9分）

/（x）=3/—4i+1,结合（1）可知，f（了）在

（2）甲在第二轮得分分类如下:

（一8,十）和（1,+8）上单调递增，在（｝,1）上

选20分和30分的题所得分数为20分和50分，

单调递减，选20分和40分的题所得分数为20分和60分，

选30分和40分的题所得分数为0分、30分、40分

.•・”工）的极小值为/（1）=，，极大值为f（y）=

和70分，（10分）

4

加■十一（11分）乙在第二轮得分分类如下：

选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分

若方程f（z）=O有三个不同的实根，只

和50分，

需1，选20分和40分的题所得分数为0分、20分、40分

〔V0

和60分，

解得一W<c<O,.\c的范围是（一白,0）.（13分）选30分和40分的题所得分数为0分、30分、40分

和70分，（11分）

16.解：（1）由已知得，X=0,20,40,（1分）

由已知及（1）得，

p（x=o）=a（i-y）2=^,

甲两轮的总积分不低于90分的概率为

P（X=20）=QX；X（l-y）=4>

P（X=40）=<3X（+）「=+，（4分）（12分）

4・

参考答案及解析数学（一）

乙两轮的总积分不低于90分的概率为，由①②得：i=2,；y=4,所以。(2,4,0),(9分)

+X因为P(0,2,4),所以Q(1,3,2),CQ=(-1,3,2),

P"V、[TX（TXT）]TX[T

前=(0,2,4),法=(2,0,0),

（Tx4+TxT+TxT）hA'（13分）

设平面PBC的一个法向量为〃=(小山之)，

因为尸甲>「乙，所以甲更容易晋级复赛.（15分）rn•BP=0(2y+42=0

J一nJ，令)=2,得之=一1,〃=

17.解：（1）过点A作AE_LPB于点E,因为平面PAB±[n,BC=012x=0

平面PBC,且平面PABD平面PBC=PB,(0,2,—1),(13分)

因为AEU平面PAB,所以AE，平面PBC,设直线CQ与平面PBC所成的角为6,

因为BCU平面PBC,所以AE±BC；

因为PA_L平面ABCD,BCU平面ABCD,

所以PA^BC,（3分）18.解:⑴因为C：.r=1,所以F式3,0）,

PA,AEU平面PAB,PAr）AE=A，所以BC_L平面

又因为=西，所以

PO±PF2,\PO\\PF2|=B

PAB,（5分）

（3分）

因为ABU平面PAB,所以AB±BC.（6分）

又由双曲线的定义可知|PF]HIPF2I=2#.

所以|PF"=3A.

又因为O为FiF,的中点，E为PF?的中点，

所以|OE|=十|PK|=看区（6分）

（2）以点B为坐标原点，BC,BA分别为1轴，）轴，（2）根据题意，可设直线/：2="”+3,（1^-1>

过点B作平行于PA的直线为之轴，如图建立空间

直角坐标系.

联立方程j,

化简得(2/一1)丁+12乙y+12=0,

由题意可知2m2—1#0,

且△=(12^)2—4X12(2/—1)=48(加+1)〉0,

所以B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),P(0,2,4),

设A3,»1),夙了2,»2)

（7分）

所以》1+”=一产12片a少北=—12，(9分)

设。（汽,第0）,因为BD=2同，所以/+/=20①,Zm—16m—1

AC=AD=2痣，所以12+6—2）2=8②，所以|V一夕2|，（）1+?2）2-4）1，）2

5

数学（一）参考答案及解析

假设仅=1,数列A.可表示为：1,1,1,1,2,3,3,3,3,

显然。4，故随>2,

=4/3（病+1）

V（2m2-1）2经验证0=2时，显然符合&+%•=as+见，

所以6>4,0》2,9324,数列A”的最短数列可表

S（）AB=

所以A|OF2I||

示为：1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,