八年级数学下册 第02讲 图形的旋转（知识解读+达标检测）（解析版）3

第02讲图形的旋转【题型1生活中的旋转现象】【题型2利用旋转的性质求角度】【题型3利用旋转的性质求线段长度】【题型4旋转对称图形】【题型5作图-旋转变换】考点1：旋转的概念把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.注意:（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。【题型1生活中的旋转现象】【典例1】（2023秋•扶余市期末）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；②传送带的移动，是平移现象；③方向盘的转动，是旋转现象；④水龙头开关的转动，是旋转现象；⑤钟摆的运动，是旋转现象；⑥荡秋千运动，是旋转现象．属于旋转的有③④⑤⑥共4个．故选：C．【变式1-1】（2023秋•秀屿区校级期中）下列属于旋转运动的是（）A．小明向北走了10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到10楼 D．小萌在荡秋千【答案】D【解答】解：A．小明向北走了10米，是平移，不属于旋转运动，故选项A不合题意；B．传送带传送货物，是平移，不属于旋转运动，故选项B不合题意；C．电梯从1楼到10楼，是平移，不属于旋转运动，故选项C不合题意；D．小萌在荡秋千，是旋转运动，故选项D符合题意．故选：D．【变式1-2】（2022秋•安次区校级期中）按图中所示的排列规律，在空格中应填（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：观察图形，发现：图形绕三角形的中心按顺时针方向转动90°．故选：A．【变式1-3】（2022秋•利川市期末）下面A、B、C、D四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据旋转的性质，图案①顺时针旋转90°得到B，故选B．考点2：旋转的性质旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。（3）旋转前、后的图形全等。注意：（1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。【题型2利用旋转的性质求角度】【典例2】（2023秋•哈密市期末）如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠C＝50°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，则旋转角的度数为（）A．80° B．50° C．40° D．10°【答案】B【解答】解：∵∠C＝50°，∠B＝90°，∴∠BAC＝40°，∵∠CAD＝10°，∴∠BAD＝50°，∵△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，∴旋转角为∠BAD，∴旋转角的度数为50°，故选：B．【变式2-1】（2023秋•江北区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，若∠C′＝45°，且AB′⊥BC于点E，则∠BAC的度数为（）A．60° B．75° C．45° D．50°【答案】B【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，∴∠BAE＝30°，∠C＝∠C'＝45°，又∵AB′⊥BC，∴∠EAC＝45°，∴∠BAC＝75°，故选：B．【变式2-2】（2023秋•巴南区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝30°，则∠ADC的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】D【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，∴∠ACE＝90°，AC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠E＝45°，∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+30°＝75°，故选：D．【变式2-3】（2023秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AED的位置，点E与B对应，且CD∥AB，则旋转角的度数为（）A．30° B．40° C．70° D．110°【答案】B【解答】解：∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠BAC＝70°，∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＝70°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝40°，∴∠BAE＝∠CAD＝40°，即旋转角的度数为40°．故选：B．【题型3利用旋转的性质求线段长度】【典例3】（2023秋•武威期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，∴AB＝＝10，由旋转的性质得：BE＝BC＝6，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4．【变式3-1】（2023秋•防城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（）A． B．4 C． D．5【答案】A【解答】解：如图，连接AA'，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，根据勾股定理得：AB＝＝5，∴A'B＝AB＝5，∴AC'＝AB﹣BC'＝1，在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：AA'＝＝，故选：A．【变式3-2】（2023秋•德宏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（）A．4 B．6 C． D．【答案】C【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，∴AC＝＝，由旋转得：AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∴CC'＝＝．故选：C．【变式3-3】（2023秋•浦北县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（）A． B．6 C． D．【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠BAC＝60°，∵BD＝DC＝3，∴AD⊥BC，∴AD＝＝3∵△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，故选：C．【变式3-4】（2023秋•柳州期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为5．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE＝AB，∵AB＝5，∴BE＝5．故答案为：5．考点3：旋转作图（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.【题型4旋转对称图形】【典例4】（2023秋•宣化区期末）香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（）和原图案重合．A．72° B．60° C．36° D．18°【答案】A【解答】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，∴旋转角度是360°÷5＝72°，∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°，故选：A．【变式4-1】（2023秋•廉江市期末）国旗上的每个五角星经过旋转后能与自身重合，则至少需要旋转的度数为（）A．360° B．72° C．60° D．45°【答案】B【解答】解：根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．故选：B．【变式4-2】（2022秋•滦南县期末）如图，该图形绕着点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为（）A．36° B．60° C．72° D．90°【答案】C【解答】解：由题意，＝72°，故该图形围绕点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为72°，故选：C．【变式4-3】（2022秋•昭化区期末）下列各图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、360°÷3＝120°，所以，绕某个点旋转120°后能与自身重合，故本选项不符合题意；B、360°÷12＝30°，30°×4＝120°，所以，绕某个点旋转4个30°，即120°后能与自身重合，故本选项不符合题意；C、360°÷6＝60°，60°×2＝120°，所以，绕某个点旋转2个60°，即120°后能与自身重合，故本选项不符合题意；D、360°÷5＝72°，所以，绕某个点旋转120°后不能与自身重合，故本选项符合题意．故选：D．【题型5作图-旋转变换】【典例5】、（2023秋•西宁期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．（1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C；（3）点B的对应点B2的坐标为（﹣1，3）．【答案】（1）见解答．（2）见解答．（3）（﹣1，3）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C即为所求．（3）点B的对应点B2的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．【变式5-1】（2023秋•忠县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，3），C（1，0）．（1）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°为△A1B1C1，写出点A1、B1、C1的坐标，并在图中作出△A1B1C1；（2）求△A1B1C1的面积．【答案】（1）A1（2，﹣2）、B1（3，0）、C1（0，﹣1），画图见解答．（2）．【解答】解：（1）点A1（2，﹣2）、B1（3，0）、C1（0，﹣1）．如图，△A1B1C1即为所求．（2）△A1B1C1的面积为＝﹣1﹣1＝．【变式5-2】（2023秋•凉州区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，0），C（5，1）．（1）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应，作出△A1B1C1；（2）作出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2，并写出△A2B2C2三个顶点的坐标；（3）请求出△A2B2C2的面积．【答案】（1）作图见解答过程；（2）作图见解答过程；（3）7.5．【解答】解：（1）△A1B1C1如图1所示，；（2）△A2B2C2如图2所示；（3）△A2B2C2的面积为：4×4﹣×3×3﹣×1×4﹣×1×4＝7.5．【变式5-3】（2023秋•任城区期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，0），B（2，4），C（4，2）．（1）把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并直接写出对应点连线段BB2的长度2．【答案】（1）作图见解析部分；（2）作图见解析部分，2．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．线段BB2的长度＝＝2．故答案为：2．一．选择题（共10小题）1．（2023秋•嵩明县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝26°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转80°，得到△AB′C′，则∠BAC′的度数为（）A．44° B．46° C．54° D．80°【答案】C【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转80°，得到△AB′C′，∴∠CAC′＝80°，∵∠BAC＝26°，∴∠BAC′＝∠CAC′﹣∠BAC＝80°﹣26°＝54°，故选：C．2．（2023秋•綦江区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】D【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，∴AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB为等边三角形，∴BD＝AB＝4，∴CD＝BC﹣BD＝7﹣4＝3．故选：D．3．（2023秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AED的位置，点E与B对应，且CD∥AB，则旋转角的度数为（）A．30° B．40° C．70° D．110°【答案】B【解答】解：∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠BAC＝70°，∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＝70°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝40°，∴∠BAE＝∠CAD＝40°，即旋转角的度数为40°．故选：B．4．（2023秋•邯郸期末）下列运动属于旋转的是（）A．足球在草地上滚动 B．火箭升空的运动 C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆的摆动【答案】D【解答】解：A、足球在草地上滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转，故此选项不符合题意；B、火箭升空的运动，是平移，故此选项不符合题意；C、汽车在急刹车时向前滑行，是平移，故此选项不符合题意；D、钟表的钟摆的摆动的过程，是旋转，故此选项符合题意；故选：D．5．（2023春•杞县期末）如图，在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转；向左、向右平移），已拼好的图案如图所示，现又出现一个形如的方块正向下运动，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整的图形（）A．顺时针旋转90°，向右平移 B．逆时针旋转90°，向右平移 C．顺时针旋转90°，向左平移 D．逆时针旋转90°，向左平移【答案】A【解答】解：由图可知，把又出现的方块顺时针旋转90°，然后向右平移即可落入已经拼好的图案的空格处．故选：A．6．（2023秋•新宾县期末）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C，点B'恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（）A．90° B．60° C．45° D．30°【答案】B【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．∵点B′恰好落在CA的延长线上，∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．故选：B．7．（2023春•大东区期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A．15° B．65° C．90° D．115°【答案】C【解答】解：如图：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，∴OB＝OD，∴旋转的角度是∠BOD的大小，∵∠BOD＝90°，∴旋转的角度为90°．故选：C．8．（2023秋•黔东南州期中）如右图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'；恰好落在线段BC上，则线段CC'的长为（）A． B． C．3 D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝2×3＝6（cm），∴AC＝＝3（cm），∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，∴AB＝AB′，∵∠B＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴∠BAB′＝60°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，∴∠CAC′＝∠BAB′＝60°，∴△ACC′是等边三角形，∴CC′＝AC＝3cm．故选：D．9．（2022秋•襄州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝22°，则∠B的大小是（）A．63° B．67° C．68° D．77°【答案】B【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，∴AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠AB'C'＝∠B，∴∠ACC'＝45°，∵∠AB'C'＝∠ACC'+∠CC'B'，∴∠AB'C'＝45°+22°＝67°，∴∠B＝67°，故选：B．10．（2022秋•东方期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝6，则BE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE＝AB，∵AB＝6，∴BE＝6．故选：D．二．填空题（共5小题）11．（2023秋•浑江区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，此时BC∥B′A′，则∠B的度数为40°．【答案】40°．【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，∴∠BCB′＝40°，∠B＝∠B′，∵BC∥B′A′，∴∠B′＝∠BCB′＝40°，∴∠B＝40°，故答案为：40°．12．（2023秋•沙河口区期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，此时点B'恰在边AC上，若AB＝2，AC'＝5，则B'C的长为3．【答案】3．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，∴AB'＝AB＝2，AC'＝AC＝5，∴B'C＝AC﹣AB'＝5﹣2＝3，故答案为：3．13．（2023秋•商洛期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，且，则△ACD的面积为28．【答案】28．【解答】解：连接BD，过点C作CF⊥AE于点F，由旋转得：△BCD，△ACE是等腰直角三角形，BC＝CD＝，∠BCD＝90°，∴BD＝，由旋转得：CA＝CE，∠ACE＝90°，∴∠CAE＝∠E＝45°，由旋转得：∠CAB＝∠E＝45°，∴∠BAD＝∠CAB+∠CAE＝90°，在Rt△ABD中，AB＝6，∴AD＝，∴AE＝AD+DE＝14，∴，∴，∴，故答案为：28．14．（2023秋•斗门区期末）把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为72度时，旋转后的五角星能与自身重合．【答案】见试题解答内容【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为72°．故答案为：72．15．（2023秋•灵宝市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为．【答案】．【解答】解：连接BB′，如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，∴，∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，点A′恰好在AB边上，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，∴∠BCB′＝60°，∴△BCB′为等边三角形，∴，即点B′与点B之间的距离为．故答案为：．三．解答题（共5小题）16．（2023秋•宁江区期末）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形．（1）画出将Rt△ABC向右平移5个单位长度后的Rt△A1B1C1；（2）再将Rt△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A2B2C1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，Rt△A2B2C1为所作．17．（2023秋•东丰县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是线段BC上的一点，CD＝4，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，连接CE．求CE的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴CE＝BD，∵BC＝6，CD＝4，∴CE＝BD＝BC﹣CD＝2．18．（2023秋•黄埔区期末）如图，将△ABC绕点