八年级数学下册 第03讲 中心对称与中心对称图形（知识解读+达标检测）（解析版）5

第03讲中心对称与中心对称图形【题型1中心对称图形】【题型2中心对称的性质】【题型3利用中心对称的性质-找对称中心】【题型4利用中心对称的性质-求边长长度】【题型5利用中心对称的性质-求点坐标】【题型6利用中心对称的性质-求面积】【题型7利用中心对称的性质-作图】考点：中心对称（两个图形）1.概念把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个\t"/item/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank"点对称或中心对称；2.性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3.判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4.作图步骤：连接原图形上所有的特殊点和对称中心。将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形中心对称图形（一个图形）把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。【题型1中心对称图形】【典例1】（2023秋•南沙区期末）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：A．【变式1-1】（2023秋•蒙城县校级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、B、D中的图形不是中心对称图形，故A、B、D不符合题意；C中的图形是中心对称图形，故C符合题意．故选：C．【变式1-2】（2023秋•清河区校级期末）四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；故选：D．【变式1-3】（2023秋•沙坪坝区校级期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D符合题意．故选：D．【题型2中心对称的性质】【典例2】（2022秋•浦北县期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B'【答案】D【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，∴点A与点A'是对称点，BO＝B'O，AB＝A'B'，∴A，B，C正确，故选：D．【变式2-1】（2023春•内江期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连结AB，以下结论错误的是（）A．AD＝CD B．∠C＝∠E C．AE＝CB D．S△ADE＝S△ADB【答案】B【解答】解：∵△ADE与△CDB关于点D成中心对称，∴AD＝CD，BD＝ED，AE＝CB，∠E＝∠CBD，∵BD＝ED，∴S△ABD＝S△ADE，故选：B．【变式2-2】（2023春•泉港区期末）如图，△AOD与△BOC关于点O成中心对称，连结AB、CD，以下结论错误的是（）A．OA＝OB B．△AOD≌△COB C．AD＝BC D．S△ACD＝S△BCD【答案】A【解答】解：∵△AOD与△BOC关于点O成中心对称，∴△AOD≌△COB，故选项B正确；∴AD＝BC，故选项C正确；但不一定OA＝OB，故选项A不正确；∵△AOD≌△COB，∴S△AOD＝S△BCO，∴S△AOD+S△COD＝S△BCD+S△COD，即S△ACD＝S△BCD，故选项D正确，故选：A．【变式2-3】（2023秋•安新县期中）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）△ADC和△EDB成中心对称；（2）已知△ADC的面积为4，则△ABE的面积是8．【答案】（1）△EDB；（2）8．【解答】解：（1）根据中心对称图形的性质可得；△ADC和△EDB成中心对称，故答案为：△EDB；（2）由（1）得：△ADC和△EDB成中心对称，∴线段BD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝4，∵D是△ABC边BC的中点，∴S△ABE＝2S△EDB＝8，故答案为：8．【题型3利用中心对称的性质-找对称中心】【典例3】（2023秋•张北县期中）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（）A．点G B．点H C．点M D．点N【答案】C【解答】解：AD、CF、BE相交于点M，∴点M是△ABC与△DEF的对称中心，故选：C．【变式3-1】（2023春•渭南期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（）A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）【答案】B【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，故选：B．【变式3-2】（2023春•高碑店市期末）如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】C【解答】解：如图，连接BE、CF，发现其交于点M，根据中心对称的性质可知点M即为其对称中心．故选C．【题型4利用中心对称的性质-求边长长度】【典例4】（2023秋•仪陇县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接AB'，则AB'的长是（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，∵AC＝2，BD＝8，∴OC＝1，OB＝4，∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，∴∠O′＝∠BOC＝90°，CO′＝OC＝1，O′B′＝OB＝4，∴AO′＝AC+O′C＝3，∴AB′＝＝5．故选：C．【变式4-1】（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（）A．4 B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∴BB′＝2AB＝4．故选：A．【变式4-2】（2023秋•富县期末）如图，△ABC与△AB'C'关于点A对称，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB'的长为4．【答案】4．【解答】解：如图，∵△ABC与△AB'C'关于点A对称，∴△ABC≌△AB′C′，∴AB＝AB′，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∴BB′＝2AB＝4，故答案为：4．【变式4-3】（2023秋•前郭县期中）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠BAO＝90°，AB＝4，AO＝3，则AD的长为2．【答案】2．【解答】解：∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，∴AO＝CO＝3，CD＝AB＝4，∠C＝∠BAO＝90°，∴AD＝，故答案为：2．【题型5利用中心对称的性质-求点坐标】【典例5】（2023秋•青岛月考）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4）【答案】B【解答】解：∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）关于点P对称，＝1，＝0，∴点P的坐标为（1，0）．设点C（x，y），∵A（3，3），∴＝1，＝0，∴x＝﹣1，y＝﹣3．∴C（﹣1，﹣3）．故选：B．【变式5-1】（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）【答案】B【解答】解：设点A'的坐标是（a，b），根据题意知：＝﹣1，＝0．解得a＝1，b＝2．即点A'的坐标是（1，2），故选：B．【变式5-2】（2022春•青州市期末）如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（﹣2，3），则点A'的坐标为（）A．（2，﹣3） B．（﹣1，2） C．（2，﹣2） D．（2，﹣1）【答案】D【解答】解：设A′（m，n），∵AC＝CA′，A（﹣2，3），C（0，1），∴＝0，＝1，∴m＝2，n＝﹣1，∴A′（2，﹣1），故选：D．【题型6利用中心对称的性质-求面积】【典例6】（2022秋•乌鲁木齐县校级期中）如图，正方形边长为a，则阴影部分面积为．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：S阴影＝S正方形＝，故答案为：．【变式6-1】（2022春•南关区期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A1，AB⊥a于点B，A1D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为15．【答案】15．【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝5，OD＝3，∴AB＝3，∴图形①与图形②面积相等，∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×5＝15．故答案为：15．【变式6-2】（2023春•徐汇区期末）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为9．【答案】9．【解答】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9．故答案为：9．【变式6-3】（2023秋•东湖区期中）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知OA＝OB＝2米．求阴影部分的面积．【答案】8π平方米．【解答】解：因为观赏鱼池是中心对称，且OA＝OB＝2米，所以阴影部分相当于2个以点O为圆心，OA长为半径的圆，所以阴影部分的面积为2×π×22＝8π（平方米），答：阴影部分的面积为8π平方米．【题型7利用中心对称的性质-作图】【典例7】（2023秋•浦北县期末）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．（1）找出它们的对称中心O；（2）若AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△DEF的周长．【答案】（1）见解析；（2）15．【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，∴△ABC≌△DEF，∴AB＝DE＝6，AC＝DF＝5，BC＝EF＝4，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝6+5+4＝15；答：△DEF的周长为15．【变式7-1】（2023春•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），（4，2），C（3，5）．（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称，并写出点A1，B1，C1的坐标．（2）求△A1B1C1的面积？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）；（2）根据中心对称的性质可得S＝3×3﹣＝9﹣﹣1﹣3＝．【变式7-2】（2022秋•沙河市期末）如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形A′B′C′．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求；一．选择题（共10小题）1．（2023秋•江海区期末）下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；故选：D．2．（2023秋•长海县期末）平面直角坐标系内与点P（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）【答案】A【解答】解：与点P（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2）．故选：A．3．（2023秋•武汉期中）已知点A（a，2023）与点A′（2024，b）是关于原点O的对称点，则a﹣b的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣4047 D．4047【答案】A【解答】解：∵点A（a，2023）与点A'（2024，b）是关于原点O的对称点，∴a＝﹣2024，b＝﹣2023，∴a﹣b＝﹣2024﹣（﹣2023）＝﹣1．故选：A．4．（2023秋•莱州市期末）下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：根据中心对称的定义可知，选项A中阴影部分两个三角形成中心对称．故选：A．5．（2022春•相城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC＝2，∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，∵AB′＝5，∴，∴，∴，即菱形ABCD的边长是，故选：D．6．（2022秋•五华县期中）如图是北师大版九年级上册数学教材第25页第4题内容的变式，如图，三个边长相同的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是8，则正方形的边长为（）A．2 B．4 C．8 D．2【答案】B【解答】解：如图所示，连接O1B、O1C，∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，∴∠BO1F＝∠CO1G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，在△O1BF和△O1CG中，，∴△O1BF≌△O1CG（ASA），∴＝，∴两个正方形重叠阴影部分的面积是S正方形ABCD，同理，另外两个正方形重叠阴影部分的面积也是S正方形ABCD，∴阴影部分的面积和＝8＝S正方形ABCD，∴S正方形ABCD＝16，∴正方形ABCD的边长＝＝4，故选：B．7．（2023秋•德城区期中）如图，已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是（）A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠BOC＝∠B'A'C' C．AB＝A'B' D．OA＝OA'【答案】B【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠ABC＝∠A′B′C′，AB＝A′B′，OA＝OA′，故A，C，D正确，故选：B．8．（2023秋•泽州县期中）如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB＝5，点B到y轴的距离为4，将△OAB关于原点对称得到△O′A′B′，再将△O′A′B′向左平移5个单位长度得到△O″A″B″，则点B″的坐标为（）A．（﹣8，﹣8） B．（﹣8，﹣9） C．（﹣9，﹣9） D．（﹣9，﹣8）【答案】D【解答】解：如图，作BC⊥y轴于点C，∵点B到y轴的距离为4，∴BC＝4，∴AC＝＝3，∴OC＝5+3＝8，∴点B的坐标为（4，8），∴点B关于原点对称的点B′的坐标为（﹣4，﹣8），∴点B″的坐标为（﹣9，﹣8）．故选：D．9．（2023秋•邯郸期末）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（）A．点G B．点H C．点M D．点N【答案】C【解答】解：AD、CF、BE相交于点M，∴点M是△ABC与△DEF的对称中心，故选：C．10．（2023秋•仪陇县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接AB'，则AB'的长是（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，∵AC＝2，BD＝8，∴OC＝1，OB＝4，∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，∴∠O′＝∠BOC＝90°，CO′＝OC＝1，O′B′＝OB＝4，∴AO′＝AC+O′C＝3，∴AB′＝＝5．故选：C．二．填空题（共6小题）11．（2023春•徐汇区期末）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为9．【答案】9．【解答】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9．故答案为：9．12．（2023春•青冈县期末）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，若CE＝5，AG＝2，则S△DEC＝5．【答案】5．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG＝2，∴CE＝BC，S△DEC＝S△ABC，∴，∴S△DEC＝5，故答案为：5．13．（2023•靖江市校级模拟）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为60（答案不唯一）度．（写出一个即可）【答案】见试题解答内容【解答】解：360°÷6＝60°，则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，故答案为：60（答案不唯一）．14．（2023秋•开平市期末）如图，△AB'C'是△ABC绕点A旋转180°后得到的，已知∠B＝90°，AB＝1，∠C＝30°，则CC'的长为4．【答案】4．【解答】解：在Rt△ABC中，sinC＝，则，得AC＝2．又因为△AB'C'是△ABC绕点A旋转180°后得到的，所以AC′＝AC，且C，A，C′三点共线，所以CC′＝2AC＝4．故答案为：4．15．（2023秋•前郭县期中）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠BAO＝90°，AB＝4，AO＝3，则AD的长为2．【答案】2．【解答】解：∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，∴AO＝CO＝3，CD＝AB＝4，∠C＝∠BAO＝90°，∴AD＝，故答案为：2．16．（2023秋•二道区校级月考）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），点M的坐标为（a，b），点N的坐标为（c，d），则a+c的值为﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：由图形可知，点A和点N关于x轴成轴对称，点M和点B关于坐标原点O成中心对称，因为点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），所以a＝﹣3，c＝