北师大版初二(上)数学第28讲：轴对称(教师版)

轴对称____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．通过画、剪、观察、想象、分类、找对称轴等系列活动，使学生正确认识轴对称图形的意义及特征；2．掌握轴对称的概念、性质；轴对称变换的性质以及轴对称的应用；3．培养和发展学生的实验操作能力，发现美和创造美的能力。1.轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线____，这条直线叫做_______，折叠后重合的点是对应点，叫做______．两个图形关于直线对称也叫做_____．2.轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做____________，这条直线就是它的_________．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．3.图形轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的____________；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．4.轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的_________关系，成轴对称的两个图形是_______；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．5.线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的________（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离____；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的________的集合．参考答案：1.对称对称轴对称点轴对称2.轴对称图形对称轴3.垂直平分线4.形状与位置全等形5.垂直平分线相等所有点1.轴对称图形的定义．【例1】（2014•双鸭山中学中考一模）下列图形中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解：A、是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意．故选C．练1.（2015•北京房山二中期末）下列图形是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解：A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选A．练2.如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C．D．【解析】根据轴对称图形的概念求解．解：A、B、D都是轴对称图形；C、不是轴对称图形．故选：C．总结：轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．2.依据轴对称图形的对称轴补全图形．【例2】（2014•宁夏民族中学月考）在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】根据轴对称图形的概念求解．解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形．故选C．总结：此题通过利用格点图，考查学生轴对称性的认识．解题的关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有3种画法．练3.（2014•太原成成中学期末）如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（）A． B． C． D．【解析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选C．3.轴对称的平移变换．【例3】（2014•绍兴二中月考）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（）A．向右平移7格B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB为对称轴作轴对称变换C．绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴作轴对称D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格【解析】认真观察图形，找准特点，根据轴对称的性质及平移变化得出．解：观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格．故选D．总结：主要考查了轴对称的性质及平移变化．轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．练4.观察图形…并判断照此规律从左到右第四个图形是（）A． B． C． D．【解析】根据题意分析图形涂黑规律，求得结果，采用排除法判定正确选项．解：观察图形可知：单独涂黑的角顺时针旋转，只有D符合．故选D．4．轴对称的性质．【例4】（2014•北京六十六中期末）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么该球最后将落入的球袋是（）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【解析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：故选：B．总结：主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．练5.（2014春•惠山区校级期末）桌面上有A，B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（）个．A．1B．2 C．4D．6【解析】根据题意分析可得：分别找出入射点B和反射点B，看看是否符合即可．解：由图可知可以瞄准的点有2个．．故选B．总结：本题考查轴对称图形的定义．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．解此题关键是找准入射点和反射点．练6.（2014•河北衡水中学期末）如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反后将落入（）球袋．A．1号B．2号 C．3号 D．4号【解析】根据反射角等于入射角，找出每一次反射的对称轴，最后即可确定落入的球袋．解：根据题意：每次反射，都成轴对称变化，∴一个球按图中所示的方向被击出，经过3次反射后，落入1号球袋．故选A．5．轴对称的应用【例5】（2014春•太谷县校级期末）将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（）A． B． C． D．【解析】认真观察图形，首先找出对称轴，根据轴对称图形的定义可知只有C是符合要求的．解：观察选项可得：只有C是轴对称图形．故选：C．总结：本题考查轴对称图形的应用，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴，仔细观察图形是正确解答本题的关键．练7.在下列各电视台的台标图案中，运用轴对称图形原理的是（）A． B． C． D．【解析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．解：只有C沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故选C．6．轴对称-最短路线问题；角平分线的性质．菁优【例6】（2015春•太原五中校级月考）如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．【解析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=4，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，∴BE=4，即BE取最小值为4，∴BM+MN的最小值是4．故答案为：4．总结：轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．练8（2014秋•黔东南州校级期中）已知直线l的同侧有A，B两点（图1），要在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．小明同学的做法如图2：①作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．请问小明同学的做法是否正确？说明理由．【解析】小明的做法正确，根据两点之间线段最短分析即可．答：小明的做法正确，理由如下：∵点A和点A′关于直线l对称，且点P在l上，∴PA=PA′，又∴A′B交l与P，且两条直线相交只有一个交点，∴PA′+PB最短，即PA+PB的值最小．总结：此题主要考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．1．下列图形是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列四副图案中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．下列图形中，轴对称图形的是（）A． B．C． D．4．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，设重叠部分为△EBD，则下列说法错误的是（）A．AB=CD B．∠BAE=∠DCEC．EB=ED D．∠ABE一定等于30°5．如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为cm2．6．如图，已知△ABC是等边三角形，AB=4+2，点D在AB上，点E在AC上，△ADE沿DE折叠后点A恰好落在BC上的A′点，且DA′⊥BC．则A′B的长是．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．下列各图中，为轴对称图形的是（）A．B． C．D．2．下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．下列图案中是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．下列交通图形中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．下列美丽的图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．6．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，若BC=5，CD=3，则BD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152° C．158° D．160°8．如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE的度数为．9．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．10．如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．11．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．

参考答案：当堂检测1.考点：轴对称图形．权所有分析：根据轴对称图形的概念求解．解答：解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、D都不是轴对称图形．故选B．2．考点：轴对称图形．菁优网版权所有专题：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．分析：解：A、沿某条直线折叠后直线两旁的部分不能够完全重合，不是轴对称图形，故A符合题意；B、C、D都是轴对称图形，不符合题意．故选：A．3．考点：轴对称图形．菁优网版权所有专题：根据轴对称图形的概念求解．分析：解：A、B、C都不是轴对称图形，只有D是轴对称图形．故选D．4．考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有分析：根据ABCD为矩形，所以∠BAE=∠DCE，AB=CD，再由对顶角相等可得∠AEB=∠CED，所以△AEB≌△CED，就可以得出BE=DE，由此判断即可．解答：解：∵四边形ABCD为矩形∴∠BAE=∠DCE，AB=CD，故A、B选项正确；在△AEB和△CED中，，∴△AEB≌△CED（AAS），∴BE=DE，故C正确；∵得不出∠ABE=∠EBD，∴∠ABE不一定等于30°，故D错误．故选：D．5．考点：翻折变换（折叠问题）；有专题：几何图形问题．分析：根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积．点评：此题考查角平分线的性质，关键是根据AB=CD和三角形等底作等高即可．6．考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有专题：几何图形问题．分析：由翻折的性质可得：△ABD≌△CBD，得出∠ADB=∠CDB=90°，进一步在Rt△BCD中利用勾股定理求得BD的长即可．解答：解：∵将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB=90°，在Rt△BCD中，BD===4．故选：D．点评：本题考查了翻折的性质：翻折是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；以及勾股定理的运用．7．考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理．菁优网版权所有分析：过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，利用勾股定理列式求出AB，再根据△ABC的面积公式列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，∴DE=CD，由勾股定理得，AB===5，S△ABC=AB•DE+AC•CD=AC•BC，即×5•CD+×3•CD=×3×4，解得CD=．故选C．家庭作业1．考点：轴对称图形．菁优网版权所有专题：根据轴对称图形的概念求解．分析：解：A、B、D都不是轴对称图形，只有C是轴对称图形．故选C．解答：轴对称图形．菁优网版权所有2．考点：轴对称图形．菁优网版权所有分析：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．解答：解：中间两个图形是轴对称图形，轴对称图形的个数是2，故选B．点评：本题考查轴对称图形概念的理解，判断一个图形是不是轴对称图形的关键是能不能找到一条直线，沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合．3．考点：轴对称图形．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：本题考查轴对称图形的识别，判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合．解答：解：第1个不是轴对称图形，第2个、第3个、第4个都是轴对称图形．故选C．点评：掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．4．考点：轴对称图形．菁优网版权所有分析：根据轴对称图形的概念求解．只有A不是轴对称图形．解答：解：根据轴对称图形的概念，只有A不是轴对称图形，B、C、D都是轴对称图形．故选A．点评：本题考查了轴对称图形，掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．5．考点：轴对称图形．菁优网版权所有分析：根据轴对称图形的概念求解．解答：解：观察图形可知C是轴对称图形．故选C．点评：掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的要寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．6．考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有专题：几何图形问题．分析：由翻折的性质可得：△ABD≌△CBD，得出∠ADB=∠CDB=90°，进一步在Rt△BCD中利用勾股定理求得BD的长即可．解答：解：∵将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB=90°，在Rt△BCD中，BD===4．故选：D．点评：本题考查了翻折的性质：翻折是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；以及勾股定理的运用．7．考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．菁优网版权所有专题：几何图形问题．分析：根据三角形的内角和定理得到∠C=104°，再由中位线定理可得DE∥BC，∠ADE=∠B=50°，∠AED=∠C=104°，根据折叠的性质得∠DEA′=∠AED=104°，再求∠AEA′的度数即可．解答：解：∵∠B=50°，∠A=26°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠A=104°，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠B=50°，∠AED=∠C=104°，∵将△ABC沿DE折叠，∴△AED≌△A′ED，∴∠DEA′=∠AED=104°，∴∠AEA′=360°﹣∠DEA′﹣∠AED=360°﹣104°﹣104°=152°．故选：B．点评：本题考查了三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等．8．考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有专题：几何图形问题．分析：首先求得∠AEA′，根据折叠的性质可得∠A′ED=∠AED=∠AEA′，在△A′DE中利用三角形内角和定理即可求解．解答：解：∵∠AEA′=180°﹣∠A′EC=180°﹣70°=110°，又∵∠A′ED=∠AED=∠AEA′=55°，∠DA′E=∠A=60°，∴∠A′DE=180°﹣∠A′ED﹣∠DA′E=180°﹣55°﹣60°=65°．故答案为：65°．点评：本题考查了折叠的性质，找出图形中相等的角和相等的线段是关键．9．考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有专题：计算题．分析：只有BF大于等于AB时，B′才会落在AD上，判断出点F与点C重合时，折痕EF最大，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后利用勾股定理列式求出B′D，从而求出AB′，设BE=x，根据翻折的性质可得B′E=BE，表示出AE，在Rt△AB′E中，利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF．解答：解：如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，由翻折的性质得，BC=B′C=10cm，在Rt△B′DC中，B′D===