2024届金学导航大联考高考仿真卷数学试题含解析

2024届金学导航大联考高考仿真卷数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.运行如图所示的程序框图，若输出的值为300,则判断框中可以填（）

B.i>40?C.i>50?D.i>60?

2.如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABC。，将平行四边形ABC。沿对角线8。折起，使平面

平面5CD,则直线AC与的所成角余弦值为（）

A.述B.如C.且D.-

3333

3.泞=2”是“函数/（尤）=（2〃一3匕—1）龙"（&为常数）为嘉函数，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4/

4.已知复数2=——，贝!Jz对应的点在复平面内位于（）

1+i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.已知AM,3N分别为圆a：（x+l『+y2=i与2：（无一2『+y2=4的直径，则A3的取值范围为（）

A.[0,8]B.[0,9]C.[1,8]D.[1,9]

6.对于函数/（九），定义满足/（%）=%的实数/为的不动点，设“X）=log〃],其中a>0且awl,若/（九）

有且仅有一个不动点，则a的取值范围是（）

A.0<。<1或4=孤B.1<tz<yfe

C.0<。<1或q=7D.0<a<l

7.下列说法正确的是（）

A.命题“三不<0,2玉）Wsinx。”的否定形式是“Vx>0,2x>sinxn

B.若平面e,13,Y,满足a，/,则

C.随机变量J服从正态分布N。,。?）（<T>0）,若P（0<J<l）=0.4,则P（J>0）=0.8

D.设x是实数，“％<0”是“工<1”的充分不必要条件

8.已知°,。满足同=2百，卜|=3,”为=—6,则。在b上的投影为（）

A.-2B.-1C.-3D.2

,ABAC、

9.。是平面上的一定点，4瓦。是平面上不共线的三点，动点P满足0。=。4+彳（年~~-+--）,

A5-cos5AC?cosC

26（0,oo）,则动点p的轨迹一定经过AABC的（）

A.重心B.垂心C.外心D.内心

J.一

10.已知〃=5%/?=10846,c=logs2，则。，瓦，的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

11.若复数z=（2+1）（1+，）（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

12.设〃X）={1一则/（/（—2））=（）

2\x<0

113

A.—1B.—C.—D・一

422

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若sinA+sin3=GsinC，且c=l,则AABC面积的

最大值为,

2

14.已知双曲线/一£=is〉0)的一条渐近线为y=2%,则焦点到这条渐近线的距离为.

15.根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问

题.现有AABC满足“勾3股4弦5”，其中“股"AB=4,。为“弦”6C上一点(不含端点)，且A/领满足勾股定理,

贝!|(C3-CA).AD=.

16.若存在实数后6使得不等式/(x)W依+5Wg(x)在某区间上恒成立，则称/(尤)与g(x)为该区间上的一对“分

离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有.(填上所有正确答案的序号)

①xe0,y^,/(x)=sinx,g(x)=tanx；

(2)xe[1,+oo),/(x)=Vx2-1,g(x)=Jx：+1;

@xeR,f(x)=x2+2,g(x)=ex+e~x-

(4)XG(0,+OO),f^x)=x~—,g(x)=2xlnx.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如

图所示)，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败.

频率

晋级成功晋级失败合计

男16

女50

合计

(1)求图中。的值；

(2)根据已知条件完成下面2x2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关?

(3)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X,求X

的分布列与数学期望E(X).

(参考公式：公=----"吗°C)一,其中〃=a+b+c+d)

(a+b)(c+d\a+c)(b+d)

j)0.400.250.150.100.050.025

k00.7801.3232.0722.7063.8415.024

XCS<Z

18.(12分)在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为°(a为参数)，以坐标原点。为极点，x轴

y=sina

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为夕cos。+qsin。+4=0.

(1)求曲线G的普通方程和曲线的直角坐标方程;

(2)若点尸在曲线q上，点。在曲线C2上，求IPQI的最小值及此时点尸的坐标.

19.(12分)已知函数/(幻=以2-a-Inx,三。e[0,+oo),使得对任意两个不等的正实数占,都有

/&)一“切<。恒成立.

国~X2

(1)求A》)的解析式;

(2)若方程」-=/(%)+加有两个实根石,兄2，且$<兀2，求证：再+%>1.

2x-一一

x=2+cos0

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线/的参数方程为《仁2。(6为参数)，以原点。为极点，

y=V3+2V3cos2-

x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=4s加0.

(1)求曲线C的普通方程;

(2)求曲线/和曲线C的公共点的极坐标.

21.(12分)若。>03>(),且—I—=Jab

ab

(1)求的最小值;

(2)是否存在。力，使得2a+3b=6?并说明理由.

33

22.(10分)设jf(x)=(〃-4)loga%-------%+------(〃>0且awl),

ja-1a-1

(1)证明:当〃=4时，ln%+/(%)<0；

(2)当xNl时/(%)<0,求整数〃的最大值.(参考数据：加2Po.69,加3PLi0,加5PL61,/〃7Pl.95)

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由300=200+10+20+30+40,则输出为300,即可得出判断框的答案

【详解】

由300=200+10+20+30+40,则输出的值为300,,=40+10=50,故判断框中应填，>40?

故选：B.

【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.

2、C

【解析】

利用建系，假设A5长度，表示向量AC与3D，利用向量的夹角公式，可得结果.

【详解】

由平面平面BCD,AB上BD

平面ABDc平面5CD=5£>,ABI平面ABD

所以AB，平面BCD,又。Cu平面

所以AB，。。，又DBLOC

所以作z轴〃AB，建立空间直角坐标系B-xyz

如图

设AB=1,所以BD=LDC=LBC=VI

则A（0,1,1）,5（0,1,0）,C（l,0,0）,D（0,0,0）

所以AC=(1,T-1),30(0,—1,0)

/“\-ACBD_1_y/3

所以cos(AC,BRDn)=।-----n-----r==—

所以\/\AC\\BD\733

故选：C

【点睛】

本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：(1)将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利

用解三角形知识求解；(2)建系，利用空间向量，属基础题.

3、A

【解析】

根据惠函数定义，求得b的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.

【详解】

•.•当函数/(力=(2/—38—为募函数时，2b2-3b-1=1,

解得Z?=2或」，

2

。=2”是“函数f(%)=(2尸_3人—1卜"为暴函数”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查了充分必要条件的概念和判断，然函数定义的应用，属于基础题.

4、A

【解析】

利用复数除法运算化简Z,由此求得Z对应点所在象限.

【详解】

4z（l-z）,./、

依题意Z=0+；）（]：,）=2*1_，）=2+2i,对应点为（2,2）,在第一象限.

故选A.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.

5、A

【解析】

由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得

ABMN=[o.+（AQ+O2B）]-[OIO2-（AO1+=9一|AO1+O2B^,结合+O2fi|的范围即可求解

【详解】

如图，

）（叫[。。2（。2可]

ABMN=^AOX+O{O2+O?B.[MO,+0,0,+O2N^=[002+AO]+_AQ+

22

=|oiO2|-|AQ+O2s|=9-|AQ+Q3『其中+Q,e[2-1,2+1]=[1,3],所以

/lB-A«V6[9-32,9-l2]=[0,8].

故选：A

【点睛】

本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题

6、C

【解析】

根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得Ina=皿；构造函数g（x）=*,并讨论g（x）的单调性与最值,

XX

画出函数图象，即可确定a的取值范围.

【详解】

Inx

由log”%得，］na=----

x

令g(x)=2

X

贝！lg'(x)=¥^，

令g<x)=0,解得x=e,

所以当xe(O,e)时,g'(x)>0,则g(x)在(0,e)内单调递增;

当xe(e,+o。)时，g'(x)<0,则g(x)在(e,+8)内单调递减；

所以g(x)在x=e处取得极大值，即最大值为g(e)=-

ee

Inx

则g(x)=—的图象如下图所示：

X

r

O(：

由/(九)有且仅有一个不动点，可得得Ina<0或Ina=1,

e

解得Ovavl或I

Cl—

故选：c

【点睛】

本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.

7、D

【解析】

由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；

!<1nX<0或尤>1,利用集合间的包含关系可判断选项D.

x

【详解】

命题，咱/<0,2%〈sin%”的否定形式是“VxWO,2x>sinx"，故A错误；a_Ly,

则％分可能相交，故B错误；若F(0vJvl)=0.4,则P(1<J<2)=Q4,所以

1-04-041

尸©<0)=--——-=0.1,故P(J>0)=0.9,所以c错误；由一<1,得x<0或x>l,

2x

故“X<0”是“L<1”的充分不必要条件，D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容

易题.

8、A

【解析】

根据向量投影的定义，即可求解.

【详解】

cos2

。在匕上的投影为H^TT=f=-

故选:A

【点睛】

本题考查向量的投影，属于基础题.

9、B

【解析】

解出计算AP-BC并化简可得出结论.

【详解】

AP=OP-OA=^(

AB\'cosBAC\■cosC

AB.BCAC.BC

/.AP.BC=2=2(-|BC|+|BC|)=

AB\'cosBAC\cosC

•••APLBC>即点尸在BC边的高上，即点尸的轨迹经过△ABC的垂心.

故选凤

【点睛】

本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算APBC是关键.

10、A

【解析】

根据指数函数的单调性，可得＞1，再利用对数函数的单调性，将仇。与l,g对比，即可求出结论.

【详解】

由题知。=5与>5°=l,l>^=log4V5>log42=1,

则a>b>c.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题“

11、A

【解析】

将z整理成。+方的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.

【详解】

解：z=(2+i)(l+i)=2+『+3i=l+3，，所以z所对应的点为(1,3)在第一象限.

故选:A.

【点睛】

本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把i?当成1进行计算.

12、C

【解析】

/（-2）=2-2=：，（〃一2））=O=Y=1十;.故C正确.

试题分析:

考点：复合函数求值.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、叵

4

【解析】

利用正弦定理将角化边得到a+6=也，再由余弦定理得到cosC=2-l,根据同角三角函数的基本关系表示出

ab

sinC,最后利用面积公式得到5=，出^^0=!。a-(工]+—=-y/-l+2ab，由基本不等式求出ab的取值

22\{abjab2

范围，即可得到面积的最值；

【详解】

解：二•在AABC中，sinA+sinB=A/3sinC，：•a+b=A/3C=A/3，

."a1+b2-c2(a+b)2-lab-c11.

2ablabab

•••sinC=Vl-cos2C=Jl-f—-1|=J-|—|+—>

VJV[ab)ab

S=—a/?sinC=—ab./-f—+—=-y/-l+2ab-

22\{abJab2

•••口+6=百22/茄，即0<ab<』，当且仅当a=6=走时等号成立，

42

:.S=■-1+2"<-J-1+2X-=&，：.AABC面积的最大值为Y2.

22V444

故答案为：正

4

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.

14、2.

【解析】

2

由双曲线炉-2=13〉0)的一条渐近线为y=2x，解得人.求出双曲线的右焦点(c,o),利用点到直线的距离公式

求解即可.

【详解】

I?h

双曲线d—%=13〉0)的一条渐近线为y=2x.-.-=2

解得：b—2c=Vl+22=A/5

二双曲线的右焦点为(J?,0)

二焦点到这条渐近线的距离为：r*==2

本题正确结果：2

【点睛】

本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题.

144

15、——

25

【解析】

先由等面积法求得AO,利用向量几何意义求解即可.

【详解】

3义4*12

由等面积法可得AD=三一=不，依题意可得，ADLBC,

所以(CB—C4>AD===当.

144

故答案为：—

25

【点睛】

本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.

16、①②④

【解析】

由题意可知，若要存在立+6使得依+AWg(x)成立，我们可考虑两函数/(x)，g(x)是否存在公切点，若两函

数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对①，③，④都可以采用此法判断，对②分析式子特

点可知，正Wx’VT二[，进而判断

【详解】

①xe0，m时，令4(无)=x-sin无，贝"<x)=l-cos尤20,加力单调递增，f0(x)>f(x)=0,即xNsinx.令

go(x)=x-tanx,贝!Jg0(尤)=尤---二，go(x)单调递减，g。(x)Wg(无)=。，即xWtanx,因此sinxVxVtanx,满足

cos'x

题意.

②xe[l,+co)时，易知，了2+1>尤>。励_1，满足题意.

③注意至!]/(0)=g(0)=2,因此如果存在直线丫=区+6,只有可能是/(x)(或g(x))在％=0处的切线，

〃x)=2x,尸(0)=0,因此切线为y=2,易知g(x)22。9・6-工=2,/(%)>2,因此不存在直线>=履+6满足题意.

④xe(O,+s)时，注意至U/(l)=g(l)=O,因此如果存在直线>=区+匕，只有可能是g(x)(或〃力)在x=l处的

切线，g'(x)=21nx+2,g'⑴=2,因此切线为y=2x—2.

令加力=%——(2尤-2),则以元)=｝一1,易知人(九)在(0,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减，所以

4(x)4%⑴=0,BPx--<2x-2.

X

令g0(x)=2xlnx-(2A2),则g；(x)=21nx,易知g0(x)在(0,1)上单调递减，在(1,y)上单调递增，所以

g0(x)>g0(1)=0,gp2xlnx>2x-2.

因此无一，42x-242xlnx,满足题意.

X

故答案为：①②④

【点睛】

本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)a=0.005；⑵列联表见解析，有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，E(X)=3

【解析】

(1)由频率和为1,列出方程求。的值；

(2)由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，

填写2x2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；

(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，

知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.

【详解】

解：(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,

可知(2a+0.020+0.030+0.040)xl0=l,

解得a=0.005；

(2)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为620+0.05=0.25,

所以晋级成功的人数为100x0.25=25(人)，

填表如下：

晋级成功晋级失败合计

男163450

女94150

合计2575100

假设“晋级成功”与性别无关，

根据上表数据代入公式可得Q」°嘤黑；谓叽2.613〉2.072,

所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；

(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75,

将频率视为概率，

则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75,

所以X可视为服从二项分布，即X~,

p(X=Q=Cfg)(左=0,1,2,3,4),

故p(x=o)Y用([J=一

22):需/、装，

2)=呜3([黑,

P(X=4)=C：„步露

所以X的分布列为：

X01234

1125410881

P(X=k)

256256256256256

3112,54c108c81/.、

数学期望为或X)=4丁3•或(玖加亚剑女xln------X2H-------X3H------x4=3)

256256256

【点睛】

本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题.若离散型随机变量

X则£(x)=利,£)(%)=秋(1-P).

18、(1)^-+y2=1；x+y+4=0(2)最小值为衣，此时尸［一］,一')

【解析】

(1)消去曲线G参数方程的参数，求得曲线G的普通方程•利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线。2的直

角坐标方程.

(2)设出P的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得IPQI的最小值及此时点P的坐标.

【详解】

(1)消去戊得，曲线C］的普通方程是：'+>2=1；

把X=QCOS£,y=〃sin。代入得，曲线C2的直角坐标方程是％+V+4=0

(2)设P(6cosa,sina),IPQI的最小值就是点尸到直线的最小距离.

r2sin|a+—|+4

设3cosa+sina+4|<3)

d=-----忑-----=耳

在a=—三时，sin^a+^=-l,1=后是最小值，

1

此时geosa=——,smtz=——

22

所以，所求最小值为0,此时5，-

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属

于中档题.

19、(1)/(x)=—Inx；(2)证明见解析.

【解析】

(D根据题意，在(0,+8)上单调递减，求导得f(x)=2取」=2叱-％〉0),分类讨论f(x)的单调性，

XX

结合题意，得出了(%)的解析式;

1,1,1

(2)由占，羽为方程丁=f{x}+m的两个实根，得出In%+——=m,Inx2+--=m,两式相减，分别算出用和超，

2x2石

利用换元法令。=土和构造函数21n/,0〈/<1,根据导数研究单调性，求出〃«)<〃(1)=0,即可证出

々t

结论.

【详解】

(1)根据题意，/(X)对任意两个不等的正实数玉,灰，都有/(、)[(：)<0恒成立.

玉~X2

则了(九)在(。,+8)上单调递减，

因为7•'(%)=2奴—L=2。厂—1(%〉0),

XX

当a=0时，/(x)<0,f(x)在(0,+8)内单调递减.，

当〃>0时，由/'(X)=。，有x=r--,

72a

此时，当xe[o,£=1时，/'(x)<0,/(x)单调递减，

当XG1J,+00)时，/'(x)〉0,/(x)单调递增，

综上，«=0,所以/(x)=Tnx.

(2)由国,%为方程，-=/(%)+加的两个实根，

2x

,1,1

得In石H----=m,Inx2H----=m,

两式相减，可得In%1-In%?------=。，

21n%21n%21n%

构造函数h(t)—t2InZ,0<Z<1.

t

,

则A(0=l+l-|=-^2i>0,

所以函数力⑺在(0,1)上单调递增，

故〃”)<〃⑴=0,

1/_1

即/----2In<0,可知t〉］，

'21n7>

故玉+%>1,命题得证.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能

力和计算能力.

20->(1)厂+(y—2)~=4(2)(2,—).

【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的转化公式x=pcos9,y=psm3求解.

(2)先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可.

【详解】

(1)•.•曲线C的极坐标方程为Q=4sin，，

「之=4夕sin6,则£+V=4'，

即f+(y—2)2=4.

a

x=2+cos2a=2cos2——Fl

⑵<2

y=6+2A/3COS2—=A/3(2COS2—+1)

、22

y=A/3X,x>l

联立尤2+(y_2)2=4可得八3/=4氐,

x=0(舍)或%=百，

公共点（百，3）,化为极坐标（2月，1）.

【点睛】

本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一

般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养.

21、（1）4行；（2）不存在.

【解析】

（1）由已知工+!=，石，利用基本不等式的和积转化可求"22,利用基本不等式可将a3+b3转化为由不

ab

等式的传递性，可求^+分的最小值；（2）由基本不等式可求2。+3b的最小值为4而4G〉6,故不存在.

【详解】

（1）由J拓=—+：»〒〒，得abN2,且当q=b=后时取等号.

aby/ab

故n2J。崂＞4^/2'且当a-b—时取等号。

所以^+步的最小值为4夜；

（2）由（1）知，2a+3022宾瓦24G.

由于4G＞6,从而不存在&力，使得2a+3^=6成立.

【考点定位】

基本不等式.

22、（1）证明见解析；（2）a=5.

【解析】

⑴将a=4代入函数解析式可得了（%）=—%+1,构造函数g（x）=lnx—x+1,求得y（