山西省朔州市怀仁市2023-2024学年高二年级上册第二次教学质量调研数学试题（解析版）

怀仁市2023-2024学年度上学期高二第二次教学质量调研试题

数学

考生注意：

L本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色里水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答亲答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本试卷主要命题范围：选择性必修第一册全册，选择性必修第二册第四章.

一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的.

1.己知直线/的方向向量是"二（3'2」），平面夕的一个法向量是&=（—L2,—1）,则/与a的位置关系是

（）

A.B.Illa

C./与a相交但不垂直D.///。或/ua

【答案】D

【解析】

【分析】根据—3+4—1=0,所以进而可以得到/与。的关系.

【详解】因为a,a=—3+4—1=0，

所以。，M，所以///a或/ua.

故选：D.

2.已知双曲线C:1—1=1的离心率6=或，则曲线。的渐近线的方程是（）

a2b22

A.y=+—xB.y=±2xC.y=±-xD.y-±3x

23

【答案】B

【解析】

【分析】利用离心率找到基本量的关系，得到渐近线方程即可.

【详解】易知＜=又八半，故f百4,解得台2,显然渐近线方程

y=±2x.

故选：B

3.己知抛物线y=的焦点为R点6(1,3),若点A为抛物线任意一点，当|A4+|”|取最小值时,

点A的坐标为()

A.%)BJ1,£|C.(1,4)D.(4,1)

【答案】B

【解析】

【分析】设点A在准线上的射影为。，则根据抛物线的定义把问题转化为求|A3|+|AO|取得最小值，数形

结合求解即可.

【详解】设点A在准线上的射影为。，如图，

则根据抛物线的定义可知\AF\=\AD\,

求|AB|+|AF|的最小值，即求|AB|+|AD|的最小值，

显然当DB,A三点共线时+最小，

此时A点的横坐标为1,代入抛物线方程可知A］，:j

故选：B.

4.已知点P(7,3),。为圆M:/+y2—2x—10y+25=0上一点，点S在无轴上，贝HSP|+|SQ|的最

小值为()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】

【分析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将SP转换为SP'，连接MP，

找到S点的位置，从而求出线段和的最小值

【详解】将圆方程化为标准方程为：(％—+(y—5『=1,如下图所示：

作点P(7,3)关于x轴的对称点P'(7,-3),连接"p与圆相交于点。，与x轴相交于点S,此时，

|SP|+|SQ|的值最小，且|SP|+|SQ|=|SP|+|SQ|=P'Q=P'M—r,由圆的标准方程得：M点坐标

为(1,5),半径厂=1，所以PM=J36+64=10，PM-r=9>所以ISP|+1SQ|最小值为9

故选：C

5.如图，在正方体ABC。—中，E为棱A4上的一个动点，产为棱耳G上的一个动点，则平面

EFB与底面ABCD所成角的余弦值的取值范围是()

A[o交]C[0回D

23235

【答案】A

【解析】

【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面后打

的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可.

【详解】

设平面EFB与底面A5CD所成的二面角的平面角为仇由图可得e不为钝角.

以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则D(0,0,0),A(l,0,0),B(l,l,0),C(0,l,0),Q(0,0,1),E(l,0,m),F(n,l,l),

所以=(0,—,5/=(〃一1,0,1),

设平面石?方的法向量为〃=(尤,y,z),

n-BE-0f-y+mx=0

则〈,，即1，

n-BF-01(〃一l)x+z=0

令x=-l,则y=m(n-l),z=n-1,故〃=(-1,m(n-l),n-l)，

又底面ABC。的一个法向量为m=(0,0,1)，

।/In-ml|n-l|

所以8也尔5'同=丽飞+叫〃一户(1)2,因为…［。4

1-n

则cos"

J]+加2—+(〃一]『

当〃=1时，cos0=0

cos0二।1

1

当时，I1m2}t,当/Tie[0,1],

~)2

则(1-〃)2<0,1],m2G[0,l],则口3万式1，+8),

则当〃=0,m=0时，分母取到最小值0,此时(cos，)=—，

\/max2

-0(交

当〃-1,〃>0时，则,此时COS。£0,

2

综上cos。W0,

故选：A.

6.直线/：区-y-2左+1=0与曲线c：y+「—，_%2+6%_5有交点,则实数人的取值范围是（）

2

A.2B.—00,--u-[2,+oo

-p3

2

C.D.(-co,-2]—.+00

3

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据曲线的方程确定为以（3,-1）为圆心，2为半径的下半圆，进一步利用经过定点的直线系和

曲线的交点确定直线的斜率，最后确定实数上的取值范围.

【详解】/：Ax—y—2左+1=0=左（X—2）—（y—1）=0,所以直线恒过定点4（2,1）,且斜率为心

曲线C:y+l=-Jf2+6%_5，整理得(尤—3『+(y+l)2=4,(y<-l)

故该曲线是以（3,-1）为圆心，2为半径的下半圆,

如图所示，令y=-1,代入（x—3『+（y+l）2=4,整理得（x—3尸=4,解得x=l或5；

故8(—1,—1),C(5,—1),

心5=上史=2，Kc=—2，所以直线与曲线有交点，只需左22或左4—2即可,

2—133

故选：B.

7.已知等差数列｛4｝的前〃项和为5“，若=+且A、B、。三点共线（该直线不过

原点。），则邑023的值为（

20212023

------B.1011C.--------D.1012

22

【答案】C

【解析】

【分析】利用三点共线结合共线向量的基本定理可求出4+。2022的值，再利用等差数列的求和公式以及等

差数列的基本性质可求得邑。23的值.

【详解】因为A、8、C三点共线（该直线不过原点。），

设AB=23C（；LGR）,即—=—03）,可得04=（2+1）08-;IOC,

又因为OA=%OB+々2022OC，则。2=X+1，“2022=一几，所以，％+%022=1，

因为等差数列｛%｝的前n项和为Sn,

uni2023（q+,2023）2023（4+%。22）2023

则>023-------------------------=-------------------------=--------.

2023222

故选：C.

22

8.点A、3为椭圆£:=+二=1（。〉5〉0）长轴的端点，C、D为椭圆E短轴的端点，动点M满足

ab

黑^=2,记动点M的轨迹为曲线r,若曲线r上两点Ml、满足面积的最大值为8,

\MB\

△“2。。面积的最小值为1，则椭圆的离心率为

A忘B6c有D点

3322

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意求得动点M的轨迹方程,再分析LMIAB与AM?CD面积的表达式求解的关系进而求得离心

率即可.

【详解】由题可设A（-a,0）,B（a,0）,M｛x,y）则因为三总=2,故

|MB|

«（x+〃）~^^=2n（x+〃）2+y2=4（x-〃）2+4/.化简得「：（x--6z）2+y2=­a2.

J（i）2+产39

故当必——£,o］时△Af］AB面积最大，△M2CD面积的最小.

\33J\3）

a=y/6I-~~厂

故：x2ax¥=8,；x20x《=l=><娓.故椭圆的离心率e=Jl—化］=—.

2323b=——v\aJ2

I2

故选：C

【点睛】本题主要考查了圆的轨迹方程的求解以及离心率的求解问题，需要根据题意列出加（无4）满足的条

件，再化简求得方程，属于中等题型.

二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列命题中正确的是（）

A.已知弓,4是两个互相垂直的单位向量，Q=2«+3«,〃=泥1一4«，且〃1Z?，贝1J实数左=6

B.已知正四面体。46c的棱长为1,则（OA+O3>（C4+CB）=1

C.已知A（l,l,0）,5（0,3,0）,C（2,2,3）,则向量AC在川上的投影向量的模是日

D.已知a=q—2^+4,〃=—£?］+3e,+2^,c=—3q+,｛《,可,｝为空间向量的一'个基底，则向量

a,仇。不可能共面

【答案】ABC

【解析】

【分析】A中，根据平面向量的数量积列方程求出发的值；B中，根据正四面体的结构特征，计算空间向量

的数量积即可；C中，根据投影向量的定义计算模长即可；D中，假设向量a,共面，由此列方程组求解

即可.

【详解】对于A：因为。上匕，且耳,«是两个互相垂直的单位向量，所以

=

ci'b（2。］+3^）,（~4%）=2ks；+（3左一8））•马—1252^=2k—12=0,

k=6,故A正确;

o

对于B：如图，正四面体对棱互相垂直，所以。4J,CB,QB_LCA,

(OA+OB)(CA+CB)=OACA+OACB+OBCA+OBCB

=1x1xcos60+0+0+lxlxcos60=1，故B正确；

对于C：AC=(1,1,3),AB=(-1,2,0),

\AC-AB\|1X(-1)+1X2+3X0|75

向量AC在AB上的投影向量的模长，~1故C正确;

\AB

对于D：假设向量共面，则存在实数X、y^a=xb+yc,所以

g-2e2+e3=x(—er+36,+2e3)+y(—3ej+7e2)=(-x-3y)e]+(3x+7y)e7+2xe3,

-x-3y=l[x=-

2

所以3x+7y=-2,所以j,故向量〃也。共面，D错误.

2x=ly---

iI2

故选：ABC.

10.圆O]:Y+,2—2%=0和圆4：/++2%—4y=0的交点为A,B,则有()

A.公共弦AB所在直线方程为x-y=。

B.线段AB中垂线方程为x+y—1=。

c.公共弦AB的长为交

2

D.尸为圆a上一动点，则尸到直线A3距离的最大值为正+i

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A；求出垂直平分线的方程判断B；利用垂径定理计

算弦长判断C；求出圆到直线的距离的最大值判断D.

【详解】圆0］：(%—1)2+丁2=1的圆心。(1,0),半径彳=1,

：(X+1)2+(y—2)2=5的圆心Q(T，2),半径G=,

显然iaQ|=2、/5e(G—弓,弓+弓)，即圆。|与圆仪相交，

对于A,将方程x~+y?—2x=0与厂+_y2+2x—4_y=0相减，

得公共弦AB所在直线的方程为4x—4y=。，即x—y=0,A正确；

对于B,由选项A知，直线A3的斜率心B=1,则线段AB中垂线的斜率为-1,

而线段A3中垂线过点。(1,0),于是线段AB中垂线方程为y—0=—lx(x—1),即x+y—1=0,B正

确；

|1-0|V2

对于C,点Q(l,0)到直线x—y=0的距离为d="(=7，

因此_/=,c错误；

对于D,P为圆a上一动点，圆心q(i,o)到直线x—y=0的距离为d=

2

因此点尸到直线A8距离的最大值为d+4=曰+1，D正确.

故选：ABD

r1,

11.已知5.是等差数列｛4｝的前几项和，满足邑0<$2023Vs叩，设么=4为+q“+2,数列｛1｝的前〃项

---bn

和为北，则下列结论中正确的是()

A.劭磔<0B.使得Sn<0成立的最大的n值为4045

C«2023a2024<a202102022D.当九=2022时，北取得最小值

【答案】ACD

【解析】

【分析】由等差数列性质结合已知可得。2022=§2022-§2021V。，">。，。<生023<-%022，结合表达式性

质，由此即可判断AC；结合等差数列前〃项和与通项的关系即可判断B；结合等差数列项的符号即可判

断D.

【详解】因为§2022<§2021，所以％022=$2022—52021V。，A正确；

叵|理%)23=S2023—邑022>。,^2023+“2022=§2023—§2021V0，d>0,

则0<%023<—々2022,所以^2023+△<—(^2022—"),即。<。2024<一生021，

所以。2023%024<%021%022,C正确；

“2023>0邑045=4045%023〉0

$4043

因为《%022<0,所以<=4043%022<0

+“2023<°2022+02023)<

、〃2022邑044=2022(〃0

故使得S及<0成立的最大的〃值为4044,B错误；

<^1/2<♦♦♦<^^2022<<^^2023<***,

故当1<〃<2020,。/讣1册+2<。,故>72020,

当〃=2021时,“AA+14+2>°，故《021>1020，

当〃=2022时,。〃见+1。〃+2<°，故丁2022<-^2021

当7222023时,>°，故5022<与023<〈（，

HTT_______1_______।_______I________〃2022+42023,n

W-^2022―^2020_1_<U,

"2021"2022^2023.2022”2023”2024”2021^2022"2023"2024

故5022<5020,故当"=2022时北取得最小值，D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：解决问题的关键是要灵活应用等差数列的性质、等差数列前〃项和公式、以及数列求

和的裂项相消法.

22

12.已知尸为椭圆言+/=1的右焦点，直线x+小y=0（meR）与椭圆交于P,Q两点，直线与椭

圆交于另一点知,则（）

1Q

A.忸河|的最小值为不

B.△”Q周长的最小值为16

C.|尸耳的最大值为9

一9

D.直线尸M与Q0的斜率之积为----

25

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据椭圆的标准方程及椭圆的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.

22

【详解】由椭圆的方程言+(■=：!,可得。=5,6=3,则0="万=4，

对于A中，因为9经过椭圆的交点，由椭圆的性质，可得通径最短，

,右21o1O

其中通径长为Z=上，所以1PMi的最小值为一，所以A正确；

a55

对于B中，根据椭圆的对称性，可得归耳|=但。|,

由椭圆的定义可得|尸尸|+|。同=|尸耳+|尸耳|=2a=10,

又由过原点的直线交得椭圆的弦长中，短轴长最短，其中短轴长为26=6,

所以△RPQ周长的最小值为16,所以B正确；

22

设椭圆的长轴的两个端点分别为A，4，由椭圆|^+(■=1

根据椭圆的性质，可得|A^=a+c=5+4=9,此时直线4口的斜率为0,

因为直线X+冲=0(meR)斜率不为0,所以同＜9,所以C不正确；

设时01%),2(%,＞2)，贝!1。(一々,一＞2)，

%一%kM+以

则在PM,的斜率都存时，可得kpM

%+x2

8(9-(幻9,所以D正确.

2

则3k“一%一+%_/一

KpMKQM——2

石一%/再一25

故选：ABD.

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知圆O:/+y2=9,p(-4,3),过点P向圆引两条切线/%、PB,A、3为切点，则|PA|=

【答案】4

【解析】

【分析】由圆的几何性质可知，OALPA,利用勾股定理可求得|率|的值.

【详解】圆。的圆心为坐标原点，半径长为3,由已知可得|OP|=4—4苗+32=5,

由圆的几何性质可得OA±PA,由勾股定理可得|尸山=^OPf-|(9A|2=V52-32=4.

故答案为：4.

14.在如图所示的平行六面体ABCD-A4Goi中，已知AB=招=A。，ZBAD=ZDAA,=60°,

ZBA41=30°,N为A。上一点，且>^^=力42.若比)，4丫，则4的值为.

【答案】6-l##T+G

【解析】

【分析】设AB=a，AD=b，M=c,以｛。,瓦。｝构成空间的一个基底，根据8。J.AN,可得

BDAN=0,将3£>,4?/分别用。涉,。表示，再根据数量积得运算律即可得解.

【详解】设AB=a，AD-b，A4j=c，

则｛a,b,c｝构成空间的一个基底，

设AB=1,

因为LAN,

所以•⑷V=0，

因为80=AD—A3=b—a，AN=A^+^N=c+Ab,

所以仅一a),(，+，»=0,即+-a-c+Aa-b=Qj

解得；l=G—1

故答案为：y/3—1-

1*

15.已知数列｛4｝的前"项和为S",且满足2s“=4一下(〃€"),则§2022=_______

【答案】413231

【解析】

2

【分析】在〃22时，利用=5,-S,T得出数列的递推关系式4+4T=3，这样我们在求数列和时只

要从第一项开始两项并一组，变可以求得偶数项和.而题中求立m正好可求；

1g1

【详解】解：当〃=1时有2%

当“22时，2s,

斤①，又25"=4-1②，

12

「一三整理得""+""T=F；

②一①得2an=an-an_x+—

2

于是〃=2得%+,

〃=4得〃4+〃3=^4~，

2222

〃=6得。6+〃5=%18+。2017=22018'〃2020+^2019=22020'〃2022+^2021=22022；

2222222

所以S2022=系+下+至++22016+22018+22020+32022

TWN

[1-，)•

9

故答案为：小320221.

22

16.已知双曲线c：q+==i（a>6>0）的左，右焦点分别为月（―c,0）,与（c,0）,直线y="仔>0）与

ab

双曲线C在第一、三象限分别交于点A3,。为坐标原点.有下列结论：

①四边形人43鸟是平行四边形；

②若尤轴，垂足为E,则直线座的斜率为‘左；

2

③若|OA|=c,则四边形的5工的面积为心

④若AAOB为正三角形，则双曲线C的离心率为岔+1.其中正确命题的序号是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】对于①，利用双曲线的性质判断四边形的形状，对于②，利用斜率公式判断，对于③，由题意可判

断四边形A45月为矩形，从而可求出其面积，对于④，由仆为正三角形，可表示出点力的坐标，代

入双曲线方程化简可求出离心率.

22

【详解】对于①，因为双曲线C二-当=l（a>0力>0）的左，右焦点分别为£（一。,0）,6（c,0）,

直线尸砥左>。）与双曲线C在第一、三象限分别交于点A3,所以|Q4|=|O@,|O周=|。闾，

所以四边形A4是平行四边形，所以①正确；

对于②，设4为%）,则8（—和―％）,因为轴，垂足为E,所以石（和0）,

所以左=&,须£=兽=〈，丛=:左，所以②正确；

玉2玉2玉2

对于③，因为|Q4|=c,所以|。4|=|0周=|0闾=c,

所以△AO工是直角三角形，所以四边形A耳5月为矩形，

设|AF；|=〃NAF^=〃，则7〃-〃=2a,所以信一2“切+1=4/,

因为冽2+1—4c2，所以4c2—2rrm=44，

所以加〃=2〃，所以四边形入耳6月的面积为2〃，所以③错误；

对于④，因△AO8为正三角形，网=c,所以%，牛），

因为点吗,华）在双曲线。：［-4=1（。＞0/＞0）上，

所以考—与=1,化简得b2c2—3a2c2=4/〃,

a2b2

所以（。2_42）。2一3。2c2=4。2«2一。2）,一加2c2+4/=0,

所以e4—8e2+4=0，

所以心心『="=4±25

22

所以euj^+l，所以④正确，

故答案为：①②④.

【点睛】思路点睛：考查双曲线的定义和几何性质的应用，结合双曲线的几何性质和题意找出等量关系,

考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知直线3x+4y—2=0与直线2x+y+2=0交于点尸.

（1）直线4经过点尸，且平行于直线3x-4y+5=0,求直线乙的方程；

（2）直线4经过点尸，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线6的方程.

（注：结果都写成直线方程的一般式）

【答案】（1）3x-4y+14=0；

（2）x-y+4=0.

【解析】

【分析】（1）联立两直线方程求出交点尸的坐标，设/i：3x-4y+〃z=0,将点尸的坐标代入方程，求出加

的值，即可得解；

（2）依题意设:二+』=1或2-2=1,将点尸的坐标代入方程，求出。、方的值，即可得解;

aabb

【小问1详解】

h3+x+y4y+-22==00联立得］x=-2

解：由＜;.P（-2,2）,

22

设4:3x—4y+m=0（ww5）,将P（—2,2）代入得3x（-2）-4x2+〃z=0,解得m=14,

..I］为3x—4y+14=0.

【小问2详解】

解：由题意直线的斜率存在且不为0,设6：2+上=1或二一2=1，

aabb

_99—99

将尸(—2,2)代入得---1—=1或-----丁=1

aabb

解得〃无解或Z?=-4,

所以三—二L=l,即％—y+4=0,

-4-4

:.I?为％—y+4—0.

18.已知数列｛。"｝满足m=3,6=5,且2aa+2=3a“+i-，〃GN*.

(1)设b.=公+i—.，求证：数列也｝是等比数列；

(2)若数列｛斯｝满足为<加"GN*),求实数机的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)zn>7

【解析】

【分析】(1)构造2(%+2—。"+1)=4+1—。”证明即可；

(2)根据｛%｝是等比数列，利用累加法与等比数列的求和公式可得4=7-23一"，再根据a“的最大值分

析即可

【小问1详解】

因为2。,什2=34+1—，所以2(a.-a“+i)=an+i-an.

b1

即2a+1=6“，又因为伪=g=2/0,所以包片0,则-^=7,

bn2

所以，数列｛4｝是等比数列

【小问2详解】

由(1)数列也｝是首项为2公比为4等比数列,则bn=2^.

所以4-a{=a2-a{+q—4+L+an-an_x=仄+2+L+bn_x=2x(n>2)»

1-1

则。=3+2x—U2_=7_23-"(n>2).

1-1

2

经检验”=1时也符合，则氏=7-23f.

又因为4=7—23-"<7,所以田》7.

19.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，5A_L平面ABCD,二面角

77

s-DC-A的大小为一，E、F、G分别是S4、SB、BC的中点.

4

(1)求证：5。//平面瓦石；

4BM

(2)在线段BC上是否存在一点使得点A到平面跳河的距离为一，若存在，求出——的值；若不

5MC

存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)2

【解析】

【分析】(1)连接3£),取3。的中点P,连接EP,GP,可证PGu平面£FG,SD//FP,故而

论成立；

(2)设6M=a,建立坐标系，利用向量求出A到平面EW的距离，解方程得出。的值，得出结论.

【详解】(1)证明：连接的，取3。的中点尸，连接EP,GP,

P,G分别班>,3C是的中点，E,尸分别是S4,SB的中点，

:.PG//CD,EF//AB,

又AB//C。，

EF//PG,:.PGu平面EFG,

F,P分别是SB的中点，

：.SD//FP,又S。平面EFG,EPu平面EFG,

:.SD〃平面EFG.

(2)解：平面ABCD,CDu平面ABCD,

.•.&LLCD,又ADLCD,

\CDA平面S4£>,

:.CDLSD,

TT

NSDA为二面角S-DC-A的平面角，即ZSDA=-,

4

5A=AD=2,

以A为坐标原点建立如图所示的空间坐标系如图所示:

设BM=a,40,0,0),E(0,0,l),F(-1,0,1),M(-2,tz,0),

则.•.即=(-1,0,0),EM=(-2,47,-1),AE=(0,0,1).

/、n*EF=0

设平面ERW的法向量为〃=(%，y,z),贝八，

n•EM-0

f-x=0(1)

Ac八，令z=l可得〃=0,-,1.

-2x+ay-z=()\aj

.尸AE9n1

/.cosAE,n=।----；—=]

"同、

Va

4

d-\AE\COSAE1,

二.A到平面EFM的距离।।5,

4

解得ci——

3

_4

0vav2,.•.线段5C上是否存在一点M,使得点4到平面期/的距离为

4

且%=*=2.

MC2」

3

【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思

想，是中档题.

20.记数列｛4｝的前〃项和为S”，对任意正整数“有2S"=3/+".

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设勿求数列也｝的前w项和为&

【答案】（1）=3/7-1

（2）北=6-处2

n2〃

【解析】

S[,fl=]（X

【分析】（1）根据4,=求出｛4｝的通项公式;

（2）求出仇==，利用错位相减法求和.

2

【小问1详解】

当〃=1时，2sl=3+1=4,故%=S]=2,

2

2Sn=3n+n0,当〃之2时，2S〃_i=3（71-1）?+〃一1②,

两式相减得2%=3M2-3（H-1）2+1=6H-2,

故％=3n-l,

又当川=1时，3x1-1=2,满足要求，

综上，an=3n-l；

【小问2详解】

=l+a^=3n

3n

+一

133333n

两式相减得，-7；1=-+^+^+

6+3〃

故r=6-

21.直三棱柱ABC—AjB]G中，AA]=AB=AC=1,E,F分别是CC】、BC的中点，AE，A》1，

D为棱A31上的点.

(1)证明：DF±AE；

(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为巫？若存在，说明点D

14

的位置，若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见详解；(2)。为A片的中点，理由见详解.

【解析】

【详解】试题分析：对于问题(1)可以先证明AB,AC,44]两两垂直，然后再建立空间直角坐标系用向量

法进行证明；对于问题(2)可在(1)中建立的坐标系下，分别求出平面£＞石尸与平面ABC的法向量，再

根据二面角的余弦公式，即可确定是否存在一点。，使得平面DE尸与平面ABC所成锐二面角的余弦值为

V14

~\A'

试题解析：(1)证明：因为4石，4片，4片//45,所以AELA3,

又因为A&5AAe=所以A31面AACG，

又因为ACU面AACG，

所以AB1AC,

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,则有

A(0,0,0),E(0,l,0),A(0,0,1),4(1,0,1)

设。T,二1踵，位且Xe(0,l),即(x,y,z—1)=〃1,0,0),则

一

。(尢0,1),所以OF=I2

-=o,所以

2

(2)结论：存在一点。，使得平面OE尸与平面A5C所成锐二面角的余弦值为巫

14

理由如下：

由题可知面ABC的法向量2=31：

_n-EF=0

设面OEF的法向量为，：=「「门，则｛

n-DF=0

—111—

因为庄=(-士二・±).DF=(±-X.士

1113

所以｛JI，