安徽省铜陵市联考2023-2024学年高三第二次联考数学试卷含解析

安徽省铜陵市联考(铜陵一中、池州一中、浮山中学2023-2024学年高三第二次联考数

学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角”条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若双曲线上-1=1的离心率e=YZ，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为()

4b22

A.26B.2C.V3D.1

2.使得尸］(〃eN+)的展开式中含有常数项的最小的n为()

A.4B.5C.6D.7

3.设函数/(%),g(x)的定义域都为R,且/(九)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()

A./(%)超⑴是偶函数B.⑺是奇函数

C.是奇函数D.是奇函数

4.已知函数/(X)=X2—3X+5,g(x)=ax-Xnx,若对Vxe(0,e),Hx,,4e(0,e)且玉w%，使得

/(x)=g(x，)(，=l,2),则实数。的取值范围是()

22

5.已知双曲线。:鼻-当=1(4>()力>0)的右焦点为尸，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M

ab

点，M尸的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为()

A.V5-1B.V2C.y/3D.V?

6.已知抛物线产=2口(0〉0)上一点(5/)到焦点的距离为6,P、。分别为抛物线与圆(x-6了+产=1上的动点,

则|PQ|的最小值为()

A.A/21-1B.2--c.245D.2A/5-1

5

抛物线尤的准线方程是

7.2=y=lf则实数。=(）

3344

A.B.-C.——D.

4433

3+3,则不等式f(lgx)>3的解集为()

8.已知函数/(X)=k)g2j--+T

-8，H（10,+℃）A/小。)

A.B.C.（1,10）D.

9.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在AABC中，角A,瓦。所

2

；（时）2-

对的边分别为“,仇c,则AABC的面积S=.根据此公式，若

、2)

acosB+（Z?+3c）cosA=0,Ma2-b1-c2=2>则AABC的面积为（）

A.V2B.2&C.76D.26

10.定义在［-2,2］上的函数/(%)与其导函数1(％)的图象如图所示，设。为坐标原点，A、B、。、。四点的横

坐标依次为-,、-,、1、1,则函数y=M0的单调递减区间是()

263/

11.一个正四棱锥形骨架的底边边长为2,高为0,有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表

面积为（）

A.46兀B.41C.47271D.3万

12.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居

住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（）

1433

A.—B.—C.—D.一

2584

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.给出以下式子：

@tan250+tan35°+/tan25°tan350；

（2）2（sin35ocos25o+cos35ocos65°）；

c1+3115°

③---------

l—tanl50

其中，结果为G的式子的序号是.

14.已知时=2,M=a,人的夹角为30。，（a+2b）//（2a+2A）,贝!+—>）=.

15.已知公差大于零的等差数列｛4｝中，的、七、4依次成等比数列，则中的值是.

16.已知点A（0,-1）是抛物线好=2刀的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且|尸耳=7皿科，若

双曲线C中心在原点，尸是它的一个焦点，且过产点，当机取最小值时，双曲线C的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知（a+2c）cos6+3cosA=O.

（1）求成

（2）若6=4,求ABC的面积的最大值.

22

18.（12分）已知椭圆C：二+与=1（«>6>0）过点（0,五）,且满足。+方=3夜.

ab

（1）求椭圆。的方程；

（2）若斜率为g的直线与椭圆C交于两个不同点A,B,点M坐标为（2,1）,设直线M4与M3的斜率分别为质，

k2,试问胡+向是否为定值？并说明理由.

19.（12分）在正三棱柱45cA出G中，已知48=1,4Ai=2,E,F,G分别是棱A4,AC和4G的中点，以｛用,FB,FG^

为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

z

(l)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；

(2)求二面角F-BCi.C的余弦值.

20.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中，底面是棱长为2的正方形，侧面上4。为正三角形,且面PAD±

面ABCD,及尸分别为棱钻,尸C的中点.

(1)求证：£川|平面R4D；

(2)求二面角P—EC—。的正切值.

21.(12分)已知函数/(X)=2«+1|-上一7矶加＞0)

(1)当7%=2时，求不等式/(x)Wl的解集；

(2)g(x)=/(x)-2,g(x)的图象与两坐标轴的交点分别为若三角形ABC的面积大于12,求参数机的

取值范围.

22.(10分)已知定点4(—3,0),5(3,0),直线40、8M相交于点且它们的斜率之积为一1,记动点"的轨

迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程；

(2)过点T(l,0)的直线与曲线C交于P、。两点，是否存在定点S(x0,0),使得直线SP与SQ斜率之积为定值，

若存在，求出S坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.

【详解】

双曲线三—1=1的离心率e=YZ,

4b22

则a=2,e=3=[,解得c=J7,所以焦点坐标为（土J7,0）,

所以42—/=47—4=6，

则双曲线渐近线方程为＞=土乎x，即瓜±2y=0,

73x77「

不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d==73，

V3+4

故选：C.

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.

2、B

【解析】

135

二项式展开式的通项公式为C：（3x）-（法）「，若展开式中有常数项，则”-厂-5r=0,解得当r取2时，n

的最小值为5,故选B

【考点定位】本题考查二项式定理的应用.

3、C

【解析】

根据函数奇偶性的性质即可得到结论.

【详解】

解：/(X)是奇函数，g(x)是偶函数,

=-/(%),g(-x)=g(x),

f(-x).g(-x)=-f(x).g(x),故函数是奇函数，故4错误，

"(-x)|.g(-x)=|f(x)l.g(x)为偶函数，故B错误，

/(-x).|g(-x)1=-/(x).|g(x)I是奇函数，故C正确.

"(-x).g(T)H/(x)・g(x)|为偶函数，故。错误，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.

4、D

【解析】

先求出/(H的值域，再利用导数讨论函数g(x)在区间(o,e)上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范

围即可.

【详解】

因为且(力=依一加，故g[x)=ax1,

当aWO时，g'(X)<0,故g(x)在区间(O,e)上单调递减；

当时，g'(x)>0,故g(x)在区间(O,e)上单调递增；

1

当时，令/(%)=0,解得x=一,

a

故g(x)在区间单调递减,在区间上单调递增.

又=l+/a,g(e)=/_l,且当x趋近于零时，g(x)趋近于正无穷；

对函数/(尤)，当％e(O,e)时，

根据题意，对Vxe(0,e),m%,/%e(0,e)且石H%，使得于0)=g(xj(i=1,2)成立,

只需

即可得1+山a<U,W—125,

4e

「6八

解得。e-,e4.

Le）

故选：D.

【点睛】

本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综

合困难题.

5、A

【解析】

/7+fh

设则MF的中点坐标为（£、-，5）,代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程,

求出上的值，即可得答案.

a

【详解】

22

双曲线。:3-与=1（。>0力>0）的右顶点为4々,0）,右焦点为"c,o）,

ab

拉所在直线为X=a,不妨设

.••M尸的中点坐标为（彳,0）.代入方程可得[专][3]_,

22----5------~TT=1

ab

...（a+：）=J,/,g2+2e_4=0>'>e—^5-1（负值舍去）.

4a24

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意

构造a,c的齐次方程.

6、D

【解析】

利用抛物线的定义，求得P的值，由利用两点间距离公式求得|加|,根据二次函数的性质，求得「明疝/由|P9取

得最小值为|加京-1,求得结果.

【详解】

由抛物线C:V=2Px(p>0)焦点在X轴上，准线方程X=—T，

则点(5/)到焦点的距离为d=5+3=6,则。=2,

2

所以抛物线方程：>2=4%,

设尸(x,y),圆M:(x—6)2+y2=1,圆心为(6,1),半径为1,

贝！J|=J(x-6)2+y=正―6y+4x=J(x-钎+20,

当％=4时，|PQ|取得最小值，最小值为同一1=2追一1,

故选D.

【点睛】

该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的

距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.

7、C

【解析】

根据准线的方程写出抛物线的标准方程，再对照系数求解即可.

【详解】

4

因为准线方程为y=1，所以抛物线方程为x2=-4y，所以3。=-4,即。=

故选：C

【点睛】

本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.

8、D

【解析】

先判断函数的奇偶性和单调性，得到-l<lgx<l,且IgxwO,解不等式得解.

【详解】

由题得函数的定义域为(一8,0)(。,+8).

因为/(-%)=/(X)，

所以/'(X)为(—8,0)-(0,+8)上的偶函数，

因为函数丁=十+1,y=#二都是在(0,+8)上单调递减.

所以函数/(元)在(0,+8)上单调递减.

因为/(l)=3,/(lgx)>3=/(l),

所以一l<lgx<l,且IgxwO,

解得ju(l，10).

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平.

9、A

【解析】

根据acosB+(b+3c)cosA=0,利用正弦定理边化为角得sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA=0,整理为

sinC(l+3cosA)=0,根据sinCwO,得cosA=—耳，再由余弦定理得=3,又加一。2=2,代入公式

VL12H

【详解】

由acosB+(b+3c)cosA=0得sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA=0,

即sin(A+B)+3sinCcosA=0,即sinC(l+3cosA)=0,

因为sinCwO,所以cosA=-工，

3

2

由余弦定理。之一〃一°2=-2/?ccosA=—be=2,所以Z?c=3,

3

222

由AABC的面积公式得S=(be)-，+彳_，2=^|(3-1)=AZ2

故选：A

【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10、B

【解析】

先辨别出图象中实线部分为函数y=/(x)的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数,的导数为

ex

yJx)T(x),由y，<0,得出r只需在图中找出满足不等式/'(x)</(x)对应的X的取值范围

ex

即可.

【详解】

若虚线部分为函数y=/(x)的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象(实线)与x轴有三个交点，不合乎

题意；

若实线部分为函数y=/(x)的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象(虚线)与x轴恰好也只有两个交点，

合乎题意.

对函数y=/区求导得y=‘("一,由y'<0得/'(x)</(x),

exex

由图象可知，满足不等式/'(X)</⑺的X的取值范围是，),1；

因此，函数、=/邛的单调递减区间为1-

故选：B.

【点睛】

本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等

题.

11、B

【解析】

根据正四棱锥底边边长为2,高为0,得到底面的中心到各棱的距离都是1,从而底面的中心即为球心.

【详解】

如图所示：

s

因为正四棱锥底边边长为2,高为0,

所以如=也,SB=2,

0到S3的距离为，=SOxOB=1,

SB

同理。到SC,劈，口的距离为1,

所以。为球的球心，

所以球的半径为：1,

所以球的表面积为4万.

故选：B

【点睛】

本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.

12、C

【解析】

设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.

【详解】

%<V

设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为乐儿以12：00点为开始算起，则有,在平面直角

坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域,

扮

所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：

10?10!创010-工仓65Q

p=22=3.

10708

故选:C

【点睛】

本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①②③

【解析】

由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.

【详解】

/、tan250+tan35°仄

①.tan600=tan(25°+35°)=------------------------=,

l—tan250tan350

tan250+tan350+6tan25°tan35°；

=A/3(1-tan250tan35°^+A/3tan25°tan35°,

=A/3，

②2(sin35ocos25o+cos35ocos65°)=2(sin35ocos25o+cos35osm25°),

=2sin60°=^3;

^.l+tanl5otan450+tanl5°、r-

(3)---------=----------------=tan(z45°+15°)=tan60°=J3；

1—tanl5°1—tan450tan45°

故答案为：①②③

【点睛】

本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.

14、1

【解析】

由,+2))//(2°+例)求出彳，代入,+助—))，进行数量积的运算即得.

【详解】

(a+2Z?)//(2a+/Lb),二存在实数左，使得2a+2)=左(a+2)).

2=k

a*不共线，/X2=4.

A=2k

同=2,忖=百，a,b的夹角为30。，

(a+Xb)•(&-/?)=(a+4Z?)•(&-/?)=Q+3Qg一4Z?

=4+3x2x6xcos30°-4x3=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题.

15、2

4

【解析】

利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质，化简求出公差与电的关系，然后转化求解气的值.

一%

【详解】

设等差数列｛4｝的公差为d,则d＞。，

由于〃2、。6、％2依次成等比数列，则即(%+4dJ=%(〃2+1。1)，

,如2+10d18d9

d>0,解得%=8d,因此，——=TT=T.

a2a2Sa4

故答案为：j9

4

【点睛】

本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用，考查计算能力，属于基础题.

16、72+1

【解析】

由点A坐标可确定抛物线方程，由此得到口坐标和准线方程；过尸作准线的垂线，垂足为N,根据抛物线定义可得

PN\

—4=^,可知当直线Q4与抛物线相切时，加取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得P点坐标，根据双

PA|

曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.

【详解】

4(0,1)是抛物线必=2外准线上的一点,'./?=2

二抛物线方程为.-.F(0,l),准线方程为y=-l

过P作准线的垂线，垂足为N,贝！|归凶=归同

PF\\PN

\PF\=m\PA\-------=--------=TH

PA\\PA

设直线R4的倾斜角为a,贝!Jsina=加

当机取得最小值时，sina最小，此时直线R4与抛物线相切

设直线R4的方程为丁=近一1,代入必=4y得：46+4=0

.•.△=16/—16=0,解得：左=±1或(―2,1)

二双曲线的实轴长为|PA|-|PF|=2(^-1),焦距为q=2

•••双曲线的离心率e=2(夜_])=42+1

故答案为：V2+1

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当M

取得最小值时，直线Q4与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得P点坐标.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)B=-TT(2)

33

【解析】

⑴由正弦定理边化角化简已知条件可求得cosB=-《,即可求得B;

2

⑵由余弦定理借助基本不等式可求得。。＜当,即可求出ABC的面积的最大值.

【详解】

(1)(a+2c)cosB+bcosA=0,(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,

所以(sinAcosB+sinBcosA)+2sinCcosB=0,

所以sin(A+B)+2cosBsinC=0,

sin(A+B)=sinC,cosB=--,

2

2

0<B<7i/.3=—兀・

93

(2)由余弦定理得〃=a2+c2-2<2cx^--,^2+/+QC=1623QC,

:.ac<—,当且仅当q=c=迪时取等，

33

1664百

—X------=----------

一0ABC=—acsinB<—x

22323

所以.ABC的面积的最大值为逑.

3

【点睛】

本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形面积的最值问题，难度较易.

22

18、(1)—+^=1(2)出+危为定值0,见解析

82

【解析】

(1)利用已知条件直接求解。力，得到椭圆的方程；

(2)设直线在y轴上的截距为加，推出直线方程，然后将直线与椭圆联立，设A(玉,%),6(%,%)，利用韦达定理

求出匕+左2,然后化简求解即可.

【详解】

(1)由椭圆过点(0,收)，则匕=夜，又a+b=3近,所以。=2&，

22

故椭圆的方程为土+匕=1;

82

(2)4+左2=0,证明如下:

设直线在V轴上的截距为机，所以直线的方程为：y=^x+m9

1

y--x+m

2

由,22得：X?+2MX+2根2—4=0,

土+匕=1

[82

由=4m2-8m2+16>0^t-2<m<2,

设人不乂），B（x2,y2）,则石+%2=-2冽，xxx2=2m-4,

所以…2="+y=（0（"2?；（「）（％-2）

王一2X2-2（$_2）（%2-2）

D11

又弘=一玉+加，y2=—x2+m,

所以（％T）（W—2）+（%T）（石—2）FW+（相—2）（石+x2）-4（m-l）

=2m2—4+（m—2）（—2m）—4（m—1）=0,

故4+左2=0.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了方程的思想，转化与化归的思想,

考查了学生的运算求解能力.

19、(1)变.(2)

417

【解析】

(1)先根据空间直角坐标系，求得向量AC和向量BE的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

(2)分别求得平面5FG的一个法向量和平面5CG的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解.

【详解】

0),4^—,0,0^,C^--,0,0^,B0,-^-,Q,,0,1^>

规范解答(1)因为A5=l,AAi=2,则F(0,0,

(1若、

所以AC=(-L0，0),BE=5，---4

记异面直线AC和BE所成角为a,

2

则cosa=|cos<AC,BE)|=iLA2(/-\+i9

4

所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为先.

4

(2)设平面3尸G的法向量为加=(xi,ji,zi).

因为FB=。弓，。，EG=,g，0,21,

m-FB=%=0

则2

m-FCiXj+24=0

取xi=4,得平面3尸G的一个法向量为加=(4,0,1).

设平面3CG的法向量为"=(*2,y2,Z2).

因为CB=

I227

n-CB=^x2+^-y2=0

则

n-CCi=2Z2=0

取4=也得平面BCC1的一个法向量为〃=(G，-1,0),

所以cos〈m,n)=1岑

根据图形可知二面角?5G・C为锐二面角,

所以二面角F-BCi-C的余弦值为拽1.

17

【点睛】

本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，面面角的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中

档题.

20、(1)见证明；(2)上二

3

【解析】

(1)取中点G,可证E尸GA是平行四边形，从而防AG,得证线面平行；

(2)取中点。，连结尸。，可得尸。，面ABC。，连OB交CE于M,可证NPMO是二面角P—EC—。的平

面角，再在APMO中求解即得.

【详解】

(1)证明：取尸。中点G,连结GP、AG

；6/为^P。。的中位线，二6〃//8且6/=,。。,

2

又AE//CD且AE=』CD,.•.GE/ME且GF=AE,

2

.•.E尸GA是平行四边形，则所AG,

又EFu面PAD,AGu面PAD,

.,.EF〃面PAD；

(2)解：取A。中点0,连结PO,

•••面dD_L面ABC。，为正三角形，

.•.P"面ABC。，且PO=5

连08交CE于"，可得Rf_EBCgRjOAB,

:.ZMEB^ZAOB,则NMEB+ZMBE=90°,即OMLEC.

连PM,又POLEC,

可得EC，平面P。肠，则WLEC,

即Z.PMO是二面角P-EC-D的平面角，

在W£BC中，BMBEBCOM=OB—BM=

CE55

AtanZPMO=丝=巫，即二面角P-EC-D的正切值为叵.

0M33

【点睛】

本题考查线面平行证明，考查求二面角.求二面角的步骤是一作二证三计算.即先作出二面角的平面角，然后证明此

角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算.

21、⑴|x|-5<x<||(2)(3,+oo)

【解析】

⑴当加=2时，不等式/(x)Wl可化为：2|x+l]—卜―2归1,再利用绝对值的意义，分x<—1,-l<x<,x>2

讨论求解.

-x-4-m,x<-1

(2)根据g(x)=/(x)—2可得g(x)=3x-m1VxW加，得到函数g(x)的图象与两坐标轴的交点坐标分别为

x-\-m,x>m

A(—加一4,0),5(0,—m)，c]m，O；再利用三角形面积公式由S=g询加+3)>12求解.

【详解】

(1)当租=2时，

不等式可化为:2|x+l|-|x-2|<l

①当x<—1时，不等式化x+520为，

解得：-5<%<-1;

②当—1WXW2时，不等式化为3x<l,

解得：一1«xV—,

3

③当x>2时，不等式化为X+3V0,解集为中，

综上，不等式的解集为

-x—4—m,x<—1

(2)由题得g(x)=«3x-机，一1机，

x+m,x>m

所以函数g(x)的图象与两坐标轴的交点坐标分别为A(-m-4,0),3(0,-m),c1g,0

7TZ2

...AABC的面积为S=；--(-m-4)x|-m|=—m(m+3),