高考数学复习 全等与相似模型-对角互补模型

专题17全等与相似模型-对角互补模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、旋转中的对角互补模型

对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋

转的构造，构造手拉手全等。

常见的对角互补模型含90。-90。对角互补模型、120。-60。对角互补模型、2a-(180°-2a)对角互补模型。

1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)

条件：如图，已知/AO8=NOCE=90°,0c平分/AOB.

结论：®CD=CE,②0D+0E=g0C,®S=S+S=-OC2.

ODCEvCiOziE—dC/OzyD

2)“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)

2

结论：®CD=CE,®OE-OD=y/2OC,@SC0E-SCOD=^OC-

3）“等边三角形对120。模型”（1）

条件：如图，已知NAOB=2NDCE=120°,0C平分N408.

结论：①CD=CE,@OD+OE=OC,®S+S^—OC2.

r\-XnJnULrUnFE4

4）“等边三角形对120。模型”（2）

条件：如图，已知/AOB=2N£>CE=120°,OC^ZAOB,NQCE的一边与3。的延长线交于点。，.

结论：®CD=CE,®OD-OE=OC,®S-S,.=—OC2.

r\--nUUnvtn/cF4

5)“120。等腰三角形对60。模型”

条件：△ABC是等腰三角形，且NBAC=120。，NBPC=60。。结论：@PB+PC=y/jPA；

6)“2a对180。-2a模型”

条件：四边形ABC。中，AP=BP,ZA+ZB=\80°结论：。尸平分/AOB

注意：①AP=BP,②乙4+NB=180。，③O尸平分/AO8,以上三个条件可知二推一。

7）“蝴蝶型对角互补模型”

例1.（2023・黑龙江黑河•八年级期中）《/△ABC中，A8=AC,点。为BC中点.NMDN=90。,NMDN绕点、

。旋转，DM、ON分别与边A3、AC交于E、尸两点.下列结论：①（BE+CF）*BC,@SAAFF<-SAABC,

24

③S四边形AEDF=A〃EF,④ACNEF其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】解:EIRtl3ABe中，AB=AC,点D为BC中点.0MDN=9O°,

EIAD=DC,E1EAD=E)C=45°,回EDA=®MDN-(3ADN=90°—EIADN=EIFDC.

00EDABEFDC(ASA).0AE=CF.回BE+CF=BE+AE=AB.

在RtBABC中，根据勾股定理，得AB=X^BC.0(BE+CF)=^BC.回结论①正确.

22

设AB=AC=a,AE=b,则AF=BE=a-b.

0SAAFp—SAABC=—AE,AF----------AB•AC=—b(a—b)—a~=—(a—2b)40.

AAtr4AABV2422、,88、

^^AAEF-^^AABC•团结论②正确•

如图，过点E作日(SAD于点I,过点F作FGHAD于点G,过点F作FHI3BC于点H,ADEF相交于点0.

用四边形GDHF是矩形，团A日和团AGF是等腰直角三角形，

(3EO汩(EFI3AD时取等于)=FH=GD,OF>GH(EFSAD时取等于)=AG.

EIEF=E0+0F>GD4-AG=AD.回结论④错误.

E10EDAEEFDC,EJS^^^DFMSAADcug-AD-DCMgAiyvALyVAD-EF.团结论③错误.

综上所述，结论①②正确.故选C.

例2.（2022辽宁九年级期末模拟）已知回AOB=90。，在EAOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直

角顶点与C重合，它的两条直角边分别与。A,OB（或它们的反向延长线）相交于点D,E.

当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图①），易证：OD+OE=&OC；

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若

成立，请给予证明：若不成立，线段OD,OE,OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】图②中OD+OE=75OC成立.证明见解析；图③不成立，有数量关系：OE—OD=0OC

【分析】当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得EICKDHaCHE,进而可得出证明；判断出结果，解

此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与OD、OE的关系：最后转化得到结论.

【详解】解：图②中OD+OE=^OC成立.

证明：过点C分别作OA,OB的垂线，垂足分别为P,Q

有回CPD03CQE,回DP=EQ,@OP=OD+DP,OQ=OE-EQ,

又团OP+OQ=&OC,即。D+DP+OE-EQ=0OC,EIOD+OE=夜OC.

图③不成立，有数量关系：OE-OD=0OC过点C分别作CKEIOA,CH0OB,

回0C为0AOB的角平分线，且CKS1OA,CH0OB,0CK=CH,0CKD=0CHE=9O°,

又00KCD与EIHCE都为旋转角，E0KCD=0HCE,

03CKD03cHE,0DK=EH,0OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,

由（1）知：OH+OK=^OC,0OD,OE,OC满足OE-OD=及OC.

【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，

两组对应点连线的交点是旋转中心.

例3.（2022秋•四川绵阳•九年级校联考阶段练习）已知NAC£>=9（）。，AC=DC,MN是过点A的直线，过

点。作于点B,连接CB.

⑴问题发现：如图（1）,过点C作CELC8,与仞N交于点E,BD、43、C8之间的数量关系是什么？并

给予证明.（2）拓展探究：当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并给予证明.

【答案】（1）BD+AB=&CB：证明见解析（2）8O-AB=^CB：证明见解析

【分析】（1）过点C作CE_LC8,得到/BC»=/ACE,判断出,ACE经-DCB,确定“ECB为等腰直角三角

形即可得出结论；（2）过点（7作点，8于点。，判断出..ACE组.DC3,确定EC8为等腰直角一角形，即

可得出结论.

【详解】（1）解：如图1，过点C作CE_LCB交MN于点E,

ZACE=9Q°-^ACB,ZBCD=90°-ZACB.:.NACE=NBCD,

DBLMN,.,.在四边形AC。/?中，ZBAC+ZACD+ZABD+ZD=36()°,.•./胡C+—0=18()。,

ZCAE+ZBAC=\^°,^\ZCAE=ZD,AC=DC,：_ACE&DCB,:.AE=DB,CE=CB,

-ZECB=90°,.=ECB是等腰直角二角形，.•.3£=夜CB,

.\BE=AE+AB=DB+AB,E1BD+AB=0CB：

(2)BD-AB=41CB-.理由：如图2,过点C作CELCB交MN于点E,

ZACE=90°+ZACB,ZBCD^90°+ZACB,:.NACE=NBCD,

:DBVMN,:.^CAE=90°-^AFB,ZD=9G°-ZCFD,

NAFB=NCFD,：.ZCAE=ZD,AC=DC,:.ACERDCB,:.AE=DB,CE=CB,

•/ECS=90。，.〈ECB是等腰直角三角形，.•.8E=GCB,

:.BE=AE-AB=DB-AB,aBD-AB=QCB;

【点睛】本题考查J'全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角

形是解题的关键.

例4.(2022四川宜宾八年级期末)如图1,NAO8=90，0C平分NA08,以C为顶点作NQCE=90,

交OA于点。，。8于点E.(1)求证：CD=CE；(2)图1中，若OC=3,求OD+OE的长；

(3)如图2,ZAOB=120\0C平分NA08,以C为顶点作N£>CE=60°,交。4于点£>，0B于点E.若OC=3,

求四边形OECD的面积.

【分析】（1）过点C作CGE10A于G,CHI30B于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明E1CDG回回CEH,从而

求解；（2）根据全等三角形的性质得到OD+OE=2OH,然后利用勾股定理求OH的值，从而求解；

（3）过点C作CG0OA于G,CHBOB于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明I3CDG013CEH,从而求得S四边形

=^oHCG=2SAOC（i,然后利用含30。的直角三角形性质求得OH],CH=迈从而求得三角形面积，使问题

22

得到解决.

【详解】解:（1）如图，过点C作CGI30A于G,CHSOB于H,

回ZAOB=90,NDCE=9000CDO+E)CEO=18O0

00CDG+E1CDO=18OEEJ0CDG=G1CEO

NCDG=ZC£O

在国CDG与EICEH中•NCGO=NCHEEHCDGEI13CEH(A4S)2ia)=CE

CG=CH

(2)由(1)^0CDG00CEH0DG=HE

由题易得团OCG与团OC”是全等的等腰直角三角形，且OG=OH

^1OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH^2OHOH=CH=x,在R/HOCH中，由勾股定理，得:

OH2+CH2=OC2^x1+x2=320x=—(舍负)E10H=拽回OD+OE=2OH=3亚

22

(3)如图，过点C作CG0OA于G,CH0OB于H,

回OC平分ZAOB0CG=CH0NA08=120°,NDCE=60°EI0CDO+0CEO=18OEI

ffl0CDG+0CDO=18O0EBCDG=0CEO

NCDG=ACEO

在EICDG与EICEH4'\^CGD=ZCHE^ECDG00CEH（/L45）ODG=HE

CG=CH

由题易得回。CG与国。CH是全等的直角三角形，且OG=OH

0OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH0^pqxii®o£-CD=S四边彩o“cc=2^^OCG

在Rt0OCH中，有I3COH=60°,OC=3,回OH=g,CH=迪团S4OCO=吨团S四边形理⑺=2SAOCC=—

2224

【点睛】本题考查全等三角形的性质及判定，含30。直角三角形的性质以及勾股定理，是一道综合性问题，

掌握相关知识点灵活应用解题是本题的解题关键.

例5.（2022湖北省宜城市八年级期末）如图，已知EL4OB=120。，在四03的平分线OM上有一点C,将一个

60。角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、。8相交于点。、E.

（1）当回力CE绕点C旋转到CD与0A垂直时（如图1）,请猜想OE+。力与OC的数量关系，并说明理由；

（2）当MCE绕点C旋转到CO与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

(3)当配)CE绕点C旋转到CZ)与0A的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明;

若不成立，线段。以OE与。C之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】(1)详见解析；(2)(1)中结论仍然成立，理由详见解析：(3)(1)中结论不成立，结论为OE-

OD=OC,证明详见解析.

【分析】⑴根据OM是财。8的角平分线，可得勖。8=60。，则回。CE=30。，再根据30。所对直角边是斜边的

一半，得出同理：OE=：OC,即可得出结论；(2)同⑴的方法得到。尸+OG=OC,再根据AAS证

明ACraaElCGE,得出。尸=EG,则OF=O£>+OF=OQ+EG,OG=OE-EG,OF+OG=OD+OE,即可得出结论.(3)

同(2)的方法得到DF=EG,根据等量代换可得OE-OD=OC.

【详解】(l)OOM是EL4O3的角平分线，回国40c=EIB0C=1®405=60。，

SCDSOA,00O£>C=9O°,0EIOCD=3O°,S0OC£=EIDC£-0(9CZ)=3O°,

在RSOCD中，OD=-OC,同理：OE=-OC,SOD+OE=OC,

22

⑵⑴中结论仍然成立，理由：过点C作C/T30A于凡CGSOBTG,如图，

aaOFC=i3OGC=90°,0a408=120°,WFCG=60",

同(1)的方法得，OF=^OC,OG=；OC,WF+OG=OC,

0C/T3OA,CG0O8,且点C是S40B的平分线。历上一点，I3CF=CG,

00DC£=6O°,0FCG=6O°,EE£>CF=0ECG,aSCFDEBCGE,0DF=EG,

^OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,©OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE,0OD+OE=OC；

(3乂1)中结论不成立，结论为：OE-OD=OC,

理由：过点C作CfBOA于F,CGSOB于G,如图，

盟OFCM21OGC=90°,团凶08=120°,fflFCG=60°,

同（1）的方法得，OF^OC,OG=；OC,EIOF+OG=OC,

EJCflSOA,CGQOB,且点C是®408的平分线OM上一点，回CF=CG,

00DCE=6O°,回尸CG=60°,SEDCF=SECG,SBCFDSECGE,

团。尸=EG,®OF=DF-0D=EG-OD,OG=OE-EG,

^OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,0O£-OD=OC.

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.正确作辅助线是

解题的关键.

例6.（2023•山东•九年级专题练习）如图，AABC是边长为4的等边三角形,点D是线段BC的中点，回EDF=120。，

把自EDF绕点D旋转，使回EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F.（1）当DH3AC时，求证：BE=CF；

（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由

【答案】（1）证明见解析；（2）是，2.

【分析】（1）根据四边形内角和为36形,可求21DEA=9。。，根据"AAS”可判定△BDEEBCDF,即可证BE=CF；

（2）过点D作DMI3AB于M,作DNI3AC于N,如图2,易证△MBDEBNCD,则有BM=CN,DM=DN,进而可

证至贝IJ有EM=FN,就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDxcos60°=BD=^-

BC=2.

【详解】（1）回团ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，

03B=EC=6O°,BD=CD,0DF0AC,00DFA=9O0,

g0A+0EDF+0AFD+iaAED=18O°,a3AED=90°,

EBDEB=E）DFC,且回B=EIC=60°,BD=DC,00BDE00CDF（AAS）

(2)过点D作DMI3AB于M,作DNE1AC于N,

A

则有回AMD=0BMD=®AND=I3CND=90°.

fflA=60°,0(3MDN=36O<,-6O°-9O<>-9OO=12O".

a0EDF=12O°,0BMDE=0NDF.

NBMD=NCND

在^MBD和ANCD中，■ZB=ZC,00MBD瓯NCD（AAS）BM=CN,DM=DN.

BD=CD

'乙EMD=2FND

在AEMD和AFND中，DM=DN,00EMD00FND（ASA）0EM=FN,

ZMDE=ZNDF

E）BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDxcos60°=BD=JBC=2.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知

识，通过证明三角形全等得到BM=CN,DM=DN,EM=FN是解决本题的关键.

例7.（2022山东省枣庄市一模）如图，已知NAOB=60。，在NA03的角平分线。河上有一点C,将一个120。

角的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线OAOB相交于点D,E.

（1）如图1,当N0CE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想OO+OE与OC的数量关系，并说明理由：

（2）当NDCE绕点C旋转到C。与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）如图3,当—DCE绕点C旋转到点。位于的反向延长线上时，求线段ODOE与OC之间又有怎样

的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】（1）OD+OE=y/3OC,见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）OE-OD=y/iOC

【分析】（1）先判断出用OCE=60。，再利用特殊角的三角函数得出OD=^OC,同OE=^OC,即可得出

22

结论;（2）同（1）的方法得OF+OG=gOC,再判断出团CFD03CGE,得出DF=EG,最后等量代换即可得出

结论：（3）同（2）的方法即可得出结论.

【详解】解：（1）、0知是二403的角平分线，440。=/80。=（4408=30。

CD±OA,:.ZODC=90°,ZOCD=60°Z.OCE=NDCE-NOCD=60°

在用AOCZ）中，O£»=OCcos3（）o=4OC，同理：0E=L（）C:.0D+0E=C0C

22

（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CFLOA于尸，CGLO3于G

NOFC=ZOGC=90°:ZAOB=60°/.ZFCG=120°

由（1）知，OF=®OC,OG=2OC：.OF+OG=6OC

22

CFlOA,CGrOB,且点C是/AO8的平分线OM上点，B=CG

NDCF=120°,ZFCG=120°ZDCF=NECG,:.\CFD=ACGE

DF=EG:.OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG

:.OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE：.OD+OE=^OC

（3）结论为：OE-OD=6OC.

理由：过点C作CF0OA于F,CG0OB于G,03OFC=0OGC=9O°,

EE）AOB=60°,EBFCG=120°,同（1）的方法得，OF=±OC,OG=—OC,0OF+OG=^/3OC,

22

（3CF0OA,CG0OB,且点C是回AOB的平分线0M上一点，

E1CF=CG,励DCE=120°,I3FCG=12O°,0EIDCF=0ECG,

SECFDEEICGE,®DF=EG,团OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,

0OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,0OE-OD=GOC.

【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，

正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键.

例8.（2022秋•福建厦门•九年级校考期中）如图，ZAOB=a（。是常量）.点P在24O8的平分线上，且

OP=2,以点P为顶点的2用PN绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，4WW的两边分别与0B,相

交于M,N两点，若NMPN始终与NAOB互补,则以下四个结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；

③四边形PMON的面积不变；④点M与点N的距离保持不变.其中正确的为（）

N,

oA/B

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

【答案】B

【分析】如图作庄，。4于点E,PFLOB于点F,只要证明Rt.PEO^RtPFO,Rt.PEN^Rt.PFM即可

一一判断.

【详解】解：如图所示：作于点E,即，。8于点F,

ZPEO=ZPFO=<X)°,.-.Z£PF+ZAOS=180°,

ZMPN+ZAOB=180°,ZEPF=/MPN,

ZEPF=ZEPN+ANPF,AMPN=NMPF+ZNPF,/.NEPN=NMPF,

0尸平分NAOB,PELOA,PFLOB,.-.PE=PF,

[PO=PO/、

在吊/£。和MPAO中，《一『人『，:.RtPEgRtPFO(HL),：.OE=OF,

PE=PF

ZEPN=ZFPM

在和△/YM中，，PE=PF,:.Rt.PENQRt.PFM(ASA),

NPEN=NPFM

:.EN=FM,PN=PM,故①正确，，S△闲v=SgfM，

一S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故③正确,

OM+ON=OF+MF+ON=OE+NE+ON=OE+OE=2OE=定值，故②正确，

M、N的位置是变化的，N之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会

添加辅助线，构造全等三角形解决问题.

模型2.对角互补模型（相似模型）

【模型解读】四边形或多边形构成的儿何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向

两边做垂线，从而证明两个三角形相似.

【常见模型及结论】

1）对角互补相似1

条件：如图，在RfAABC中，/C=/EOF=90。，点0是A8的中点,

辅助线：过点。作OCAC,垂足为D,过点。作垂足为”,

结论：①AODEfOHF；②"=史（思路提示：—BHBC、

---=---)

OFACOFOHOHAC

2）对角互补相似2

条件：如图，已知/AO8=NOCE=90。，/BOC=a.

CG、

结论：①4ECG〜〉DCF；②CE=C£>smz.(思路提示：—,CF=OG,在R於COG中,tana=---)

CDCF0G

辅助线：作法2：如图2,过点C作CFJ_OC,交OB于F；

,CECFCF

结论：①△CFE〜△C。。；②CE=CO•以〃a.（思路提示：一=—=taiwc,在知ZiOC尸中，tana=---)

CDCOOC

3）对角互补相似3

条件：已知如图，四边形A3CO中，ZB+Z£>=180°

辅助线：过点。作。ELBA,垂足为£过点。作。FLBC,垂足为尸;

结论：①ADAE*DCF；②A8CO四点共圆。

E

例L（2023•成都市•九年级期中）如图所示，在Rt,"C中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,在向MPN中,

/MPN=90。，点P在AC上，交于点E,PN交BC于点、F.当尸£=2依时，4尸的值为（）.

A

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】过P作PM38C于"PQEL4B于。，证明那。£00/7/尸，得出「。=2尸，=28。，再由P01BC证得

S4Q&EL48C,—,设8Q=x,则AQ=3-x,PQ=2x,求出x值即可解决问题.

ABBCAC

【详解】解：团在RtABC中，ZABC=90°,48=3,BC=4,

财c=yjAB2+BC2=V32+42=5-

过P作PM38C于，，PQL4B于Q,则EIPQB=g)P4B=iaB=90。，

团四边形PQ8H是矩形，⑦PH=BQ,SiQPH=90°=^MPN,PQ^BC,

^\EPH+^QPE^EPH+SHPF^90°,^EQPE^HPF,

PQPE„

^PQESBPHF,E—=—,又PE=2PF,I3PQ=2PH=2BQ,

PHPF

ISPQ回8C,REAQPE图43C,回爷=£1=喘’

3-r2xAP6

设5Q=x,则AQ=3-x,PQ=2x,^^-=—=—t解得：x=-,AP=3,故选：C.

A

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定与性质，熟练掌握

相关知识的联系与运用，添加辅助线是解答的关键.

例2.（2023•河南南阳•九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角一"C中，ZACB=90°,AC=3C,过点C

作射线C9〃AB，。为射线CP上一点，E在边BC上（不与民C重合）且/D4E=45。，AC与交于点

O.(1)求证：ZW)C4AEB；(2)求证：_ACB；(3)如果CO=CE,求证：CD2=CO.CA.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】（1）根据题意先由等腰直角0ABe得到回BAC=I38=45。，从而结合回。4£=45。得到回。4c=团£48,再由

平行线的性质得到B4CP=13&4C=aB=45。，从而得到EWDaaMEB；

（2）根据题意由相似三角形的性质得到4）：AE=AC：AB,转化为AC：AC=AE：AB,结合团D4E=E）C4B=45。

得证结果；（3）根据题意结合GL4CD=45。和EL4c8=90。，由CD=CE得至I向COERJCEOnZZ.S。,从而得到I3D4C=22.5°,

然后得到I3OCZ®团OCA,最后即可求证.

【详解】解：（1）证明：回AABC是等腰直角三角形，团NBAC=N8=45°，

0ZDAE=45°,PC//AB,^ADAC=AEAB,ZACD=ABAC=ZB=45°.I?1AA£）CAAEB；

AnACADAF

（2）证明：0AAZ>CAAE60—=—,即——=—,

AEABACAB

ZDAE=ABAC=45"，0AADEMCB■.

（3）0ZACD=45°,ZACB=90',0ZCDE+ZCED=180-90=-45°=45°.

0CD=CE,0NCDE=NCED=22.5"，0AAZJEAACB,mNAQE=ZAC8=90’，

fflZCAD=180°-ZADE-Z.CDE-ZAC£>=180°-90°-22.5°-45°=22.5°SACAD=NCDE,

,OCCD,

又团NOC®=N£>C4,0AOC£>ADC4,0——=——，BCD2=CO-CA

CDCA

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关

系得到三角形相似.

例3.（2023•广西河池•校联考一模）综合与实践【问题情境】在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,

在直角三角板EE正中，ZEDF=90°,将三角板的直角顶点。放在Rt^ABC斜边8C的中点处，并将三角

板绕点。旋转，三角板的两边DE,。尸分别与边A8,AC交于点M,N.

【猜想证明】如图1,在三角板旋转过程中，当M为边A8的中点时，试判断四边形的形状，并说明

理由.【问题解决】如图2,在三角板旋转过程中，当=汨时，求线段CN的长.

图I图2

25

【答案】［猜想证明］四边形AMDN是矩形，理由见解析；［问题解决］CN==.

【分析】［猜想证明］由三角形中位线定理可得朋D〃4C,可证NA=NAA〃）=N/WDN=90。，即可求解；

［问题解决］由勾股定理可求8C的长，由中点的性质可得CG的长，由锐角三角函数可求解.

【详解】［猜想证明）四边形AMQN是矩形，理由如下：如图1，.点。是8c的中点，点M是A8的中点,

.•.MD是.A3C的中位线，MD//AC,ZBAC+ZAMD=i80°,

ABAC=90°,:.ZAMD=90°,NEDF=NMDN=9Q°,

：.ABAC=ZAMD=AMDN=90°，二四边形AMDN是矩形;

［问题解决］过点N作NG_LCO于G,如图2：

图2

AB=3,AC=4,ZBAC=90°,BC=VAB2+AC2=5.

・「点。是8c的中点，..也）=0）=1，ZMDN=90°=NBAC,

ZB+ZC=90°,ZBDM+ANDC=90°,ZB=ZMDB,:.ZNDC=ZC,:.DN=CN,

又；NG-LCD■:.DG=CG=-,cosC==>44,:.CN=—.

4CNBC~16

CN5

【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等有

关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

例4.（2023年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形A8CD和OV8C,其中四边形OAB'C的顶点

。位于四边形A8CO的对角线交点O.

⑴如图1,若四边形A3。和。4aC都是正方形，则下列说法正确的有.（填序号）

①OE=OF；②重叠部分的面积始终等于四边形A8CD的《；③BE+BF=与DB.

⑵应用提升:如图2,若四边形A5CO和0A6C'都是矩形，49=",。。=人，写出。后与。尸之间的数量关系,

并证明.

⑶类比拓展:如图3,若四边形ABC。和O/TSC'都是菱形，ZDAB=a,判断（1）中的结论是否依然成立:

如不成立，请写出你认为正确的结论（可用。表示），并选取你所写结论中的一个说明理由.

【答案】⑴①②③⑵关系为繇=£，证明见解析

OFb

⑶①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形ABCD的：sin2（，｝③

BE+M=s呜。8.证明①的过程见解析

【详解】（1）如图，在图1中，过点。作于点H,OG_LAB于点G

图3

.OHLAB于点、H,OGLAB于点G：.ZOHE=NOGF=90°

••・四边形ABCD和0A8'C'都是正方形03〃=08G（AAS）..OH=OF

ZHOE=90°-ZEOG,ZGOF=90°-ZEOG；.NHOE=ZGOF

Z.OHE=NOGF

在,HOE和△6。尸中,OH=OG二."QE三尸（ASA）；.QE=Of故①正确

ZHOE=ZGOF

HOEGOFSHOK=S（；OFSoEBF=S°EBG+SQGF=SoEBG+^OHE=$OHBG=ABCD故②止确

••・四边形ABCD是正方形;AB=8C=也BQ

2

BE+BF=BE+BG+GF=BE+BG+HE=BG+BH=AB=—DB故③正确

2

⑵关系为器证明如下：如图'在图2中,过点。作。心.于点耳如,融于点G

。”_LAB于点H,OG1AB丁点G：.NOHE=NOGF=90°

•••四边形ABCD和OA'B'C'都是矩形.•.NQ〃OG=ZEOF=90°

VZHOE=90°-ZEOG,ZGOF=90°-ZEOG:./HOE=ZGOF

AD

NOHE=NOGF.xOEOH7ADa

在，HOE和aGOF中.—HOEGOF（AA）.-.——=—=-f一•=—=-

NHOE=/GOF、'OFOGl/?cDCb

2

(3)(1)中结论，①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形ABC。的;sir?图:

③BE+BF=sin掾DB.现证明①如下:

如图，在图3中，过点。作0"，48于点”,06,45『点6

：OH工AB于前HOGLAB于点G：.ZOHE=NOGF=90°

••・四边形A8CD和0A8'C'都是菱形OBH=OBG(AAS).-.OH=OF

■：NHOE=a-/EOG,NGOF=a-NEOG：.ZHOE=NGOF

NOHE=NOGF

在&HOE和△GOF中,OH=OG:.HOE=.GOF(ASA)：.OE=OF

NHOE=NGOF

例5.（2023.辽宁中考模拟）如图，在放.ABC中，AC=8C,MCB=90。，点。在线段A3上（点。不与点

A,B重合），且OB=ZOA,点M是AC延长线上的一点，作射线OM,将射线0M绕点O逆时针旋转90。,

交射线CB于点M（1）如图1,当时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；

（2）如图2,当k>l时，判断线段OM与ON的数量关系（用含左的式子表示），并证明；（3）点尸在射

线BC上，若回BON=15。，PN=kAM且穿<避二1,请直接写出f的值（用含k的式子表示）.

AC2Z0

图1图2备用图

【答案】（1）OM=ON,见解析；（2）ON=k・OM,见解析；（3）挺=匕2做

PCk-\

【分析】（1）作。DIMM,O£08C,证明EJOOMBEIEON；（2）作0ZM4M,OE3\BC,证明I3QOMB2EON；（3）

设AC=8C=a,解R/0EON和斜S40M,用含的代数式分别表示NC,PN,再利用比例的性质可得答案.

【详解】解：（1）0M=0N,如图1,作。ZM4M于。，0EHC8于E,

图1

^ADO=^MDO=^CEO=^OEN=90°fWDOE=90°f

0AC=8C,0ACB=9O°,回0A=0ABC=45°,

在??柳OD中，OZ)=O4sin/A=^OA,同理：OE=叵OB,

22

WA=OB,aOD=OE,WDOE=9Q°,随及OM+团MOE=90°,

团0MON=9O°,幽EON+0MOE=9O°,^DOM=^EONf

/MDO=/NEO

在Rt^DOM和R杷EON中，|。。=。后,盟。OMHDEONCASA),团OM=ON.

/DOM=NEON

(2)如图2,作OZMAM于D,OEHBC于E,由(1)知：OD=—OAOE=—OB,

2f2

0—=—=-,由(1)知：^DOM=^\EON团MDO=E1NEO=90°,

OEOBkf

团团。OA/0团EON,=—=-,⑦ON=k・OM.

ONOEk

(3)如图3,设AC=3C=m财8=

kiF)k

130B=k・0A,田0B=正.——a,0A=近.——a,EIOE=»OB=——a

k+1k+l2k+T

八八OE广八lk

WN=^ABC-^BON=45°-15°=30°,⑦EN=--------=JjOE=Jj•——a,

tan/N77%+i

万11k

^CE=OD=—OA=——a,^1NC=CE+EN=-—。+百・——a,

2Z+lk+1Z+l

由(2)知：=—=-,团。OMZBEOM^\AMO=-^N=30°

ONOBk

AM1OMAM八八…八

团——=-,0——=——,团回POM30AOM,邈P=M=45°,

PNkONPN

kkk

aPE=OE=——a,⑦PN=PE+EN=——a+Q・——a,

k+\Jl+1k+\

设AD=OO=x,田DM=6x,由AD+QM=AC+CM得，（G+1）x=AC+CM,

、a\Eka

取（AC+CM）（AC+^^-AC）=；AC,龈＞1团些------='+#,