空间点、直线、平面之间的位置关系 高频考点-精练（解析版）2024年高考数学一轮复习（艺考生基础版）

空间点、直线、平面之间的位置关系（精练）

A夯实基础

一、单选题

1.（2022•上海・华师大二附中高三开学考试）如图，正方体ABC。-A4GR中，P、QRS

分别为棱的中点，连接4S、4。，对空间任意两点M、N,若线段MN与线

段AS、与D都不相交，则称M、N两点可视，下列选项中与点2可视的为（）

【答案】B

【详解】A选项：四边形ARSP是平行四边形，AS与2P相交，故A错；

C选项：四边形2瓦是平行四边形，与。片相交，故C错；

D选项：四边形〃耳8。是平行四边形，与。片相交，故D错；

利用排除法可得选项B正确.

故选：B.

2.（2022•全国•高一课时练习）已知AB//P。，BC//QR,NABC=60。，则与NABC两边

方向相同的NPQR等于（）

A.60°B.60。或120°C.120°D.以上结论都不对

【答案】A

【详解】因AB//P。，BC//QR,又NPQR与NABC两边方向相同，

所以ZPQR=ZABC=60°.

故选：A

3.（2022•全国•高一课时练习）若空间中两条直线。和6没有公共点，贝I。与b的位置关系

是（）

A.共面B.平行C.异面D.平行或异面

【答案】D

【详解】若空间中两条直线。和6没有公共点，贝心与6平行或异面.

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故选：D.

4.（2022•全国•高一课时练习）如图，在直三棱柱A3C-A1瓦G中，棱与直线8G异面有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】C

【详解】在直三棱柱ABC-a4a的棱所在的直线中，

与直线8G异面的直线有44,AC招，共3条.

故选:C.

5.（2022•全国•高三专题练习）如图，在正三棱柱ABC-A/8/G中，AB=AAi=2,M,N分

别是88/和氏。的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）

A.@B.正C.-D.-

2255

【答案】D

【详解】作BC的中点E，连接用£,作8E的中点/，连接MF、A/,

即Z4MF为异面直线AM与CN所成的角，

由已知条件得B[E=S+f=布,则知尸=4，.=后丁=行，

由余弦定理得AF=^22+Q^|-2X2X|XCOS60°=半，

在4中，有余弦定理可知AF?=AAf2+MF2_2AM.MF.cosZAMF,

即12=5+°-2X近x@xcos/AMF,解得COSNAM/=3,

4425

故选：D.

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6.（2022・吉林・长春外国语学校高二阶段练习）在正方体ABCZ5-中，尸，。分别为

8c,4q的中点，则异面直线PQ与4G所成角的正弦值为（）

A.述B.1C.逅

333

【答案】C

【详解】取A2中点连接QW,MP,AC,设正方体的棱长为2,

由于M,P分别为A氏8C的中点，则“P//AC

又在正方体中，由于AC〃AG,因此可得AG//MP,故NQPM或其补角即为异面直线PQ与

AG所成角,

因为QM//相，所以，平面ABCD,MPu平面ABCD,故QMIMP,

在直角三角形。知尸中,

"PM嘲

故选:C

7.（2022•江西・高三开学考试（理））已知三棱锥S-ABC中，SCL平面ABC,ZABC=90°,

且A5=23C=2SC,D,E分别为SA,BC的中点，则异面直线。E与AC所成角的余弦值

为（）

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34回3而

A.B.一

5lo-10

【答案】B

【详解】如图所示，分别取SC,AC的中点G,连接。尸，EF,EG,DG,

则。尸AC,所以/EDE（或其补角）为异面直线。石与AC所成的角,

设AB=2BC=2SC=2,则由ZABC=90°和SC_L平面ABC,

易得盘,因为=《

EF==SB=DF=-AC=—,GEAB=1,DG=-SC=-,

2222222

一5--5---1

4

所以在RtZYDGE中，DE=^DG2+GE2=—,由余定理得cos/阳E442

22x小x下5,

22

4

所以异面直线与AC所成角的余弦值为二.

故选：B.

8.（2022•浙江•模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十

一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若m，8都是直角圆锥SO底

面圆的直径，且NAOO=gJT,则异面直线制与BO所成角的余弦值为（）

【答案】C

【详解】如图，连接AD,3C,AC,SC.

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s

D

因为。为A3,CD中点，S.AB=CD,所以四边形AD3C为矩形，

所以r>B〃AC,所以NS4c或其补角为异面直线9与80所成的角.

设圆。的半径为1,则SA=SC=0.

-TTTT

因为4400=（,所以乙4。0=：.

在直角△D4C中，8=2,得AC=6.

所以cos/SAC==",

2XV2XV34

所以异面直线SA与所成角的余弦值为逅.

4

故选：C.

二、多选题

9.（2022•辽宁•营口市第二高级中学高一阶段练习）有下列命题：

①经过三点确定一个平面；

②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.

其中正确命题是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】BC

【详解】对于①，经过不共线的三点确定一个平面，故①不正确；

对于②，因为梯形的两底边平行，经过两条平行直线确定一个平面，故②正确；

对于③，当三条直线交于不同的三点时，三条直线只确定一个平面；当三条直线交于一点

时，三条直线最多确定三个平面，故③正确；

对于④，当两个平面的三个公共点在一条直线上时，这两个平面相交于这条直线，不一定

重合，故④不正确.

故选：BC

10.（2022•福建泉州•高二期末）如图，在正方体ABCD-ABIGR中，M,N分别是

的中点，则（）

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A.四点A,M,N,C共面

B.MN//CD

C.AQ〃平面BCR

D.若MN=1,则正方体AJ3c-外接球的表面积为12兀

【答案】BD

【详解】对于选项A,连接A?和BG，由此可知点A,M,N在平面ABG2中，

点C£平面ABG2,则四点A,M,N,C不共面，即选项A不正确；

对于选项B,由正方体的性质结合条件可知M,N分别是的中点，所以MN〃A3,

又因为CD〃AB,所以MN〃C。，即选项B正确；

对于选项C,点2,C,2都在平面A8C2,所以4。与平面BC2相交，即选项C不正确；

对于选项D,因为为△ABQ的中位线，且MN=1,所以正方体的棱长为2,

设正方体ABC。-44GR外接球的半径为七则2R=加A『+何+|何=2日

即R=豆，则外接球的表面积为S=4成2=12兀,即选项D正确；

11.（2022・全国•高一课时练习）已知P,Q,R,S是相应长方体或空间四边形的边或对

角线的中点，则这四点必定共面的是.（写序号）

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【答案】①③④

【详解】①中，PRUQS,-.p,Q,R,S四点共面;

②中，依和是异面直线，故四点不共面；

③中，PS//QR,-,P,Q,R,S四点共面；

④中，PQ//RS//BC,.-.P,Q,R,S四点共面；

故答案为：①③④

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D

DiR

A

④

③

12.（2022•辽宁大连•高一期末）如图，在正四棱柱A8CD-44GR中，48=也叫，E是

棱BC的中点，异面直线A片与GE所成角的余弦值为机，则加=.

【详解】在正四棱柱A3CD-ABIGR中，连接。G,

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则由于AO〃BG，AO=8G四边形A4G。是平行四边形，故A耳〃。G,

故异面直线AB,与QE所成角即为与CtE所成角，

即ZDC,£即为异面直线AB,与GE所成角或其补角，

设胡=2,则帅=国4=2后所以CQ=2,DG=QDC。+CC；=,4+12=4,

DE=42+3=拒&£=夜,

grri/八厂I77+16—15手

所以COS/Z)GE=----1=——二——，

2x77x47

故异面直线A片与GE所成角的余弦值为m,则〃?=1自，

7

故答案为：旦

7

四、解答题

13.(2022・宁夏・青铜峡市宁朔中学高一期末)如图，已知正方体ASCD-A8C力'

(1)哪些棱所在直线与直线A4’是异面直线？

⑵直线总和CC'和的夹角是多少？

⑶哪些棱所在的直线与直线A4’垂直？

【答案】(1)棱A。、DC、CC\DD\D'C\所在直线分别与直线BA是异面直线；

(2)45°

⑶直线A3、BC、CD、DA.A'B',B'C,CD',D'A分别与直线AA，垂直.

⑴由异面直线的定义可知，棱A。、DC、CC\DD\D'C\B'C'所在直线分别与直线A4'是

异面直线；

(2)由83』CC可知，为异面直线84与CC的夹角，NB，BA=45。,所以直线84和

CC的夹角为45。；

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(3)直线AB、BC、CD、DA.A'B\B'C,CD',DA分别与直线AY垂直.

14.(2022・全国•高一课前预习)如图所示，在正方体ABCO-A/B/G。/中.

(1)求AiCi与BiC所成角的大小；

(2)若E,尸分别为AB,的中点，求4。与斯所成角的大小.

【答案】(1)60。(2)90。

⑴如图所示，连接AC,ABi.

由六面体ABCD-A/B/G。/是正方体知，四边形A4/C/C为平行四边形，

AC//A1C1,从而B/C与AC所成的角就是4G与B/C所成的角.

在AASC中，由AB/=AC=B/C,可知N8/CA=60。，即4G与8/C所成的角为60。.

⑵如图所示，