山西省阳泉市2024届高三年级上册期末数学试题（含答案解析）

山西省阳泉市2024届高三上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={坤<工<2},集合8={x|x>%},若/n(<8)=0,则加的取值范围

为()

A.(-℃,1]B.(-℃,2]C.[1,+<»)D.[2,+8)

2.已知复数z满足(l-2i”=2+i,则忖=()

1Jsr

A.-B.—C.ID.V5

55

3.如图所示，矩形48co的对角线相交于点O,£为NO的中点，若无=2次+〃益,

则4+〃等于().

/兀)0C

4.若二4万,兀J,且百sina+cosa=1,贝!Jtan^u()

A.皂B.-VIC.±—D.V3

33

5.曲线J^E+sinm-2x)在点(0,1)处的切线方程为()

X+1

A.y=x-lB.x=lC.V=1D.>=x+l

6.已知点A(2,0),抛物线C：1=4》的焦点F.射线FA与抛物线C相交于点M,与

其准线相交于点N,则()

A.2：V5B.1:2C.1:75D.1:3

7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不

为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还”其意思

是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天

的一半，走了6天到达目的地.”则此人第一天走了()

A.192里B.148里C.132里D.124里

试卷第1页，共4页

8.已知函数/(x)是定义在尺上的偶函数，当xWO时，/(x)=e-J(e是自然对数的

底数)，则/(x-2)-/(2x+l)>0的解集为()

二、多选题

9.已矢口函数/(x)=Gsin2x-2cos21一1,贝！J()

2

A.7(%)图象的一条对称轴方程为'乃

TT

B./(x)图象的~■个对称中心为(石•,0)

n1

C.将曲线V=2sin(x-：)上各点的横坐标缩短到原来的;(纵坐标不变)，再向下

62

平移2个单位长度，可得到了=/(%)的图象

D.将〃x)的图象向右平移£个单位长度，得到的曲线关于了轴对称

10.将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐

志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则()

A.戏曲书放在正中间位置的不同放法有A：种B.诗集相邻的不同放法有2A：种

C.四大名著互不相邻的不同放法有A；A：种D.四大名著不放在两端的不同放法

有A；种

2

11.已知月、巴是双曲线C：匕-/=1的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上

2

的一点，并且以线段耳工为直径的圆经过点则下列说法正确的有()

A.双曲线C的渐近线方程为y=±也x

B.以片工为直径的圆方程为无2+必=2

C.点M的横坐标为土行

D.△町心的面积为百

12.如图，矩形/BCD中，AB=2AD=2,E为边43的中点，将V/OE沿翻折成

△4DE,若“为线段4c的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的是()

试卷第2页，共4页

A.翻折到某个位置，使得。4_LEC

B.翻折到某个位置，使得4C，平面

C.四棱锥4-。C3E体积的最大值为变

4

D.点M在某个球面上运动

三、填空题

13.已知2=(-2,2),刃=(3,1),若(Z+3)J_几则同=.

14.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、

141

政治科目考试中达/+的概率分别为这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这

位考生至少得1个/+的概率是.

15.等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若3s3=昆+反吗=2,则&5=

16.已知函数f(x)=m+dx+2.若存在实数。，6(。<6),使/(x)在上的值域为［。向，

请写出一个符合条件的加的值—.

四、解答题

17.445C中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,(sin5+sinC)(/>+c)=asin^+6sinC

⑴求角A；

⑵若。为边3C的中点，且AD=1,求6c的最大值.

18.已知数列｛叫的前〃项和为S“，点(",S』(“eN*)在函数尸2/一》的图象上.

(1)求数列｛6｝的通项公式；

(2)令2=如：4,求数列也｝的前“项和

19.如图，四棱锥P-48co中，底面/BCD为矩形，尸/，平面/BCD,E为尸。的中

点.

试卷第3页，共4页

(2)设/尸=1,/。=6,若点A到平面必C的距离为独3,

13

求二面角。-/E-C的大小.

20.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末

命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次

投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概

率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)己知：若随机变量X,服从两点分布，且P(X,=1)=1-产氏=0)=%/=1,2,…则

E[|.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为y,求E(y).

21.椭圆C的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，椭圆C经过点(行,0)且短轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)过点(2,1)且倾斜角为[的直线/与椭圆C交于/、8两点,线段的中垂线与x轴

交于点。，P是椭圆C上的一点，求忸。|的最小值.

22.设函数/(x)=%2—Q(lnx+l)(Q>0).

(1)证明：当"V—时，/(x)>o；

e

(2)若对任意的xe(l,e),都有求。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】由题可得/55,再利用集合的包含关系即求.

【详解】由题知/n隔3)=0,得4=B,则加£1,

故选：A.

2.C

【分析】先求出同=1,然后再求忖=1.

【详解】由(l—2i》=2+i,得：|l-2i||z|=|2+i|,

所以：口=1,即：回=1,故C项正确.

故选：C.

3.A

【分析】利用向量的线性运算结合平面向量基本定理可求〃的值.

【详解】由平面向量基本定理，

^D^=DA+AE=DA+-AC=-AD+-(AB+AD]

44、)

1―►3―►

=-AB——AD,

44

131

所以2=一,〃=—,即2+//=—，

442

故选：A.

4.D

【分析】由二倍角公式结合平方关系以及商数关系即可得解.

【详解】由题意JJsina+cosa=1,所以2jJsinWcos[+cos21—sin?W=cos?W+sin?1,

222222

所以2GsinqcosguZsii？q,而sin4>0,故解得tan4=VJ,

22222

而ce1右T，经检验tan£=6满足题意.

故选：D.

5.D

【分析】利用导数的几何意义即可求得函数在某点处的切线方程.

【详解】因为>——i-sin(7t-2x)=———I-sin2x,

x+1x+1

答案第1页，共12页

所以了=-7一军+2cos2r,

(x+1)

所以y=£+sin(兀-2x)在点(0,1)处的切线斜率为y'Lo=-«，+2cosO=-l+2=l.

所以切线方程为>T=lx(x-0),即y=x+l,

故选：D.

6.C

【详解】抛物线C：x2=4y的焦点为F(0,1),定点A(2,0),

抛物线C的准线方程为y=-l.

设准线与y轴的交点P,则句眩：MN=FP：FN,

又F(0,1),A(2,0),

二直线FA为:x+2y-2=0,

当y=-l时，x=4,即N(4,-1),

.FP2_1

,•丽—后+22-百

1.A

【分析】根据题意结合等比数列的前n项和公式即可得到答案.

【详解】由题意可得这个人每天走的路程成等比数列，且公比q=；,"=6,5=378,

故'「=378,解得%=192.

1--

2

故选：A.

8.B

【分析】先求得函数/(x)的单调性,把不等式/('-2)-/(2x+l)>0转化为

/(x-2)>/(2x+l),得至lj|x_2|>|2x+l|,即可求解.

【详解】当x20时，=此时r(x)=e*+=>0,则在(0,+“)上单调递

ee

答案第2页，共12页

增，又由/(X)是偶函数，所以“X)在(-叫0)上单调递减.

由/(尤_2)_/(2工+1)>0,得/(x_2)>/(2尤+1),贝ij|x_2|>|2x+l|,

两边平方整理得3-+8x-3<0,解得-3<x<；.

故选：B.

9.CD

【解析】先将函数化为/(x)=2sin(2x-9)-2,利用整体换元去考察它的对称轴与对称中心，

6

利用三角函数的图象变换规律去判断CD即可.

【详解1f(X)=邪>sin2x-2cos2x—1=百sin2x—(1+cos2x)-1=2sin(2x--)-2,

6

^2x--=—+k7r,左EZ,贝!]%=工+红，keZ,故A错误；

6232

令2x-j=k7t,kwZ,则x==+”,丘Z,所以/(x)图象的对称中心为(三+竺「2),左eZ,

6122122

故B错误；

将曲线V=2sin(x-J)上各点的横坐标缩短到原来的;《纵坐标不变)，得到曲线

y=2sin(2xq]的图象，再向下平移2个单位长度得到曲线了=/(幻的图象，故C正确；

7T

将/(X)的图象向右平移£个单位长度，得到的曲线方程为

6

JTJT

j=2sin[2(x--)]-2=-2cos2x-2,其为偶函数，故D正确.

66

故选：CD

10.ABC

【分析】A选项，利用全排列求出答案；B选项，捆绑法进行求解；C选项，插空法进行求

解；D选项，先将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，再将剩余的书和位置进行

全排列.

【详解】A选项，戏曲书放在正中间，其余6本书和6个位置进行全排列，共有A：种不同

放法，A错误；

B选项，将两本诗集进行捆绑，有2种放法，再将捆绑的诗集和剩余的5本书，

进行全排列，此时有A：种放法，故诗集相邻的不同放法有2A：种，B正确；

C选项，先将诗集和戏曲进行全排列，有A；种方法，且3本书互相之间有4个空，

答案第3页，共12页

将4大名著进行插空，有A：种方法，故共有A；A：种放法，C正确;

D选项，将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，有A；种放法,

再将剩余5本书和5个位置进行全排列，有A；种放法,

故四大名著不放在两端的不同放法有A；A；种，D错误.

故选：ABC

11.AD

【解析】由双曲线的标准方程可求得渐近线方程，可判断A选项；求得。的值，可求得以月入

为直径的圆的方程，可判断B选项；将圆的方程与双曲线的渐近线方程联立，求得点M的

坐标，可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项

2

【详解】由双曲线方程2-/=1知“=夜/=1,焦点在了轴，渐近线方程为

2

y=+^-x=+s/2x,A正确；

b

c=V7或=6，以片工为直径的圆的方程是工2+必=3,B错误；

J=3X=1x=-l…=3得I」x=l或x=-l

由<'得厂或＜由，

y=\2x[y=^y=-42，y=V2

所以，M点横坐标是±1,C错误；

5则&=%尸2|也|=，2Gx1=6,D正确.

故选：AD.

22L

【点睛】双曲线、-齐=1（。>01>0）的渐近线方程为y=±1x,而双曲线

22人

£=1（">0,6>0）的渐近线方程为>=±£》（即x=±7），应注意其区别与联系.

12.ACD

【分析】对于A：当4c=6时，即4。，4c时满足条件；对于B：根据线面垂直可得

AfiVAXD,AfiYDE,进而结合长度关系即可判断；对于C：当平面4DE，平面N8C。时,

四棱锥4-DCSE体积的最大，再求解即可；对于D：取DC中点O,连接OM,即可得M

在以点。为球心的球面上.

【详解】对于选项A：由题可知：AtD1AXE,

答案第4页，共12页

若存在某个位置使得^EC,

由于4£nEC=£,4E,ECu平面4EC,可得/Q，平面&EC,

且4Cu平面4EC,所以

又因为48=2/。=2,可得4。=百，

由于在折叠过程中，4Ce(l,V5),所以存在某个位置，使得4C=百，

故存在某个位置，使得£>4，EC,故A正确；

对于选项B：若存在某个位置，使得4C，平面4。£,

由AXD,AEu平面A{DE,可知&C_LAtD,A,C1DE,

因为DE=CE=42,AtB=A*=1,CD=2,

由4c±AXE可得4c=1,由AXC14。可得&C=拒,

因为4c=1与4c=G不能同时成立，所以4CJ_平面不成立，故B错误；

对于选项C：若四棱锥4-。C2E体积的最大时，则平面平面/BCD,

由于4AQE是等腰直角三角形，可知此时点4到平面DCBE的距离为旦,

2

所以四棱锥4-DCBE体积的最大值为r=1x|x(2+l)xlx'=言，故C正确;

对于选项D：取ZX?中点O,连接。M,

由于M为线段4c的中点，贝!|。河//4£>,。河==g为定值，

所以M在以点。为球心的球面上，故D正确.

故选：ACD.

13.2亚

【分析】根据向量的线性运算以及向量垂直的坐标表示可得力=-4,进而可求模长.

答案第5页，共12页

【详解】由题意可得：«+Z)=(l,A+1),3=(3,1),

一一一1X1

若(a+6)，6,贝iJ(a+6))=3+2+l=0,解得7=-4,

则1=(-2,-4),所以同=/(_2)2+(一4)2=2石.

故答案为：26.

13

14.一

15

【解析】先求对立事件概率：三门科目考试成绩都不是H，再根据对立事件概率关系求结

果.

1312

【详解】这位考生三门科目考试成绩都不是A+的概率为(1--)(1--)(l-j)=-,

所以这位考生至少得1个/的概率为1-百2=13

13

故答案为：

【点睛】本题考查利用对立事件求概率，考查基本分析求解能力，属于基础题目.

15.-10

【解析】结合已知条件，利用等差数列的求和公式求得公差d,然后再由等差数列的通项公

式，即可求解.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

因为3s3=S?+S4Ml=2,可得3(6+3d)=12+7d,解得d=-3,

所以%=4+4d=2+4x(-3)=-10.

故答案为：-10.

9

16.-2((-：,-2］内的任意一个值均可)

4

【分析】判断函数单调性，根据给定条件，把问题转化为方程冽—2=0有两个不等的

非负实根求解即得.

【详解】函数/(；0=%+671的定义域为［-2,+00,显然/⑴在［-2,+8)上单调递增，

ff(a)=a____

依题意，b>a>—2,s,因此方程/(x)=x,即x-Rx+2-m=0在［一2,+oo)有两个

l/S)=b

不等实根，

答案第6页，共12页

令Jx+2=/>0>于是方程〃=0有两个不等的非负实根，"2>

A=1+4(m+2)>0

o

则''1+'2=1>0，解得<m<-2,

单?=~m—220

所以符合条件的m的值可以为-2.

故答案为：-2

【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数

形结合的方法解决一元二次方程的实根问题.

2万

17.(l)y

(2)4

【分析】（1）根据正弦定理角化边得优+c『=/+6c,化简利用余弦定理可求解；

（2）根据题意可知而=；（次+就），两边平方化简可得4=〃+。2一次，利用基本不等式

可求加的最大值.

【详解】（1）由（sinB+sinC）（b+c）=asin/+bsinC,得（6+c『=/+儿，

即a2=b2+c2+be又由余弦定理/=/+°2_2bccosA，

可得cos/=一；,

O-rr

又北（0,万），/=与；

（2）是边8C的中点，

2D=1（Z8+^C）,

那么而2=?方+就）、萍?+1■羽•就+/2,

又/D=l,.,.4=b2+c2-bc

又b1>2bc,当且仅当b=c时等号成立，

***bc+4=b2+c2>2bc

ZJC<4,be的最大值是4.

18.⑴〃〃=4〃-3

答案第7页，共12页

GJ4"+l-1

（）4

【分析】（1）由题意可得S"=2"2-〃，分"=1和〃22两种情况，结合，与巴之间的关系运

算求解；

（2）由（1）可得：“=；（、际TT-跖=？），利用裂项相消法运算求解.

【详解】（1）因为点©N*）均在二次函数>=2x2-尤的图象上，

可得5“=2/_”，则有：

当〃=1时，4=1；

22

当“22时，an=Sn-Sn_x=2n-n-[2（n-1）-（«-1）]=4«-3;

且q=1也符合％=4几一3,所以。〃二4几一3.

⑵由⑴可得：

所以北=。+。2+0+…+4

=—^>/5—Vf）+-y/^）+L+（也■1—jn—3]

_,4〃+1-1

=---------,

4

所以7二叵壬1.

〃4

TT

19.（1）见解析（2）§

【分析】（1）设BD与AC的交点为O,连结EO,推导出EO〃PB,由此能证明PB〃平面

AEC.

（2）由嗫/8C=/TBC求出AB的长，以A为坐标原点，方的方向为X轴的正方向，|万|为

单位长，建立空间坐标系，利用向量法求出二面角。-/E-C的大小.

【详解】（1）证明：连结AD交NC于点O,连结EO,

因为/BCD为矩形，所以。为3。的中点，

又E为尸。的中点，所以EO//PB,

EO<zAEC,PS<z5PffiAEC,所以尸3〃平面ZEC

答案第8页，共12页

(2)因为尸平面48co,/BCD为矩形，所以/民/。,/尸两两垂直

设48=1,则PB=业?+1，由瞑.PBC=Z>TBC有:。仔.，gS"BC，尸」4

即：----A/3.#<1--=----V3M，解得：?=|

3213322

以A为坐标原点，羽的方向为五轴的正方向，|后|为单位长，建立空间直角坐标系/-斗,

则D(O,6,O),E0岑,；，赤=则&oj,而=仁,6,0

〃1•AC=0

设%=(x,y,z)为平面/CE的法向量，则

nx-AE=0

又后=(1,0,0)为平面ZME的法向量

26

由cos阮其)=|口=2]="—=(，故二面角D-/E-C的大小为g

«i-«2-X23

【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐

标系；(2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面的法向量，利

用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；(4)将空间位置关系转化为向量关系；(5)

根据定理结论求出相应的角和距离.

20.(1)0.6

1

⑵上+-

03

⑶现y)=22n

1-+—

lo3

【分析】(1)根据全概率公式即可求出；

(2)设尸(4)=乩，由题意可得口+I=0.4R+0.2,根据数列知识，构造等比数列即可解出;

(3)先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.

答案第9页，共12页

【详解】(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件4,“第i次投篮的人是乙”为事件用,

所以，P⑻=p(AtB2)+p(耳与)=H4)尺与I⑷+《®aB2\@

=0.5x(1-0.6)+0.5x0.8=0.6.

(2)设尸(4)=0，依题可知，P⑻=1-Pi，则

p(4+J=尸(44J+尸佃4+1=尸区)P&I匕卜尸电p(4i+l⑸),

即Pi+i=0.6pj+(1-0.8)x(l一pj=0.4口+0.2,

构造等比数列｛△+4，

设，解得4=一；，则夕加一；=：("'_；］，

又Pl=1,月-2=9,所以［p,-3是首项为。，公比为名的等比数列，

236I3165

（3）因为Pj=gx[g]+g，%=1，2,.,

1

所以当〃wN*时，£（y）=p]+p2+—+p〃=Lx-n52n

H.....——1-H---'

6123183

1--

5

故£（y）=2

lo

【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式,

然后根据数列的基本知识求解.

21.（吟+/=1

（2）迪

3

【分析】(1)根据椭圆的几何性质即可求解.

(2)由直线/和椭圆方程式联立得线段N5的中点坐标，得到线段N8的中垂线方程，由此

答案第10页，共12页

求得。的坐标，再由椭圆的参数方程得P的坐标，再由两点间的距离公式和复合函数求最值

即得.

22

【详解】(1)由题意设椭圆C的方程为二+斗=1e>6>0),

ab

因为椭圆C经过点(板,0)且短轴长为2,所以“=21=1,

所以椭圆的标准方程为—+/=1.