人教A版高中数学选修一第三章《圆锥曲线的方程》提高训练

选修一第三章《圆锥曲线的方程》提高训练（29）

一、单选题

1.已知以厂为焦点的抛物线/=4%上的两点A,8满足赤=3而，则点A的横坐标为（）

.4

A.1B.-C.2D.3

3

2.已知抛物线。：犷=2°吠0>0）上一点加«）,2夜）至憔点F的距离,|=|%,则。=（）

A.1B.2C.4D.5

3.已知点P是双曲线£:=-匕=1的右支上一点，心/为双曲线E的左右焦点，的面

1691212

积为20,则下列说法正确的是（）

①点尸的横坐标为日

②△尸P尸的周长为竺

123

③△尸尸尸的内切圆半径为1

12

④4FPF的内切圆圆心横坐标为4

12

A.②③④B.①②④C.①②③D.①②

4.已知双曲线C:=-"=l（a>b>0）的左、右焦点分别为勺、F尸是双曲线C上的一点，且

a2b212

7a2+/?2TTIT

Q—―,0满足NF1P2=B，=则双曲线c的离心率为（）

216，2

\7

V10口而「2x/10八底

AA.-------D.C.----------D.

2255

5.已知抛物线产=4x的焦点为尸，过点F的直线I交抛物线于A,3两点，延长尸3交准线于点C,

\BF\

若1301=213/I,则的值是（）

\AFI

A.—B.—C.LD.—

4323

6.已知。为坐标原点，点M在双曲线C:x2—>二九（九为正常数）上，过点加作双曲线。的某

一条渐近线的垂线，垂足为N,则|ONH"M的值为（）

x

A.-B.XC.2XD.无法确定

2

7.在平面直角坐标系尤。丫中，M为双曲线三-丝=l（a>0,b>0）上一点，厂是该双曲线的焦点,

〃2匕2

且满足⑸d=bM,若的面积为02,则双曲线的离心率为（）

A.0B.店C.272D.3

8.抛物线12=2py（p>0）与椭圆*+1-=1交于A,5两点，若“08的面积为仄'（其中。为坐标原

点），贝IJP=（）

A.2B.3C.4D.6

9.已知椭圆C：=+”=1（。泌>0）的左右顶点分别为A和5,P是椭圆上不同于A,5的一点.设直

Q2b2

线AP,BP的斜率分别为加，%则当m3-++c（lnlml+lnl“l）取最小值时，椭圆C的离

b\5mn）mn2

心率为（）

A.述B.±C.3D.1

3525

10.已知双曲线C:工-丝=1（“>0,6>0）的左焦点为尸，过尸且斜率为1的直线分别与C的两条渐近

G2/72

线交于4,8两点，若B为4尸的中点，则该双曲线的离心率是（）

A.万B.2C.石D.而

11.设厂（。,0）为双曲线E:工-"=1（a>0力>0）的右焦点，圆尤2+产=02与E的两条渐近线分别

42力2

相交于4B两点,。为坐标原点，若四边形。4总是边长为4的菱形，则E的方程为（）

A.=-丝=1B.三-丝=1

6226

c.卫-21=iD,三—竺=1

123412

12.已知双曲线C:三-丝=1（“>0力>0）的左，右焦点分别是尸，F,点尸是双曲线C右支上异于顶

a2Z?212

点的点,点H在直线x上,大eR.若5加+4汴+3雨=0，则

21

双曲线c的离心率为（）

A.3B.4C.5D.6

94

13.已知双曲线C：史-E=i（a>o,b>。）的左、右焦点分别为尸，F,过点/且斜率为的直

〃2。21217

线与双曲线在第二象限的交点为A,若（尸尸+//）・b•=（）,则双曲线C的渐近线方程是（）

1212

A.y=+—xB.y=±-xC.y=+>j3xD.y=+---x

34/3

14.已知双曲线c：二-£=l（a>0,b>0）的左右焦点分别为f肖，〃为C左支上一点,N为线段“

。2b2122

上一点，且尸为线段的中点.若忸1=4181（。为坐标原点），则C的渐近线方

程为（）

A.y=±xB.y=+>/2x

C.y=±y/3xD.y=±2x

15.过双曲线三-g=l（a>0,6>0）的右焦点尸作一条渐近线的垂线，垂足为A,交另一条渐近线

〃2b?

于8点，且8尸,=2E4,则该双曲线的离心率为（）

A.—B.亚C.向D.—

32

二、填空题

16.已知双曲线二-竺=l（a>0,6>0）的中心为O,左焦点为尸，左顶点为A,点P为双曲线右支

42/72

上一点，直线OP交双曲线于另一点Q,若直线AQ恰好平分线段PF,则该双曲线的离心率为

17.已知厂是抛物线xz=4y的焦点，8（0,-1）,A为抛物线上任意一点，当需取最小值时，|人冏=

18.直线y=W无交椭圆C:二+匕=l（a>b>0）于A,B两点，|AB|=4石.厂是椭圆的右焦点，

若则。=.

19.已知点尸为双曲线三一2i=lQ>0,6>0）的右焦点，过尸作一条渐近线的垂线，垂足为4若

。2/?2

△04尸（点。为坐标原点）的面积为2,双曲线的离心率ee［而,府］,则a的取值范围为,

20.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为尸，A为C上一点，以尸为圆心，E4为半径的圆交C

的准线于B,。两点，若A,F,B三点共线，且14/1=3,则抛物线C的准线方程为.

21.已知双曲线C：兰-竺=1（。>0,6>0）的右焦点为/，。为坐标原点，直线/、/为双曲线C的

。2拉12

两条渐近线，过点尸的直线/与渐近线/平行，且/与双曲线。交于点尸，若直线。尸的斜率为直线，

12

的斜率的g,则双曲线C的离心率为.

22.如图，已知抛物线C：w=4x的焦点为尸，抛物线C的准线/与x轴相交于点A,点。（。在

第一象限）在抛物线C上，射线尸。与准线/相交于点B，BQ=2QF,直线AQ与抛物线C交于另

\PQ\15Pl

一点P,则

TAQ\\PF\

y

23.已知产是双曲线三-E=i（a>o2>o）的右焦点，过点尸作渐近线的垂线W（点X为垂足），并

<22枚

交双曲线的右支于点4若A为线段用的中点，则双曲线的离心率为___________.

24.设尸J1是双曲线己蔗-言=13>0,。>0）两个焦点，0为坐标原点，p在C上，|0刊=|。々|,

且尸々与。的一条渐近线平行，则。的离心率为.

三、解答题

25.已知椭圆C:二+”=l（a>b>0）,离心率e=遗，且过点1?'.

02及2I2J

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线x=l上有一点P,且与x轴交于。点，过。的直线/交椭圆C于A,B两点,交直线

x=3于M点，是否存在实数大，使得3+脸=九勺.,恒成立？若存在，求出实数大的值；若不存在，

PAPBPM

请说明理由.

26.已知椭圆C:=+二=1（。>6>0）的四个顶点围成的四边形的面积为2、?，右焦点尸到直线

〃22

尤-y+2=0的距离为2点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点加（-3,0）的直线/与椭圆C相交于A,8两点，过点尸作直线/的垂线，垂足为N（点A,

2

B在点N之间）.若AA尸M与ABFN面积相等，求直线/的方程.

22

27.已知A,B分别为椭圆C：三+竺=lQ>b>0）的左右顶点，厂为右焦点，点尸为C上的一点，

P尸恰好垂直平分线段08（。为坐标原点），|PF|=-.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过尸的直线/交C于M,N两点，若点。满足OQ=OM+ON（Q,M,N三点不共线），求

四边形OMQV面积的取值范围.

28.已知椭圆C：竺+”=1电>6>0）的左、右焦点分别为々，/，左、右顶点分别为A,8,忸川=2,

a2b21212

\AB\=4.

（1）求椭圆C的方程.

（）过尸的直线与椭圆交于两点（均不与重合），直线与直线交于点，

22CM,NA,BMBx=4G

证明：A,N,G三点共线.

29.已知双曲线E：=-21=lQ>0,b>0）的右焦点为歹，离心率e=2,直线/：x=叵与E的一

〃2匕2C

条渐近线交于Q,与无轴交于p,且忸。|=百.

（1）求E的方程；

（2）过下的直线/'交E的右支于A,B两点，求证：PF平分/APB.

30.已知点尸（无①在椭圆C:=十二=1（。>6>0）上，且椭圆C的离心率为也，若过原点的直

Q2/?22

线交c于A，8两点，点A在第一象限，轴，垂足为。，连接3。并延长交C于点E.

（1）求椭圆C的方程；

（2）证明：AB1AE.

31.在平面直角坐标系xOy中，尸,A分别是椭圆广三+#=1（4>0）的左焦点和下顶点，点

42

E-五-乎］在椭圆「上.

（1）求椭圆「的方程及点£4的坐标；

（2）椭圆「上是否存在两点M,N,使得AAMN的三条高线交于点若存在，求出此时所

在直线的方程，若不存在，说明理由.

32.设椭圆C：=+匕=1（°>/,>0）,O为原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为A、B,点。（02）,

CL2/72

椭圆C的离心率为正，>ZOAB-ZODA.

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）不与％轴平行的直线/与椭圆C交于不同点尸、Q,已知点尸关于了轴对称点为点"，点。关

于原点的对称点为点N,且。、M、N三点共线，求证：直线/过定点.

33.已知椭圆C:二+竺=l(a>b>0)的离心率为:点在椭圆C上.

a2b22t2J

(I)求椭圆c的方程；

(2)若过点8(4,0)作直线/交椭圆C于不同于A的。,E两点,记直线DA,胡的斜率分别为上水,

12

试问：k+k是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.

12

34.已知椭圆E:上+"=1(°>6>0)的离心率为且，且过点其下顶点为点A.若斜率存

a2b22I2)

在的直线/交椭圆E于尸，。两点，且不过点A,直线ARAQ分别与x轴交于M，N两点.

(1)求椭圆E的方程.

(2)当M,N的横坐标的乘积是g时，试探究直线/是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若

不过，请说明理由.

35.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:=+"=l(a>b>0))的离心率为正，短轴的一个端点的

〃2b22

坐标为(0,-1).

(I)求椭圆C的方程.

(2)点F为椭圆C的右焦点，过C上一点A(x,y)(x,y/0)的直线/:%%+2yy=2与直线1°：X=2

11111112

交于点为尸，直线Ab交。于另一点8，设A5与。尸交于点。.证明：

7C

(i)ZAFP=-；

2

(ii)。为线段AB的中点.

36.已知椭圆E:二+”=1(°>6>0)的上顶点为7(0,1),且7与椭圆£的两个焦点构成一个等腰直

CL2/72

角三角形.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若不过点(|,。］的动直线与E交于点48点河满足。4@=-焉求T到直线距

离的最大值.

37.已知定点4。,T),5(0,1),曲线L上的任一点M都有词2月

(1)求曲线乙的方程；

(2)点。(-2,-2),动直线/恒过点N(0,2),与曲线L交于C,。，设直线02,32,N0的斜率分别

为证明：成等差数列.

123kkk

132

38.如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过

椭圆的另一个焦点.已知椭圆C:=+"=l（a>b>0）的左、右焦点分别为F,F,左、右顶点分别为

a2b212

A,B,一光线从点勺（-1,0）射出经椭圆C上尸点反射，法线（与椭圆C在尸处的切线垂直的直线）

与x轴交于点。,已知忸勺|=2近，|华卜如.

（1）求椭圆C的方程.

（2）过门的直线与椭圆C交于M,N两点（均不与A,B重合），直线MB与直线x=4交于G点，证

明：A,N,G三点共线.

39.设椭圆C:=+*=l（a>b>0）的左、右焦点分别为尸，F.已知C的离心率为L,过焦点歹

〃2从1222

的直线/交C于A,B两点,当焦点勺到直线/的距离最大时，恰有|44|=2.

（1）求C的方程；

（2）过点（。力）且斜率为石的直线交C于E,F两点，E在第一象限，点尸在C上.若线段EF

的中点为"，线段的中点为N,求尸面.丽■的取值范围.

40.已知产为抛物线（7:》2=2勿（。>0）的焦点，直线/：y=2x+l与C交于A,8两点且

\AF\+\BF\=20.

（1）求C的方程.

（2）若直线〃?：y=2x+f（f/l）与C交于M,N两点，且AM与BN相交于点T,证明：点T在定

直线上.

41.已知椭圆C:=+二=1（。>6>0）的离心率为直，点A,B分别为C的上下顶点，点。（。』）为

42/725

A8的四等分点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点。的直线/与C交于异于A,8的E,尸两点，且直线AE,BF交于点M,证明：点

M在定直线上.

42.已知点尸为椭圆C:±+竺=13>6>0）的右焦点，椭圆上任意一点到点/距离的最大值为3,

〃2/72

最小值为1.

(I)求椭圆C的标准方程；

(2)若M为椭圆C上的点，以"为圆心，板长为半径作圆若过点与-1,0)可作圆M的两条

切线为切点)，求四边形面积的最大值.

43.已知。”>0,曲线「由曲线C:=+丝=1(”0)和曲线C:=1(”0)组成，其中曲

1a2b22aib2

线c的右焦点为々(2,0),曲线c的左焦点夕(-6,0).

1122

(1)求。,6的值；

(2)若直线/过点/交曲线C于点A,8,求AAB々面积的最大值.

211

44.已知点。是圆。：。+4)2+产=72上一动点，点4(4,0),线段的中垂线交。。于点8.

(1)求动点B的轨迹方程C；

(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为‘相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线T与曲线C相似，

且焦点在同一条直线上，曲线T经过点E(-3,0),F(3,0).过曲线C上任一点尸向曲线7作切线，

切点分别为M,N,这两条切线尸M,PN分别与曲线C交于点G,8(异于点尸).

\MNI

证明：西方是一个定值，并求出这个定值.

ICr/7I

45.如图，已知椭圆E：=+竺=1(°>b>0)的离心率为且，A,8是椭圆的左右顶点，尸是椭圆

。2bi2

E上异于A,B的一个动点，直线/过点8且垂直于x轴，直线AP与/交于点。，圆C以2。为直

径.当点尸在椭圆短轴端点时，圆C的面积为兀.

(1)求椭圆E的标准方程；

s

(2)设圆C与PB的另一交点为点R,记AAQR的面积为S,ABOR的面积为％,试判断p是

2

否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求器的取值范围.

2

46.如图，椭圆「*+川=1Q>1)的右焦点为b，右顶点为A,满足血+血=向，其中。

为坐标原点，e为椭圆「的离心率.

（1）求椭圆「的标准方程;

（2）设M为椭圆「上的动点（异于左右顶点），直线板交椭圆「于另一点N,直线M4交直线x=2

于点P，求证：直线PN过定点.

47.在平面直角坐标系尤0y中，已知椭圆C：兰+竺=1（°＞匕＞0）的离心率为立，短轴长为2.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设尸为椭圆上顶点，点A是椭圆C上异于顶点的任意一点，直线P4交工轴于点“，点5与

点A关于1轴对称，直线尸8交了轴于点N.问：在》轴的正半轴上是否存在点Q,使得

N0QM=/0NQ?若存在，求点。的坐标；若不存在，请说明理由.

48.已知抛物线。：产=2px（p〉0）,满足下列三个条件中的一个：①抛物线。上一动点。到焦点厂

的距离比到直线能：X=-1的距离大1；②点42,3）到焦点F与到准线1：X=-々的距离之和等于7；

③该抛物线C被直线〃：x-y-2=0所截得弦长为16.请选择其中一个条件解答下列问题.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）。为坐标原点，直线/与抛物线C交于N两点，直线的斜率为直线ON的斜率为

k,当k=-4时，求AOA/N的面积的最小值.

212

49.已知椭圆E:竺+丝=l(a>b>0)的离心率为它，焦距为2vL

。2人22

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点尸(1,0)的直线与椭圆交于48两点，在x轴上是否存在一个定点"0,0),使得为

定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

50.椭圆C:丑+竺=l(a>6>0)的左、右焦点分别是尸、F离心率为上，过尸且垂直于x轴的

42621221

直线被椭圆c截得的线段长为3.

(1)求椭圆C的方程.

(2)已知点”(0,1),若直线y=x+f与椭圆C相交于两点C,。且直线ac,HO的斜率之和为-2,

求实数『的值.

(3)点尸是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接尸尸「PF设/尸尸尸的角平分线尸河交C的

1212

长轴于点/(肛0),求利的取值范围.

【答案与解析】

1.D

【解析】

设48为丫=左（》-1）,A（x,y）,B（x,y）,联立抛物线方程，应用韦达定理可得xx=1,根据向

112212

量的关系有l-x=3（x-1）,即可求A的横坐标.

12

由题意，A、F、8共线且直线的斜率存在，可设直线A3为>=左（》-1）,

联立方程消元得：上心-（2公+4）x+跄=0,且A=16左2+16>0,

[y2=4x

设A（x,y）,B（x,y）,贝ij无x=1.

112212

vAF=3FB，又尸（1,0）,

**.\—x=3（x-1）,

12

\xx=11

综上，有i二=3（x.l），可得"，々=针

I12

故选：D.

关键点点睛：设直线方程及交点坐标，联立抛物线，应用韦达定理求xx,结合向量的数量关系，

12

列方程组求交点横坐标.

2.B

【解析】

由抛物线的定义可知际|=%+々，与已知条件结合得%=P,把点M的坐标代入抛物线方程即可

得解.

由抛物线的定义可知|MF|=x+2,

02

v|MF|=-x,x+=-x,即％=〃，

12oO22O1o

•.•点M（0,2正）在抛物线C:y2=2px（p>0）上，；.8=2p2

解得：P=2或-2（舍去），

故选：B.

关键点点睛：本题考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线定义写出+上，考查学生

02

的分析能力和运算能力，属于基础题.

3.B

【解析】

设△尸尸尸的内心为/,连接/P,IF,/F,求得双曲线的a,b,c,不妨设尸（办"），m>0,n>0,

1212

运用三角形的面积公式求得P的坐标判断①，由两点的距离公式，可得尸尸的周长判断②，设

12

的内切圆半径为r,运用三角形的等面积法，可计算r判断③，设的内切圆圆心横

1212

坐标为X,利用正切的二倍角公式可判断④.

设的内心为/,连接。，IF,IF,

1212

双曲线E：三-芝=1中的a=4,b=3,c=5,

169

对于①，不妨设尸（〃?,"），相>0,n>0,由的面积为20,可得［忸川w=c〃=5"=20,即

12

122

〃=4,由小一3=1,可得机=竺，故①正确；

1693

对于②，由尸用41且〈（一5,0）,勺（5,0）,得叫+%=^16+v+^+j=T+T=T,

则△尸平的周长为三+10=?故②正确；

对于③，设△PFb内切圆半径为广，由三角形等面积法得：厂（|尸尸|+忸/|+忸歹|）=2•忸川-4,即

112

1222122

onq

yr=40,解得r=5,故③错误；

ZPFFr3

对于④，设△尸P尸的内切圆圆心横坐标为心则tan—=--=--又

122x+52（x+5）

“/PFF

4122tan—/PFF/PFF1

tanZPFF=——=—=------,解得：tan—厂=一6（舍去）或tan—尸=大，

一一+58l-tanz....-22。

32

31

故——=7.求得x=4,故④正确；

2（%+5）o

故选：B

(1)坐标法是解析几何的基本方法；

(2)灵活运用定义在解析几何中是常见的思路；

(3)解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻

找几何关系可以简化运算.

4.D

【解析】

设|PFj=f,得到忸〈|=/+2a,在中，由余弦定理求得3骁+6af=44，再根据

\PQb=L(t+2a)2+^t2--=--t2,化简求得5f=2a,代入上式，结合离心率的定义，即可求解.

4444

如图所示，点2(1,0),所以|。勺|=?

设|尸工|=/，则叫=t+2a,

因为=NFPQ=I，可彳导/FPF=冬,

1622123

在△勺隼中，由余弦定理可得coy*上崎哥更T

即2/2+4at-4Z?2=—t2-2at，BP3t2+6at=4Z?2,

13cz

又由|PQ|2=_«+2Q)2+T2----=----t2,

4444

即4/2+4at+4〃2-3c2=c2-4优,BP8n+4at+4〃2-4c2=0，

BP8/2+4at=4c2-4。2=4/72,

所以8r2+4m=3德+6成，可得为2=2G,BP5t=2a,

7272

将夕=2。代入3/2+69=4。2,可得一。2=助2,即一=4。2-4。2,

2525

可得e=£=叵.

a5

故选：D.

求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a，。得值，根据离心率的定义求解离心率e；

2、齐次式法：由已知条件得出关于de的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解;

3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率

5.B

【解析】

过4,8分别作4知,8"垂直准线于“山，则有出川=⑷=由IBC1=2IB尸I可求出

।।2|CF|44

|C^=4,由于丽=（川+|4-广4+|4阴=4+|AM|'从而可求出答案・

由题意可知，P=2,则尸(1,0),准线为直线x=-l,

过A,8分别作AM,BN垂直准线于M,N,则有旧q=忸时,,

因为™,所以™,所以\B鬲C\=§2'所以氏丁2

AO

所以忸N|=|BH=§,忸c|=5,所以|CH=4,

P_M2IS44

U^\AM\\CA\'^^\AM\|CF|+|AF|4+|AF|4+\AM\5

解得|AM|=4,所以MH=4,

4

-

31

----

AF43

故选：B.

关键点睛：此题考查抛物线的定义和几何性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是对抛物

线定义的理解.

6.A

【解析】

设/(九〃)，即有磔一〃2=大，求出双曲线的渐近线为y=±x,运用点到直线的距离公式，结合勾

股定理可得IONI,化简整理计算即可得到所求值.

设“⑺/),即有侬—小二九，双曲线的渐近线为产土巧可得,

由勾股定理可得|CW|=JOM12TMNI2=*加2+几22")=，

可得|。用」加|=嘿.展==g.

故选：A.

思路点睛：本题先利用点到直线距离公式及勾股定理求出再利用xz-w=大解问题的.

7.A

【解析】

不妨设尸是该双曲线的右焦点，M在第一象限，延长交双曲线的左支于N点.设左焦点为勺，

则八勺在以为直径的圆上，利用双曲线的定义和勾股定理可求得|加日•吟再由AOM尸的

面积可得出。、c的齐次等式，由此可求得双曲线的离心率.

不妨设厂是该双曲线的右焦点，M在第一象限，延长M0交双曲线的左支于N点.

设左焦点为歹，则歹、/在以为直径的圆上，

11

根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左、右焦点，

则可得|嵋|一际1=2。，\MF^+\MF\2=\FF^=（2c^,

所以抽勺|一匣歹|）=|MF|2-2\MFI•|MFI+f=|FFJ2-2|MFI•|MFI,

又因为S=S=-\MF\-\MF\^2a2,

/XMNF/\MFf2'1

所以(2a)2=(2c)2-8Q2,得c=百。,所以e=—=>/^.

a

故选：A.

方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得。、。的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；

(2)齐次式法：由已知条件得出关于“、。的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率

8.B

【解析】

Y33Y4

由抛物线与椭圆交点的对称性，设A(x,y),(x>0),结合已知有S.=产,m+『=12,

o00AOB2Pb2P2

即可求(,进而求p值.

由抛物线与椭圆的对称性知：A,8关于y轴对称，可设4(无，y),B(-x,y),(x>0),

000

,：AAOB的面积为布，

Jx2xxy=4=B,而4+”=.+耳=12,

202P12202P2

I.由上整理得：%4-12x2+36=0,解得工2=6,贝I」P=3.

000

故选：B.

关键点点睛：根据抛物线、椭圆的对称性设交点坐标，结合三角形的面积及点在椭圆上列方程求参

数值.

9.A

【解析】

设P(x,y),利用斜率公式求得机〃，结合P(x,y)在椭圆上,化简可得相〃=---,令一=1〉1,

0000。2b

贝U/G)=t+21nL利用导数求得使了。)取最小值的乙可得/=：=2时，y+ln|m|+ln同取得最小

tbb

值，根据离心率定义可得结果.

yy2Z?2

A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则y2_________o_,而刃-—n=—e-,贝1mne------,

。。%a2xo+ax-a型一〃2。2

00

/、

又日(3———|+—+-(lnlml+lnlnl)=-3--------+——1-9b

n-

b\3mnJmn2b3b2bza

\a2JQ2

r\

令3=1>1,贝!|/⑺=一£3—3拉+3/—91n1，

b3

所以:⑺=2,一切+3-9=(fA")

2后

故/⑺=/(3),

min3

故选：A.

本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式的应用，以及椭圆的离心率，利用导数求函数的最

值，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种

情况：①直接求出“，c,从而求出e;②构造”,c的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲

线的定义来求解.

10.D

【解析】

先设直线方程判断点4B位置,分别联立方程得到〃和力，再根据中点关系得到

>=2>,代入计算即得2=3,利用求解离心率即可.

ABa

设直线方程为>=x+c,依题意，点A为直线与渐近线方程y=2尤在第一象限内的交点，点8为

a

b

直线与渐近线方程y=--x在第二象限内的交点,

a

b

y=­x，解得>=仔~

联立a；

ab-a

y=x+c

b

y=­x,解得丁匕

联立a

y=x+c

因为5为A尸的中点所以^=北,乙2y,BP—=—,故b=3a,即2=3,

Bb-ab+aa

所以双曲线的离心率e=£=J"?+"]=J1+叵=Jl+9=V10.

〃V〃2YQ2

故选：D.

方法点睛：求双曲线离心率(或范围)的常见方法:

(1)直接法：由a,c直接计算离心率e=£；

（2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于。，b,c的方程和不等式，利用

行=或+加和e=£转化成关于e的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范

a

围.

11.D

【解析】

根据菱形、圆的性质知c=4且△。4尸、A尸均为等边三角形，结合渐近线方程、双曲线参数关

系求“2,bi,即可求E的方程.

由四边形。AEB是边长为4的菱形，知：c=4且△。4尸、△斤均为等边三角形，而渐近线方程

、।b

为y=±T,

a

bl

**•-=tan60°=v3,又+。2=c2=16,

a

・・.〃2=4,从=12,故£的方程为^——=1.

412

故选：D