陕西省延安市2024年高三第三次模拟考试数学试卷含解析

陕西省延安市实验中学2024年高三第三次模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,

1.已知(2-如)(1——旧的展开式中的常数项为8,则实数机=()

X

A.2B.-2C.-3D.3

2.已知复数z满足(1—i)z=40则目=()

A.2aB.2C.4D.3

22

3.椭圆/+]_=1的焦点为耳,鸟，点P在椭圆上，若IP8|=2,则/耳的大小为()

A.150°B.135°C.120°D.90°

4.木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积()

A.24万+96B.48l+9百C.48万+18&D.144万+18百

5.设/Xx)为定义在R上的奇函数，当尤之0时，/(x)=log2(x+l)+ax2一。+1(。为常数)，则不等式/(3%+4)>—5

的解集为()

A.(-oo,-l)B.(-l,+oo)C.(-oo,-2)D.(-2,+oo)

6.设过抛物线9=2勿(〃>0)上任意一点p(异于原点。)的直线与抛物线丁=8加(">0)交于两点，直线

s

OP与抛物线丁=8加(。>0)的另一个交点为。，则7侬=()

3ABO

A.1B.2C.3D.4

右

定义在上的偶函数/（%）,对且石成立，已知（）

7.RVXI,于42，句>0a=/ln»,

b-fe5,则。，b,c的大小关系为（)

\7

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

8.已知I,机是两条不同的直线，根1_平面（X,贝!1“///。”是“LL/W”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

等比数列｛4｝中，6=：应=2,则%与肉的等比中项是（）

9.

O

1

A.±4B.4D.-

4

10.若点--位于由曲线-_-_；与-一.围成的封闭区域内（包括边界），贝！I的取值范围是（）

A[-3.1]B-[-3.5]Cj[?,4-X)D,u[J.4-x)

11.函数户2国3n2%的图象可能是

的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重

合的变换方式有（）

①绕着X轴上一点旋转180°;

②沿x轴正方向平移；

③以x轴为轴作轴对称；

④以工轴的某一条垂线为轴作轴对称.

A.①③B.③④C.②③D.②④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知椭圆C：5+营=1（。〉。〉0）的左，右焦点分别为《，B，过耳的直线交椭圆C于A，3两点，若

NA5g=90。，且8的三边长忸阊，到，|明|成等差数列，则。的离心率为.

14.（5分）已知椭圆方程为炉+工=1,过其下焦点支作斜率存在的直线/与椭圆交于A,3两点，。为坐标原点,

2

则AQ8面积的取值范围是.

15.对任意正整数〃，/（n）=2n3-7n2cosnjv-An-l,若/⑵20,则2的取值范围是；若不等式

/5）20恒成立，则X的最大值为

22

16.已知双曲线C：=—1=1（。>0,b>0）的左，右焦点分别为月，F,,过点耳的直线与双曲线的左，右两

a2b2

7

支分别交于A,3两点，若|A5|=|A阊，COSZBAF=-,则双曲线C的离心率为.

28

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在三棱锥A-BC。中，AB±AD,BCVBD,平面ABZ>_L平面5c。，点E,F（E与A,。不重合）

分别在棱AZ>,BD1.,且E/UA。.

求证：（1）E尸〃平面A5C；

(2)ADLAC.

18.(12分)如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=3,点瓦/分别是线段DC,3C的中点，分别将△。4石沿4£

折起，ACEF沿EF折起,使得。，。重合于点G,连结AF.

(I)求证：平面GEFL平面GAP；

(II)求直线GF与平面G4E所成角的正弦值.

19.(12分)已知数列｛%｝的前〃项和为S",2s“+a〃=l("eN)

(1)求数列｛4｝的通项公式；

11r11

(2)若。“=——+:-----,7；为数列｛g｝的前几项和.求证：Tn＞2n—.

11-an+x3

20.(12分)已知四棱锥P—ABC。中，底面ABC。为等腰梯形，AD\BC,PA=AD=AB^CD=2,6C=4,

B4_L底面ABCD.

(1)证明：平面平面上钻；

(2)过"的平面交于点E,若平面P4E把四棱锥P-A6CD分成体积相等的两部分，求二面角A-PE-5的

余弦值.

InX

21.(12分)已知函数/(尤)=廿一上土.

a

(1)若Ax)在工2］上是减函数，求实数”的最大值；

(2)若0＜。＜1,求证：/(x)N的巫.

a

22.（10分）已知函数/■（；<）=7（aHO）.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当。=1时，如果方程/（X），有两个不等实根为％,求实数，的取值范围，并证明%+%>2.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

1313

先求（1-一甘的展开式，再分类分析（2-7依）中用哪一项与（1--了相乘，将所有结果为常数的相加，即为

XX

12

（2-叩）（1--）3展开式的常数项，从而求出机的值.

X

【详解】

1,,1

3r

a——）3展开式的通项为=c;-i-（—y=a•（—1）‘广，

XX

当（2—7我）取2时，常数项为2xC；=2,

当（2-皿）取一加％时，常数项为一〃2xC；x（-l）i=3租

由题知2+3〃z=8,则“7=2.

故选：A.

【点睛】

本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对（2-依）所取的项要进行分类讨论，属于基础题.

2、A

【解析】

由复数除法求出z,再由模的定义计算出模.

【详解】

4z4;(1+0

z=----=-2+2i,\z\=242.

1-Z(1-0(1+0

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题.

3、C

【解析】

根据椭圆的定义可得|，岑|=4,|耳耳|=2夕，再利用余弦定理即可得到结论.

【详解】

由题意，闺闾=2々，|尸耳|+|尸闾=6,又怛闾=2,则|尸q=4,

16+4—281

由余弦定理可得cos"明=

2x2x42

故/片PK=120°.

故选：C.

【点睛】

本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.

4、C

【解析】

由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体，圆锥底面半径为r=/2+（竽）2，圆锥的高h=J（3石）2—32，截去

的底面劣弧的圆心角为与，底面剩余部分的面积为5=---^r2+-r2sin—，利用锥体的体积公式即可求得.

32323

【详解】

由已知中的三视图知圆锥底面半径为「=/32+（罕）2=6,圆锥的高力=J（3百）2—32=6,圆锥母线

I=>/62+62=672»截去的底面弧的圆心角为120。，底面剩余部分的面积为

S=—兀户+—户sin—=—^-x62+—x62xsin—=24»+9石,故几何体的体积为：

323323

V=gs/z=gx（24»+9^）x6=48〃+18G.

故选C.

【点睛】

本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题，考查了学生空间想象，数学运算能力，难度一般.

5、D

【解析】

由可得“所以2由于(X)为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增

/(O)=0=1,/(x)=log2(x+l)+x(x>0),R

函数，可知y=/(x)在R上单调递增，注意到/(-2)=-7(2)=-5,再利用函数单调性即可解决.

【详解】

因为/'(X)在R上是奇函数.所以/(0)=0,解得4=1,所以当了之0时，

2且时，/(元)单调递增，所以

/(x)=log2(x+l)+x,xe[0,+8)

y=/(x)在H上单调递增，因为/(2)=5,/(-2)=-5,

故有3x+4>-2,解得x>-2.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.

6、C

【解析】

画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标,

最后代入坐标，求得三角形面积比.

【详解】

作图，设A5与。尸的夹角为。，则△A3Q中A3边上的高与中A3边上的高之比为华丝=£&,

OPsm0OP

・•.]理=黑=用*=迤—1，设则直线0尸：丁=彳%，即y=与联立，解得

sABOOPyPyP12Pj77%

4y.

%=4%,从而得到面积比为3-1=3.

故选：C

【点睛】

解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.

7,A

【解析】

根据偶函数的性质和单调性即可判断.

【详解】

解：对V%,x,且,有"“)"%)>0

%2-%；

/(%)在%€(-00,0)上递增

因为定义在R上的偶函数/(九)

所以/(%)在无€(0,+8)上递减

又因为log2%=log?6〉2,1<1117T<2,o<e"^<1

所以Z?>a>c

故选:A

【点睛】

考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.

8、A

【解析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.

【详解】

当机_1_平面a时，若/〃a"则成立，即充分性成立，

若ZL",贝！j/〃a或/ua,即必要性不成立，

则”〃a”是“以加”充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题

9、A

【解析】

利用等比数列｛4｝的性质可得尺=%。8，即可得出.

【详解】

设应与W的等比中项是X.

由等比数列｛4｝的性质可得4=a4a8，x--a6■

:.%与6的等比中项x=土&=土=+4.

故选A.

【点睛】

本题考查了等比中项的求法，属于基础题.

10、D

【解析】

画出曲线--_-与-_；围成的封闭区域，.表示封闭区域内的点--和定点-连线的斜率，然后结合

*|/™JILaA*1

图形求解可得所求范围.

【详解】

如图阴影部分所示.

表示封闭区域内的点二二和定点二V一］连线的斜率,

0-J

设，结合图形可得-一-或-v-

r_—二口二二一3一一

由题意得点A,B的坐标分别为.

二.一J

:-2;或一<

的取值范围为

故选D.

【点睛】

解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线

所围成的封闭区域.考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题.

11、D

【解析】

分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在弓，兀)上的符号，即可判断选择.

详解：令/(%)=2禺sin2x，

因为xeR,/(-x)=2卜.sin2(-x)=一2忖sin2x=-/(x),所以f(x)=2付sin2x为奇函数，排除选项A,B；

jr

因为^^(,，兀)时，/(%)<0,所以排除选项C,选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值

域，判断图象的上、下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性;

(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复.

12、D

【解析】

计算得到/■(九+2Qr)=/(x),=+故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像

知①③错误，得到答案.

【详解】

/、sinx.(,\sin(x+2化sinx\7_

/(-2H=1+2sin(x+2M=T7i—=/«1

当沿X轴正方向平移2左肛左£Z个单位时，重合，故②正确；

.(n\

sin——\-x

12)_cosx

l+2sin^+x[l+2c°sx

故—=+函数关于X=£对称，故④正确;

根据图像知：①③不正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、—

2

【解析】

设夜名|=x,|A@=x+d,|A阊=x+2d,根据勾股定理得出x=3d,而由椭圆的定义得出ABg的周长为4a,

有a=3d,便可求出。和c的关系，即可求得椭圆的离心率.

【详解】

解：由已知，相"的三边长忸阊，|A用成等差数列，

设忸6|=x,|AB|=x+d,|AF^|=x+2d,

而乙钻玛=90。，根据勾股定理有：x2+(x+d)2=(x+2d)2,

解得：x=3d,

由椭圆定义知：ABB2的周长为4a,有a=3d,|%|=。=|期

在直角BF，H中,由勾股定理，2a2=4°2,即：＞=上,

a22

【点睛】

本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力.

14、（0当

【解析】

由题意，a=6,b=\,则°=后二瓦=1，得/（0，一1）.由题意可设/的方程为y=近一1，4（石,%）,3（%,%），

y=kx-lC°-i

2kn„

联立方程组c22c八，消去y得(左2+2)/一2"—1=°，/>0恒成立，AiX=——%+'2=仁，则

2x2+y-2=02k2+2

|AB|={(1+左2)[(4+W)2—4芯421=2可+D,点50,0）到直线/的距离为d=7^,则

左2+2“？+1

夜_____1r——

_I~；1,,又，左~+1H—1.22s/k~+l=2,贝！）

-7FTi+-r_乂VFTiV2+

收+iv

应＜血.____1

°<^AAOB

炉力+_1-2,当且仅当JR+1=方场，即左=0时取等号.故面积的取值范围是

J/+1,+

(0苧

1313

15、—00,------

2~2

【解析】

将〃=2代入求解即可；当n为奇数时,cosn兀=-1，则转化/⑺=2/+—即_12。为彳W2/+7〃-匕设

n

g（“）=2*+7〃-L由单调性求得g（H）的最小值；同理，当n为偶数时,cos府=1,则转化

n

/⑺=2/—7/—力z_1No为XW_7〃—匕设/z(x)=2/—7x—工(x22),利用导函数求得h(x)的最小值,

nx

进而比较得到X的最大值.

【详解】

13

由题J(2)=16—28—22—1N0,解得2W—

当n为奇数时,cos〃"二一1,由/(n)=2n3+7n2-2〃一120,得XW2n2+7n--,

n

01

而函数g(n)=2n2+7n—为单调递增函数，所以gS)*=g⑴=8,所以；I<8；

n

当〃为偶数时,cos加r=l,由/(〃)=2/一7〃2一％〃一120,得XW2n2-In--,

n

设/z(x)=2x2-7x~—(x22),

x

x22,/.//(%)=4x-7+二>0,h(x)单调递增，

%

1313

Kx)^=久2)=—万斯以％W—5，

13

综上可知，若不等式f(n)>0恒成立，则2的最大值为-

乂田小生.(13]13

故答案为:⑴—8,一■—；(2)---

I2J2

【点睛】

本题考查利用导函数求最值，考查分类讨论思想和转化思想.

2a

1lfbi、----

3

【解析】

设忸闾=引9|=加,由双曲线的定义得出：忸耳|=2a+〃|M|=m-2a,由〔ABRA引得A5居为等腰三角

7—\BFI—n

形，设NABK=NAg8=8,根据cosNB4E)=—,可求出=工=2^=2_，得出机=2",再结合焦点

84\AF2\m

三角形AB与耳，利用余弦定理：求出。和c的关系，即可得出离心率.

【详解】

解：^\BF2\=n,\AF2\=m,

由双曲线的定义得出：

忸耳|一|陷|=2a,则班;|=2a+”，

\AF^-\AF]=2a,^\AF^=m-2a,

由图可知：|AB|=忸耳|A4|=4a+〃—m,

又|AB|=|A鸟I，

即4a+n—m=m9

贝!12m=4a+n9

为等腰三角形，

7

cosZBAF2=—,

设NA36=NA63二。，

20+ABAF2-7i9则26="一/BA8，

/.cos20=cos(»-ZBAF2)=-cosBAF2=——,

97

BPCOS2^^2COS2^-1=——,解得:cos^=-

84

贝小狼春/=£

I阿4

1

——n

,2_=1，解得：rn=2n,

m4

4

4〃=4Q+〃，即3〃=4a,解得：n--a,

3

8

3

在△§£耳中，由余弦定理得:

网「+忸鸟「一片工I

cosZFBF=cos0-

i22忸用忸耳4

(2a+〃7+("J4c2

即:

2(2a+n)-n

M4H296c2A/6

解得：=—=一，n即ne=—=1^.

ea36a3

故答案为：巫.

3

【点睛】

本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析(2)见解析

【解析】

试题分析：(1)先由平面几何知识证明防〃AB,再由线面平行判定定理得结论；(2)先由面面垂直性

质定理得8CL平面9，则3C_LAD,再由及线面垂直判定定理得AO_L平面A5C,即可得

AD±AC.

试题解析：证明：(1)在平面ABZ)内，因为EF±AD,所以跖IAB.

又因为EF<2平面ABC,ABu平面4BC,所以EF〃平面ABC.

(2)因为平面A8D_L平面3a),

平面ABDC平面BCD=BD,

6。匚平面3。，BC±BD,

所以BC,平面AB£>.

因为A£)u平面AB£>,所以BC,AD.

y.AB±AD,BCcAB=B,ABu平面ABC,BCu平面A5C,

所以AZ)_L平面ABC,

又因为ACu平面ABC,

所以AO_LAC

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)

证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

18、(I)详见解析；(II)迪.

【解析】

(1)根据宓，&1,GELGF,可得GEL平面GAP,故而平面GE产，平面G4F.

(II)过P作EHLAG于H,则可证平面G4E,故NR汨为所求角，在AAG歹中利用余弦定理计算

cosZFGH,再计算sinNFGH.

【详解】

解：(1)因为宓，(M，GELGF,GEGF=G,GEi平面GAP,GFu平面GA尸

所以GE，平面GAP,

又GEi平面GER,

所以平面GEF_L平面GAb；

(II)过b作EHLAG于〃，则由GE，平面GAF,且方Hu平面GAF知

GE±FH,所以EH_L平面G4E,从而NFGH是直线GF与平面G4E所成角.

因为AG=3,FG与AF=^42+(|)2=,

n973

制2+6尸2_河27

所以cosZAGF=44

-2GAGF-

2-3--9

2

从而sinNFGH=sinZAGF=A/1-cos2ZAGF=勺但

9

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题.

19、(1)(2)证明见解析

【解析】

S],几=1(、

(1)利用4=、_、,求得数列｛«„｝的通项公式.

(2)先将。“缩小即%>2-由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.

【详解】

⑴力+一小网，令I,得

/\&1

又2S,T+4T=1(〃22),两式相减，得之=..

an-l3

11

3"3"111

-------------1--------;-------=2—------------1--------;------

3，，+i3"+i—13"+13"鬼一1

11

=2—

3"+13"i—1广

又；

c11cl

二-------r——>2n——・

3"i33

T>2〃—.

3

【点睛】

本小题主要考查已知S“求劣,考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

4

20、(1)见证明；(2)—

7

【解析】

(1)先证明等腰梯形ABC。中AC_LA5,然后证明即可得到AC_L平面从而可证明平面PAC

_L平面QAB；(2)由^棱锥P-4BE=%棱锥P-ABCD，可得到S^ABE=S梯形AES，列出式子可求出_8£1,然后建H如图的空

__/\I

间坐标系，求出平面P4石的法向量为〃],平面PBE的法向量为%，由cos可得到答案.

【详解】

(1)证明：在等腰梯形ABC。，ADBC，AD=AB=CD=2,

易得NA6c=60°

在AABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+16-8=12,

则有AB2+AC2=台。2,故AC,

又B4_L平面ABCD,ACu平面ABCD,AC,

AC1AB

即…JoACL平面上钻，故平面平面上45.

AC1.PA

(2)在梯形A5C。中，设BE=a,

••&棱锥尸一ABE=%棱锥尸一ABC。，••^AABE=S梯形Ax。。，

.-.-xBAxBEsinZABE=(°「+胆义'

而fi=A/22—I2=A/3，

22

即...I

以点A为坐标原点，A5所在直线为x轴，AC所在直线为V轴，AP所在直线为z轴，建立如图的空间坐标系，则

3月、

4(0,0,0),尸(0,0,2),5(2,0,0),E—,0,

22J

/1oFy'

设平面PAE的法向量为4=(X,y,z),AE子;,0,#=(0,0,2),

22J

1小

n,±AE-x-\-----y=0n

由,«得22

4±AP

2z=0

30〕

取x=l,得y=z=0,，4=1,—95

9

同理可求得平面P8E的法向量为%=

IJ7

设二面角A-PE-B的平面角为6,

【点睛】

本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能

力及计算能力，属于中档题.

21、(1)圭(2)详见解析

【解析】

(1)/'(x)=e'---(x>0),

ax

在口,2]上，因为〃尤)是减函数，所以((幻=3--'-40恒成立，

ax

即恒成立，只需l2(xe，)1rax.

aa

令心)=疣",XG[1,2],贝!|r(x)=e"+xe",因为「£口,2],所以，(x)>0.

x2

所以t(x)=xe在［1,2］上是增函数,所以(xe^)max=2e,

所以：Z2e2,解得

所以实数。的最大值为占.

2e

(2)/(x)=ex--(x>0),/,(x)=et-—

ax

令g(x)=e*---(x>0),则g<x)=e”+二y,

axax'

根据题意知g'(x)>0,所以g(x)在(0,+s)上是增函数.

1L

又因为g(—)=e"-l>0,

a

当X从正方向趋近于0时，,趋近于+8,e，趋近于1，所以g(x)=e'-L<0,

axax

所以存在不e(0」)，使8(%)=峭-；=0,

a办o

的1

即e")=---,x0=-]n(ax0)=-1na-\nx0,

所以对任意xe(0,x。)，g(x)<0,即/'(x)<0,所以/(无)在(0,%)上是减函数;

对任意xe(%,+co),g(x