广东省深圳高级中学2024年高考全国统考预测卷数学试卷含解析

广东省深圳高级中学2024年高考全国统考预测密卷数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设2.71828…为自然对数的底数，函数—1,若=贝iJ/（—。）=（）

A.-1B.1C.3D.-3

2.已知集合4={无I—1<掇2},6={无|1-y?5},定义集合则B*（A*B）等

于（）

A.[x\-6<x,,1}B.[x\l<x,,12}

C.{x|-ll<x>,0}D.{%|-5<%,6}

如图，正方体ABCD-A4GR的棱长为1.动点E在线段4C上，F、M分别是A。、CD的中点，则下列

结论中错误的是（）

B.存在点E,使得平面跳方//平面

c.平面CGFD.三棱锥3-C砂的体积为定值

Ax-l,x>0,

4.己知函数/（%）=«若函数/（%）的图象上关于原点对称的点有2对，则实数上的取值范围是（

-ln(-x),x<0,)

A.（—8,0）B.（0,1）C.（0,+8）D.

5.关于函数/（x）=2,an：下列说法正确的是（）

1+tanx

A.函数/Xx)的定义域为R

37r

B.函数/(x)一个递增区间为一丁，豆

OO

TT

C.函数的图像关于直线X=£对称

O

D.将函数y=0sin2x图像向左平移-个单位可得函数y=/(%)的图像

8

6.已知向量。=(1,0),b=(l,5,则与2o—b共线的单位向量为()

7.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据(x,y)分别为(2,1.5),(3,4.5),(4,5.5),(5,6.5),

由最小二乘法得到回归直线方程为a=L6x+&,若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为

()

A.8年B.9年C.10年D.11年

5

8.二项式2―J的展开式中，常数项为()

忑)

A.-80B.80C.-160D.160

9.已知向量。=(1,4),b=(-2,m),^\a+b\=\a-b\,则机=()

11

A.一一B.-C.-8D.8

22

10.已知函数/(%)是R上的偶函数，g(x)是R的奇函数，且g(x)=/(x—l),则“2019)的值为()

A.2B.0C.-2D.±2

11.在等腰直角三角形ABC中，ZC=-,CA=2s/2,。为A6的中点，将它沿CD翻折，使点4与点3间的距离

2

为2石，此时四面体ABC。的外接球的表面积为().

A.571B.--------JiC.127rD.20%

3

12.如图，圆。是边长为2小的等边三角形ABC的内切圆，其与边相切于点。，点"为圆上任意一点,

BM=xBA+yBD(x,ywR),则2x+y的最大值为()

A

A.V2B.73C.2D.2A/2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2一，）的展开式中x的系数为.

x3

14.设S.是等比数列｛4｝的前几项的和，包,怎,§6成等差数列，则&2也的值为.

2x-y＜6

15.设x,丁满足约束条件＜%+丁＞3,若z=x+3y+a的最大值是10,则。=.

22

16.已知双曲线L—匕=1的右准线与渐近线的交点在抛物线y2=2px上，则实数p的值为.

412

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（%）=必+2（。—3）x+2alnx,其中aeH.

（1）函数/Xx）在x=l处的切线与直线x-2y+l=0垂直，求实数。的值；

（2）若函数f（x）在定义域上有两个极值点X,3，且不

①求实数”的取值范围；

②求证：/（^）+/（%2）+10＞0.

22（3、

18.（12分）已知椭圆C：—+£=l（a〉6〉0）的左、右焦点分别为匕，工，焦距为2,且经过点了［一1,一3）,

斜率为左仕＞0）的直线4经过点M（0,2）,与椭圆C交于G,H两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在x轴上是否存在点P（九0）,使得以PG,耽为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出机的取值范围,

如果不存在，请说明理由.

221

19.（12分）如图，在平面直角坐标系X0Y中，椭圆C:0+?=l（a〉6〉0）的离心率为万，且过点（0,道）.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知ABMN是椭圆C的内接三角形，

①若点3为椭圆C的上顶点，原点。为的垂心，求线段的长；

②若原点。为△3AW的重心，求原点。到直线距离的最小值.

InY

20.(12分)已知函数/(力=上.

(1)求函数〃力的极值；

(II)若加>〃>0,且zn"求证：mn>e1.

21.(12分)设函数/(x)=me*—/+3,其中加GH.

(I)当/Xx)为偶函数时，求函数加》=#(幻的极值；

(II)若函数f(x)在区间-2,4］上有两个零点，求机的取值范围.

22.(10分)在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行

合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：

试销价格

456789

X阮)

产品销量y

898382797467

(件)

已知变量羽V且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲亍=4x+53；乙

y=-4x+105；丙y=-4.6x+104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.

(1)试判断谁的计算结果正确？

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中

随机抽取3个，求“理想数据”的个数为2的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

利用/(a)与的关系，求得了(—。)的值.

【详解】

依题意/(a)=e"——1=1,—e-〃=2,

所以/(—a)=ca—ea—1=—(e"—ea—1=—2—1=—3

故选：D

【点睛】

本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.

2、C

【解析】

根据A*3定义，求出A*3,即可求出结论.

【详解】

因为集合5={%|1麴>尤5},所以8={x|—5领k-1},

则A*B={%]—6<%,1},所以B*(A*B)={x|-11<%,0}.

故选:C.

【点睛】

本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.

3、B

【解析】

根据平行的传递性判断A；根据面面平行的定义判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；由三棱锥3-C所以三角

形尸为底，则高和底面积都为定值，判断D.

【详解】

在A中，因为分别是A。,。中点，所以K0〃AC〃AG，故A正确；

在B中，由于直线8尸与平面CG2。有交点，所以不存在点E,使得平面5跖//平面CG，。，故B错误；

在C中，由平面几何得的0，。n，根据线面垂直的性质得出3"，G。，结合线面垂直的判定定理得出a平

面CC/，故C正确；

在D中，三棱锥3-CEF以三角形8b为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥3-CE尸的体积为定值，故D正

确；

故选：B

【点睛】

本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.

4、B

【解析】

考虑当了>0时，依—l=lnx有两个不同的实数解，令〃(x)=lnx—"+1,则川尤)有两个不同的零点，利用导数和

零点存在定理可得实数k的取值范围.

【详解】

因为/(龙)的图象上关于原点对称的点有2对，

所以%>0时，版—1=Inx有两个不同的实数解.

令/z(x)=lnx-近+1,则/?(%)在(0,+8)有两个不同的零点.

又/z(x)=----,

X-

当上40时，〃(％)>0,故M])在(o,+“)上为增函数，

Mx)在(o,+。)上至多一个零点，舍.

当左>0时,

/z(x)在]。,£|上为增函数；

若贝

若xe[,+oo],则〃(x)<0

,在上为减函数;

因为Mx)有两个不同的零点，所以ln：＞0,解得0〈化＜1.

0,故/?(%)在H

又当0〈左＜1时，1〈!且“<上存在一个零点.

ek

又“我J=ln/-(+1=2+21n/-et,其中/=：〉1.

令g(f)=2+21nf—々，则=

当/〉1时，gr(t)<0,故g⑺为(1,+(»)减函数，

所以g1)<g(l)=2_e<0即丸<0.

因为我＞2〉:，所以在J,+8J上也存在一个零点.

综上，当o〈左＜1时，妆工)有两个不同的零点.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说

明零点的存在性，本题属于难题.

5、B

【解析】

化简至U/(x)=^sin[2x+?],根据定义域排除AC。，计算单调性知3正确，得到答案.

【详解】

/(%)=2tan：+©os2x=sin2x+cos2x=^/2sin|2x+—|,

1+tanx(4)

71

故函数的定义域为+左过左eZ,故4错误；

、2J

37cTC7C7C7C

当xe---时，2x+—e，函数单调递增，故3正确；

_88J4122_

当x=-£,关于x=g的对称的直线为x=g不在定义域内，故C错误.

4o2

平移得到的函数定义域为R,故不可能为y=/(x),。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.

根据题意得，2a-设与加―b共线的单位向量为(X,y),利用向量共线和单位向量模为1,列式求出九,y即

可得出答案.

【详解】

因为a=(1,0),b=(1,A/3)>则2a=(2,0),

所以2a—6=(1,-6),

设与2a-。共线的单位向量为(羽y)，

则心了=0,

%2+/=1

*1[1

x=—x=——

22

解得或

A/3V3

y=----y=-

r2U2

所以与2a-b共线的单位向量为[Q，-或1-5，^^.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.

7、D

【解析】

根据样本中心点正,亍)在回归直线上，求出求解y>15,即可求出答案.

【详解】

依题意还3.5,亍=4,5,(3.5,4.5)在回归直线上，

4.5=1.6x3.5+〃,a=-1.1,，

由夕=L6x—

估计第11年维修费用超过15万元.

故选:D.

【点睛】

本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.

8、A

【解析】

求出二项式［必］的展开式的通式，再令x的次数为零，可得结果.

【详解】

解：二项式［宁—展开式的通式为(亍］(-x2)r=(-l)rC；25-r£^+2r

5—r

令一一—+2r=0,解得r=1,

2

则常数项为(—l)y2’=—80.

故选：A.

【点睛】

本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.

9、B

【解析】

先求出向量a+b,a-6的坐标，然后由|。+6|=|。-6可求出参数优的值.

【详解】

由向量a=(1,4),b=(-2,m),

贝!]a+b=(-l,4+〃i),a-/?=(3,4-m)

|a+6M?+(4+加了,|a-6|=J3?+(4-加J

又Ia+61=|a-61,则^12+(4+/W)2=,3。+(4—Hz)。,解得m=-.

故选：B

【点睛】

本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.

10、B

【解析】

根据函数的奇偶性及题设中关于g(x)与/(x-1)关系，转换成关于/(%)的关系式，通过变形求解出了(九)的周期，

进而算出“2019).

【详解】

g(x)为R上的奇函数，，g(。)=/(-1)=0,g(-x)=—g(%)

f(-1)=。，/(-%-1)=-/(x-1),f(-x)=-/(%-2)

而函数“X)是R上的偶函数，.•"(x)=/(f),.•./(x)=—“X—2)

:.f(x-2)=-f(x-^,/(x)=/(x-4)

故/(九)为周期函数，且周期为4

.-./(2019)=/(-1)=0

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.

11、D

【解析】

如图，将四面体ABC。放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上

下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.

【详解】

AABC中，易知AB=4,CD-AD-BD—2

翻折后AB=2瓜

22+22—(2⑹21

cosZADB=--------——'-=——1

2x2x22

,-.ZADB=120，

设MDB外接圆的半径为r,

=2r=4,:.r=2,

sin120

如图：易得CD,平面4犯，将四面体ABC。放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体

外接球的半径为R,

/？2=r2+l2=22+l2=5，

四面体ABC。的外接球的表面积为S=4%火2=20万.

故选：D

【点睛】

本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径

时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体,

比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.

12、C

【解析】

建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x+y的表达式，进而得到最大值.

【详解】

以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系,

设内切圆的半径为1,以（0,1）为圆心，1为半径的圆;

根据三角形面积公式得到g义/周长Xr=S=g*A3XACXsin60°,

可得到内切圆的半径为1；

可得到点的坐标为：B(-A/3,0),C(^,0),A(0,3),D(0,0),M(cos0,1+sin0)

8M=(cose+G』+sin8),BA=(V3,3),5D=(73,0)

故得到BM=(cos0+A/3,1+sin8)=(Gx+6y,3x)

故得至Ucos0-A/3X+y/3y-A/3,sin夕=3%—1

1+sin。

x=-------

3ccos61sin。42,、4、

2x+y=-------F—=—sin(9+0)+—W2.

cos0sin62v33333

故最大值为：2.

故答案为C.

【点睛】

这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等

式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一

般方法.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、80.

【解析】

只需找到(2-x2)5展开式中的一项的系数即可.

【详解】

(2-必广展开式的通项为嘉=c；25-，(-/，=(_1)匕25-针，令-2,

则n=(—1)2。；23/=80/,故(2—.)的展开式中x的系数为80.

x3

故答案为：80.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.

14、2

【解析】

设等比数列｛4｝的公比设为q，再根据53,S9,S6成等差数列利用基本量法求解q,再根据等比数列各项间的关系求解

a,+a.

一~1即可.

&

【详解】

解：等比数列｛4｝的公比设为q，

S3,s”，,成等差数列，

可得2^9=53+$6，

若贝！j18〃]=3q+6q,

显然不成立，故乡

贝！Jjq(1-*)=4J")।I。-/),

1-q1-q1-q

化为2q6=l+/,

,1

解得4=

11

则出+%_q+aq_1+4「_2=2

6

a&adqj_

4

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用，属于中档题.

7

15、——

2

【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.

【详解】

画出不等式组表示的平面区域如下所示：

97

故可得10=—+9+a,解得a=——.

22

7

故答案为：-7.

【点睛】

本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.

3

16、-

2

【解析】

求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可.

【详解】

222

解：双曲线三—匕=1的右准线尤=勺=3=1,渐近线y=±gx,

412c4

22

双曲线工-乙=1的右准线与渐近线的交点(1,±g)，

412

交点在抛物线y2-2px±.,

可得：3=2p,

3

解得p=

3

故答案为二.

2

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)-；(2)①②详见解析.

2

【解析】

(1)由函数Ax)在x=l处的切线与直线x-2y+l=0垂直，即可得:=对其求导并表示/'⑴，代入上述

方程即可解得答案；

(2)①已知要求等价于/'(x)=2x+2(a—3)+上=0在(0,+s)上有两个根玉田，且玉<9，即

x

2f+2(a-3)x+2a=0在(0,+8)上有两个不相等的根占,马，由二次函数的图象与性质构建不等式组，解得答案，

最后分析此时单调性推及极值说明即可；

②由①可知，%,%(0<%<%2)是方程2必+2(。-3)x+2a=0的两个不等的实根，由韦达定理可表达根与系数的关

系，进而用含的式子表示/(石)+/(/)，令g(a)=/(X)+/(%)，对g(G求导分析单调性，即可知道存在常数

/6("3,1)使8(4)在(0,/)上单调递减，在(7,1)上单调递增，进而求最值证明不等式成立.

【详解】

解：(1)依题意，/(x)-x2+2(«-3)x+2alnx,x>0,

①

故f(x)=2x+2(a-3)+—9所以尸(1)=4。-4,

x

据题意可知，(4«-4)--=-1,解得

22

所以实数。的值为

2

(2)①因为函数/(尤)在定义域上有两个极值点为,%，且不<%,

所以/■'(%)=2x+2(“—3)+心=0在(0,+8)上有两个根玉,％,且玉<%，

x

即2/+2(。-3)x+2a=0在(0,+<x>)上有两个不相等的根玉,3.

2x2

所以<A=4(。—3月—16〉0,解得0<。<1.

2a>0,

当0<。<1时，若0<%<%或尤>尤2，2/+2(。—3)x+2a〉0,f\x)>0,函数/Xx)在(0,玉)和(和+<»)上单调

递增；若玉<x<z，2f+2(。—3)x+2a<0,f'(x)<0,函数/'(尤)在(%,%)上单调递减，故函数/(尤)在(0,+<»)

上有两个极值点石,毛，且占<马.

所以，实数。的取值范围是0<。<1.

②由①可知，%,12(0<%<为2)是方程2炉+2(。一3)》+2。=0的两个不等的实根,

xY+x2=3-a,

所以其中0VQV1.

玉冗2=。，

故/(%1)+/(%2)二片+2(。—3居+2。111玉+2(Q—3)%2+2alnA：2

=(九1+%)2—2%%2+2(〃-3)(玉+x2)+2^1nx1x2

—(3—。了—2a+2(。—3)(3—Q)+2aIna—2aIna—+4Q—9,

令g(a)=2a\na-a2+Aa-9,其中0vavl.故g'(a)=21na-2a+6,

2

令h(a)=gf(a)=2lna-2a+6,h\d)=——2>0,//(〃)=g'(a)在(0,1)上单调递增.

a

由于〃("3)=—2印3<0,A(l)=4>0,

所以存在常数使得〃Q)=0,即lnfr+3=0,\nt=t-3,

且当ae(O,t)时，々(a)=g'(a)<0,g(a)在(0/)上单调递减；

当ac(/,l)时，丸(a)=g<a)>0,g(a)在Q,l)上单调递增,

所以当0<。<1时，g(a)..g«)=2Hnt—产+4f—9=2/«—3)—产+4。—9=r—2f—9,

又产—2”9=«-l)2-10〉-10,

所以g(a)>T0,即g(a)+10>0,

故/&)+/(赴)+10>0得证.

【点睛】

本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题，还考查了利用导数证明不等式成立,

属于难题.

18、(1)—+^1=1(2)存在；实数机的取值范围是一£,0

436I

【解析】

(1)根据椭圆定义计算a,再根据。，b,c的关系计算沙即可得出椭圆方程；(2)设直线4方程为y=Ax+2,与

椭圆方程联立方程组，求出左的范围，根据根与系数的关系求出GH的中点坐标，求出GH的中垂线与x轴的交点横,

得出心关于左的函数，利用基本不等式得出机的范围.

【详解】

(1)由题意可知c=l,4(TO),居(1,0).

X241=177?|+|rf；|=J(-l+l)2+(-|)2+J(-l-l)2+(-|)2=|+|=4,

:.a=2,:.b=—c?=y/3,

22

二椭圆。的方程为：—+^=1.

43

(2)若存在点尸(办0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形,

则P为线段GH的中垂线与x轴的交点.

设直线4的方程为：y=kx+2,G(x，必)，H(X2,y2),

y=kx+2

联立方程组2,消元得：（3+4左2）/+16履+4=0,

—+—=1

I43

△=256f-16（3+4妤）＞0,又上＞0,故左〉工.

2

16k

由根与系数的关系可得玉+々=-,设GH的中点为(为,%)，

3+442

mi8k7c6

则％=一访’…+2=诉’

二线段GH的中垂线方程为：y=++「%，

i\'I'I/vI'IK/

-2k_22

令y=°可得.加一二‘即"'=一-•

kk

k>\,故。+44..2、区1=4力，当且仅当/=4左即左=4时取等号,

2kk2

•・•加的取值范围是0).

【点睛】

本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

19、⑴£+亡=1；（2）①±^H；②且.

【解析】

（1）根据题意列出方程组求解即可；

（2）①由原点。为2\®的的垂心可得30,MN,MN//X轴，设M（x,y）,则N（—x,y）,x2=4-1/,根据

BATON=0求出线段MN的长；

②设ACV中点为。，直线OD与椭圆交于A,B两点,0为4BMN的重心，则8O=2OD=OA,设跖V：y=kx+m,

河（不乂），N（x2,y2）,则A&+%,%+%），当MN斜率不存在时，则。到直线的距离为1,

[y=kx+m22

（4左2+3）石9+4相人（玉+无2）+4根2+6=0由上+4/=12则（4人2+3）x+8mAx+4m-12=0,

-Smk4m2-12\l/l\4左2+3

，得出4"/=4k2+3>根据d=]求解即可.

4左2+4

【详解】

b=C/=4

2

解：（1）设焦距为2c,由题意知：廿二〃2b=3

clc=l

、a2

22

因此，椭圆。的方程为：—+^=1;

43

（2）①由题意知：BO±MN,故W//x轴，设M（羽y）,则N（—羽丁），%2=4-1/,

BM-ON^-x1+y2-43y=-y2-43y-4=0,解得：y=百或—延,

37

B,M不重合，故＞=—£1,X2=—,故MN=2|X|=*叵；

②设MN中点为。，直线8与椭圆交于A,B两点,

。为的重心，则80=28=Q4,

当斜率不存在时，则。到直线的距离为1；

设,MN：y=kx+rn,N（x2,y2）,则+%,乂+%）

X；I犬=%I（X+%）2=1.3x^+4^^=-6

434343

3%9+4（例+/n）（Ax,+m）=-6

2

（44之+3）%%2+4相左（玉+x2）+4m+6=0

y=kx+m/°\

,贝！］（4左2+3）%2+8加配+4机92-12=0

3d9+4/9=121）

+3—m2

A=48（4Z:2+3-m2）＞0,-4mk±2

x=---------

4Z:2+3

—Smk4m2-12

则：玉+々=代入式子得:

4左2+3，-442+3

49m2k2

8m2-6-^^=0,4/=4/+3

4左2+3

\m\14k2+3/1

设。到直线MN的距离为d,则d=弁-=1—L

“2+1"48+4V74Tr+4

左=0时，dmm.=—2；

综上，原点。到直线MN距离的最小值为且.

2

【点睛】

本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.

20、(I)极大值为：无极小值；(II)见解析.

e

【解析】

(I)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数/(%)的极值；(II)得到

/(加)=/("),根据函数的单调性问题转化为证明m>—>e,即证则<“(2Tn"),令

nne

G(x)=e2lnx-2x2+x2lnx(l<x<e),根据函数的单调性证明即可.

【详解】

(I)/(x)=—.-./(%)的定义域为(0,+。)且/■'(x)=匕学

%X

令/'（x）>0,nO<x<e；令/'（尤）<0,得x〉e

.•./(X)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减

二函数/(%)的极大值为/无极小值

(II)-.m>n>0,vvi1=rf1n]nm=m\nn

.H,即/»=/(”)

mn

由(I)知/(%)在(。,6)上单调递增，在(e,y)上单调递减

且/(l)=0,则1<〃<6<加

2(2、(2、

要证〃m>e2,即证m〉J〉e,即证"加)</一，即证/(")</"—

几\n)\n)

即证——<—一-——L

ne

由于1(几<e,BPO<lnn<L即证/Ina<2/一〃2]口〃

令G(x)=/lnx-2x2+x2lnx(l<x<e)

\fe2y、(e+x)(e-x]、

贝！]G(x)=---4x+2xlnx+x=----%+2x(lnx-l)=----------+2x(zlnx-l)

X〈XyX

l<x<e.•.G'(x)>0恒成立,G(九)在(l,e)递增

G(x)<G(e)=0在xe(1,e)恒成立

/.mn>e2

【点睛】

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算

求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题.

21、(I)极小值/z(-D=-2,极大值及(1)=2；(II)-2e<m<g或机=?

ee

【解析】

(I)根据偶函数定义列方程，解得加=0.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，(II)

2o

先分离变量，转化研究函数g(x)=±U，%e[-2,4],利用导数研究g(x)单调性与图象，最后根据图象确定满足

e

条件的机的取值范围.

【详解】

(I)由函数”可是偶函数，得〃T)=〃X)，

即^一(―x)2+3=meA'-x2+3对于任意实数x都成立,

所以机=0.

此时“(X)=?(%)=f3+3x,贝！］〃(x)=—3x2+3.

由〃(x)=0,解得x=±l.

当x变化时，〃'(力与从尤)的变化情况如下表所示：