重庆市主城区2024届高三年级上册第一次学业质量检测数学试题含答案

重庆市主城区2024届高三上学期第

一次学业质量检测数学试题

高2024届学业质量调研抽测（第一次）

数学试卷

（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定

位置上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若复数z满足z，（l+i）=2—i,其中i为虚数单位，则Z+I等于（）

AiB.-iC.1D.-1

2.已知集合幺=同—2/+5%+3训，8={xeN忖＜2卜则ZcB的真子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

3.2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校

组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样

本数据的75%分位数为x,众数为广则（）

A.x=88,y—90B.%=83/—90

C,x=83,y=85D,x=88,y=85

4.英国著名数学家布鲁克•泰勒（TaylorBrook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒

提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：

Y3V5V7232527

sinx=x-—+--——+其中加=lx2x3x…x〃.根据该展开式可知，与2—上+上—二+…的

3!5!7!3!5!7!

值最接近的是（）

A.sin2°B.sin24.6°

C.cos24.6°D.cos65.4°

5.已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X~N（5.5,（T2）,

P（x>6）=0.2.现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率

为（）

A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748

6.已知定义在R上的函数/（X）满足/（芭+X2）=/（占）+/（》2），且x>0时，/（x）<0,则关于x的

不等式/（X2）+/（2X）>0的解集为（）

A.[-2,0]B.[0,2]

C.（-oo,-2]U[0,+oo）D.（-c»,0]u[2,+oo）

7.过点尸作圆。：/+/一4%—4Gy+15=0的两条切线，切点分别为4^,若△PZ8为直角三角形,

。为坐标原点，则尸|的取值范围为（）

A,^2—V2,2+V2jB.（4-+

C.|^2—V2,2+V2^|D.14—+

8.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、

“宸宸”的三个吉样物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这

三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，

若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）

A.50B.36C.26D.14

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知3"=5"=15，则下列结论正确的是（）

AIga>IgbB.a+b=ab

10.已知函数〃力=1+丁—2——狈，则/（x）在（0,+8）有两个不同零点的充分不必要条件可以是

（）

A.e-2<^<e-1B.e-1<a<e

C.e<tz<e+lD.e+l<a<e+2

11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为尸,O为坐标原点，其准线与无轴交于点“，经过点〃的直线/与抛物

线交于不同两点幺（再,%）,8（%,%）,则下列说法正确的是（）

A04-05=5

B.存在N/"F=50。

C.不存在以45为直径且经过焦点R的圆

JT5兀

D.当△48E的面积为4&时，直线/的倾斜角为一或——

66

12.如图，在边长为1的正方体/8C。-481GA中，£是CQ1的中点，M是线段4E上的一点，则下

列说法正确的是（）

A.当/点与4点重合时，直线NGu平面NCM

B.当点M移动时，点。到平面/CM的距离为定值

C.当M点与E点重合时，平面/CM与平面CG2。夹角的正弦值为好

3

7733

D.当M点为线段A.E中点时，平面ZCM截正方体ABCD-AXBXCXDY所得截面面积为

32

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量痴满足同=2,恸=3,卜一2可=5,则5.5=.

37t

14.已知/(%)=2公亩口叶以)5。¥+灰：052g工(刃＞0,0＞0力＞0)的部分图象如图所示，当X£0,—时,

/(力的最大值为.

15.已知点/为椭圆与+4=1伍〉6〉0)的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为£的直线交椭圆于只。

ab3

两点，I而+匝1=1而—瓶|,则该椭圆的离心率为.

16.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且S”=2%「1,记北二始+#+d+…+屋，贝底,=；

若数列也“｝满足b„=3Tn-20n-3,则4+坊+4+L+〃的最小值是.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.在梯形ABCD中，ABI/CD,ZABC为钝角，AB=BC=2,CD=4,sinZBCD=—.

4

⑴求cos/BDC；

(2)设点£为40的中点，求5E的长.

18.已知首项为正数的等差数列｛4｝的公差为2,前"项和为A，满足S4=E-S2.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)令4=4COS(〃TI)•一巴一，求数列｛4｝的前”项和7；.

an,an+\

19.实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实

现‘双碳目标”具有重要的作用.为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情

况，数据如下表所示：

年份201820192020202120222023

编号X123456

产值"百万

91830515980

辆

(1)若用模型y=a-e"拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出〉与x的经验回归方程(精确到

0.01)；

(2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4s店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油

汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X,求随机变

量X的分布列与数学期望，

66

参考数据：£%=20.88,2%四=80.58,其中%=In%.

1=11=1

参考公式：对于一组数据(七,％)(i=1,2,3,…,〃)，其经验回归直线y=bx+a的斜率截距的最小二乘估计

n__

'Xx^-nx-y八

分别为6=牝----------,d=y-bx.

之x；-nx2

i=l

20.如图，四棱锥尸—Z8CD中，尸4,底面/BCD,四边形/BCD中，AB=AP,

AB1AD,AB+AD=6,CD=6,ZCDA=45°.

(1)若E为尸8的中点，求证：平面P8C1平面NDE；

(2)若平面尸48与平面PCD所成的角的余弦值为逅.

(i)求线段48的长；

(ii)设G为内(含边界)的一点，且G8=2GN,求满足条件的所有点G组成的轨迹的长度.

21.己知点/为圆C：(x-2)2+V=4上任意一点，3(—2,0),线段九必的垂直平分线交直线MC于点。.

(1)求。点的轨迹方程；

(2)设过点C的直线/与0点的轨迹交于点尸，且点尸在第一象限内.已知请问是否存在常数

2,使得NPC4=4NP/C恒成立？若存在，求X的值，若不存在，请说明理由.

22.(1)已知函数＜(x)=(x+〃)e*,(〃eN+，e为自然对数的底数)，记一(x)的最小值为人,求证：

(2)若对\/》6(1,+“),。(葭',+1)-21_¥+，］11«20恒成立，求.的取值范围.

高2024届学业质量调研抽测（第一次）

数学试卷

（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定

位置上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若复数z满足z.（l+i）=2-i,其中i为虚数单位，则z+三等于（）

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出z,再结合共轨复数的意义求解即得.

2-i_(2-i)(l-i)l-3i_13..-13.

【详解】依题意,T+7-(l+i)(l-i)~2~2~21则2=—十—1

22

所以z+z=1,

故选：C

2.已知集合幺=,—2/+5%+320},8={xeN卜区2},则4cB的真子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合A、B,可求出集合可得出集合ZcB的元素个数，即可得出ZcB的真子集

个数.

5={xeN||x|<2}={xeN|-2<x<2}={0,1,2},则Z口8={0』,2},

所以，NcB的真子集个数为23—1=7.

故选：C.

3.2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校

组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样

本数据的75%分位数为x,众数为y,则()

A,x=88,y=90B.x=83,y=90

C,x=83,y=85D,x=88,v=85

【答案】D

【解析】

【分析】首先a=0.05,再根据百分位数和众数的计算方法即可.

【详解】由题意得(0.005+0.03+4+0.015)x10=1,解得。=0.05,

因为0.05+0.3=0.35,0.05+0.3+0.5=0.85,则0.35<0.75<0.85,

则样本数据的75%分位数位于［80,90),则0.35+(x—80)x0.05=0.75,解得x=88,

因为样本数据中位于成绩［80,90)之间最多，则众数为了=色，2=85,

故选：D.

4.英国著名数学家布鲁克・泰勒(TaylorBrook)以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒

提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：

Y3V5X7232527

siwc=x-—+--——+其中“！=lx2x3x…X".根据该展开式可知，与2—上+上一二+…的

3!5!7!3!5!7!

值最接近的是()

A.sin2°B.sin24.6°

C.cos24.6°D.cos65.4°

【答案】C

【解析】

【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.

【详解】原式=sin27sin（2x57.3°）=sin（90°+24.6°）=cos24.6°,

故选：C.

5.已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X~N（5.5,b2）,

尸（x>6）=0.2.现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率

为（）

A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748

【答案】B

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.

【详解】由题意得尸（X〉5.5）=0.5,则尸（5.5<x<6）=0.5—02=0.3,

则P（5<x<6）=0.3x2=0.6,

则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为C；0.62x0.4+C；063=0.648,

故选：B.

6.已知定义在R上的函数/（X）满足/（玉+X2）=/（占）+/（》2），且x>0时，/（x）<0,则关于X的

不等式/（X2）+/（2X）>0的解集为（）

A.[-2,0]B.[0,2]

C.（-oo,-2]U[0,+co）D.（-co,0]u[2,+oo）

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.

【详解】任取。<J，则/2—。〉0，

而x>0时，/(%)<0,贝F)<0,

/(r2)=[(r2-r1)+r1]=/(r2-r1)+/(r1)</(r1),

所以/(x)在R上单调递减，

Vx15x2eR,/(x1+x2)=/(x1)+/(x2),

取Xi=X2=0,则/(O)=0,令%=-X],

得/(O)=/(xJ+/(f)=O,

所以/(x)为R上的奇函数，

/(X2)+/(2X)>0,BP/(X2)>/(-2X),贝UX2<—2X，解得xe[-2,0]

故选：A

7.过点尸作圆。：/+/一4%—4Gy+i5=0的两条切线，切点分别为45,若△PZ8为直角三角形,

。为坐标原点，则|。尸|的取值范围为()

A,^2—V2,2+V2jB,^4—V2,4+V2j

C.12—2+V^]D.14—+

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，求出点尸的轨迹，再利用圆的几何性质求解即得.

【详解】圆C:(x—2)2+(y—2仆A=1的圆心C(2,26),半径r=l,

由P4P8切圆。于点45,且APNB为直角三角形，得N/P3=9O°,|P*=上可，连接NC,8C,

则NC4P=NCBP=90°，即四边形4PBe是正方形，|PC|=也，

因此点尸在以点C为圆心，、历为半径的圆上，而[0C|=j22+(2Gy=4,

于是\0P|max=4+V2,|OP|min=4-V2,所以|。尸|的取值范围为[4-V2,4+V2].

故选：D

8.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、

“宸宸”的三个吉样物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这

三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，

若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）

A.50B.36C.26D.14

【答案】A

【解析】

【分析】按照2,2,1和3,1,1分组讨论安排.

【详解】（1）按照2,2,1分3组安装，

①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有C；=6种，

②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有C：C；A；=24种，

（2）按照3,1,1分3组安装,

①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有=8种，

②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有C；A；=12种，

故共有6+24+8+12=50种，

故选：A.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知3"=5"=15,则下列结论正确的是（）

A.lg«>lgZ）B.a+b=ab

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC,利用基本不等式即可判断D.

【详解】由题意得a=log315>log31>0,6=log515>log5l=0,

0<—=log153,0<y=log155,则0<，<1,则a〉b>0,

abab

对A,根据对数函数y=lgx在(O,+“)上单调递增，则lga>lgb,故A正确；

对B,因为工+,=logi53+k)gi55=l,即竺2=1,则a+b=ab,故B正确；

abab

对C,因为a〉白〉0,根据指数函数>=在R上单调递减，则[g]，故C错误;

对D,因为3>/?>0,—I—=1,

ab

3ba

a+b=(a+b)=2+-+->2+2.----=4,A

ababab

当且仅当Q=b时等号成立，而显然小b,则a+b>4,故D正确;

故选：ABD.

10.已知函数/(x)=e“+d—2——a%,则/(x)在(0,+。)有两个不同零点的充分不必要条件可以是

()

A.e-2<tz<e-lB.e-1<a<e

C.e<tz<e+1D.e+l<a<e+2

【答案】BCD

【解析】

【分析】将问题转化为a=E+f—2x,令g(x)=匚+――2x(x〉0),利用导数讨论g(x)的单调性,

XX

求出g(x)min，由/(X)在(0,+")有2个不同零点的充要条件为a>e-l,从而作出判断.

【详解】因为/(x)=e*+d-2x?-ax(x〉0),

令〃x)=0,贝L=《+X2—2X,

X

令g(x)=■—+x2-2x(x>0)，

，X

XXx

XQ—Q+2'3-2工22

贝IJg[x)=xee+”4(e+2X)(X-1)

X

注意至iJe'+2x2〉0,令g'(x)=0,解得x=l,

所以当x>l时，g'(x)〉O,g(x)单调递增，

当0<x<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

贝1Jg(x)min=g(D=e-l，且当X趋近于0或+。时，g(X)都趋近于+00,

若“X)在(0,+。)有2个不同零点的充要条件为函数^=g(x)与^=a图象在第一象限有2个交点，

所以a>e—1,即/(x)有2个零点的充要条件为a>e—1,

若符合题意，则对应的取值范围为(e-1,+。)的真子集，

结合选项可知：A错误，BCD正确；

故选：BCD.

11.已知抛物线C:/=4x的焦点为尸为坐标原点，其准线与x轴交于点经过点河的直线/与抛物

线交于不同两点幺(玉,%),8(%,%)，则下列说法正确的是()

A.0A0B=5

B.存在N/"F=50。

C.不存在以45为直径且经过焦点厂的圆

JT5冗

D.当△4BE的面积为4a时，直线/的倾斜角为一或——

66

【答案】AD

【解析】

【分析】设直线48的方程为》+1=秋，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，将其整体代入即可判

断ACD,求解直线与抛物线相切时的情况即可判断B.

【详解】对A,由题意得尸(1,0),准线方程为x=—1,则〃(—1,0),

显然当直线Z3的斜率为0,即直线25的方程为了=0,此时不合题意，

设直线AB的方程为x+1=rny,

联立抛物线方程产=4x,得/一4掰y+4=0,A=16m2-16>0,解得/77>1或加<一1,

%+%=4加，乂・%=4,yf=,yl=4x2,则(必%了二"七/，16=16^2,贝(］药％2=1，

OA=(xl,y1),OB=(x2,y2),

则OAOB=xrx2+yry2=1+4=5,A正确；

对B,当直线45与抛物线相切时，/AMF最大,则A=16加2—16=0,解得加=±1,

根据抛物线对称性取加=1分析：

此时直线方程为>=x+l,此时直线斜率为1,贝1JNZMF=45。，因此不存在NNMF=50。，B错误;

对C,假设存在以4g为直径且经过焦点少的圆，则成.丽=0，

FA=（xI-l,y1）,FB=（x2-l,y2）,则尸幺•必=（玉一1）（々T）+%％=0,

2

即XjX2-+x2）+yxy2+1=0,+x2=myx-1+my2-1=+J2）-2=4m-2,

即2—（X]+X2）+yiV2=0，即2—（4加~—2）+4=0,m=+^/2,满足"7〉1或加<—1,

即存在以48为直径且经过焦点R的圆，C错误；

x2

对D,s^ABF=—\MF\\y2-y\=-^\l（yi+y2）=Vi6m-16=4V2,m=土出，

此时直线斜率为土也，则直线/的倾斜角为生或口，故D正确.

366

故选：AD.

12.如图，在边长为1的正方体/BCD—481GA中，E是GA的中点，〃是线段4E上的一点，则下

A.当/点与4点重合时，直线NGu平面ZCM

B.当点M移动时，点。到平面/CM的距离为定值

C.当“点与E点重合时，平面/CM与平面CGA。夹角的正弦值为出

3

D.当M点为线段4E中点时，平面NCM截正方体4SQD-44GA所得截面面积为

32

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A,根据平行线确定一个平面即可判断，对BC建立空间坐标系进行判断，对D作出截面图形,

并求出相关长度，利用面积公式即可求出.

【详解】对A,因为/4//CG，所以点44,CG四点共面，

当M点与4点重合时，直线NC]U平面ZCM,故A正确；

对B,以。为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

因为£为44中点，则设〃(1—20,1),/e0,1,2(1,0,0),C(0,l,0),

则k=(—1,1,0),=方=(1,0,0),

,.fAC-in=0[-x+v=0

设平面/CM的方向量为应=(x,y,z),贝ij―.，即＜c-八

AM-m=0[-2tx+ty+z=0

令＞=1,则x=l,z=/,所以应=(1,1,。,

\DA-m\ii

则点。到平面/。〃的距离।।=/]，显然不是定值，故B错误；

网Vi2+i2+^2

对C,当初点与E点重合时，由B知此时/=；,m=平面的法向量万=(1,0,0),

八而司12

cosU-----------------------—

设平面ZCM与平面CCQQ夹角为氏网问5+F+1]：]3,

则sin0=―,故C正确;

3

对D,连接4G，并在上底面内将直线4G沿着的的方向平移，直至该直线经过点M,交34于点

P,交GA于点N,

因为Z4//CG，M=cq,所以四边形Z4G。为平行四边形，所以4。"//。,

因为尸N//4G，所以/C〃尸N,因为点MePN,

所以平面ACM截正方体ABCD-4MGA所得的图形为四边形APNC,

不妨以2为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系,

则4(0,0,因为〃为线段4E中点，则w

根据直线尸N//4G，则即N=l，设直线PN的方程为y=x+b,代入点M坐标得

1133

--=-+6,解得b=—a，则了=》一^，则点尸位于线段42的四分之一等分点处，且靠近点4,

点N位于线段G2的四分之一等分点处，且靠近点G，

3

+———，故D正确.

则S榇形APNC=Q432

故选：ACD.

y

Nx

【点睛】关键点睛：本题BC选项的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式和面面

角的空间向量求法进行计算判断，对D选项的关键是作出截面图形，并求出相关长度，得出其截面为等腰

梯形，最后计算面积即可.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量痴满足同=2,忖=3,卜—2可=5,则5.5=.

【答案】—

4

【解析】

【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.

【详解】由卜—2*5,得/+4庐-4鼠族=25,而同=2闾=3,

___15

则4+4x9—4a'b=25，所以石,力二:-.

4

故答案为：一

4

3兀

14.已知/（x）=2asins>coss:+6cos20x（G>0,〃>〉0）的部分图象如图所示，当0,—时,

/（力的最大值为

【答案】出

【解析】

【分析】由图象求出函数/（X）的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数/（X）在0,—上

的最大值.

【详解】因为/(x)=2<7sin(»x-cos(»x+bcos2a>x=asin2a)x+bcos2a)x^a>>0,a>0,b>0),

设/(x)=Nsin(2@x+0)(2>0,a>>0),

由图可知，函数/(x)的最小正周期为T=4x(2+2]=兀，则2。=0=幺=2,

V612；T兀

又因为/=/(">max/(Ain=,则/(%)=2Sm(2x+^),

jrjr7jr

所以，—+2^7i(A:eZ),则°=3-+2左兀(左£Z),

则f(x)=2sin।2x+—+2kji|=2sin।2x+—|,

、“八,/3兀12兀，c2兀,13兀

当OVxV—时，——<2x+—<——,

4336

故f(x)=2sin—=2x^-=73.

，\/max32

故答案为：百.

15.已知点厂为椭圆0+与=1（。〉6〉0）的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为£的直线交椭圆于只。

ab3

两点，I而+匝1=1而—匝J,则该椭圆的离心率为.

【答案】V3-l##-l+V3

【解析】

【分析】分析得四边形以不。为矩形，则得到△OEP为正三角形，再利用椭圆定义和离心率定义即可.

【详解】令椭圆的左焦点为耳，半焦距为。，分别连接尸尸，F'Q，

由|而+匝|=|而-匝I,得四边形打为矩形，

而NR9尸=]，则尸尸为正三角形，所以|少产|=。，|尸H=G,

.-.2a=|PF,|+|PF|=(V3+l)c,则椭圆离心率为e，=百-1,

a

故答案为：V3-1.

16.已知数列｛4｝的前"项和为S"，且=2%,-1,记(二片+谥+d+…+片，贝i]7；=；

若数列K｝满足=37；-20/7-3,则A+坊+4+L+〃的最小值是.

4"-1

【答案】①.------48

3一

【解析】

【分析】由%与S”的关系推导出数列｛4｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列｛%,｝的通

项公式，利用等比数列求和公式可求得Z,的表达式，分析数列也｝的单调性，找出数列也｝所有非正数项,

即可求得4+8+&+L+4的最小值.

【详解】因为数列｛%｝的前"项和为S“，且S,=2%-1,

当〃=1时，贝！J%=岳=2%—1,解得%=1,

当"22时，由S“=2an-1可得S“_]=2an_x-1,

上述两个等式作差可得%=2%-2%,则an=2an_x,

所以，数列｛%｝是首项为1，公比为2的等比数列，则%=1X2"T=2'T,

a24"

所以，4=4〃T,则百=77T=4,且a；=l,

a：4〃T

所以，7；=d+d+d+...+d=l(1

1—43

Z>„=37；,-20/2-3=4H-20/7-4,

贝I」bn+i-bn=[4"+i—20(〃+1)—4]—(4"—20/7-4)=3-4"-20,

当〃=1时，b2<0,即4〉打，

当"22时，—a=3•4"—20〉0,则bn<bn+1,故数列｛4｝从第二项开始单调递增，

因为乙=一20<0,且4=0<%,

所以，4+62+4+L+勿的最小值为4+4+Z>3=—20—28+0=—48.

4〃-1

故答案为：-----；-48.

3

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.在梯形ABCD中，ABI/CD,NABC为钝角，AB=BC=2,CD=4,sinZBCD=叵.

4

(1)求cos/BDC；

(2)设点E为4D的中点，求3E的长.

7

【答案】(1)-；

8

(2)

2

【解析】

【分析】(1)在△BCD中利用余弦定理求出AD,再利用二倍角的余弦公式计算即得.

(2)利用(1)的结论，借助向量数量积求出的长.

【小问1详解】

在梯形/8C。中，由45//CZ),N4BC为钝角，得N3C。是锐角，

在△8C。中，sin/BCD=叵,则cos/BCD=J1一sii?NBCD=L

44

由余弦定理得5。=小2?+42—2x2x4x；=4,即ABCD为等腰三角形，

,7

所以cos/BDC=cos（7i-2NBCD）=-cos2ZBCD=1-2cos2ZBCD=-

【小问2详解】

C

由48//CD,得N4BD=NBDC,由点E为/。的中点，得

2-X2X4X「半

所以|屉|=:J丽2+.2+2诙丽=1

18.已知首项为正数的等差数列｛4｝的公差为2,前"项和为S“，满足S4=S/S2.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)令4=4cos("7i>"1,求数列也｝的前及项和北.

an,an+\

【答案】(1)%=2〃+1

(2)当〃为偶数时，Tn当〃为奇数时，7；,=--^--^

2M+332〃+33

【解析】

【分析】(1)根据等差数列前〃和公式即可求出生,则得到其通项公式;

(2)分"为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.

【小问1详解】

由题意得｛。“｝是公差为2的等差数列，且S4=E•§2,

即4q+12=q(2q+2),又因为％〉0,所以q=3,

所以数列｛4｝的通项公式%=%+（〃—l）d=2〃+1.

【小问2详解】

由（1）知〃=COS（〃7l）,4（：丁）

（2«+1）-（2«+3）,，（2〃+12«+3）

111

当〃为偶数时,~\--------------

2〃+32〃+33

111

当〃为奇数时，上射一§，（〃-3），

2〃+12〃+32〃+3

1

经检验，〃=1时，满足（=-------

2n+33

综上，当〃为偶数时，T=-----

n2n+33

11

当“为奇数时,

2n+33

19.实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实

现'双碳目标”具有重要的作用.为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情

况，数据如下表所示:

年份201820192020202120222023

编号X123456

产值W百万

91830515980

辆

（1）若用模型y=a-e"拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到

0.01）；

（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4s店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油

汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X,求随机变

量X的分布列与数学期望，

66

参考数据：2%=20.88,Z%四=80.58,其中％=ln%.

i=li=l

参考公式：对于一组数据=其经验回归直线哀+&的斜率截距的最小二乘估计

_n__

Y.x^-nx-y,

分别为b=个----------,d=y-bx.

-JVC2

i=\

【答案】（1），=产。4

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）令M=lny=lnae辰=6x+lna,利用最小二乘法求出，即可得解；

（2）分析可知，利用超几何分布、~“（4,5,8）可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可

求

【小问1详解】

令M=Iny=Inaefa=bx+\na

-1+2+3+4+5+6--20.88..

x=----------------------=3.5,u=--------=3.48o,

66

6__

2^xu-nx-u

ii80.58-6x3.5x3.48

则g二号----------=0.43,

12+22+32+42+52+62-6X3.52

ZX；—加2

i=l

Ina=3.48-0.43x3.5=1.98,

所以a=e「98

erpi方cl.98、，c0.43x_1.98+0.43x

所以y=a・ebx=exe=e

【小问2详解】

由题意得X=1,2,3,4,

C1^351

尸（X=l）=勺=上」

\'Cs7014

尸（x-2）-受

（）C；707

C3cl

P（x=3）=汾303

70-7

p4p0

P（x=4）=*9」

570-14

分布列为:

X1234

1331

p