四川省成都市东辰国际学校2024届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

四川省成都市东辰国际学校2024届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某学校高一、高二、高三教师人数分别为100、120、80，为了解他们在“学习强国”平台上的学习情况，现用分层抽样的方法抽取容量为45的样本，则抽取高一教师的人数为（）A．12 B．15 C．18 D．302．直线的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．3．圆的半径是，则的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（）A． B． C． D．4．已知函数（其中），对任意实数a，在区间上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，则k值为（）A．2或3 B．4或3 C．5或6 D．8或75．设数列满足，且，则数列中的最大项为（）A． B． C． D．6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．7．若正方体的棱长为，点，在上运动，，四面体的体积为，则（）A． B． C． D．8．已知等比数列的前项和为，，，则（）A．31 B．15 C．8 D．79．已知在中，为线段上一点，且，若，则（）A． B． C． D．10．已知平面平面，直线，直线，则直线，的位置关系为（）A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行､相交或异面二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在边长为2的菱形中，，是对角线与的交点，若点是线段上的动点，且点关于点的对称点为，则的最小值为______.12．已知，，若，则实数_______.13．设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为.14．若数列满足，且对于任意的，都有，则___；数列前10项的和____．15．设变量满足条件，则的最小值为___________16．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，，.（1）若、、三点共线，求；（2）求的面积.18．如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，，为中点．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的大小．19．如图，在四棱锥中，，底面是矩形，侧面底面,是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.20．在锐角中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.21．已知关于的一元二次函数，从集合中随机取一个数作为此函数的二次项系数，从集合中随机取一个数作为此函数的一次项系数.（1）若，，求函数有零点的概率；（2）若，求函数在区间上是增函数的概率.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

由分层抽样方法即按比例抽样，运算即可得解.【详解】解：由分层抽样方法可得抽取高一教师的人数为，故选：B.【点睛】本题考查了分层抽样方法，属基础题.2、B【解析】

由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．【详解】解：直线的斜率为，，根据正切函数的性质可得倾斜角的取值范围是故选：．【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．3、C【解析】

先将化为弧度数，再利用扇形面积计算公式即可得出．【详解】所以扇形的面积为：故选：C【点睛】题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4、A【解析】

根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于的不等式，从而得到的范围，结合，得到答案.【详解】函数，所以可得，因为在区间上，函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，所以得即与的图像在区间上的交点个数大于等于4，小于等于8，而与的图像在一个周期内有2个，所以，即解得，又因，所以得或者，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.5、A【解析】

利用累加法求得的通项公式，再根据的单调性求得最大项.【详解】因为故故则，其最大项是的最小项的倒数，又，当且仅当或时，取得最小值7.故得最大项为.故选：A.【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式，以及数列的单调性，属综合基础题.6、D【解析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，则cosθ＝＝＝,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．故选D．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.7、C【解析】

由题意得，到平面的距离不变＝，且，即可得三棱锥的体积，利用等体积法得．【详解】正方体的棱长为，点，在上运动，，如图所示：点到平面的距离＝，且，所以.所以三棱锥的体积＝．利用等体积法得.故选：C．【点睛】本题考查了正方体的性质，等体积法求三棱锥的体积，属于基础题．8、B【解析】

利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得.【详解】由于数列是等比数列，故，由于，故解得，所以.故选：B.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查等比数列前项和公式，属于基础题.9、C【解析】

首先，由已知条件可知，再有，这样可用表示出．【详解】∵，∴，，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查平面向量基本定理，解题时用向量加减法表示出，然后用基底表示即可．10、C【解析】

根据直线与直线的位置关系，结合题意，进行选择.【详解】因为平面平面，直线，直线，所以直线没有公共点，所以两条直线平行或异面.故选：C.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，属基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、-6【解析】

由题意，然后结合向量共线及数量积运算可得，再将已知条件代入求解即可.【详解】解：菱形的对称性知，在线段上，且，设，则，所以，又因为，当时，取得最小值-6.故答案为：-6.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量共线及数量积运算，属中档题.12、【解析】

利用平面向量垂直的数量积关系可得，再利用数量积的坐标运算可得：，解方程即可.【详解】因为，所以，整理得：，解得：【点睛】本题主要考查了平面向量垂直的坐标关系及方程思想，属于基础题．13、3【解析】

分别取AC、BC的中点D、E,

,

,即,

是DE的一个三等分点,

,

故答案为:3.14、,【解析】试题分析：由得由得，所以数列为等比数列，因此考点：等比数列通项与和项15、-1【解析】

根据线性规划的基本方法求解即可.【详解】画出可行域有：因为.根据当直线纵截距最大时,取得最小值.由图易得在处取得最小值.故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划的基本运用,属于基础题.16、2【解析】试题分析：由题意可得：．考点：扇形的面积公式．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）根据题意，若、、三点共线，则表达和，根据向量共线定理的坐标表示，可求解参数值，即可求解模长.（2）根据题意，先求，，再求向量、的夹角，代入三角形面积公式，即可求解.【详解】解：（1）已知向量，，∴，，由点、、三点共线，得.解得.，（3）因为，，所以，，，，，【点睛】本题考查（1）向量共线的坐标表示；（2）三角形面积公式；考查计算能力，属于基础题.18、（1）证明见解析；（2）．【解析】

（1）连交于，连，则点为中点，为中点，得，即可证明结论；（1）为正三角形，为中点，可得，再由底面，得底面，得，可证平面，有，为的平面角，解，即可求出结论.【详解】（1）连交于，连，三棱柱，侧面为平行四边形，所以点为中点，为中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面；（2）为正三角形，为中点，可得，三棱柱，所以，底面，所以底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，为的平面角，在中，，，所以，所以二面角的大小为.【点睛】本题考查线面平行的证明，用几何法求二面角的平面角，做出二面角的平面角是解题的关键，属于中档题.19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1）利用即可证明；（2）由面面垂直的性质即可证明．【详解】证明：（1）在四棱锥中，底面是矩形，，又平面，平面；平面；（2）侧面底面，侧面平面，，平面，平面【点睛】本题考查了空间线面平行、垂直的证明，属于基础题.20、（1）；（2）【解析】

（1）利用正弦定理边转化为角，逐步化简，即可得到本题答案；（2）由余弦定理得，，综合，得，从而可得到本题答案.【详解】（1）因为，所以，即，所以，又，所以，由为锐角三角形，则；（2）因为，所以，所以，即（当且仅当时取等号），所以.【点睛】本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，以及余弦定理和基本不等式综合运用求三角形面积的最大值.21、（1）；（2）【解析】

（1）依次列出所有可能的情况，求出满足的情况总数，即可得到概率；（2）列出不等关系，表示出平面区域，求出满足表示的区域的面积，即可得到概率.【详解】（1）由题可得，，从集合中随机取一个数作为此函数的二次项系数，从集合中随机取一