2024考二轮数学讲义考前回顾　集合、常用逻辑用语、不等式含答案

TKAOQIANHUIGU

考前回顾

回顾1集合、常用逻辑用语、不等式

叵回归教材

1.集合

(1)集合间的关系与运算

4UB=A^BA：ADB=A.

(2)子集、真子集个数计算公式

对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为

(3)集合运算中的常用方法

若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若

已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.

2.全称量词命题、存在量词命题及其否定

(1)全称量词命题：p(x),它的否定为存在量词命题：M,2弟p(x).

(2)存在量词命题：3x&M,p(x),其否定为全称量词命题：VxGM,㈱p(x).

(3)命题与其否定真假相反.

3.充分条件与必要条件的三种判定方法

⑴定义法:若pOq,则p是q的条件(或q是p的条件)；若p=q,且qD4p,

则p是q的条件(或q是p的条件).

(2)集合法：利用集合间的包含关系.例如，命题p：xGA,命题q：xGB,若AU8,则p是

q的条件(q是p的条件)；若AB,则p是q的条件(q

是p的条件)；若A=8,则p是q的条件.

(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.

4.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程/的符号)；三

解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).

解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：(1)二次项系数,

它决定二次函数的开口方向；(2)判别式/,它决定根的情形，一般分/>0,zf=0,/<0三种

情况；(3)在有根的条件下，要比较两根的大小.

5.一元二次不等式的恒成立问题

(l)a?+bx+c>0(aW0)恒成立的条件是.

⑵加+bx+c<O(arO)恒成立的条件是.

6.分式不等式

5^>0(<0)OAx)g(x)>0(<0)；

爆刊WO)台----------------

7.基本不等式

(1)基本不等式："兽》，命(〃>0,6>0),当且仅当4=6时，等号成立.

基本不等式的变形：

①序十2ab(a,b^R),当且仅当〃=人时，等号成立；

②停孕)》“"(”，6CR)，当且仅当。=匕时、等号成立.

⑵在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中

“正”“定”“等”的条件.

而易错提醒

1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如{x|y=lgx}

函数的定义域；{y|y=lgx}---函数的值域；{(x,y)|y=lgx}----函数图象上的点集.

2.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的

互异性.

3.空集是任何集合的子集.解题时勿漏。的情况.

4.判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集

合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算.

5.解形如加+H+c〉O(a#O)的一元二次不等式时，易忽视对系数。的讨论导致漏解或错解,

要注意分。>0,。<0进行讨论.

6.求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把好

wo直接转化为yu>g(x)wo,而忽视

g(x)

g（x）ro.

7.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、

三相等”导致错解，如求函数/(幻=叱弟+4^的最值,

就不能利用基本不等式求最值；求解函数y=x+：(xvO)的最

值时应先转化为正数再求解.回顾2复数、平面向量

叵回归教材

1.复数的相关概念及运算法则

(1)复数z=a+1i(a,(GR)的分类

①z是实数㈡;

②z是虚数O;

③z是纯虚数0.

(2)共辗复数

复数z=a+历(a,R)的共轨复数2=.

(3)复数的模

复数z=a+8i(a,%dR)的模|z尸.

(4)复数相等的充要条件

a+b\=c+d\^(a,b,c,d《R).

特别地，a+历=00(a,bWR).

⑸复数的运算法则

力口减法：(a+bi)±(c+di)—______________________________________________________

乘法：(a+6i)(c+di)=；

除法：(a+bi)+(c+di)=.(其中a,h,c,deR)

2.复数的几个常见结论

(l)(l±i)2=±2i.

(3)i4n=1,i4,,+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4),+2+i4n+3=0(neN).

3.平面向量基本定理

如果e”e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有

一对实数九，A2＞使”=2iei+/l2e2.若e”e?不共线，我们把｛e“e?｝叫做表示这一平面内所有

向量的一个基底.

4.向量a与6的夹角

已知两个非零向量a，b,。是平面上的任意一点，作G=a,OB=b,则/4。8=。(0・痣兀)

叫做向量a与6的夹角.当6=0时，a与b；当6=兀时，a与b.如果a与

》的夹角是,我们说。与8垂直，记作

5.平面向量的数量积

⑴若a,b为非零向量，夹角为仇则”仍=.

(2)设。=(为，yi),8=(x2，>2)，则。山=.

6.两个非零向量平行、垂直的充要条件

若a=(x”yi),》=(也，”)，则

(1)。〃》<=>°=劝3wo)<=>.

(2)a_L〃0〃・A=OS.

7.利用数量积求长度

(1)若。=(x,y),则同=^/^=.

⑵若A(X1，》］),8a2，72)，则

而尸.

8.利用数量积求夹角

设a,》为非零向量，若。=(制，"),5=(X2,”)，。为a与b的夹角，

则cos6==.

9.三角形“四心”向量形式的充要条件

设。为△ABC所在平面上一点，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则：

(1)0为△ABC的外心罚后|=|历|=|历|=.

(2)0为4ABC的重心㈡晶+/+次7=0.

(3)0为4ABe的垂心今后•访=/灰=沆・殖.

(4)0为△ABC的内心0a方\+6油+。沆=.

叵易错提醒

1.复数Z为纯虚数的充要条件是a=0且人W0(z=a+所，a,b&R).还要注意巧妙运用参数

问题和合理消参的技巧.

2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2=-l化简合并同类项.

/——\

fARAC

3.若AP=2二r+=0.6(0,+8)),则点尸的轨迹过△ABC的内心.

l|A8|\AC\J

4.找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视.

回顾3三角函数、三角恒等变换与解三角形

叵回归教材

1.终边相同角的表示

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合5=,即

任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

2.几种特殊位置的角的集合

(1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：.

(2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：.

(3)终边在x轴上的角的集合：.

(4)终边在y轴上的角的集合：.

(5)终边在坐标轴上的角的集合：.

3.1弧度的角

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.

4.角度制与弧度制的换算

(1)1°=rad.

(2)1rad=.

5.扇形的弧长和面积

在半径为，的圆中，弧长为/的弧所对的圆心角为arad,那么闷=.

相关公式：(1)/=.

(2)S=1/r=.

6.任意角的三角函数的定义

(1)设a是一个任意角，«£R,它的终边OP与单位圆交于点尸(x,)，)，那么：

①把点尸的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina,即丫=$山。.

②把点尸的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa,即x=cosa.

③把点P的纵坐标与横坐标的比值刖做a的正切，记作tana,即卜tana(xW0).

(2)设a是一个任意角，点尸(x,y)为a终边上任一点，|0尸|=次+/,则sina=j^,cosa

xy

=\OP\'tana=x

7.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2(z+cos2a=10sina=±\]\—cos2a.

(2)商的关系：

—=tangZ)).

cosa\2Vy

8.三角函数的诱导公式

公式一二三四五六

71

角)兀_+1_a

2fac+a(^ezTi+a~aTi—a2~a2

正弦sina

余弦cosa

正切tana

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

9.三种三角函数的图象和性质

正弦函数丁=5由%余弦函数y=cosx正切函

图象

叫A

定义域R

值域(有界性)[-1,1](有界性)

兀

零点{4x=/+E,kGZ)

最小正周期

奇偶性______函数______函数______函数

-1+2E,]+2E

增区间

单调性

(旧)

减区间[2to,兀+2E](%eZ)

对称轴

对称性

对称中心

10.函数y=Asin(cox+8)(①>0,A>0)的图象

⑴“五点法”作图

7T37r

设z=cox+9，令z=0,2f兀，工，2兀，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得.

⑵由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.

(3)图象变换

向左(衿0)或向右(然0)./।、

产产sm(x+9)

横坐标变为原来的33>0)倍

-----而—二

纵坐标不变------*•'¥—sin(tyx+(p)

纵坐标变为原来的&A>0)倍,

横坐标不变.y=Asin(口工+夕).

11.三角恒等变换

(1)cos(a+£)=1

cos(a—p)=_______________________________________________________________________

sin(a+夕)=,

sin(a一4)=,

tan(a+夕尸,

tan(a-P)=.

(2)二倍角公式：

sin2Q=,

cos2a==2cos2a_1=,

tan2a=.

(3)降累公式：sin2a=,cos2a=.

(4)辅助角公式：

tzsinx+bcosx=y{a1+fe2sin(x+(p),其中tan(p=*.

12.正弦定理及其变形

=2RQR为△ABC外接圆的直径).

变形：o=2RsinA,0=2RsinB,c=2RsinC.

.A0.b.「c

sinA=赤,sinB=忝,sinC=宏.

a：b'•c=sinA：sin8：sinC.

13.余弦定理及其推论、变形

/=,

C2=.

推论：cosA=，

cosB=，

cosC=.

变形：b2+c2-a2=2bccosA,

a1+c1—b1=2accosB,

cr+h1-c1=2ahcosC.

14.面积公式

S^ABc=2^cs\nA==.

里易错提醒

1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.

2.在求三角函数的值域（或最值）时，不要忽略x的取值范围.

3.求函数./U）=Asin（3x+。）的单调区间时，要注意A与。的符号，当。＜0时，需把。的符

号化为正值后求解.

4.三角函数图象变换中，注意由y=sins的图象变换得到了=$出（。》+0）的图象时，平移量

为⑶，而不是”

5.在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大

角”，避免增解.

回顾4数列

叵回归教材

1.牢记概念与公式

等差数列、等比数列（其中〃eN*）

等差数列等比数列

通项公式%=

①qWl,S尸____________=

前〃项和公式——

②q=l,Sn-______________

2.活用定理与结论

（1）等差、等比数列｛斯｝的常用性质

等差数列等比数列

①若根，〃，p,qWN*,①若相，s,且加+〃=$+，，

且加+〃=p+q,则____________;

性质则____________;②=am*________;

②斯=〃〃?+______d\③S2m~Sm,$3团一§2〃”…仍成等

③Sm，S2m-Sm，比数列⑸H0）

S3,”一S2,.,…仍成等差数列

(2)判断等差数列的常用方法

①定义法

%+1—%=d(常数)(〃GN*)0｛斯｝是等差数列；

②通项公式法

a”=p〃+q(p,q为常数，"GN*)O｛a,J是等差数列；

③中项公式法

2。"+|=4"+。"+2("£2)台｛四｝是等差数列；

④前〃项和公式法

S„^An2+Bn(A,B为常数，，?eN*)O｛a“｝是等差数列.

(3)判断等比数列的常用方法

①定义法

誓=仪4是不为0的常数，〃WN*)㈡｛如｝是等比数列；

②通项公式法

a,尸c矿(c,g均是不为。的常数，”eN*)=｛a“｝是等比数列；

③中项公式法

足+i=an-an+2(an^0,N*)—｛。”｝是等比数列.

3.数列求和的常用方法

(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.

⑵分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成&=”“十与形式的数列求和问题的方法,

其中｛““｝与｛5｝是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.

(3)通项公式形如小=(“〃+/,；“〃+/»)(其中〃，加,仇，c,为常数)用裂项相消法求和.

裂项相消法常见形式：

111

〃(〃+1)n〃+1'

n(n+2)=歌一/，

(2〃-1)(2”+1)=，(2〃-1—2〃+1)

2"_I1

(N't-1)(2"—1)=2"一]—尸।-1,

(4)形如｛如£,)的数歹!](其中｛斯｝为等差数列，｛为｝为等比数列)，利用错位相减法求和.

(5)通项公式形如«„=(-如=。(一1)"或&=(一1)"(2〃+1)(其中a为常数,“GN*)等正

负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分〃为奇数、偶数两种情况讨论.

!■易错提醒

1.已知数列的前〃项和求知，易忽视〃=1的情形，直接用Si表示.作答时，应验证

51，〃=1,

是否满足-S-1,若是，则-Sn-i；否则，ci=<

nnSn—Sn-1,"32.

2.易混淆几何平均数与等比中项，正数a,6的等比中项是短.

3.易忽视等比数列中公比qWO导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成

增解.

4.运用等比数列的前〃项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q=l和qW1两种情况进行讨

论.

5.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.

回顾5立体几何与空间向量

叵回归教材

1.柱、锥、台、球体的表面积和体积

侧面展开图表面积体积

直棱柱长方形S=2S底+S侧v=s底s

圆柱长方形5=2兀产+2兀〃V=7ir-I

V=|s!«•/?

棱锥由若干个三角形构成S=S底+S侧

V=^Jir-h

圆锥扇形S=Ttt2+iirl

V=](Sr+=S」$+S卜)〃

S=S上+S下+S侧

圆台扇环

S=TI(/2+r2+r/l+rl)V=T兀。''2+r'r+r2)/?

4

球S=4nr2V=^itP

2.外接球、内切球问题

(1)长方体的外接球的直径为体对角线，正方体的内切球的直径为正方体的棱长.

(2)正四面体的外接球、内切球球心重合，且在垂线上，R外接球”内切球=3：I.

(3)直棱柱的外接球球心为上、下底面的外心连线的中点.

(4)棱锥中若有三条侧棱两两垂直，一般补成长方体.

(5)棱锥中若有一条侧棱垂直于底面，一般补成直棱柱，如图①②.

①②

(6)三棱锥中，若对棱相等，一般补成长方体，使三棱锥的棱为面对角线.

(7)棱锥中若没有侧棱垂直于底面，一般找两个面，再找这两个面的外心，过外心作面的垂线,

两垂线的交点即为外接球球心.

3.直观图与斜二测画法

(1)空间几何体的直观图的画法常采用斜二测画法.斜二测画法的规则为“平行要保持，横长

不变，纵长减半.”

(2)任何一个平面图形的面积5与它的斜二测画法得到的直观图的面积S'之间的关系为S'

4.平行、垂直关系的转化示意图

面面平行的判定

~i

薇r|线面平行的判定附闻面面平行的判定.眄而

平行|'线面平行面桎硝平行|扁面平行的性质’|平行

(1)面面平行的性质

面而垂H的判定

线线,线面垂直的判定.|线面]面面垂直的判定.面面

垂直.线面垂宜的性质|垂直|,面面垂直的性质垂宜

面面垂直的性质

(2)两个结论

aA-a\a//b]

①..产a________b；②j=b______a.

b-La\a-La)

5.用空间向量证明平行、垂直

设直线/的方向向量为Q=(“1，b”C|),平面a,△的法向量分别为“=(。2,岳，C2)，y=(43,

%,C3).则有：

(1)线面平行

/〃々0〃_1_〃<=>〃〃=0<=>。1。2+〃仍2+。1。2=0.

(2)线面垂直

/_LaOa〃=鼠/2，b\=kbi9C\=kcz.

(3)面面平行

a〃夕="〃羽历=2力3，C2=ZC3.

（4）面面垂直

a_L0O"_Lv="W=0=42。3+岳历+c2c3=0.

6.用向量法求空间角

（1）直线，2的夹角。满足COS6=（其中a,b分别是直线/2的方向向

量）.

⑵直线/与平面a的夹角0满足sin9=（其中a是直线/的方向向量，n是平面

a的法向量）.

⑶平面a与平面p的夹角为cos3=（其中m，”2分别是平面a,[3的法向量）.

政易错提醒

1.混淆“点A在直线a上"与''直线a在平面a内”的数学符号关系，应表示为Ada,a

Ua.

2.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面

积之和，易漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数/

3.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的

条件，导致判断出错.如由夕，aC8=Lm±l,易误得出根，尸的结论，就是因为忽视面

面垂直的性质定理中mCa的限制条件.

4.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变

的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置

关系与数量关系.

5.几种角的范围

两条异面直线所成的角：0。＜6・90。；

直线与平面所成的角：0。・。＜90。；

平面与平面的夹角：（rwew90。.

6.用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求直线与平面所成的角时，

易把直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值当成线面角的余弦值，导致出错.

回顾6概率与统计

叵回归教材

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有〃，种不同的方法，在第2类方案中有〃种不

同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有〃，种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法，那么

完成这件事共有N=种不同的方法.

3.排列

(1)排列的定义：从"个不同元素中取出加(加＜〃)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做

从〃个不同元素中取出m个元素的一个排列.

(2)排列数的定义：从〃个不同元素中取出皿个元素的所有不同排列的个数，叫做从〃

个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.

(3)排列数公式：A#=.

(4)全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A；；=

=—.排列数公式写成阶乘的形式为A；7=，这里规定0!=

4.组合

(1)组合的定义：从〃个不同元素中取出皿相＜〃)个元素作为一组，叫做从〃个不同元素中取

出m个元素的一个组合.

(2)组合数的定义：从〃个不同元素中取出m(机W〃)个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃

个不同元素中取出机个元素的组合数，用符号表示.

(3)组合数的计算公式：C『===，由于0!=

1,所以C9=.

(4)组合数的性质：①C；，=；②Cai=C?+C。.

5.二项式定理

3+6)"=(neN*).

这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做①+与"的二项展开式，其中各项的系数C5(k=

0,1,2,〃)叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项，用7kl表示，

即展开式的第左+1项：，+|=.

6.二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.

(2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大.二项式系数

〃+1

为c£,当k一—时，c£随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分，c£随k

的增加而减小.

当〃是偶数时，中间的一项取得最大值；

当〃是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值.

(3)各二项式系数的和

m+好的展开式的各二项式系数的和等于2",即c2+G+a+…+c计…+a=.

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即d+a+c^+…

=c9+c%+戏+…=.

7.概率的计算公式

(1)古典概型的概率计算公式

尸(A)=.

(2)互斥事件的概率计算公式

尸(AUB)=+.

(3)对立事件的概率计算公式

P(A)=1—.

(4)条件概率公式

「(B|A)=.

(5)概率的乘法公式

尸(A8)=.

⑹全概率公式

尸⑹=.

(A”A2…，A,,是一组两两互斥的事件，A1UA2U…UA“=0

*(7)贝叶斯公式

P(A,)P(B|4)

尸⑷仍尸

P(B)

P(A,)P(8|A,)

.\l—1",…，n)

£P(4)/WA)

k=\

8.统计中四个数据特征

⑴众数：

①在样本数据中，出现次数最多的那个数据.

②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数：在样本数据中，将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间的那个数

据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.

(3)平均数：样本数据的算术平均数，

即x=.

(4)方差与标准差：反应样本数据的分散程度.

方差：.v2=^[(xi—x)2+(%2-x)2H--------F(x„—x)2].

标准差:

9.离散型随机变量

(1)离散型随机变量的分布列的两个性质

①Pi20(i=l,2,…，〃)；②pi+p2H----Hp〃=.

(2)均值公式

E(X)==Xxipi.

i=\

⑶均值的性质

①E(aX+»=；

②若X〜B(n,p),则£(X)=；

③若X服从两点分布，则E(X)=.

(4)方差公式

222

D(X)=(xl-E(X))-pi+(X2-E(X))-p2+-+(xn-E(X))-p„,标准差为赤面.

(5)方差的性质

①D(aX+b)=；

②若X〜B(〃，p),则£>(X)=；

③若X服从两点分布，则D(X)=.

(6)独立事件同时发生的概率计算公式

P(AB)=.

(7)〃重伯努利试验的概率计算公式

p(x=k)=.

io.一元线性回归模型

AAA

⑴经验回归方程(经验回归函数或经验回归公式)y=6x+”一定过点(x,y),

n___

Z(xt—X)(y,—y)

Ai=\

14=.

(2)样本相关系数r具有如下性质：

①|r|W；

②|r|越接近于1,成对样本数据的线性相关程度越

③|，1越接近于0,成对样本数据的线性相关程度越.

11.独立性检验

利用随机变量/=(〃=a+6+c+①的取值推

断分类变量x和y是否独立的方法称为炉独立性检验.

12.正态分布

如果随机变量X服从正态分布，则记为X〜NQ,,a2).

满足正态分布的三个基本概率的值是

(1)P(/z—+<r)g；

(2)P(ju—2a)弋；

(3)P(/L3<7WX3+3(T)七.

叵易错提醒

1.关于两个计数原理应用的注意事项

分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别

在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法

都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步

骤都完成了才算完成这件事.

2.排列、组合问题的求解方法与技巧

(1)特殊元素或特殊位置优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组合混合问题先选后

排.(4湘邻问题捆绑处理.(5)不相邻问题插空处理.⑹定序问题排除法处理.⑺正难则反,

等价条件.

3.二项式定理应用时的注意事项

⑴注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.

项的系数与a,b有关，可正可负，二项式系数只与"有关，恒为正.

(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0,±1.

4.应用互斥事件的概率加法公式时，一定要先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分

别发生的概率，再求和.

5.正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互

斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.

6.易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率,

导致样本数据的频率求错.

7.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别

(1)在P(4|B)中，事件A,B发生有时间上的差异，B先A后；在尸(A8)中，事件4,B同时发

生.

(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在尸(AB)中，样本空间仍为。，因而

有P(A\B)^P(AB).

8.(1)易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误.

(2)涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布.

回顾7解析几何

叵回归教材

1.直线方程的五种形式

⑴点斜式：(直线过点Po(xo,y0),且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线).

⑵斜截式：)，=Ax+bS为直线/在)，轴上的截距，且斜率为屋不包括)，轴和平行于y轴的直

线).

(3)两点式：(直线过点PGl,yi),尸2a2，”)，且X1WX2，yi#"，不包

括坐标轴和平行于坐标轴的直线).

⑷截距式：^+l=Ka，6分别为直线的横、纵截距，且〃关0,b大0,不包括坐标轴、平行于

坐标轴和过原点的直线).

(5)一般式：Ar+By+C=0(其中A,B不同时为0).

2.直线的两种位置关系

(1)当不重合的两条直线/1和/2的斜率都存在时：

①两直线平行：/|〃/2c.

②两直线垂直：/1_L/2=.

提醒当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽

略.

(2)直线方程一般式是Ax-\-By+C=0.

①若直线/i：4x+Biy+G=0,，2：A2x+B2_y+C2=0,则1\//B]A2=:0且A\Ci-

A2C1WO(或B|C2-B2CI^0).

②若直线Zi：4ix+Biy+G=0,I2：42x+&y+C2=0,则/1J_/2=AI42+BI&=0.

提醒无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便.

3.三种距离公式

⑴已知A(xi,yi),B(X2,>2),两点间的距离

\AB\=.

(2)点到直线的距离“=(其中点尸(沏，阿，直线方程为Ar+By+C=0(A2+

BVO)).

(3)两平行线间的距离d—(其中两平行线方程分别为It：Ax+By+C\=O,h：

Ax+By+Ci=O(A2+B2^O)).

提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x,y的系数对应相等.

4.圆的方程的两种形式

(1)圆的标准方程：.

(2)圆的一•般方程：.

5.直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离.

(2)弦长的求解方法

根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系於=(其中/为弦

长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长/=.

(3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含.

(4)当两圆相交时，两圆方程相减即得公共弦所在直线方程.

6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

名称椭圆双曲线抛物线

IIPQI—|瞑||=|PF|=|PM点F不

\PFt\+\PF\=

定义2在直线/上，

______(2a____|F,F|)

2(Ov2a________|FiF2I)交/于点M

92

标准方程,+$=13>6>0)”一次=1(〃>O,b>0)y2=2px(p>0)

图形

范围|x|W______，1仔______।介______

顶点

对称性关于无轴，y轴和原点对称关于X轴

焦点

几何长轴长_______，实轴长_______，

轴

性质短轴长________虚轴长________

e==e==

离心率

________(0<e<l)________(e>l)

准线x=-\

渐近线

一

7.直线与圆锥曲线的位置关系

判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.

弦长公式：\AB\=yj1+lc\x\一刈，

或依用=-\J1+/),1-"KAWO).

叵易错提醒

1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确

定倾斜角的范围时出错.

2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视

截距为0的情况，直接设为2+)=1；再如，过定点P(xo,泗)的直线往往忽视斜率不存在的

情况直接设为厂)，0=也一加等.

3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，

一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重

合，易忽视重合.

4.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式质：;，导

致错解.

5.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线

的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，0<2时|吊尸2|.如果不满足第一个条件,

动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一

支.

6.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a,b,c三者之间的关系，导

致计算错误.

7.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解.

8.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注

意：二次项的系数是否为零，判别式/NO的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题

时，必须先有“判别式；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在

“1>0”下进行.

回顾8函数与导数

15回归教材

i.函数的定义域和值域

(1)求函数定义域的类型和相应方法

若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围.

(2)常见函数的值域

①一次函数y=日+佻々#0)的值域为R；

②二次函数y=ax2+bx+c(a^0)：当a>0时，值域为一而一,+°°J,当a<0时，值域为

(4ac—b1

I'4aJ'

③反比例函数y=§(H0)的值域为{yeR|y#0}.

2.函数的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，

都有y(—x)=成立，则/(X)为奇函数(都有4一x)=成立，则7U)为偶函数).

(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数如果对于定义域内的任

意一个X的值，若,则兀v)是周期函数，T是它的一个周期.

3.关于函数周期性、对称性的结论

(1)函数的周期性

①若函数1x)满足yU+a)=Kx-G，则人处为周期函数，是它的一个周期;

②若函数凡r)满足贝》+“)=六，则式x)为周期函数,

是它的一个周期;

J\x)

③若函数加0满足yu+“)=—兀0,则/U)为周期函数，是它的一个周期.

(2)函数图象的对称性

①若函数y=_/(x)满足y(a+x)=/(Z?—x),

则函数式x)的图象关于直线》=对称.

②若函数y=/(x)满足7(a+x)=一加一x),

则函数式x)的图象关于点对称.

4.函数的单调性

函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.

(1)单调性的定义的等价形式：设任意X”X2^[a,b],且加#及，

那么(汨―必)[/(»)-AX2)]>0O二在[〃,切上单调递________

“'A1jX2

(X)一、2)四即)一心2)]<00&"空之00心)在团，回上单调递________.

X\一X2

(2)若函数凡0和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，«r)+g(x)是减函数；若函数/U)和g(x)

都是增函数，则在公共定义域内，7W+g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y=〃(x))

的单调性.

5.指数函数与对数函数的基本性质

⑴定点：y=aK(a>0,且a#1)恒过(0,1)点;

y—\ogtlx(a>0,且aWl)恒过(1,0)点.

(2)单调性：当时，)=«•，在R上单调递增；y=log„x在(0,+8)上单调递增；

当0<a<l时，y=a'.在R上单调递减；y=log,(x在(0,+8)上单调递减.

6.函数的零点

(1)零点定义：对于一般函数y=/U)，我们把使|x)=0的实数x叫做函数)，=40的零点.

方程y(x)=0有实数解O函数y=*x)有零点=函数y=/(x)的图象与x轴有公共点.

(2)确定函数零点的三种常用方法

①解方程判定法：解方程式x)=0；

②零点存在定理法：如果函数y=/(x)在区间口，切上的图象是一条连续不断的曲线，且有

那么，函数y=/(x)在区间(a,3内至少有一个零点，即存在cG(a,b),使得./(c)

=0,这个c也就是方程|x)=0的解.

③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.

7.导数的几何意义

(1/(xo)的几何意义：曲线y=/(x)在点(xo,八⑹)处的切线的斜率，该切线的方程为>—Xxo)

-f(Xo)•(X—%o).

(2)切点的两大特征：①在曲线y=/(x)上；②在切线上.

8.利用导数研究函数的单调性

(1)求可导函数单调区间的一般步骤

①求函数式x)的定义域；

②求导函数，(x)；

③由/(x)>0的解集确定函数凡v)的单调递增区间，由/(x)<0的解集确定函数人为的单调递

减区间.

(2)由函数的单调性求参数的取值范围

①若可导函数大x)在区间M上单调递增，则/'(x)》0(xGM)恒成立；若可导函数火x)在区间

M上单调递减，则/(x)<0(xCM)恒成立；

②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，/(x)>0(或/(x)<0)在该区间上存在解集;

③若已知府)在区间/上的单调性，区间/中含有参数时，可先求出火x)的单调区间，则/是

其单调区间的子集.

9.利用导数研究函数的极值与最值

(1)求函数的极值的一般步骤

①确定函数的定义域；

②解方程(x)=0；

③判断/(x)在方程/(x)=0的根必附近两侧的符号变化:

若左正右负，则沏为极值点；

若左负右正，则xo为极值点；

若不变号，则须不是极值点.

(2)求函数於)在区间口，切上的最值的一般步骤

①求函数y=/U)在区间(mb)内的极值；

②比较函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值式。)，犬勿的大小，最大的一个是最大值，最小

的一个是最小值.

10.