山东省泰安市2021届高三年级下册第一次模拟考试 数学 含解析

新泰中学2021级高三高考模拟测试(一)

数学试题

2024.04

全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1,已知{“/是等比数列，。3a5=8%,且出，%是方程V—34%+m=°两根，则机=()

A.8B.-8C.64D.-64

2.已知集合4=31083(2%+1)=2},集合3={2,a},其中aeR.若=则4=()

A.1B.2C.3D.4

3.已知向量a=[log23,sing],Z?=(log38,m),若a_L。，则m=()

A.-2A/3B.-73C.2A/3D.3五

4.函数7(%)的数据如下表，则该函数的解析式可能形如()

X-2-101235

"%)2.31.10.71.12.35.949.1

A.=W'l+b

B.f(x)=kxe'+b

C/(x)=^|x|+Z?

D./(x)=^(x-l)2+b

22

5.在平面直角坐标系xQy中，已知A为双曲线C：二-二=1(。>0/>0)的右顶点，以。4为直径的圆与

ab

C的一条渐近线交于另一点若|AM|=g匕，则C的离心率为()

A.72B.2C.2&D.4

6.己知集合4={-g,-若a,4ceA且互不相等，则使得指数函数丁=优，对数函数

y=log.x,暴函数y=x,中至少有两个函数在(0,+8)上单调递增的有序数对(a力,c)的个数是()

A.16B.24C.32D.48

7.“a=二+E(keZ)”是"百cos-a+siir&=G十]，，的()

4sin。cos。

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8已知复数Z],Z2满足小卜冈二日4―Z21=2,则Z]+gz2=(

)

A.1B.6C.2D.273

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

2

9.已知函数1------\-a^aeR),则()

2'—1

A.〃尤)的定义域为(―8,0)U(0,y)

B.“X)的值域为R

C.当。=1时，/(%)为奇函数

D.当好2时，/(-%)+/(x)=2

10.下列结论正确的是()

A.一组样本数据的散点图中，若所有样本点(4％)都在直线y=0.95*+1上，则这组样本数据的样本相

关系数为0.95

B.已知随机变量JN(3,4),若177+1,则。(〃)=1

C.在2x2列联表中，若每个数据a,伍Gd均变成原来的2倍，则％2也变成原来的2倍

n(ad-be)2

(力=其中n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

D.分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件A="第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，3="2枚骰子正面

向上的点数相同”，则A,3互为独立事件

11.已知圆。：炉+/一IOX+13=O,抛物线卬：/二八的焦点为产，p为W上一点()

A.存在点P,使△尸PC为等边三角形

B.若QC上一点，则|PQ|最小值为1

C.若|PC|=4,则直线0尸与圆C相切

D.若以。咒为直径的圆与圆C相外切，贝”尸耳=22—126

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.随机变量x~N(",")，若P(X之70)=P(X<90)且P(72<X<80)=0.3,则随机变量X的第80

百分位数是.

—7——为奇数，

13.记S”为数列｛a“｝的前几项和，已知a”=V小+2)则4

a,I，”为偶数,

14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做

球冠的高•球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做

球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1,一个球面的半径为

R,球冠的高是/I,球冠的表面积公式是5=2成3与之对应的球缺的体积公式是丫=:兀/22(3氏一/2).如

图2,已知CD是以AB为直径的圆上的两点，/40。=，30。=§,5扇形。8=6兀，则扇形CO。绕

直线AB旋转一周形成的几何体的表面积为,体积为.

B

Iki2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且5=3,c=l,a=6cosB.

(1)求。的值：

(2)求证：A=2B；

(3)cos2,-总的值

16.某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游.戏

规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复

以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位

于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失

败.

(1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X级台阶，求X的分布列及数学期望E(X)；

(2)①求一位同学参加游戏，他不能获得奖品的概率；

②若甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；

17.如图，在直三棱柱ABC-ABC1中，A3=BC=2,A4=3,点。,E分别在棱上，

AD=2%"=2EC,F为Bg的中点.

A

(1)在平面A3四4内，过A作一条直线与平面。跖平行，并说明理由；

(2)当三棱柱ABC-A与G的体积最大时，求平面。斯与平面ABC夹角的余弦值.

18已知函数〃％)=*(111工+。),。€口.

(1)若a=l,求曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线方程；

(2)讨论了(%)的单调性；

(3)若存在%€(0,+8),且看<々，使得/(%)=/(9)，求证：~~>e：：fl+1-

19.动圆。与圆G：(x+2)2+y2=50和圆。2：(%—2)2+V=2都内切，记动圆圆心。的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线方程为-2+23孙+。2+2。*+2£>+歹=0,则曲线

上一点(如为)处的切线方程为：A^)x+B(xoy+yox)+Cyoy+D(xo+x)+E(yo+y)+F=O,试运用

该性质解决以下问题：点P为直线x=8上一点(P不在x轴上)，过点P作E的两条切线PAM,切点

分别为A3.

(i)证明：直线AB过定点；

(ii)点A关于x轴的对称点为A,连接A3交x轴于点/，设,.AG",ABGM的面积分别为H,邑，

求应―S?|的最大值.

新泰中学2021级高三高考模拟测试（一）

数学试题

2024.04

全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1,已知{“/是等比数列，。3a5=8%,且出，%是方程V—34%+m=°两根，则机=（）

A.8B.-8C.64D.-64

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比数列下标和性质计算可得.

【详解】因为{?}是等比数列，所以a3a5=若，又。3。5=8。4，所以“4=8,

又。2，4是方程x2—34x+m=0两根，

所以zn=a2a6==64.

故选：C

2.已知集合4={同1。83（2%+1）=2},集合3={2,a},其中aeR.若=则。=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出集合A,依题意可得即可求出。的值.

【详解】由log3（2x+l）=2,则2X+1=32,解得X=4,所以A={同氏3（2x+l）=2}={4},

又3={2,a},AuB=B,即A=所以。=4.

故选：D

3.已知向量a=[log23,sing],Z?=(log38,m),若q_L。，则m=()

A.-2A/3B.-73C.2A/3D.3五

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标表示可得答案.

4兀

【详解】因为a_LO，所以。.。=0，即Iog23xlog38+7〃sin与-=0,

所以log28—机=0，所以m=2j^.

故选：C.

4.函数7(%)的数据如下表，则该函数的解析式可能形如()

X-2-101235

2.31.10.71.12.35.949.1

A.=W'l+b

B.f^x)=kxex+b

C.f(^x)=k\x\+b

D./(x)=A;(%-1)2+b

【答案】A

【解析】

【分析】由函数/(%)的数据即可得出答案.

【详解】由函数外力的数据可知,函数/(—2)=〃2),/(—=

偶函数满足此性质，可排除B,D；

当尤＞0时，由函数/(%)的数据可知，函数/(%)增长越来越快，可排除C.

故选：A.

5.在平面直角坐标系X0y中，已知A为双曲线C：「-马=1（。＞03＞0）的右顶点，以。4为直径的圆与

ab

C的一条渐近线交于另一点M,若匕，则C的离心率为（）

A.41B.2C.272D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由渐近线方程和。河，40求出|OM|=ga,由勾股定理得到/=3/,从而求出离心率.

b

【详解】由题意得，OMLAM,双曲线的一条渐近线方程为y=—x,

a

b\AM\b

故tan/AOM=一，即-；---r=一,

a\OM\a

又所以|O闾=ga,

由勾股定理得|。0「+|4闾2=|QA「，即;标+；〃=/,

解得万=3/,

6.已知集合4=卜3，-*,；,2,31,若a,〃ceA且互不相等，则使得指数函数丁=优，对数函数

y=log,x,暴函数y=中至少有两个函数在（0,+8）上单调递增的有序数对（a力,c）的个数是（）

A.16B.24C.32D.48

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.

【详解】若＞=优和y=iog,x在（0,+s）上单调递增，＞=必在（0,+8）上单调递减，

则有A；C=4个；

若y=ax和y=X。在(0,+8)上单调递增,y=log,x在(0,+s)上单调递减，

则有C；CC=8个；

若y=log,x和y=在(0,+8)上单调递增，y=优在(0,+8)上单调递减，

则有C；CC=8个；

若丁=优、y=log,x和y=x。在(0,+⑹上单调递增，则有A>C；=4个；

综上所述：共有4+8+8+4=24个.

故选：B.

【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧

(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加

法计数原理.

(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化.

7.“。=巴+也(左右2)”是“且叱£±^_^=百+1”的()

4sinacosa

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出tana,再利用齐次式法求值及充分条件、必要条件的定义判断得解.

71

【详解】由。=—+E(左£Z),得tana=l,

4

由百cos2&+sin2a=6+1，得ta^a+g=用］,解得tana=1或tana=百，

sinacosatana

所以“。'+也(左eZ)，堤"Gcos-a+sirra=6+1”的充分不必要条件，A正确.

4sinacosa

故选：A

8.已知复数z-z2满足2㈤=卜21=〔2马一马|=2,则马+；22=()

A.1B.^3C.2D.2A/3

【答案】B

【解析】

【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.

【详解】设4=。+历,Z2=c+di,则2，/+/=点=J(2a-c)2+(2\-d)2=2

222

所以Q2+Z;=1,c+d=4,8—4(〃c+Z?d)=4,即ac+bd=1,

Ja?+/++^/2+etc+bd

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

2

9.已知函数1——+a[aGR),则()

2—1

A./(%)的定义域为(―”,O)U(O,y)

B.“X)的值域为R

C.当。=1时，"％)为奇函数

D.当。=2时，/(-%)+f(x)=2

【答案】ACD

【解析】

【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A,再分2,-1>0、-1<2*-1<0分别求出函数值的

取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B,根据奇偶性判断C,根据指数塞的运算判断D.

2

【详解】对于函数/■(x)=k「+a(aeR),令2—1/0,解得"0，

所以了(%)的定义域为(―8,0)U(0,y),故A正确；

22

因为2*>0，当2*-1>0时，所以—+a>a,

2X-12'-1

22

当一1<2'—1<0时_~~<—2,所以~-+a<—2+61,

2X-12X-1

综上可得/(X)的值域为(F,-2+Q)L(Q,y),故B错误；

当.=1时=+1=^-^,则===—〃％）,

v72X-12X-1v72~x-l2X-1v7

2

所以/（x）=5三+l为奇函数，故C正确；

、[/*.„/\22%+1।„/\„/\2%+12^+1

当〃=2时/（%）=------+2=-------+1,贝nU/+/（%）=---------1-1+--------+1=2,

v72X-12X-1v7v72X-12-x-l

故D正确.

故选：ACD

10.下列结论正确的是（）

A.一组样本数据的散点图中，若所有样本点（专弘）都在直线y=0.95x+l上，则这组样本数据的样本相

关系数为0.95

B.已知随机变量JN（3,4）,若4=2〃+1,则。⑶=1

C.在2x2列联表中，若每个数据a,》,c,d均变成原来的2倍，则方?也变成原来的2倍

_n(ad-be#

2其中〃=a+〃+c+d)

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

D.分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件A="第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，3="2枚骰子正面

向上的点数相同”，则A,3互为独立事件

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据相关系数的概念判断A,根据正态分布的方差公式及方差的性质判断B,根据卡方公式判断

C,根据相互独立事件的定义判断D.

【详解】对于A：若所有样本点（4M）都在直线y=0.95x+l上，则这组样本数据的样本相关系数为1，

故A错误；

对于B：如JN（3,4）,则£＞（4=4,又J=2〃+l,即”;g

则£）（〃）=（g）xD（^）=l,故B正确；

对于C：在2x2列联表中，若每个数据a,伍c,d均变成原来的2倍，

皿2n（2ax2d—2bx2c）2_2n（ad-bc）2

人」（2a+2Z?）（2c+2d）（2a+2c）（2b+2d）（Q+Z?）（c+d）（a+c）,+d[

即/2也变成原来的2倍，故C正确；

对于D：分别抛掷2枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6x6=36个，

事件A="第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，则事件A包含的基本事件数为3义6=18个，

事件3="2枚骰子正面向上的点数相同”，则事件B包含的基本事件数为6x1=6个，

所以「网=「（8）=（=：,

JOZ30O

31

又AB包含基本事件有3x1=3个，所以P（AB）=—=—,

所以P（A5）=P（A）xP（5）,则A、B互为独立事件，故D正确；

故选：BCD

11.已知圆。：必+/―10工+13=0,抛物线W：V=4x的焦点为产，P为W上一点（）

A.存在点尸，使△尸尸C为等边三角形

B.若。为。上一点，则归。|最小值为1

C.若|PC|=4,则直线P尸与圆C相切

D.若以。咒为直径的圆与圆C相外切，则归耳=22-126

【答案】AC

【解析】

【分析】选项A,△班C为等边三角形需保证|尸耳=归。|=3。|=4,设定点P坐标用两点间距离公式检

验即可；选项B,设定点P（‘J）,将|PQ|转化为|尸Q|=|尸C|—「表示，求最小值即可；选项C,由|PC|=4

2

求得点尸坐标，求得直线所在的直线方程，利用点到直线的距离公式检验即可；选项D,设定点t

以尸产为直径的圆与。相外切，需保证|CE|-r=!|Pb|,建立关于I尸刊的方程，求之即可.

2

【详解】由已知圆C:必+/—10x+13=0的方程化为C:（x—5）2+/=12,

得其圆心C（5,0）,半径厂=2班，

由于抛物线方程为W:9=4x,其焦点为b（L0）

对于选项A,若△尸PC为等边三角形，当且仅当归耳=|尸。|=3。|=4；

若点P到点尸（1,。）的距离为4,

由抛物线定义可知/+1=4,即%=3,

代入抛物线方程可得P（3,±2Q）,|PC\=7（3-5）2+（±2A/3-0）2=4，故A正确;

对于选项B,因为点尸在抛物线上，。为C上一点，

\P^=\PC\-r=\PC\-2y/3,

由于P为W上，设P（：J）,且C（5,0）,

则|/。|=，（”2+"。）2=必7+251H卢+16“'

当且仅当r=12时，原式取得最小值，|为2|的最小值4-26W1，故B不正确；

对于选项C,设P（：J）,且C（5,o）,

若|PC|=4,即归—。/+25=4,得产―24/+144=0，

V162

解得『=12,所以此时P（3,±2』），

不妨取尸（3,2百），F（l,0）,

此时直线。产的方程为：>=转（％_1）,即怎—y—百=0,

J|56-0-向cr-

则圆心C（5,0）到该直线的距离为d=I=2.3=厂，

J（丁产+（—1）2

所以此时直线尸产与圆C相切，同理可证明尸（3,-2百）的情形也成立，故C正确;

对于选项D,设P户的中点为E，若以尸产为直径的圆与。相外切时，

只需保证|CE|-r=&PP|,

2

产/2\t

设p（Lj）,且C（5,o）,尸（1,0）,得E（L+_L」），

4822

得方程：—5）2+（\-0）2-26=:（［+1）（*），

V82224

其中|尸尸=2+1,反解得：产=4|P/q—4代入上式,

4

化简可得：I尸川=—^=6(2-6)=12-6月，

2+V3

显然12-6百/22-126，故D不正确.

【点睛】客观题圆锥曲线的综合性问题，多数考查数形结合思想，要善于借助圆锥曲线的定义转化条件和

问题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.随机变量x~N3/),若「(乂270)=2(乂<90)且玖72<乂<80)=0.3,则随机变量X的第80

百分位数是.

【答案】88

【解析】

【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出〃，再求出P(XV幻=0.8时的左即可.

【详解】随机变量x~N3b2),又P(XN70)=P(X<90),则A=80,

因此P(80<X<88)=P(72VX<80)=0.3,则P(X<88)=0.5+P(80<XK88)=0.8,

所以随机变量X的第80百分位数是88.

故答案为：88

——-——，〃为奇数，

13.记S.为数列｛a“｝的前”项和，已知4=<"("+2)贝1JS]o=.

qt，〃为偶数，

【解析】

【分析】注意到％*=。2*-1，％€河"，进一步由裂项相消法即可求解.

【详解】由题意%*=a2j，%wN",

一「c/、J111111

所以Ho=2（4+%+%+%+%）=2|r++---+——

11x33x55x77x99x11J

411111111110

―33557799U~11'

故答案为：一.

11

14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做

球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做

球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1,一个球面的半径为

R,球冠的高是力，球冠的表面积公式是S=2成以与之对应的球缺的体积公式是V=g7i/z2（3R—人）.如

7T

图2,已知CD是以AB为直径的圆上的两点，/4。。=/5。。=§,5扇形8°=6兀，则扇形COD绕

直线AB旋转一周形成的几何体的表面积为,体积为.

【答案】©.72兀+366兀②.14471

【解析】

【分析】首先求出NOOC,再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点。作CE1A3交A3于点E,过

点。作。尸，AB交AB于点口，即可求出CE、OE、AE.OF,BF、DF,将扇形C。。绕直线

AB旋转一周形成的几何体为一个半径R=6的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，再根

据所给公式分别求出表面积与体积.

TTTT'Ji

【详解】因为NAOC=NBOD=—,所以/。。。=兀一2乂一=—,设圆的半径为R,

333

1JT

又S扇形co。=6兀，解得R=6（负值舍去），

过点C作CE1AB交AB于点过点。作AB交AB于点产，

则CE=OCsin2=33，OE=OCcos-=3,

33

所以AE=H—OE=3,同理可得Z>F=3A/^，OF=BF=3,

将扇形COD绕直线AB旋转一周形成的几何体为一个半径R=6的球中上下截去两个球缺所剩余部分再

挖去两个圆锥，

其中球缺的高々=3,圆锥的高九=3,底面半径厂=3百，

则其中一个球冠的表面积H=2欣/?=2兀*6义3=36兀,球的表面积=4兀TP=4TIx62=144TI,

圆锥的侧面积S3=3^x6兀=18信，

所以几何体的表面积S=S2—24+2s3=144TI-2x3671+2x18岛=72兀+36岛，

又其中一个球缺的体积X=17i/i2（3i?-/i）=17ix32（3x6-3）=4571,

圆锥的体积匕=§兀义（3百）义3=27兀，球的体积％兀&兀*63=288兀，

所以几何体的体积V=匕-2匕-2V,=2887i-2x457i-2x277t=144K.

故答案为：72兀+366兀；14471

【点睛】关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积、体积要合

理转化.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知二ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且Z?=3,c=La=6cosB.

（1）求。的值：

（2）求证：A=2B；

⑶cos25一图的值

【答案】（1）2A/3

（2）证明见解析（3）20-G

6

【解析】

【分析】（1）根据条件结合余弦定理求解；

（2）由Q=6COS_B可得Q=2Z?COSJB,利用正弦定理结合0vAVTI,得证；

（3）由（1）可求得cosB,sin5,根据二倍角公式求得sin26cos26,再利用两角差的余弦公式求得结

果；或由余弦定理求得cosA,sinA,结合A=25,利用两角差的余弦公式运算得解.

【小问1详解】

^222

由。=6cos5及余弦定理，得0二6・幺二——,

lac

因为5=3,c=l,所以4=12,a=2y/3-

【小问2详解】

由Q=6COS5及Z?=3,得a=2/?cos5,

由正弦定理得sinA=2sinBcosB=sin2B,

因为0<A<7i,所以A=26或A+25=兀.

若A+25=7i,则5=C,与题设矛盾，因此A=26.

【小问3详解】

由（I）得cosB=q=3^=昱,因为0<8<兀，

663

所以sin3=^1-cos2B

2^21]

所以sin2B=2sinBcosB=-----，cos2B=2cos2B-l=——，

33

/71I（71i7171

所以cos2l1=cos\2B--\=cos2Bcos—+sinIBsin—

G2V212直-6

X1-----------X一=----------

I2326

1

d冷刀中不Ab?+c2—a1..r.2A12-\/2

另解：因为cosA=----------=一一,sinA=vl-cosA=Jl——=----，

2bc3V93

(兀)(兀)兀兀

所以cos2B---=cos2B—=cosAcos—+sinAsin—

I12JI6)66

G2V212V2-V3

---1-----x—=---------

2326

16.某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游.戏

规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复

以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位

于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失

败.

(1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X级台阶，求X的分布列及数学期望E(X)；

(2)①求一位同学参加游戏，他不能获得奖品的概率;

②若甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；

【答案】(1)分布列见解析；期望为7

⑵①土②吧

27729

【解析】

【分析】(1)设F=X—6,根据题意分析可知y~33,；,结合二项分布求分布列，进而可得期望;

(2)①结合概率乘法公式求单人不能获奖的概率，

②利用独立重复实验概率乘法公式求恰有一人获得奖品概率.

【小问1详解】

4221

由题意可知：每次掷骰子上两级台阶的概率为一=—,上三级台阶的概率为一=一,

6363

且X的可能取值为6,7,8,9,设F=X—6,

则有：p(x=6)=p(y=o)=仔)*,p(x=7)=尸(y=i)=c；x；x||J

P(X=8)=P(y=2)=CtxQjx|^|.

1

p(x=9)=p(y=3)=

27

所以X的分布列为:

X6789

8421

P

279927

Q421

X的数学期望£(X)=6x——+7x—+8x—+9x——=7.

v7279927

【小问2详解】

①因为位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品,

结合题意可知：若学员位于第10级台阶，则投掷3次后，学员位于第7级台阶，投掷第4次上三级台阶,

所以不能获得奖品的概率为"4收十2

②甲、乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率P=C；《x4184

27729

17.如图，在直三棱柱ABC-A4cl中，点£>,E分别在棱A4,CG上，

AD=2DACE=2EC,F为Bg的中点.

(1)在平面内，过A作一条直线与平面。跖平行，并说明理由；

(2)当三棱柱ABC-A4G的体积最大时，求平面与平面ABC夹角的余弦值.

【答案】(1)作直线A片即为所求，理由见解析

⑵源

29

【解析】

【分析】（1）连接AG交DE于点/，连接M/、AE，AB],即可证明四边形为平行四

边形，从而得到AM=MG,则MFHAB,,即可证明ABJ/平面DEF；

7T

（2）由匕gc-a4G=SABC.=3S.，又因为SABC=2sinNABC，则当NABCn,，即当

A313。时直三棱柱ABC-4与C的体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【小问1详解】

作直线A片即为所求，

连接AG交OE于点M,连接MF、AE>DC]、ABX,

因为AD=2£）A，C[E=2EC,

2

所以AD=C]E=§AA=2,又ADHC[E,所以四边形AZ）GE为平行四边形，

所以AAf=AfCi，又B[F=FC「所以板〃4耳，又Wu平面。跖，A&a平面。跖，

所以A3"平面DEF，

所以在平面AB4A内，过A作一条直线与平面平行的直线为A耳.

【小问2详解】

因为匕BC-A4G=S钻。,BB[=3S，

又因为S的。=gA3,sinNABC=2sinZA3C,

JT

所以当ZABC=5时SMe取最大值2,

即当A318C时直三棱柱ABC-A^C,的体积最大，

又5用_L平面ABC,AB,3Cu平面ABC,所以2耳，AB,BBt1BC,

如图建立空间直角坐标系，则。（2,0,2）,£（0,2,1）,-0,1,3）,

所以。回=（一2,2,-1）,EF=（O,-l,2）,

设平面DEF的法向量为〃=（羽%2）,

n•DE=—2x+2y—z=0

则,取〃=

n-EF=—y+2z=0

又平面ABC的一个法向量为加=（0,0,1）,

L12回

设平面D跖与平面ABC夹角为e,则帆・同[312爱]229

所以平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为2叵.

29

18.己知函数/(x)=x2(lnx+a),aeR.

(1)若a=l,求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)讨论/(%)的单调性；

(3)若存在西，马e(°，+s)，且西<%2，使得/(%)=/(%2)，求证：

【答案】(1)3x-y-2=Q

11

(2)函数/(幻在区间(0,屋”「5)上单调递减，在区间(eY-5,+8)上单调递增

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)分别求出/。)和/'(1)的值，求切线方程即可；

(2)求原函数Ax)导函数/'(X),构造函数。»=211^+24+1,借助其导数9(>)的符号，研究9(x)

的单调性及符号，/(%)的单调性即可解决；

(3)从/(%1)=/(x2)出发，将不等式x^(lnx1+a)<x?(lnx2+o)同构为

2(ln+a)

e2(m.q+a)2.(足芯+q)<e^2•(In马+。)的形式，设定%=2(ln为+d),t2=2(lnx2+a),只需证

：+?2<-2成立，构造函数GQ)=g«)—g(—2—f)je(—l,。)，用极值点偏移的方法解决问题即可.

【小问1详解】

当a=l时，/(X)=X2(1IIY+1),所以/⑴=1,

又/'(力=%(23+3),所以/'⑴=3,

曲线y=/⑴在点(1,/⑴)处的切线方程为：3x—y—2=0；

【小问2详解】

因为x>0,且/'(x)=2x(lnx+a)+x=x(21nx+2a+l),

2

令°(x)=21nx+2a+l,(p'(x)=—,因为x>0,(p'(x)>0,

x

即函数9(x)在(0,+oo)上单调递增,

由。(x)=21nx+2a+l=。，得一。一")，

A-C

11

所以函数9(X)在(0,e-0-2)上小于零，在(屋“-5,+8)上大于零，

因为x>0,/'(X)的符号和函数9(x)的符号一致，

11

所以函数/(X)在区间(0,屋"5)上单调递减，在区间(e^-^+oo)上单调递增;

【小问3详解】

因为/(e-“)=(e-“)2(lne+a)=0,

所以xe(0,e-")时，lnx+a<lne-"+a=O，且f2〉。，

则x2(liu+a)<0,即/(x)<0,

若/(%)=/(9),且%e(Q+°°)，石<々,

__i1

所以0<西<e"2，取自然对数得：ln%<—a—5<lnx2<—a，

即2(lnx1+a)<-l<2(lnx2+(2)<0,

由/(%)=/(犬2)得：+a)=¥(ln%2+。)，

lnx2a2

即e'(In玉+a)e=e*(Inx2+«)e%

2+a)

所以e2(inA1+«),2(in%1+a)=e^，.2(lnx2+a),

令4=2(ln玉+a),t2=2(lnx2+a),

设g«)=%e'1<0,所以g'⑺=Q+l)e'，

所以/e(—oo,—1)时,g'⑺<0,函数g«)单调递减；

，e(—1,0)时，g'«)>0,函数g«)单调递增；

下面证明：t1+t2<—2,又/2〉—1,即证:<—2—巧<—1,

即证g(G>g(-2-^2)，即证g«2)>g(-2一片2)，

令G«)=g⑺-g(-2-)小(-1,。)，

G")=g'(t)-gX-2-t)=(t+l)(eJef>0,

所以G⑺在区间(-1,0)上单调递增，

所以G«)>G(—1)=。，从而得证；

故2(ln%+a)+2(lnx2+a)<-2,

即In%4<-2a-l,所以0cxi巧<-21,

所以「一<e2"i,得证.

【点睛】思路点睛：极值点偏移是一种最常见的考法，其解题步骤大致分为3步，第一步：代根作差找关

系，第二步：换元分析化结论，第三步：构造函数证结论.

19.动圆。与圆G：(x+2)2+V=50和圆。2：(%-2-+产=2都内切，记动圆圆心C的轨迹为艮

(1)求E的方程；

(2)已知圆锥曲线具有如