上海市宝山区扬波中学2025届数学高一下期末教学质量检测试题含解析

上海市宝山区扬波中学2025届数学高一下期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知a,,且,若对,不等式恒成立,则的最大值为()A． B． C．1 D．2．函数的图象与函数的图象交点的个数为（）A． B． C． D．3．在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．4．椭圆以轴和轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（）A． B．C．或 D．或5．如果直线l过点（2，1），且在y轴上的截距的取值范围为（﹣1，2），那么l的斜率k的取值范围是（）A．（，1） B．（﹣1，1）C．（﹣∞，）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6．设向量，，若三点共线，则（）A． B． C． D．27．是等差数列的前n项和，如果，那么的值是()A．12 B．24 C．36 D．488．点到直线的距离是（）A． B． C．3 D．9．在中，角所对应的边分别为，且满足，则的形状为（）A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等边三角形10．设向量满足，且，则向量在向量方向上的投影为A．1 B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=.12．公比为的无穷等比数列满足：，，则实数的取值范围为________.13．在长方体中，，，，如图，建立空间直角坐标系，则该长方体的中心的坐标为_________．14．计算：______．15．（如下图）在正方形中，为边中点，若，则__________．16．已知实数满足则的最小值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数的取值范围；（3）若方程在区间上有两个相异的解、，求的最大值.18．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值.19．在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，求.20．已知等比数列的公比，前项和为，且满足.，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）若，的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围.21．已知角的终边经过点，且．（1）求的值；（2）求的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

由，不等式恒成立，得，利用绝对值不等式的定理，逐步转化，即可得到本题答案.【详解】设，对，不等式恒成立的等价条件为，又表示数轴上一点到两点的距离之和的倍，显然当时，，则有，所以，得，从而，所以的最大值为1.故选：C.【点睛】本题主要考查绝对值不等式与恒成立问题的综合应用，较难.2、D【解析】

通过对两函数的表达式进行化简，变成我们熟悉的函数模型，比如反比例、一次函数、指数、对数及三角函数,看图直接判断【详解】由，作图如下：共6个交点，所以答案选择D【点睛】函数图象交点个数问题与函数零点、方程根可以作相应等价，用函数零点及方程根本题不现实，所以我们更多去考虑分别作图象，直接看交点个数.3、C【解析】

由题，连接，设其交平面于点易知平面，即（或其补角）为与平面所成的角，再利用等体积法求得AO的长度，即可求得的长度，可得结果.【详解】设正方体的边长为1，如图，连接，设其交平面于点，则易知，，又，所以平面，即得平面.在三棱锥中，由等体积法知，，即，解得，所以.连接，则（或其补角）为与平面所成的角.在中，.故选C.【点睛】本题考查了立体几何中线面角的求法，作出线面角是解题的关键，求高的长度会用到等体积法，属于中档题.4、C【解析】

由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即，又椭圆经过点(2，0)，分类讨论，即可求解.【详解】由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即，又椭圆经过点(2，0)，则若焦点在x轴上，则，，椭圆方程为；若焦点在y轴上，则，，椭圆方程为，故选C．【点睛】本题主要考查了椭圆的方程的求解，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5、A【解析】

利用直线的斜率公式，求出当直线经过点时，直线经过点时的斜率，即可得到结论.【详解】设要求直线的斜率为，当直线经过点时，斜率为，当直线经过点时，斜率为，故所求直线的斜率为.故选：A.【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．6、A【解析】

利用向量共线的坐标表示可得，解方程即可.【详解】三点共线，，又，，，解得.故选：A【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，需掌握向量共线，坐标满足：，属于基础题.7、B【解析】

由等差数列的性质：若m+n=p+q,则即可得.【详解】故选B【点睛】本题考查等比数列前n项和的求解和性质的应用，是基础题型，解题中要注意认真审题，注意下标的变化规律，合理地进行等价转化.8、D【解析】

根据点到直线的距离求解即可.【详解】点到直线的距离是.故选：D【点睛】本题主要考查了点到线的距离公式,属于基础题.9、A【解析】

由正弦定理进行边化角，再由二倍角公式可得，则或，所以或，即可判断三角形的形状.【详解】由正弦定理得，则，因此在中，或，即或.故选：A【点睛】本题考查利用正弦定理进行边角互化，判断三角形形状，属于基础题.10、D【解析】

先由题中条件，求出向量的数量积，再由向量数量积的几何意义，即可求出投影.【详解】因为，，所以，所以，故向量在向量方向上的投影为.故选D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，熟记平面向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】试题分析：因为所以考点：向量数量积及夹角12、【解析】

依据等比数列的定义以及无穷等比数列求和公式，列出方程，即可求出的表达式，再利用求值域的方法求出其范围。【详解】由题意有，即，因为，所以。【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用以及基本函数求值域的方法。13、【解析】

先求出点B的坐标，再求出M的坐标.【详解】由题得B(4,6,0),,因为M点是中点，所以点M坐标为.故答案为【点睛】本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14、【解析】

在分式的分子和分母中同时除以，然后利用常见的数列极限可计算出所求极限值.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.15、【解析】∵，根据向量加法的三角形法则，得到∴λ=1，．则λ+μ=．故答案为．点睛：此题考查的是向量的基本定理及其分解，由条件知道，题目中要用和，来表示未知向量，故题目中要通过正方形的边长和它特殊的直角，来做基底，表示出要求的向量，根据平面向量基本定理，系数具有惟一性，得到结果．16、【解析】

本题首先可以根据题意绘出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何性质，找出目标函数取最小值所过的点，即可得出结果。【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值，即。【点睛】本题考查根据不等式组表示的平面区域来求目标函数的最值，能否绘出不等式组表示的平面区域是解决本题的关键，考查数形结合思想，是简单题。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）；（3）；【解析】试题分析：(1)时，由已知得到;(2)方程有实数解即a在的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.试题解析：（1），或；（2）（3）因为方程在区间上有两个相异的解、，所以18、（1）；（2），.【解析】

（1）利用二倍角余弦、正弦公式以及辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用周期公式可计算出函数的最小正周期；（2）由计算出的取值范围，然后利用正弦函数的性质可得出函数在区间上的最大值和最小值.【详解】（1），因此，函数的最小正周期为；（2），，当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值.【点睛】本题考查三角函数周期和最值的计算，同时也考查了利用二倍角公式以及辅助角公式化简，在求解三角函数在定区间上的最值问题时，首先应计算出对象角的取值范围，结合同名三角函数的基本性质来计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.【详解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20、(1).(2)；(3)【解析】

（1）利用等比数列通项公式以及求和公式化简，得到，由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，利用等差数列的定义可得，化简即可求出，从而得到数列的通项公式．（2）由（1）可得，利用错位相减，求出数列的前项和即可；（3）结合（1）可得，利用裂项相消法，即可得到的前项和，求出的最大值，即可解得实数的取值范围【详解】（1）由得，所以，由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，得，即，即，即，因为，所以，所以.（2）由于，所以，所以，，两式相减得，，所以（3）由知，∴，∴，解得或.即实数的取值范围是【点睛】本题考查等比数列通项公式与前项和，等差数列的定义，以及利用错位相减法和裂项相消法求数列的前项和，考查学生的计算能力，有一定综合性．21