2020-2021高中人教版数学4学案：14正切函数的性质与图象

1.4o3正切函数的性质与图象

考试标准

知识导图

学法指导

1.学习本节内叁时要重点关注正切函数的定义域，会用“三点

两线法”画正切函数的图象、

2、从正切函数的几何画法体验直线x=±错误!为正切函数图象

的两条“渐近线”，进一步体会正切函数的值域为（-8,+8）。

惘/川川川川州"川明州川川州加川州川川川伽伽,E3团目EltFiT匕卜学I习11川川川川川川川川川川川川川川川川川川川团川川川川川h

函数y=tanx的图象与性质

解析

y=tanx

式

图象J.

7%°\(\X

定义

错误！

域

值域R

周期兀

奇偶

奇的教

性

单调

在开区间错误!，Z：£Z上都是增函教

性

错误！如何作正切函数的图象

(1)几何法

就是利用单枝圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法

作图较为精确，但画图时较烦琐,

(2)“三点两线”法

"三点是指错误！，(0,0),错误！；"两线是指X=一错误!和*二错误!.

在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切

函数在错误!上的简图，然后向右、向左方展即可得到正切曲线、

【小试身手］

L判断下列命题是否正确。(正确的打“4”，错误的打"X”)

71

(1)函数y=Atan(①x+9)的周期公式t为7二1.()

(2J正切函数在R上是单调通增函数、()

(3)正切函教是奇函数，原点是唯一的一个对称中心)

答案:(l)x(2)x(3)x

2、下列说法正确的是()

A、y=tanx是增函教

B,y=tanx在第一象限是增函教

C、y=tanx在某一区间上是减函数

D、y=tanx在区间错误!上是增函教

解析：由正切函数的图象可知D正确，

答案：D

3、函数y=tan错误!的定义域是（）

A.错误！Bo错误！

Co错误！D。错误！

解析：由X+错误!小兀+错误!，左GZ,得芍出1+错误!，kGZ。

答案：D

4、已知的数/（X）=tan错误!，则函数凡㈠的最小正周期为

（）

Ao错误！Bo错误！

C.兀D、2兀

解析:解法一函数y=tan（Gx+夕）的周期T二错误!，可得了

=错误！=错误！.

解法二由诱导公式可得tan错误！

=tan错误！=tan错误！，

所以肉误！=/（、），所以周期为7=错误!。

答案:B

W川"〃川川川川川"川川川川川川川川川川川川川川川川川,陶图陶陶•困养I提I升I中川川〃川川川“川川川川川川川“川川I川川""川川川川川I

类型一求函数的定义域

例1求下列函数的定义域：

（l）y=错误！；

（2）y=1g（错误!-tanx）、

【解析】⑴要使函教》=错误!有意义，

需使错误！

所以函数的定义域为

{xIx£R且没E左兀+错误!工人£Z.

（2）要使y=lg（错误!-tanx）有意义，需使错误!，

所以函数的定义域是错误!.

求国数的定义域注意函数中分母不等于0,真教大于0,正

切函数中的x^kzr+错误!，k£Z等问题.

方法归纳

求正切函数定义域的方法

求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的

一般要求外，还要保证正切函数y=tanx有意义即没错误！+

ht,kRZ。而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求

解.

跟踪训练1（D函数y=IdllA的定义域为（）

A.1如#01

B、/兀，k^Zj]

C.

错误！

Do错误！

（2J求函数y=错误！+lgfl-tanx）的定义域.

解析：ClJ函数y=错误!有意义时，需使错误！

所以函数的定义域为1升/左兀+错误!，且中左兀，％wz_?=

[x|没错误!，左金Z_?.

（2）由题意得错误!即一iStanx<1.

在错误！内，满足上述不等式的x的取值范围是[一错误!，错误!）。

又y=tanx的周期为兀，所以所求函数的定义域是错误!（左£Z）、

（1J分母不等于0

（2）偶次根式极开方数大于等于0

(3J真数大于0

(4J正切函数xrk;r+错误!,k£Z

类型二正切函数的单调性及其应用

例2求函数y=tan错误!的单调区间.

【解析】y=tan错误！=-tan错误！。

由一错误！+kn<3x-错误！〈错误！+E(左£Z),得一错误！+错误!<X<错误！

+错误！(kO、

所以函数y=tan错误！的单调遹减区间为(一错误！+错误!，错误！+错误!)

(kb)、

错误！先利用诱导公式将函数转化为y=-勿〃错误!,再由一错误！

+k〃<3x—错误!<错误！+kTr(kWZ)解出x即可、

方法归纳

(1J运用正切函数单调性比较大小的方法

①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.

②运用单调性比较大小关系.

(2)求函数y=Atan((za+°)(A,口刈都是常数)的单调区间的

方法

①若①〉0,由于y=tanx在每一个单调区间上都是增函教，

故可用"整体代换”的思想，令女兀一错误！〈①x+°<E+错误!，

解得x的范围即可.

②若①〈0,可利用诱导公式j先把y=Atan(a)x+cp)转化为y

=Atan[-(-cox-(p)l--Atan(-cox-(p\即杷x的宗教化

为正值，再利用“整体代换''的思想，求得x的范围即可、

跟踪训练2本例(2)函数变为y=tan错误!，求该函数的单调

区间、

解析:y=tan错误！=-tan错误!，

由E一错误！〈错误!x一错误！〈人兀+错误！，左6Z,

得2E—错误!<x<2E+错误!兀，女WZ,

所以函数y=tan错误!的单调遹减区间是(2kn一错误!，2kn+错误！

71),kGZ。

类型三正切函数图象与性质的综合应用

例3设函数/(x)=tan错误!.

(1)求函数式幻的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；

(2J求不等式一19(x)秘向的解集、

【解析】⑴由错误！-错误!#错误！+E(%£Z)、

得x#错误!+2E(k^Z)、

所以火x)的定义域是

5兀_

[x|%#^~+2%兀]，Z.

因为①二;，所以最小正周期T=错误！=错误！=2兀。

由一错误！+E〈错误！一错误！〈错误！+E(左£Z),

得一错误！+2E〈X〈错误！+2Z兀(kRZ)、

所以函数人工)的单调遹增区间是

错误！2£Z)、

由错误！一错误！=错误!(左£Z),得X=E+错误!兀(kRZ)，故的教/

G)的对称中心是错误!，左£Z.

(2J由一iStan错误!S错误！，

得一错误！+劝区错误！一错误!S错误！+E(左£Z),

解得错误！+2射区烂错误！+2E(kEZ)、

所以不等式-igOU0向的解集是

{x|错误！+2ES烂错误！+2kn],%eZ.

由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易读点.

由山〃错误!的范囹确定错误！一错误!的范围是本题的难点.

方法归纳

解答正切函数图象与性质问题应注意的两点

（1）对称性：正切函数图象的对称中心是错误!不存在

对称轴、

（2）单调性：正切函数在每个错误！r%£z）区间内是单调遹

增的，但不能说其在定义域内是遹增的,

跟踪训练3已知。金错误!，且1+tanaNO,则角a的取值范

国^_________,

解析：1+tan«>0,所以tan«>-1,

作出正切函数y=tana,>=-1的图象，由图象可得，

当a£错误!时，满足不等式的角。的范围是错误!Sa〈兀，

即。的取值范围是错误!o

答案：错误！

对于不等式3wiNa,作出正切函数的图象，作出y=a的图

象，借助图象观察已知范围内，满足不等式的角a的范围.

1.4.3

I川川川川卅卅〃川川卅卅川W"川"川川川川川川川川川川卅多E3EJK3E3•囹亚画标］I川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川h

［基础巩固J（25分钟，60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1、函数,/（x）=tan错误!的最小正周期为（）

A.错误！Bo错误！

C、兀D、2兀

解析：方法一函数/（x）=tan（c”+9）的周期是T二错误!，

直接利用公式，可得7=错误！=错误!。

方法二由诱导公式可将tan错误！=tan错误！=tan错误!，

所以再误！=/（%）,所以周期7=错误!.

答案：A

2、函数y二错误！（一错误!<x<错误!）的值域是（）

A、C-1,1）B、C-oo,-1JUfl,+oo）

c、（—oo,ijD、r—i,+8）

71.

解析：,••一^<"<错误！''-l〈tanx〈l，:•错误！金（一8,-1）U（1,

+oo）,故选B.

答嚎：B

3、已知a=tan2,Z?=tan3,c=tan5,不通过求值，判断下

列大小关余正确的是（）

A、a>b>cBka<b<c

C、b>a>cD、b<a<c

解析：tan5=tan［TI+（5-兀）］=tan（5-兀），由正切函数在

错误!上为增函数且兀>3>2>5一兀〉错误!可得tan3>tan2>tan（5-兀）、

答案：C

4、函数y=3tan2x的对称中心为（）

Ao错误!（左£Z）Bo错误!（左WZ）

Co错误!（％£Z）Do错误!（左金Z）

解析：令2x=错误！（k^Z）,得x=错误！（kRZ）,则函数y二

3tan2x的对称中心为错误！（kRZ）,故选B.

答嚎：B

5、下列关于函数y=tan错误!的说法正确的是（）

A、在区间错误!上单调遹增

B、最小正周期是兀

C、图象关于点错误!成中心对称

D、图象关于直线X二错误!成轴对称

解析：令E一错误!＜x+错误!＜%兀+错误！，解得E一错误！〈X〈左兀+

错误!，％£Z,显然错误!不满足上述关索式，故A错误；易知该函

数的最小正周期为兀，故B正确；令X+错误！=错误!，解得x二错误！一

错误!，kRZ,任取左值不能得到X=错误!，故C错误；正切函数曲

线没有对称轴，因此函数y=tan错误!的图象也没有对称轴，故D错

误、故选B.

答案：B

二、埴会题（每小题5分，共15分）

6、函数y=tan错误!的定义域为、

斛折：由错误！+6电纸兀+错误！（攵£Z）,得/错误！+错误！

答嚎：错误!

7、函数y=3tan（兀+x）,一错误!＜启错误！的值域为、

解析：函数y=3tan（兀+%）=3tanx,因为正切函数在错误!上是

增函数，所以一3〈乃错误!，所以值域为（-3,错误!N

答嚎：（-3,^3]

8、比较大小：tan135°tan138%（填“〉”或“〈"）

解析：因为90。＜135。＜138。＜270。，又函数y=tanx在区间错误!

上是增函教，所以tan135°＜tan138°.

答嚎：＜

三、瞥答题(每小题10分，共20分)

9、画出函数y=|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间

和奇偶性.

解析：由函数y=Itanx|<

y=错误！

根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图、

由图象可知，的数y=|tanx|是偶函教.

函数y=|tanx|的单调增区间为错误!,左£Z,单调减区间为错误!,

kb.

10,不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小：

(l)tan错误！与tan错误!；

(2)tan错误！与tan错误！。

解析：(1)因为tan错误！=tan错误！，tan错误！=tan错误！，

又。〈错误！〈错误!〈错误！，y=tanx在错误！内单调遹增，

所以tan错误！〈tan错误!，即tan错误!<tan错误！。

(2)因为tan错误！=一tan错误！，tan错误！=一tan错误!，

又0〈错误！〈错误！〈错误!，y=tanx在错误！内单调遹增，

所以tan错误!〉tan错误!，所以一tan错误！〈一tan错误！，

班？tan错误!<tan错误!.

E能力提升］(20分钟，40分)

11.如果函数y=tan(x+9)的图象经过点错误!，那29可能是

()

A'一错误！B'一错误！

Co错误！Do错误！

解析：y=tan(x+9)的图象经过点错误!，

「・1@11错误！=0,即错误！+个=%兀,左£Z,贝19=%兀一错误！，

当％=0时,夕=一错误!，故选A。

答案：A

12、已知函数》=tan①x在错误!内是单调减函数，则g的取值

花围是__________、

解析：函数y=tan①不在错误!内是单调减函数，则有①<0,且周

期它错误！一错误！=兀，即错误!汐，故|训31,

—lSC9<0o

答嚎：［-1,0；

13、(1J求y=tan错误!的单调区间；

(2)比较tan错误!兀与tan错误!的大小、

解析：(1)由题意，E一错误！〈错误!X+错误!<左兀+错误！，kGZ,

即kn-错误!<错误!+错误！,%£Z。

所以2%兀一错误!<x〈2%兀+错误!,左£Z,

故单调增区间为错误!(ZWZ).

(2)tan错误!兀=tan错误！=tan错误！，

tan错误！=-tan错误!兀