2023年河南省周口市西华高考压轴卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设非零向量7，b>C,满足|刈=2,m=1,且5与汗的夹角为则“|力」|=百”是“。=?”的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知a,6是两条不同的直线，a,是两个不同的平面，且aua,bc.fi,allfi,b//a,则“a〃b”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知直线y=&（x-1）与抛物线C：/=4x交于A,5两点，直线（x-2）与抛物线O：产=心交于加，N

两点，设2=|ABL2|MN|,贝U（）

A.2<-16B.2=-16C.-120VoD.2=-12

4.半径为2的球。内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）

A.9x/3B.1273C.16也D.1873

5.集合4=1,2一］一2<0},5={x|x-l<0},则AUB=()

A.|x|x<1}B.|x|-l<x<l}

C.|x|x<2jD.{止2«x<l}

22

6.已知双曲线C:=l（6f>0,Z?>0）,。为坐标原点,1、工为其左、右焦点，点G在C的渐近线上，FG±OG

a2b22f

且遍|06|=|6耳|,则该双曲线的渐近线方程为（）

A.v=+——XB.y=+-——xC.y=±xD.y=±5/2x

22

22

7.设K，K分别是双曲线»l（a>0点>0）的左右焦点若双曲线上存在点P,使4艺=60。，且四|=2|明,

则双曲线的离心率为（）

A.6B.2C.75D.V6

8.已知。>0,/(x)=or2-x+l(x>0),A={x|/(x)«x},8={x]/(7(x))W/(x)«x},若A=则实数〃的

取值范围是()

33

A.(0,1]B.(0,-]C.[-,1]D.[1,-Foo)

9.已知数列{%}为等差数列，S,为其前〃项和，4+4一%=3,则S,=()

A.42B.21C.7D.3

10.已知集合人=也Ix〉0},B={xIx?-x+b=0},若Ac8={3},贝%=()

A.-6B.6C.5D.-5

11.已知i为虚数单位，若复数z满足-2—=2—i,则2=()

1+21

A.1+iB.-1+iC.l-2iD.l+2i

12.执行如图所示的程序框图，如果输入fe[-2,/],则输出S属于()

A.[-3,2]B.[42]C.[0,2]D.[-3,e2]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知半径为R的圆周上有一定点A,在圆周上等可能地任意取一点与点A连接，则所得弦长介于R与GR之间

的概率为.

14.某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生

在样本中，则样本中还有一个学生的编号是.

15.已知函数/(%)=Acos2(8+夕)+11A〉Q,co>Q,0<(p<^的最大值为3,/(x)的图象与y轴的交点坐标为

(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则/(1)+〃2)+…+”2015)=

16.一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知/(幻=%3+3狈2+法+。2(。>])的图象在％=—1处的切线方程为y=o.

(1)求常数。力的值；

(2)若方程/(x)=c在区间[-4,1]上有两个不同的实根，求实数c的值.

18.(12分)如图，在四面体£)48。中，ABLBC,DA=DC=DB.

(1)求证:平面ABC_L平面AC。；

(2)若NC4D=30。，二面角C—A3-。为60。，求异面直线AO与8C所成角的余弦值.

19.(12分)已知函数/(》)=/一a&R.

(1)当a=4时，求函数/(x)的值域；

(2)3xoe[O,2],/(x0)>«|x0+l|,求实数。的取值范围.

223

20.(12分)已知椭圆C:三r+方v=13>。〉0)过点(I,])且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为

273.

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)设A是椭圆的左顶点，过右焦点尸的直线4,与椭圆交于P,Q,直线AP,A。与直线4：x=4交于M,N,

线段MN的中点为E.

①求证：EF±PQ.

S.

②记VPQE,/\PME,AONE的面积分别为'、$2、S3,求证：不彳为定值.

>2+

c17

21.(12分)已知函数/(不)=3以2—(。-1)%—lnx(awR,awO)

(1)求函数Ax)的单调递增区间

(2)记函数y="x)的图象为曲线C,设点4玉,%),3(々,必)是曲线C上不同两点，如果在曲线C上存在点

Ma。,%)，使得①/="殳；②曲线C在点M处的切线平行于直线48,则称函数存在“中值和谐切线”，当a=2

时，函数f(x)是否存在“中值和谐切线”请说明理由

22(Uy\(五、

22.(10分)已知椭圆：。：三+[=1(。＞匕＞0),四点爪1,1),£(0,1),6一1,一,P&1,一中恰有三

ab\?\?

点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左右顶点分别为A6.P是椭圆C上异于A6的动点，求NAPB的正切的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

利用数量积的定义可得。，即可判断出结论.

【详解】

解：\b-a\=＞/3，•*-b2+a2-2a^=3,22+l-2x2xlxcos0=3,

1j[

解得cos6=—,6e[0,乃],解得。=—,

23

二“|力一5|=唐"是“=y”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

2.D

【解析】

根据面面平行的判定及性质求解即可.

【详解】

解：QUQ,buff,a//p9b//a9

由a〃儿不一定有々〃/?,a与“可能相交;

反之，由a〃夕，可得a〃b或a与b异面，

...a,〃是两条不同的直线，a,“是两个不同的平面，且aua,be./1,a//（i,b//a,

则"a〃*是"a〃/T的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题.

3.D

【解析】

分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得|AB|=4+q,|4邳=4+2，然后计算，可得结果.

【详解】

设4（%,凶）,3（%2，%），

y=Kx-l）\

联立j2_4nkX_（2左2+4）%+左92=0

m.l2&~+4=2+5

则x+%2=

因为直线了=%（》—1）经过C的焦点，

所以[4邳=玉+X2+P=4+—.

K

2

同理可得iMNlng+A，

K

所以;1=4—16=—12

故选：D.

【点睛】

本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

4.B

【解析】

设正三棱柱上下底面的中心分别为日，底面边长与高分别为x,/z,利用。*=00；+QA2,可得配=16-：/,

进一步得到侧面积S=3xh,再利用基本不等式求最值即可.

【详解】

如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为a，o?,底面边长与高分别为乂力，则O,A=Y3X,

-3

卜2丫2A

在RdOAQ中，—+—=4,化为力2=16—二元2,

43

,/S-3xh,

x2+12-X2

S2=9x2h2=l2x2(12-x2),,12=432,

2

当且仅当》=卡时取等号，此时S=126.

故选：B.

【点睛】

本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.

5.C

【解析】

先化简集合A,B,结合并集计算方法，求解，即可.

【详解】

解得集合A=卜卜一2)(x+1)<0}={^|-1<x<2},B={x|x<1}

所以AU8={HX〈2},故选C.

【点睛】

本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B,难度较小.

【解析】

根据与GLOG,先确定出GE，G。的长度，然后利用双曲线定义将&|06|=|3/;；|转化为。,6,，的关系式，化简

后可得到2的值，即可求渐近线方程.

a

【详解】

如图所示：

又因为〃|OG|=|G用，所以6同=|百所以指口可=|百+钦

所以6|砺(=|不2+钮『，所以6a2=/+4c2+»x2cxcos(18()o-NGK耳),

所以6。2=〃+4c2+28x2cx(-2),所以从=2a2,--y!2,

所以渐近线方程为y=±0x.

故选：D.

【点睛】

本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.

7.A

【解析】

由归制=2归段及双曲线定义得归用和伊玛|(用。表示)，然后由余弦定理得出c的齐次等式后可得离心率.

【详解】

由题意力尸耳|=2|尸闻，.•.由双曲线定义得|尸周一|尸周=2,从而得|尸£|=4匹|尸周=,,

在居中，由余弦定理得(2c)2=(4a)2+(2a)2-2x4“x2acos60°,化简得e=£=J5.

a

故选：A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用。表示出P到两焦点的距离，再由余弦定理得出c的齐

次式.

8.C

【解析】

根据得到/0)=0?一%+148有解，则A=4-4aN0,得0<aWl,苍=1一'一"，x,="一”，得

a~a

到A={x"(x)Kx}=［和x,］=［上正4,匕正,再根据B={x\f(f(x))</(x)<x},有/(/(X))</(%),

aa

即a(如2—%+1)2—2(以2—x+l)+l«O,可化为(以2—2%+1)(//+。—1)40,根据A=8H°,贝！］

a2x2+«-1>()的解集包含［匕业-al+E］求解,

aa

【详解】

因为A。。，

所以/(x)=G?-x+l<X有解，

即f(x)=ax2-2x+\<。有解，

1-y/l-a1+yJ\-a

所以A=4—4。20,得0<a«l,,x2—

a

所以A={x\f{x)<x］=［%］，%2］=J-,

aa

又因为B={x\f(f(x))<又因<x］,

所以

即a(izx?-x+1)一一2(ax~-x+l)+l〈O,

可化为(以2—2x+l)(a2x2+«—1)<0,

因为A=8声。，

所以a2x2+«-l>0的解集包含［匕正2,1±2叵j,

aa

所以1+y/l­a<71-a或1-Jl-a>Jl-a

aaaa

解得沁”

故选：C

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题,

9.B

【解析】

利用等差数列的性质求出«4的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出S7的值.

【详解】

由等差数列的性质可得。6+。3-。5-%=3,

返国=*=7x3=21.

722

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.

10.A

【解析】

由AcB={3},得3e8,代入集合B即可得6.

【详解】

•••AcB={3},.•.3eB,.•.9—3+匕=0,即：b=-6,

故选：A

【点睛】

本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.

11.A

【解析】

分析：题设中复数满足的等式可以化为Z=-9—+"利用复数的四则运算可以求出z.

1+2<

详解：由题设有彳=二一+»=1-2，+»=1-"故z=l+i,故选A.

1+2«

点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共物复数，属于基础题.

12.B

【解析】

厂+2f—3,tG[—2,11

由题意，框图的作用是求分段函数5。)={「if」的值域，求解即得解.

Inf,te11,ej

【详解】

由题意可知，

厂+2f—3,tG[―2;11

框图的作用是求分段函数5(/)=「L,]■'的值域，

InZ,eJ

当fe[-2,l),Se[-4,0)；

当」e[l,e2],Se[0,2]

综上：5e[-4,2].

故选：B

【点睛】

本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.—

3

【解析】

在圆上其他位置任取一点B,设圆半径为R,

其中满足条件AB弦长介于R与G/?之间的弧长为；・2?rR，

则AB弦的长度大于等于半径长度的概率p=；2%!,

故答案为：

14.18

【解析】

根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编

号.

【详解】

解：根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，

已知其中三个个体的编号为5,31,44,

故还有一个抽取的个体的编号为18,

故答案为：18

【点睛】

本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.

15.4030

A+l=3

AAAA

【解析】/(X)=AcOS2((UX+^)+1=yCOS(2ft!X+2^)+—+1,由题意，得＜/(0)=5cos2°+5+1=(),

工-三=2

.22co

A=2

TT

解得\(P=—则/(x)=cos(|x+])+2=2—sin]x的周期为4,且/(0)=2,/(l)=l,/(2)=2,/(3)=3,所

4

4

co=—

以/(1)+/(2)+/(3)+-••+/(2015)=503x8+/(1)+/(2)+/(3)=4030.

考点：三角函数的图像与性质.

“27兀

16.

4

【解析】

一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均

等于长方体的体对角线的长，长方体的体对角线的长为《+22+22=3，所以容器体积的最小值为兀Xg)2X3=子.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

a=2

17.(1)〈；(2)c=0或c'=4.

b=9

【解析】

(1)求出了‘(X),由广(—1)=0,/(—1)=0,建立。力方程求解，即可求出结论;

(2)根据函数的单调区间，极值，做出函数在［-4J的图象，即可求解.

【详解】

(1)ff(x)=3x2+6ar+b,由题意知

\f(-D=0^3-6a+b-0

/(-D=0=-\+3a-b+a2=0'

a=\a=2

解得《,c(舍去)或〈

b=3b=9

(2)当。=21=9时，f\x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1)

故方程f\x)=0有根，根为x=—3或x=—1,

Xy,-3)-3(-3,-1)-1(-1,+00)

/'(X)+0-0+

/(X)极大值极小值

由表可见，当x=—1时，Ax)有极小值0.

由上表可知.f(x)的减函数区间为(-3,-1),

递增区间为(-8,-3),(-1,+«)).

因为/(T)=0,/(-3)=4,/(-1)=0,/(0)=4,

/(I)=20.由数形结合可得「=0或C=4.

本题考查导数的几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档

题.

18.(1)证明见解析

(2)上

6

【解析】

(D取AC中点E连接产。,/由，得DF_LACBC,可得石4=fB=FC,

可证ADEA且△£)口?,可得。尸_1_£6,进而。尸，平面ABC,即可证明结论；

(2)设E,G,"分别为边A8,CD,B。的中点，连DE,EF,GF,FH,HG,可得GE//AD,GH//BC,EF//BC,

可得NFGH(或补角)是异面直线AO与BC所成的角，BC1AB,可得£F_LAB,NDEF为二面角C-AB—D

的平面角，即ZDEF=6(y,设">=〃，求解AFG”，即可得出结论.

【详解】

(1)证明:取AC中点/，连接ED,EB,

由ZM=OC,则。E_LAC,

\AB±BC,则E4=FB=bC,

71

故&DF哙GFB,NDFB=NDFA=—,

2

•「DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

.•.£)F_L平面ABC,又。Eu平面AC£),

故平面ABC_L平面AC。

(2)解法一:设G,”分别为边CO,BD的中点，

则FG//AD,G”//BC,

ZFGH(或补角)是异面直线AD与BC所成的角.

设E为边A8的中点，则石F//3C,

由A8J.BC,知

又由(D有平面ABC,..QE_LAB,

m0。/=fAB，平面DEF,：.DE±AB.,

所以NDE尸为二面角C—A3-。的平面角，.•./DEE=60，

设DA=DC=DB=a,则OE==0

2

在RtADEF中,EFa

236

从而GH=-BC=EF^—a

26

在RNBDF中,FH=-BD=-,

22

又

22

从而在△EG"中，因FG=FH,

-GHn

：.cosZFGH=2——=—'

FG6

因此，异面直线AO与8C所成角的余弦值为正.

解法二:过点/作短0_LAC交A3于点M,

由(D易知两两垂直，

以尸为原点，射线河分别为“轴，

)'轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系尸-孙z.

不妨设45=2,由CO=A£>,NC4£>=30°,

易知点A,C,D的坐标分别为A(0,-V3,0),C(0,百,0),0(0,0,1)

则击=(0,73,1)

显然向量1=(0,0,1)是平面ABC的法向量

已知二面角C-4B-。为60°,

设B(〃?,〃,0),则m2+n2=3,AB=(m,n+百,0)

设平面ABO的法向量为n=(x,y,z),

(AD-n=OGy+z=0

则一n

ABn=0/nr+(〃+6)y=。

-(n+-73/r

令y=l,贝||〃=--------,1,73

Im)

|Tn|

cos<k,n>=

〃+省.2

由

MW4+

m)

由上式整理得9"+2岛-21=0.

解之得〃=-百(舍)或〃=毡

9

‘4瓜2G'

，小半，呼斗而i?——,u，

99

2

,—।ADCB3_B

\cos<AD,CB>=_____-应飞

11ADCB2x

3

因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为正

6

【点睛】

本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空

间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.

3

19.(1)[-9,+co)；(2)一8,二.

4

【解析】

(1)将。=4代入函数》=/(6的解析式，将函数y=/(x)的及解析式变形为分段函数，利用二次函数的基本性质

可求得函数y=/(x)的值域;

/一］

(2)由参变量分离法得出。《+在区间［0,2］内有解,分x€［0,l］和xe(l,2］讨论，求得函数

x2-l

y-M+M的最大值，即可得出实数”的取值范围.

【详解】

X2-4x+3,x>l

(1)当a=4时，/(X)=X2-4|X-1|-1=<

x2+4x-5,x<l

当时，/(x)=(x-2)~-1e[-l,+oo)；

当x<l时，/(%)=(%+2)2-9e[-9,+oo).

函数y=.f(x)的值域为［—9,+8)

(2)不等式/(x)2a|x+l]等价于％2—-,

2

x，l

即在区间［°，2］内有解

当xw[0,l]时，Sd—=三二1,此时，三三16一!，0,贝!1440；

L」1-x+x+l222

当可，2］时，心鼻=竦［

X7

函数y=；1在区间(1,2］上单调递增，当xe(l,2］时，!(333

X——x-1£0,二，则〃0—・

XX【444

综上，实数a的取值范围是［-8,1.

【点睛】

本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题，利用绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二

次函数的性质是解决本题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

20.(1)工+上=1；(2)①证明见解析；②证明见解析

43

【解析】

-19,

----1------=1

a24b2

(1)解方程，bc=6即可；

a2=/72+。2

(2)①设直线4：x=my+l,P(X，x),Q(x2,y2),将E点的坐标用机表示，证明=一1即可；②分别用

加表示VPQE,"ME,AONE的面积即可.

【详解】

■19,

kh

(1)<be=6

/=〃2+6,2

解之得：a2=4,Z?2=3,c2=1

22

的标准方程为：—+^=1

43

(2)①A(—2,0),尸(1,0),

设直线L：x=my+1

代入椭圆方程：3(my+l)2+4y2^12=>(3m2+4)y2+6my-9=0

设P(5，X)，。(工2，%)，

直线AP:y=」4;(x+2),直线AQ:y=」^(x+2)

%+2x24-2

%+2%+2

6y2=3弘I%

%*+"）=<黑+

x2+2J（町+3my2+3^

2—9—18m

=3x2，孙为+3（y+巳）=3x3病+43ml+4

苏%当+3加（必+%）+9-9M।-18M।、

3病+43M+4

「-36/77.

=3x-------=-3m

36

—3/721

E（4.-3m）,k=——=-m,k=—,k-k=-1,EF±PC.

EF3P0mEFPQ

②iPQ=nW理亘

3"+4

118（m2+l）Vm^+l

4对口阳=病+4

S2+S3=^ME4-X,+1NE4-X2=-IMNI（8-X,-X2）

=；区一洞(6_〃?(必+必

108「一寸——xgl

m-yly2+3m（yl+y2）+93m~+4

36m236

-------------H--------------------

1

1（3/+4）3m+4/??2+j36ylm+1（"/+1）

363m'+4?>m'+4

3〃J+4

_L_

所以

§2+S32

【点睛】

本题考查了直接法求椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关

系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.

21.(1)见解析(2)不存在，见解析

【解析】

(1)求出函数的导数，通过讨论”的范围求出函数的单调区间即可；

(2)求出函数的导数，结合导数的几何意义，再令「=主，转化为方程有解问题，即可说明.

王

【详解】

⑴函数的定义域为（0,+。），所以c，(x-l)(xH—)

f'M=-------①

X

当〃>o时，ra)>o,x