第七章 非线性系统的分析教材

§7非线性控制系统分析

§7.1非线性控制系统概述

§7.2描述函数法

§7.3相平面法（不介绍）

§7.1概述§7.1.1

非线性现象的普遍性非线性是宇宙间的普遍规律非线性系统的运动形式多样，种类繁多线性系统只是在特定条件下的近似描述§7.1.2典型非线性特性

（演示）

饱和死区(不灵敏区)

间隙继电特性§7.1.3非线性系统运动的特殊性

不满足叠加原理—线性系统理论原则上不能运用稳定性问题—不仅与自身结构参数，且与输入，初条件有关，平衡点可能不惟一nonlinear1

自振运动—非线性系统特有的运动形式nonlinear6

频率响应的复杂性—跳频响应，倍/分频响应，组合振荡(混沌)§7.1.4非线性控制系统的分析方法

小扰动线性化

非线性系统研究方法

仿真方法全数字仿真半实物仿真相平面法描述函数法波波夫法反馈线性化法微分几何方法非线性特性的定性分析

饱和死区继电特性非线性特性等效K*对系统的影响举例振荡性↓，s

↓限制跟踪速度晶体管特性稳态误差ess

↑滤除小幅值干扰电动机，仪表抑制系统发散容易导致自振开关特性§7.2谐波线性化与描述函数法描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提出的,是在频域中分析非线性的一种近似方法。它是频域法在一定条件下和在非线性系统中的应用，主要用于分析非线性系统的稳定性，自持振荡及其在正弦信号作用下之输出。描述函数法实质上是一种谐波线性化方法，其基本思想是用非线性环节输出信号中的基波分量来取代其正弦输入信号作用下之实际输出。谐波线性化的满足的条件对线性环节的要求：①是最小相位传递函数；②具有较好的低通滤波特性。对非线性环节的要求：①非线性特性与时间无关；②非线性的输出可只考虑基波分量。上述要求，目的是使分析简化，一般系统均能满足。在结构图中非线性控制系统的输入

r(t)=0，但是系统在干扰信号的激励下，非线性元件的输出信号y(t)将是一个非正弦的周期函数，假设满足傅氏分解条件，可分解谐波线性化的基本思想谐波线性化的基本思想高次谐波经线性环节滤波后，幅值衰减通常要比基波的幅值小很多，可忽略不计，只有基波分量沿闭环回路反馈到N(A)的输入端。同时，大多数非线性特性为奇对称的，则y(t)中的直流分量为零，综上输出y(t)近似为基波分量，即谐波线性化。谐波线性化示例三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为试问用描述函数法分析时，那个系统分析的准确度高？为什么？

解：线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图所示。

§7.2.2描述函数法

饱和环节的描述函数（一）

饱和环节的描述函数（二）

不灵敏区环节的描述函数（一）

不灵敏区环节的描述函数（二）

理想继电器环节的描述函数

理想继电器环节的描述函数一般继电特性的描述函数理想继电特性：死区继电特性：纯滞环继电特性：注意：一般而言,描述函数N(A)是A的函数,与频率w无关；非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0

§7.2.3非线性系统结构图的等效变换（一）

非线性系统结构图的等效变换举例

非线性环节的并联

非线性环节的串联§7.2.4用描述函数法分析非线性系统1

基本假设①

结构上：N(A),G(j

)串联

②N(A)奇对称,y1(t)幅值占优③G(j

)低通滤波特性好2

稳定性分析不包围包围相交于则系统稳定不稳定可能自振变增益线性系统的稳定性分析由乃氏判据：当曲线不包围点时，系统闭环稳定。当曲线包围，点时，系统不稳定。当曲线穿过点时，系统临界稳定，将产生等幅振荡。特征方程§7.3.3用描述函数法分析非线性系统（2）例1纯滞环继电特性的负倒描述函数3

的绘制及其特点§7.3.3用描述函数法分析非线性系统（3）4

自振分析

(定性)穿入穿出相切于

不是自振点的点对应半稳定的周期运动是自振点自振分析示例（一）

4

自振分析

(定量)自振必要条件：例1

分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。解作图分析，系统一定自振。由自振条件：得：比较实/虚部：自振分析示例（二）分析：可以调节K,t实现要求的自振运动。解代入比较模和相角得例2

系统如右，欲产生的周期信号,试确定K、t的值。自振分析示例（三）例3

非线性系统结构图如右图所示，

已知：自振时,调整K使。

求此时的K值和自振参数(A,w)以及输出振幅Ac。(2)定性分析K增大后自振参数(A,w)的变化规律。解(1)(2)依图分析：

自振分析示例（四）例4非线性系统结构图如右图所示，

已知：时，系统是否自振？

确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。(2)G3(s)=s

时，分析系统的稳定性。解先将系统结构图化为典型结构解法II

特征方程法

解法I

等效变换法自振分析示例（五）解将两非线性环节等效合并，结构图化为例5非线性系统如图所示，分析系统是否存在自振；若存在自振，确定输出端信号c(t)的振幅和频率。依自振条件比较虚实部自振分析示例（六）分析可知：系统存在自振§7.3

相平面法§7.3.1相平面的基本概念

相平面：相轨迹：系统变量及其导数随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。由系统变量及其导数（如）构成的用以描述系统状态的平面。例1单位反馈系统(1)相平面和相轨迹(2)相轨迹的性质对于线性定常系统，原点是惟一的平衡点。运动方向上半平面—向右移动下半平面—向左移动顺时针运动通过横轴时，以90°穿越

x轴奇点

(平衡点)

：设系统方程为：相轨迹上斜率不确定的点

极点分布(3)二阶系统的相轨迹奇点相迹图（演示）中心点稳定的焦点稳定的节点鞍点不稳定的焦点不稳定的节点极点分布奇点相迹图例3设系统方程为，求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。解令

不稳定焦点线化特征方程鞍点§7.2

相平面法（6）

例5系统方程为，分析系统的自由响应。解特征方程

稳定焦点鞍点利用二阶线性系统的相轨迹分析一类非线性系统

奇点极点开关线例6系统方程为，分析系统的自由响应。解特征方程中心点奇点极点中心点开关线

——划分不同线性区域的边界线平衡线（奇线）

——不同区域的相轨迹相互影响而产生例1系统如右，已知，确定开关线方程，奇点位置和类型，绘制相平面图。解开关线方程线性部分非线性部分综合点中心点中心点区域运动方程奇点特征方程极点奇点性质奇点类型相轨迹以为中心的圆以

为中心的圆水平线响应开关线方程线性部分非线性部分比较点例2系统如右，，，分别讨论系统运动。整理在

I区：抛物线方程同理在

II区：当时，开关线为：解开关线(I)相轨迹图(II)系统方程解例3系统方程，用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。§7.3.2绘制相平面的等倾斜线法系统方程等倾斜线方程等倾斜线

——相轨迹斜率为常数的曲线§7.2

相平面法（14)非线性部分比较