2018-2019学年四川省自贡市九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年四川省自贡市九年级（上）期末数学试卷

一.选择题（每小题4分，共48分）

1.（4分）下列汽车标志中，不是中心对称图形的是（）

c.GWD。

2.（4分）一元二次方程（%-5）2=》-5的解是（）

A.x=5B.x=6C.x=0D.xi=5，X2=6

3.（4分）在平面直角坐标系中，如果。。是以原点为圆心，以7为半径的圆，那么A（-

3,4）与。。的位置关系是（）

A.在OO外B.在。。上C.在。。内D.不能确定

4.（4分）关于x的一元二次方程办2+3尤-2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是

（）

A.0B.-1C.-2D.-3

5.（4分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30

个，黑球有"个.随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从

中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n

的值约为（）

A.20B.30C.40D.50

6.（4分）今年，某公司推出一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲.为此，某电子商城

推出分期付款购买手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款3000元，后期

每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数无（尤为正整数）之间的

函数关系式是（）

A.y=9668-3000B.y=9668+3Q00

XX

C.y=30Q0D.

7.（4分）如图，AB为。。的直径，点C为O。上的一点，过点C作O。的切线，交直径

的延长线于点。；若乙4=23°,则/。的度数是（）

A.23°B.44°C.46°D.57°

8.（4分）二次函数丁=加+/?%+。的图象如图所示，则一次函数＞=/?%+〃的图象不经过（）

9.（4分）下列说法正确的是（）

A.概率很小的事件不可能发生

B.随机事件发生的概率为工

2

C.不可能事件发生的概率为0

D.投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次

10.（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点8的对应点为点£,点A的对应点为点

D,当点E恰好落在边AC上时，连接A。，若/ACB=30°,则/D4C的度数是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

11.（4分）某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价

1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商

家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（）

A.56元B.57元C.59元D.57元或59元

12.（4分）如图，二次函数>=办2+法+。（0#0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0,1）

和（-1,0）,下列结论：®ab<0,②户>4,@0<a+b+c<2,@0<b<l,⑤当x>

二.填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分）

13.（4分）抛物线尸工（x-1）2-3的顶点是

3

14.（4分）如图，六边形ABCDEF是。。的内接正六边形，若正六边形的面积等于3\后,

则O。的面积等于.

15.（4分）同时掷两枚标有数字1〜6的正方体骰子，数字和为1的概率为,数字

和为9的概率为.

16.（4分）用一个半径为6,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高

为.

17.（4分）xi,%2是方程W+lx-3=0的两个根，则代数式XI2+3XI+X2=.

18.（4分）如图，RtAABC+，ZACB=90°,ZC4B=30°,BC=4,O,X分别为边AB,

AC的中点，将△ABC绕点8顺时针旋转120°到△A1BG的位置，则整个旋转过程中线

段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为.

OBG

三、解答题（共8个题，.共78分）

19.（8分）解方程：/+2尤-4=0.

20.（8分）如图，是。。的直径，弦于点E,连接AC,BC.

(1)求证：ZA=ZBC£)；

(2)若AB=10,CD=6,求BE的长.

21.（8分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角

三角板ABC与AFE按如图1所示位置放置，现将RtaAEP绕点A按逆时针方向旋转角

a（0°<a<90°）,如图2,AE与8C交于点M,AC与EF交于点、N,与EF交于点

P.

（2）当旋转角a=30°时，四边形A8P尸是什么样的特殊四边形？并说明理由.

22.（8分）阅读下列例题的解答过程:

解方程：3(%-2)2+7(尤-2)+4=0

解：设x-2=y,则原方程可以化为3y2+7y+4=0

,；a=3,b=7,c—4,.\b2-4ac=72-4X3X4=l>0

.„_-7±Vl-7±1.

-1.4

2X36yry2=T

当y=-l时，x-2=-1,J.x=l；

当y=-当时，尤-2=-9，

■333

...原方程的解为：Xl=l,X2——.

3

请仿照上面的例题解一元二次方程：2（x-3）2-5（尤-3）+2=0.

23.（10分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上游是抛物线形状，当水面的宽度

为10cm时，桥洞与水面的最大距离是5m.

（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是

（填方案一，方案二，或方案三），则2点的坐标是,求出你所选方案中的抛物

线的表达式；

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为4%求水面上涨的高度.

24.（10分）金堂有“花园水城”之称，某校就同学们对“金堂历史文化”的了解程度进行

随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：

一人数

30-、不了解人

25-24了

解409》^解

20-很

少

15-/基本了解/

10

5

不了解了解很少基本了解很了解了解程度图2

图1

根据统计图的信息，解答下列问题：

（1）本次共凋查______名学生，条形统计图中机=;

（2）若该校共有学生1200名，则该校约有名学生不了解“金堂历史文化”；

（3）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学进行测试，

发现其中有四名同学相当优秀，他们是三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随

机抽取两人去市里参加“金堂历史文化”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一

男生一女生的概率.

25.(12分)如图，△ABC内接于。。，ZB=60°,是。。的直径，点尸是C。延长线

上的一点，MAP=AC.

(1)求证：必是。。的切线；

(2)若48=4+返，BC=2«,求。。的半径.

26.(14分)如图，抛物线y=o?+历:+cQW0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),

点。在x轴正半轴上，线段OO=OC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点使得△CZJM是以为直角边的直角三角形？若存在，

请求出〃点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)将直线CD绕点、C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,连接

QE.若点尸是线段QE上的动点，点尸是线段上的动点，问：在P点和尸点的移动

过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明

理由.

2018-2019学年四川省自贡市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（每小题4分，共48分）

1.（4分）下列汽车标志中，不是中心对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项符合题意;

8、是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；

。、是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后与原图重合.

2.（4分）一元二次方程（尤-5）2=尤-5的解是（）

A.x=5B.x=6C.x=0D.xi=5,X2=6

【分析】先移项得到（尤-5）2-（X-5）=0,然后利用因式分解法解方程.

【解答】解：（尤-5）2-（x-5）=0,

(x-5)(%-5-1)=0,

x-5=0或尤-5-1=0,

所以无1=5,X2—6.

故选：D.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化

为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有

可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元

二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.

3.(4分)在平面直角坐标系中，如果。。是以原点为圆心，以7为半径的圆，那么A(-

3,4)与。。的位置关系是()

A.在。。外B.在。。上C.在。。内D.不能确定

【分析】根据两点间的距离公式求出A0的长，然后与。。的半径比较，即可确定点A

的位置.

【解答】解：：点A(-3,4),

是以原点。(0,0)为圆心，以7为半径的圆，

.•.点A在。。内,

故选：C.

【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，关键要记住若半径为，，点到圆心的距离为

d,则有：当成>厂时，点在圆外；当［=/"时，点在圆上；当时，点在圆内.

4.(4分)关于x的一元二次方程0/+3尤-2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是

()

A.0B.-1C.-2D.-3

【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于。的不等式，可求得a的取值范

围，则可求得答案.

【解答】解：

••・关于x的一元二次方程—+3x-2=0有两个不相等的实数根，

.•.△>0且。力0,BP32-4aX(-2)>0且aWO,

解得a>-1上且aWO,

8

故选：B.

【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关

键.

5.(4分)已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30

个，黑球有”个.随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从

中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n

的值约为()

A.20B.30C.40D.50

【分析】根据黑球的频率稳定在0.4附近得到黑球的概率约为0.4,根据概率公式列出方

程求解可得.

【解答】解：根据题意得」—=0.4,

30+n

解得:〃=20,

故选：A.

【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解黑球的频率稳定在0.4

附近即为概率约为04

6.（4分）今年，某公司推出一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲.为此，某电子商城

推出分期付款购买手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款3000元，后期

每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（尤为正整数）之间的

函数关系式是（）

A.y=9668_30Q0B.y^^+3000

XX

C.y=3000D.y=§688

XX

【分析】直接利用后期每个月分别付相同的数额，进而得出y与％的函数关系式.

【解答】解：由题意得y=9688-3000,即>=邈生，

xx

故选：D.

【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题关键.

7.（4分）如图，为O。的直径，点C为上的一点，过点C作O。的切线，交直径

的延长线于点。；若/A=23°,则/。的度数是（）

A.23°B.44°C.46°D.57°

【分析】连接OC,如图，利用切线的性质得/。。=90°,再根据圆周角定理得到/

COO=2NA=46°,然后利用互余计算ND的度数.

【解答】解：连接OC,如图，

：8为O。的切线，

OCLCD,

：.ZOCD=9Q°,

VZCOD=2ZA=46°,

：.ZD=90°-46°=44°.

故选：B.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，

必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了圆周角定理.

8.（4分）二次函数yuaf+Zzx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出如。的正负情况，再由一次函数

的性质解答.

【解答】解：由图象开口向上可知a>0,

对称轴x=-旦<0,得b>0.

2a

所以一次函数y=6x+a的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.

故选：D.

【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解

题.

9.（4分）下列说法正确的是（）

A.概率很小的事件不可能发生

B.随机事件发生的概率为上

2

C.不可能事件发生的概率为0

D.投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次

【分析】根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能

不发生的事件，发生的机会大于。并且小于1,进行判断.

【解答】解：A、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；

B、随机事件发生的概率P为。<尸〈1,故本选项错误；

C、不可能事件发生的概率为0,故本选项正确；

。、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，

故本选项错误；

故选：C.

【点评】本题考查了不可能事件、随机事件的概念.不可能事件是指在一定条件下，一

定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的

事件.

10.（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点8的对应点为点£,点A的对应点为点

D,当点E恰好落在边AC上时，连接A。，若NACB=30°,则ND4c的度数是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【分析】由旋转性质知△ABCgZiDEC,据此得/AC8=/DCE=30°、AC=DC,继而

可得答案.

【解答】解：由题意知△ABC丝△£>£（?,

则/ACB=Nr>CE=30°,AC^DC,

4c=180°-NDCA=180°-30°=75。,

22

故选：D.

【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中

心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形

全等.

11.（4分）某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价

1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商

家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（）

A.56元B.57元C.59元D.57元或59元

【分析】将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出［20（60-x）+300］件，根据总利润=

每件的利润X销售数量，即可得出关于尤的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结

论.

【解答】解：将销售单价定为尤元/件，则每星期可卖出［20（60-%）+300］件，

根据题意得：（%-40）［20（60-%）+300］=6080,

整理得：115x+3304=0,

解得：xi=56,无2=59.

•••要使顾客获得实惠，

••X—56.

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

12.（4分）如图，二次函数〉=4）+公+。（a=0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0,1）

和（-1,0）,下列结论：®ab<0,②户>4,@0<a+b+c<2,@0<b<l,⑤当尤>

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】利用抛物线开口方向得。<0,利用对称轴在y轴的右侧得6>0,则可对①进行

判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得c=l,a-b+c=0,则6=a+c=a+l,所以0

<b<1,于是可对②④进行判断；由于a+6+c=a+a+l+l=2a+2,禾ll用a<0可得a+6+c

<2,再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（1,0）和（2,0）之间,

贝|x=l时，函数值为正数，即a+6+c>0,由此可对③进行判断；观察函数图象得到x

>-1时，抛物线有部分在无轴上方，有部分在x轴下方，则可对⑤进行判断.

【解答】解：.••由抛物线开口向下，

'.a<0,

•・•对称轴在y轴的右侧，

AZ?>0,

ab<0,所以①正确；

•・•点（0,1）和（-1,0）都在抛物线〉=〃/+法+c上，

••C~~1fQ-6+。=0,

••b=cz+c=〃+1,

而a<0,

：.0<b<l,所以②错误，④正确；

'/a+b+c=a+a+1+1=2a+2，

而a<0,

2a+2<2,即a+b+c<2,

:抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,而抛物线的对称轴在y轴右侧，在直线x

=1的左侧，

...抛物线与x轴的另一个交点在（1,0）和（2,0）之间，

.♦.x=l时，y>0,即a+b+c>0,

0<a+b+c<2,所以③）正确；

：X>-1时，抛物线有部分在X轴上方，有部分在X轴下方，

，y>0或y=0或y<0,所以⑤错误.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax1+bx+c（aWO）,

当。>0时，抛物线向上开口；当。<0时，抛物线向下开口；一次项系数6和二次项系

数。共同决定对称轴的位置：当。与6同号时（即。6>0）,对称轴在y轴左；当a与6

异号时（即浦<0）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴

交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=廿-4℃>0时，抛物线与x轴有2

个交点；△=/-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=店-4团<0时，抛物线与

尤轴没有交点.

二.填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分）

13.（4分）抛物线尸工（尤-1）2-3的顶点是（1,-3）.

3

【分析】利用抛物线顶点式y=a（x-/2）2+4直接求出顶点坐标即可.

【解答】解：‘抛物线y=a（x-h）的顶点坐标为（h,k）,

（x-1）2-3的顶点坐标是（1,-3）.

3

故答案为（1,-3）.

【点评】本题考查了二次函数的性质，顶点式y=a（x-〃）2+上的顶点坐标为k）和

对称轴直线尤=6

14.（4分）如图，六边形所是O。的内接正六边形，若正六边形的面积等于哂，

则OO的面积等于2n.

【分析】连接。£、0D,由正六边形的特点求出判断出的形状，作08,即，由

特殊角的三角函数值求出08的长，利用三角形的面积公式即可表示出△0DE的面积，

进而根据正六边形ABCDEF的面积求得圆的半径，从而求得圆的面积.

【解答】解：连接OE、OD,

,：六边形ABCDEF是正六边形,

：.ZDEF=nO°,

AZOED^60°,

'：OE=OD,

.,.△ODE是等边三角形，

：.DE=OE,

设OE=DE=r,

作OHLED交EZ）于点H,则sinZ<?££>=PH,

OE

：.011=叵丁,

2

:正六边形的面积等于的坛,

.•.正六边形的面积=』x返三•rX6=3«,

22

解得：尸近,

Q0的面积等于2it,

【点评】本题考查了正多边形的性质，掌握正六边形的边长等于半径的特点是解题的关

键.

15.（4分）同时掷两枚标有数字1〜6的正方体骰子，数字和为1的概率为0,数字和

为9的概率为1.

一

【分析】本题可采用列表法或树状图的办法列举出所有等可能情况，再找出数字和为1

和数字之和为9的情况数，然后根据概率的“公式”可解决问题.

总共有36种等可能的情况，数字和为1的情况没有，数字之和为9的情况有4种，

所以数字和为1的概率为0,数字和为9的概率为：尸（数字之和为9）=/-=」；

369

故答案为：0,1.

9

【点评】此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，适合于两步完成的事件.树状图法适用于两步或两步以上完成的事件.解

题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

16.（4分）用一个半径为6,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为

W2_.

【分析】本题已知扇形的圆心角及半径就是已知圆锥的底面周长，能求出底面半径，圆

锥的高，母线长即扇形半径，构成直角三角形，可以利用勾股定理解决.

【解答】解：扇形的弧长即圆锥的底面周长是6乂120元,,若底面半径是R,则

180

6X120兀

二2兀:,R=2,

180

・・・圆锥的高是汗，二幺叵

【点评】考查圆锥侧面积计算的知识.

17.（4分）xi,及是方程了2+2x-3=0的两个根，则代数式〃2+3%1+%2=1.

【分析】先根据根与系数的关系得到处+%2=-2,再利用XI是方程f+2x-3=0的根得

222

到羽2+2XI-3=0,即XI+2XI=3,则xi+3XI+x2=xi+2XI+xi+x2f然后利用整体代入得

方法计算.

【解答】解：..”i,X2是方程W+2x-3=0的两个根，

.*.XI2+2XI-3=0,即XI2+2XI=3,XI+X2=~2,

则XI2+3XI+%2

=X12+2XI+XI+X2

=3-2

=1,

故答案为：1.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若刘，X2是一元二次方程〃/+析+c=o（〃wo）的

两根时，X1+无2=-电，尤U2=£.也考查了一元二次方程解的定义.

aa

18.（4分）如图，RtAABC+,ZACB=90°,ZCAB=30°,BC=4,O,X分别为边AB,

AC的中点，将aABC绕点B顺时针旋转120。到△48C1的位置，则整个旋转过程中线

段。H所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为4n.

【分析】由图知阴影部分的面积是扇形BH1H和扇形BO1O的面积差，已知了两个扇形

的圆心角的度数都是120°,关键是求出两个扇形的半径；OB的长为△ABC斜边的一半,

易求得；而3〃的长，可在Rt^a汨中根据勾股定理求得，由此得解.

【解答】解：如图，根据旋转的性质知△088之△OLBHI,

□△ABC中，NA=30°,BC=4；

.•.AC=4i巧，AB=8；

；.8。=4,CH=2A/3；

□△BHC中，由勾股定理，得：

BH2^CH2+BC2^(2A/S)2+42=28；

••・s阴影=s扇形皿H-S扇形B。。、120X71XBM.120X7TXB02

360360

=-X(28-16)=4TT.

【点评】此题主要考查的是扇形面积的计算方法，能够正确的求出两个扇形的半径是解

答此题的关键.

三、解答题(共8个题，.共78分)

19.(8分)解方程：?+2x-4=0.

【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数.

【解答】解:移项得f+2x=4,

配方得了+2x+1=4+1,

即(x+1)2=5,

开方得x+l=土泥，

•'-xi—y/^,-1,X2--

【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：

(1)形如/+.+4=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加

上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可.

(2)形如a/+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成7+0x+q=O,然后配

方.

20.(8分)如图，A8是。。的直径，弦CD_LA8于点E,连接AC,BC.

(1)求证：/A=/BCD；

(2)若AB=10,CD=6,求3E的长.

【分析】(1)根据等弧对等角证明即可；

(2)连接0C,根据垂径定理得到CE=DE=LCD=3,再利用勾股定理计算出0E,然

2

后计算08-0E即可.

【解答】(1)证明：•••直径弦8,

...弧BC=弧BD

ZA=ZBCD；

(2)连接0C

:直径48_1弦C。，8=6,

:.CE=ED=3.

•.,直径A8=10,

CO=OB=5.

在RtzXCOE中，：0C=5,CE=3,

•••OE=^52_32=4,

：.BE=OB-OE=5-4=1.

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考查

了勾股定理.

21.(8分)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角

三角板ABC与AFE按如图1所示位置放置，现将RtAAEF绕点A按逆时针方向旋转角

a(0°<a<90°),如图2,AE与BC交于点M,AC与所交于点N,BC与EF交于点、

p.

(2)当旋转角a=30。时，四边形A8PF是什么样的特殊四边形？并说明理由.

【分析】(1)根据旋转的性质得出NBAM=/FAN,进而得出经△AFN

得出答案即可；

(2)利用旋转的性质得出/刚8=120°,ZFPC=ZB=60°,即可得出四边形ABPF

是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案.

【解答】(1)证明：.用两块完全相同的且含60°角的直角三角板A8C与AFE按如图

所示位置放置放置，现将Rt/XAE尸绕A点按逆时针方向旋转角a(0°<a<90°),

：.AB=AF,/BAM=/FAN,

'NFAN=NBAM

在△ABM和△AFN中，＜AB=AF

ZB=ZF

AABM2丛AFN(ASA),

:.BM=FN；

(2)解：当旋转角a=30°时，四边形ABP尸是菱形.

理由：连接AP,

VZa=30°,

：.ZFAN=30°,

：.ZFAB=120°,

VZB=60°,

：.ZB+ZFAB=180°,

J.AF//BP,

：.ZF=ZFPC=60°,

：.ZFPC=ZB=60a,

：.AB//FP,

四边形ABPF是平行四边形,

\'AB=AF,

平行四边形ABPF是菱形

图2

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，此题主要考查了平行四边形的判定以及

菱形的判定和全等三角形的判定等知识，根据旋转前后图形大小不发生变化得出是解题

关键.

22.（8分）阅读下列例题的解答过程：

解方程：3（%-2）2+7（%-2）+4=0

解：设x-2=y,则原方程可以化为3y2+7y+4=0

：。=3,6=7,c=4,：.b2-4ac=72-4X3X4=1>0

当y=-l时，x-2=-1,.*.x=l；

当y=-4时，x-2=-.,.x=—.

333

...原方程的解为：Xl=l,=

请仿照上面的例题解一元二次方程：2（X-3）2-5（尤-3）+2=0.

【分析】设尤-3=»则原方程化为2/-5y+2=0,求出y,再求出尤即可.

【解答】解：设x-3=»则原方程化为2y2-5y+2=0,

整理，得

（y-2）（2y-1）=0.

解得y=2或y=-L.

2

所以尤-3=2或尤-3=工，

2

解得尤=5或X——.

2

【点评】考查了换元法和因式分解法解一元二次方程.换元的实质是转化，关键是构造

元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景

中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.

23.（10分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上游是抛物线形状，当水面的宽度

为10c〃z时，桥洞与水面的最大距离是5m.

（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是

方案二（填方案一,方案二，或方案三），则8点的坐标是（10,案，求出你所

选方案中的抛物线的表达式；

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为4m，求水面上涨的高度.

【分析】（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点8的坐标即可，根据

抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5,5）,抛物线的右端点B坐标为（10,

0）,可设抛物线的顶点式求解析式；

（2）根据题意可知水面宽度变为时x=3或x=7,据此求得对应y的值即可得.

【解答】解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10,0）,

由题意知，抛物线的顶点坐标为（5,5）,且经过点。（0,0）,B（10,0）,

设抛物线解析式为y=a（尤-5）2+5,

把点（0,0）代入得：

0=a（0-5）2+5,即a=-―,

5

抛物线解析式为y=-工•（尤-5）2+5,

5

故答案为：方案二，（10,0）；

（2）由题意知，当x=5-2=3时，y=-—（3-5）2+5=-=A,

55

答：水面上涨的高度为骂加

5

【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点,

合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题.

24.（10分）金堂有“花园水城”之称，某校就同学们对“金堂历史文化”的了解程度进行

随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：

，人数________

30、不了解入

了

2524

解

20■m很4OX4IM\

少

15-12/基本了解/

10-

5-

图2

不了解了解很少基本了解很了解了解程度

图1

根据统计图的信息，解答下列问题：

（1）本次共凋查60名学生,条形统计图中，”=18；

（2）若该校共有学生1200名，则该校约有名学生不了解“金堂历史文化”；

（3）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学进行测试，

发现其中有四名同学相当优秀，他们是三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随

机抽取两人去市里参加“金堂历史文化”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一

男生一女生的概率.

【分析】（1）根据了解很少的有24人，占40%,即可求得总人数；利用调查的总人数减

去其它各项的人数即可求得m的值；

（2）利用1200乘以不了解“金堂历史文化”的人所占的比例即可求解；

（3）列出表格即可求出恰好抽中一男生一女生的概率.

【解答】解：（1）由题目图表提供的信息可知总人数=24+40%=60（人），

加=60-12-24-6=18,

故答案为：60,18；

（2）1200x12.=240（人），

60

答：该校约有240名学生不了解“金堂历史文化”;

（3）列表如下:

男男女

男

男（男，男）（男，男）（男，女）

男（男，男）（男，男）（男，女）

男（男，男）（男，男）（男，女）

女（女，男）（女，男）（女，男）

由上表可知，共12种可能，其中一男一女的可能性有6种，分别是（男，女）三种，（女,

男）三种,

•''PT一女）=­=—

122

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及求随机事件的概率，读

懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地

表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

25.（12分）如图，ZkABC内接于O。，ZB=60°,是。。的直径，点P是CO延长线

上的一点，且AP=AC

（1）求证：B4是。。的切线；

（2）若A8=4+«,BC=2限求。。的半径.

【分析】（1）连接。4,根据圆周角定理求出/AOC,再由得出

=30°,再由AP=AC得出/尸=30°,继而由NOAP=/AOC-/尸，可得出。4_LB4,

从而得出结论；

(2)过点C作CE_L4B于点E.在RtzXBCE中，ZB=60°,BC=2«,于是得到BE

=/BC=a，CE=3,根据勾股定理得到AC=JAE2yE2=5,于是得到AP=AC=5.解

直角三角形即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接。A,

VZB=60°,

：.ZAOC=2ZB=12Q°,

又：OA=OC,

...NOAC=/OCA=30°,

又：AP=AC,

：.ZP=ZACP=30°,

：.ZOAP=ZAOC-ZP=90°,

：.OALPA,

是O。的切线；

(2)解：过点C作CEL48于点E.

在RtZJSCE中，ZB=60°,8C=2«,

:.BE=LBC=M，CE=3,

2

；42=4+遮，

：.AE=AB-BE=4,

：.在RtAACE中，AC=3虹2暝2=5，

.\AP=AC=5.

.•.在RtZ\B4。中，OA=5愿,

3

•••O。的半径为殳巨.

B

【点评】本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、

圆周角定理及含30°直角三角形的性质.

26.（14分）如图，抛物线y=a，+bx+cQW0）的图象过点C（0,1）,顶点为。（2,3）,

点。在x轴正半轴上，线段OO=OC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点使得△COM是以。为直角边的直角三角形？若存在，

请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于