专项17 幂运算（三大类型）（解析版）

专项17幂运算（三大类型）类型一正向运用幂的运算的性质类型二逆向运用幂的运算性质方法：将指数相加二点幂转化为同底数幂的积，即（m、n都是正整数）；将指数相乘的幂转化为幂的乘方，即（m、n都是正整数）；将相同指数幂的积转化为积的乘方，即（n为正整数）。类型三来灵活运用幂的运算性质方法：若幂的底数不同，要先化为同底数幂，再灵活运用幂的运算性质求解‘若求指数中所含字母的值，则通常需要利用指数关系构造方程求解。【典例1】（2022秋•崇川区期中）下列计算正确的是（）A．（3a）2＝6a2 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．a2•a＝a3【答案】D【解答】解：A、（3a）2＝9a2，故A不符合题意；B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意；D、a2•a＝a3，故D符合题意；故选：D．【变式1-1】（2022秋•思明区校级期中）计算m3•m2的结果，正确的是（）A．m2 B．m3 C．m5 D．m6【答案】C【解答】解：m3•m2＝m3+2＝m5．故选：C．【变式1-2】（2020•黔南州）下列运算正确的是（）A．（a3）4＝a12 B．a3•a4＝a12 C．a2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2【答案】A【解答】解：A、（a3）4＝a12，故原题计算正确；B、a3•a4＝a7，故原题计算错误；C、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；D、（ab）2＝a2b2，故原题计算错误；故选：A．【典例2】（2021春•广陵区校级期末）计算：（x2y）3•（﹣2xy3）2；（2）（xny3n）2+（x2y6）n；（3）（x2y3）4+（﹣x）8•（y6）2（4）a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（﹣a）6．【答案】（1）4x8y9（2）2x2ny6n（3）2x8y12（4）4a6．【解答】解：（1）原式＝x6y3•4x2y6＝4x8y9；（2）原式＝x2ny6n+x2ny6n＝2x2ny6n；（3）原式＝x8y12+x8y12＝2x8y12；（4）原式＝a6+4a6﹣a6＝4a6．【变式2-1】（2022秋•思明区校级期中）计算：x4•x2﹣（3x3）2．【解答】解：x4•x2﹣（3x3）2＝x6﹣9x6＝﹣8x6．【变式2-2】（2022秋•闵行区期中）计算：﹣（﹣x2）3•（﹣x2）2﹣x•（﹣x3）3．【解答】解：﹣（﹣x2）3•（﹣x2）2﹣x•（﹣x3）3＝﹣（﹣x6）•x4﹣x•（﹣x9）＝x10+x10＝2x10．【变式2-3】（2022秋•东城区校级期中）计算：x2•x4+（x3）2+（﹣3x2）3．【解答】解：x2•x4+（x3）2+（﹣3x2）3＝x6+x6﹣27x6＝﹣25x6．【典例3】（2021春•陈仓区期末）计算：（x2）3•x3﹣（﹣x）2•x9÷x2．【答案】0【解答】解：原式＝x6•x3﹣x2•x9÷x2＝x9﹣x9＝0．【变式3】（2021春•莱山区期末）计算：（1）（﹣x2）5÷x+2x6x3．（2）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2．【答案】（1）x9（2）y﹣3x【解答】解：（1）原式＝﹣x10÷x+2x9＝﹣x9+2x9＝x9；（2）原式＝（9x2y3﹣27x3y2）÷9x2y2＝9x2y3÷9x2y2﹣27x3y2÷9x2y2＝y﹣3x【典例4-1】（2021春•苏州期末）若am＝3，an＝5，则am+n的值是（） B． C．8 D．15【答案】D【解答】解：因为am＝3，an＝5，所以am•an＝3×5，所以am+n＝15，故选：D．【典例4-2】（2022秋•城厢区月考）已知xm＝4，xn＝5，则xn﹣m的值为．【答案】【解答】解：当xm＝4，xn＝5时，xn﹣m＝xn÷xm＝5÷4＝．故答案为：．【变式4-1】（2022秋•双阳区校级月考）已知2x＝6，2y＝7，那么2x+y的值是．【答案】42【解答】解：∵2x＝6，2y＝7，∴2x+y＝2x×2y＝6×7＝42．故答案为：42．【变式4-2】（2022春•历下区校级期中）已知3m＝2，3n＝4，则3m+n＝．【答案】8【解答】解：当3m＝2，3n＝4时，3m+n＝3m×3n＝2×4＝8．故答案为：8．【变式4-3】（2022秋•儋州校级月考）计算：am+n÷am＝；a5÷a2•a2＝．【答案】an；a5．【解答】解：am+n÷am＝am+n﹣m＝an；a5÷a2•a2＝a3•a2＝a5．故答案为：an；a5．【典例5】（2021春•石景山区校级期中）已知3m＝a，3n＝b，则33m+2n的结果是．【答案】a3b2【解答】解：∵3m＝a，3n＝b，∴33m+2n＝33m•32n＝（3m）3•（3n）2＝a3b2．故答案为：a3b2．【变式5-1】（2019•绵阳）已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m+6n＝（）A．ab2 B．a+b2 C．a2b3 D．a2+b3【答案】A【解答】解：∵4m＝a，8n＝b，∴22m+6n＝22m×26n＝（22）m•（23）2n＝4m•82n＝4m•（8n）2＝ab2，故选：A【变式5-2】（2021春•广陵区校级期中）（1）若xm＝2，xn＝3．求xm+2n的值．若2×8x×16x＝222，求x的值．【答案】（1）18（2）3【解答】解：（1）因为xm＝2，xn＝3，所以xm＝2，x2n＝9，所以xm•x2n＝18，xm+2n＝18；（2）因为2×8x×16x＝222，所以2×23x×24x＝222，所以21+3x+4x＝222，所以1+3x+4x＝22，所以7x＝21，所以x＝3．【典例7】（2021春•罗湖区期中）已知x+y﹣3＝0，则2x×2y的值为（）A．64 B．8 C．6 D．12【答案】B【解答】解：由x+y﹣3＝0得x+y＝3，∴2x×2y＝2x+y＝23＝8．故选：B．【变式7-1】（2021春•海陵区校级月考）（1）已知2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．【答案】（1）8（2）6【解答】解：（1）因为2x+5y﹣3＝0，所以2x+5y＝3，所以4x•32y＝22x•25y＝22x+5y＝23＝8；（2）因为2×8x×16＝2×23x×24＝223，所以1+3x+4＝23，解得x＝6【变式7-2】（2021春•邗江区月考）（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值【答案】（1）27（2）4【解答】解：（1）∵4a+3b＝3，∴92a•27b＝34a•33b＝33＝27；（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，∴1+2m+3m＝21，解得m＝4．【典例8】（2021•沙坪坝区校级开学）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【答案】A【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122；∴3124＞3123＞3122，即a＞b＞c．故选：A．【变式8-1】（2018秋•渝中区校级期中）比较350，440，530的大小关系为（）A．530＜350＜440 B．350＜440＜530 C．530＜440＜350 D．440＜350＜530【答案】A【解答】解：350＝（35）10＝24310，440＝（44）10＝25610，530＝（53）10＝12510，∵125＜243＜256，∴530＜350＜440，故选：A．【典例9】（2021春•鄞州区校级期末）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x•27y÷81z的值．【答案】【解答】解：∵2x+3y﹣4z+1＝0，∴2x+3y﹣4z＝﹣1，∴9x•27y÷81z＝32x×33y÷34z＝32x+3y﹣4z＝3﹣1＝【变式9】（2021春•泰兴市月考）（1）已知2x＝3，2y＝5，求：2x﹣2y+1的值；（2）x﹣2y﹣1＝0，求：2x÷4y×8的值．【答案】（1）（2）16【解答】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，∴2x﹣2y+1＝2x÷（2y）2×2＝3÷52×2＝；（2）∵x﹣2y﹣1＝0，∴x﹣2y＝1，∴2x÷4y×8＝2x÷22y×8＝2x﹣2y×8＝2×8．＝16．【典例10】（2021春•未央区月考）已知3a＝5，3b＝4，3c＝80．（1）求（3a）2的值．（2）求3a﹣b+c的值．（3）字母a，b，c之间的数量关系为．【答案】（1）25（2）100（3）c＝a+2b【解答】解：（1）∵3a＝5，∴（3a）2＝52＝25；（2）∵3a＝5，3b＝4，3c＝80，∴3a﹣b+c＝3a÷3b×3c＝5÷4×80＝100；（3）∵3a•32b＝5×42＝80＝3c，∴c＝a+2b；故答案为：c＝a+2b．【变式10】（2021春•未央区校级月考）已知3a＝5，3b＝4，3c＝80．（1）求（3a）2的值．（2）求3a﹣b﹣c的值．（3）字母a，b，c之间的数量关系为．【答案】（1）25（2）（3）c＝a+2b．【解答】解：（1）∵3a＝5，∴（3a）2＝52＝25；（2）∵3a＝5，3b＝4，3c＝80，∴3a﹣b﹣c＝3a÷3b÷3c＝＝；（3）∵3a•32b＝3c∴c＝a+2b；故答案为：c＝a+2b．1．（2022•淮安）计算a2•a3的结果是（）A．a2 B．a3 C．a5 D．a6【答案】C【解答】解：a2•a3＝a5．故选：C．2．（2022秋•思明区校级期中）（）2020×（﹣3）2021的计算结果是（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【答案】B【解答】解：（）2020×（﹣3）2021＝（）2020×（﹣3）2020×（﹣3）＝（﹣）2020×（﹣3）＝（﹣1）2020×（﹣3）＝1×（﹣3）＝﹣3．故选：B．3．（2022春•甘孜州期末）已知am+1•a2m﹣1＝a9​，则m＝​．【答案】3【解答】解：∵am+1•a2m﹣1＝a9​，∴am+1+2m﹣1＝a9​，∴m+1+2m﹣1＝9，解得：m＝3．故答案为：3．4．（2022春•三元区校级月考）（x﹣y）3⋅（x﹣y）2⋅（x﹣y）4＝．【答案】（x﹣y）9【解答】解：（x﹣y）3⋅（x﹣y）2⋅（x﹣y）4＝（x﹣y）3+2+4＝（x﹣y）9，故答案为：（x﹣y）9．5．（2021秋•长沙期末）已知33x+1＝81，则x＝．【答案】1【解答】解：∵33x+1＝81，∴33x+1＝34，∴3x+1＝4，x＝1，故答案为：1．6．（2022秋•榆树市月考）已知xm＝6，xn＝3，则xm﹣2n的值为．【答案】【解答】解：xm﹣2n＝xm÷x2n＝xm÷（xn）2，∵xm＝6，xn＝3，∴xm﹣2n＝6÷32＝，故答案为：．7．（2022春•青山区期中）计算：若am＝8，an＝2，则a2m﹣3n的值是．【答案】8【解答】解：∵am＝8，an＝2，∴a2m﹣3n＝（am）2÷（an）3＝82÷23＝64÷8＝8．故答案为：8．8．（2022秋•东方校级月考）已知2x＝3，2y＝5，求2x+y+3的值．【解答】解：∵2x＝3，2y＝5，∴2x+y+3＝2x•2y•23＝3×5×8＝120．9．（2022秋•永春县期中）（1）若2x＝3，2y＝5