专题1.7角平分线与线段垂直平分线-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【浙教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题1.7角平分线与线段垂直平分线姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•安定区期末）如图：△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对【分析】由∠C＝90°，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，利用角平分线定理得到DC＝DE，再利用HL证明三角形ACD与三角形AED全等，根据全等三角形的对应边相等可得AC＝AE，又AC＝BC，可得BC＝AE，然后由三角形BED的三边之和表示出三角形的周长，将其中的DE换为DC，由CD+DB＝BC进行变形，再将BC换为AE，由AE+EB＝AB，可得出三角形BDE的周长等于AB的长，由AB的长可得出周长．【解析】∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，∴CD＝ED，在Rt△ACD和Rt△AED中，DC=DEAD=AD∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，又AC＝BC，∴AC＝AE＝BC，又AB＝6cm，∴△DEB的周长＝DB+BE+ED＝DB+CD+BE＝BC+BE＝AE+EB＝AB＝6cm．故选：A．2．（2020秋•慈溪市期中）如图，E为∠BAC平分线AP上一点，AB＝4，△ABE的面积为12，则点E到直线AC的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据三角形面积公式得出点E到直线AB的距离，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解．【解析】∵AB＝4，△ABE的面积为12，∴点E到直线AB的距离=2×12∵E为∠BAC平分线AP上一点，∴点E到直线AC的距离＝6，故选：D．3．（2019秋•瑞安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝6，BC＝8，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：5【分析】作DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE＝DC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解析】作DE⊥AB于点E，由勾股定理得，AB=A∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC，∴S△ABD=12×AB×DE，S△ACD=1∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：6＝5：3，故选：A．4．（2020秋•苍南县期中）如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到EF＝DE＝2，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】作EF⊥BC于F，∵AC＝BC＝6，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴△BCE的面积=12×BC×EF故选：B．5．（2019秋•承德县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则ACA．8 B．7 C．6 D．5【分析】直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC＝AD，再利用勾股定理得出AC的长．【解析】过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，∵EC⊥AC，ED⊥AB，∴EC＝ED＝3，在Rt△ACE和Rt△ADE中，AE=AEEC=ED∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AD，∵在Rt△EDB中，DE＝3，BE＝5，∴BD＝4，设AC＝x，则AB＝4+x，故在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC的长为：6．故选：C．6．（2020秋•夏津县期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；【解析】（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．7．（2020秋•东阳市期末）在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（）A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上 C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．【解析】∵PA＝PB，∴P点在在边AB的垂直平分线上，故选：B．8．（2020•文成县二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于点F，连接CF．若∠A＝50°，∠ACF＝40°，则∠CFD的度数为（）A．30° B．45° C．55° D．60°【分析】设∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠CFD＝2x°，根据线段垂直平分线性质求出BF＝CF，推出∠FCB＝∠CBD，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可．【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，设∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠CFD＝2x°，∵EF是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠CBD＝x°，∵∠A＝50°，∠ACF＝40°，∴50°+40°+x°+2x°＝180°，解得：x＝30，∴∠CFD＝2x°＝60°，故选：D．9．（2019秋•慈溪市期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5，△ABD的周长为16，则△ABC的周长为（）A．18 B．21 C．24 D．26【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝CE＝5，而AB+BDAD＝14，从而得到△ABC的周长．【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AE＝CE＝5，而△ABD的周长是16，即AB+BD+AD＝16，∴AB+BC+AC＝AB+BD+CD+AC＝16+10＝26，即△ABC的周长是26．故选：D．10．（2020•西湖区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BADA．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂线性质知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，从而得出答案．【解析】在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，由作图可知MN为AC的中垂线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞∠C，∠C＝40°，点D在AC中垂线上，则∠ADB的度数为80°．【分析】利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，再根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C＝40°，然后根据三角形外角性质计算∠ADB的度数．【解析】∵点D在AC中垂线上，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝40°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝40°+40°＝80°．故答案为80°．12．（2020秋•朝阳县期末）如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为19cm．【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD＝CD，AC＝2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案为19cm．13．（2021•余杭区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，BD＝6，则CD的长为3．【分析】由角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD＝30°，结合已知条件和对角对等边推知AD＝BD＝6，所以在含有30度角的直角△ACD中来求CD的长度即可．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，又AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD＝6，∴CD=12AD＝故答案是：3．14．（2020秋•邹城市期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，则DE的长为2cm．【分析】先根据角平分线的性质得出DE＝DF，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【解析】∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD=12AB•DE+12∵△ABC面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，∴12×20DE+12×8DF＝10DE+4DF＝14DE＝28，解得故答案为：2cm．15．（2019秋•余杭区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DF⊥BC于点F，DE⊥AB于点E，若DF＝5，则点D到边AB的距离为5．【分析】根据题意和角平分线的性质，可知DE＝DF，由DF＝5，可以得到DE的长，本题得以解决．【解析】∵在△ABC中，BD平分∠ABC，DF⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵DF＝5，∴DE＝5，故答案为：5．16．（2019秋•余姚市期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是M点．【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解析】由图形可知，点M在∠AOB的角平分线上，∴点M到∠AOB两边距离相等，故答案为：M．17．（2019秋•嘉兴期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，若BE＝2，AC＝5，则△ACE的面积为5．【分析】作EF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到EF＝EB＝2，然后利用三角形面积公式计算．【解析】作EF⊥AC于F，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点E，∴EF＝EB＝2，∴△ACE的面积=12×2×5故答案为5．18．（2019秋•鄞州区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连接PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为15．【分析】过E作EG⊥AB于G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP＝S△CFP＝y，根据BD是BD边上的中线，设S△CDF＝S△AFD＝z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，根据角平分线的性质得到EG＝CE＝2CP＝4，于是得到结论．【解析】过E作EG⊥AB于G，连接CF，∵P为CE中点，∵S△EFP＝S△CFP，设S△EFP＝S△CFP＝y，∵BD是AC边上的中线，∴设S△CDF＝S△AFD＝z，∵S△BFP＝15，∴S△BCD＝15+y+z，∴S△ABC＝2S△BCD＝30+2y+2z，∵S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝2y+2z，∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，∵AE是∠CAB的角平分线，∴EG＝CE＝2CP＝4，∴S△ABE=12AB•EG＝∴AB＝15，故答案为：15．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•潮州期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求证：AD平分∠BAC．【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE＝DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CDBE=CF∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC．20．（2019秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．【分析】本题通过角平分线到角两边距离相等这一性质，再通过三角形的全等证得．【解析】过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．21．（2018秋•温州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的长．【分析】（1）依据∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD＝∠B，再根据CE平分∠BCD，可得∠BCE＝∠DCE，进而得出∠AEC＝∠ACE；（2）依据∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝30°，进而得出Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．【解析】（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD