2020人教版小学六年级数学下册第5单元 数学广角-鸽巢问题（导学案）

第5单元数学广角——鸽巢问题

全单元学习目标

教材简析

1.“鸽巢原理”（“抽屉原理”）是一类较为抽象的数学问题，难度较大。本单元教材以学生熟悉的或

者感兴趣的材料作为学习素材，提升学生学习的积极性，缓解学习难度带来的压力；例题的编排关注细节,

充分考虑学生学习的重、难点。

2.本单元安排了三道例题，有着各自不同的作用。

例1描述的是“抽屉原理”最简单的情况。通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握

两种思考的方法——枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，形成对“抽屉原理”

的初步认识。

例2描述了“抽屉原理”更为一般的形式。本例即是“把多于kn个物体放入n个抽屉，总有一个抽

屉里至少有（k+1）个物体"。若k为1,就是例1的情况了，可见例1只是例2的一个特例。所以，本例

的教学，目的是让学生认识“抽屉原理”的一般形式，进一步熟悉用假设法来分析问题的思路，提升对“抽

屉原理”的理解水平。

例3是“抽屉原理”的具体运用，是一个运用逆向思维来解决问题的例子。它是在学生通过例1和例

2的学习，对“抽屉”“物体”及其相互之间关系有一定的认识后，依托这一数学模型来分析和解决相关

的实际问题。

教学目标；

1.使学生经历“抽屉原理”（“鸽巢原理”）的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会运用"抽屉原理”

解决一些简单的实际问题。

2.使学生通过“抽屉原理”的学习，增强对逻辑推理、模型思想的体验，提高学习数学的兴趣和应用

意识。

、，课时分配

（1）鸽巢问题3课时

（2）单元核心知识归纳与易错警示1课时

、1教学与学法

教学中教师注意让学生进行深入观察、大胆尝试、互动交流的体验式学习，必要时可以借助实物操作

等直观的方式进行猜测、验证。

第1课时鸽巢问题（1）

教学内容

教材第69页例1。

教学目标

知识与技能

L理解最简单的“鸽巢问题”。

2.引导学生采用操作的方法进行枚举或用“假设法”探究“鸽巢问题”，通过分析和推理，理解并掌握“鸽

巢问题”的最基本形式。

过程与方法

经历“鸽巢问题”的探究推理过程，了解“鸽巢原理”，体会比较的学习方法。

情感态度与价值观

体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的探究意识，培养数学模型思想。

重点、难点

重点经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。

难点初步理解“鸽巢问题”，能口头表达推理过程。

教法与学法

教法指导自主探究法。

学法合作交流，练习体验。

教学准备

多媒体课件、扑克牌、4支铅笔、3个笔筒。

课题鸽巢问题（1）课型新授课

设计学生在生活中常常能遇到“抽屉原理”的实例，但并不能有意识地从数学的角

说明度来理解和运用“抽屉原理”。本节教学，教师通过“变魔术”这样一个活动引入

新课，激发学生的学习兴趣。教学中，教师引导学生借助实物来学习，通过“枚举

法”和“假设法”，介绍“鸽巢问题”最基本的形式。

课时

1课时

安排

教学

导案学案达标检测

环节

师：今天，我来给大家表演1.把6支铅笔放

一个魔术，这个魔术需要1名同进5个笔筒里，会出现

学来配合，谁愿意？什么情况？把100支

老师向同学介绍：扑克牌中铅笔放进99个笔筒里

一、创已取出大、小王两张牌。呢？

设情1.请学生任意抽出5张牌，答案：总有一个笔

境，游老师猜出“这5张牌至少有2张学生观察魔术过筒里至少有2支铅笔。

戏引牌是同一花色的。”（全班检验）程，理解并交流“至少”

入（5课件出示：至少有2张牌是的含义。2.7只鸽子飞进5

分同花色的。个鸽舍，至少有多少只

钟）。学生理解：“至少”表示什么鸽子要飞进同一个鸽

意思？舍里？

2.学生把抽出的5张牌放答案：至少有2只

回，老师让学生再从中任意抽出鸽子要飞进同一个鸽

14张牌。老师猜出：这14张牌舍里。

中至少有一对儿！(让学生打开3.从六(1)班任

牌,全班检验,再次理解“至少”。)意选出13位同学，都

师：老师的判断为什么这么至少有2位同学出生

准确呢？因为这个魔术中蕴含着的月份相同，为什么？

一个数学原理。这节课我们就一答案：假设12个

起来研究。(板书：鸽巢问题(1))同学分别属于12个月

(1)读题，理解题意。份，那么第13位同学

教学例1

(2)学生借助实物，无论属于哪一个月份，

(1)出示教材第68页例1：

分组操作，将4支铅笔都至少有2位同学出

把4支铅笔放进3个笔筒中，不

放进3个笔筒中，摆出生的月份相同。

自主管怎么放，总有一个笔筒里至少

所有可能的情况：

探索，有

/唧州

学会(2)学生在小组内摆一摆，而。叫

用“鸽\0\0

唧3唧，

巢原(3)教师根据学生汇报进行

理”解

\。1

决问(4,0,0)(3,1,0)(2,2,0)

(3)学生汇报摆放情

题。(2,1,1)

况

(25(4)提问：通过刚才的摆放，

(4)发现：不管怎么

分钟)

放，总有一个笔筒里至

(5)提问：“总有”是什么意

少有2支铅笔。

(5)“总有”是肯定有，

(6)理解：“枚举法”的含义。

一定有的意思。

师：刚才，我们通过动手操（6）可以用数的分解

作，列举出所有分法之后得出结法、“假设法”来证明。

论，我们把这种方法称为“枚举（7）练习口头表达思

路或想法，用“假设法”

过渡语：大家还有其他方法解释上述结论。

得出这个结论吗？（8）学生认真听并理

7）教师引导学生用“假设法”解“抽屉原理”。

引导学生理解“假设法”：假

设每个笔筒都先放1支，最多放

3支，剩下的1支不管放进哪个

笔筒里，总有一个笔筒里至少有

2

（8H

m个物体任

意分放进n个抽屉中（m>n,m

和n是非0自然数），若m-i-

n=l...a

抽屉中至少放进了2个物体。

三、巩1.学生独立完成。

教学过程中老师

固练完成教材第68页“做一做”。2.全班订正时，让多名

的疑问：

习。（5学生口头表达解题方

分钟）法和思路。

四、课

堂小

结，拓1.说一说你本节课的收获。学生谈本节课的

展延2.布置作业。收获。

伸。（5

分钟）

鸽巢问题（1）

L枚举法：（4,0,0）2.假设法:假设每个笔筒都先放1支，最

五、教

（3,1,0）多放3支，剩下的1支不管放到哪一

学板（2,2,0）个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2

（2,1,1）支铅笔。

书

总结:把九个物体任意放进〃个抽屉中，（m>n,?n和n是非0自然数）,

若m^n=\……Q,那么一定有一个抽屉中至少放进了2个物体。

\(

初步接触“鸽巢问题”对于学生来说有一定难度。利用实物操作可加强直观

性，体会分的过程和分的结果，积累对“抽屉原理”的感性认识。“枚举法”的优

六、教

点是形象、直观，但有其局限性，对于数目较大的题，操作起来就较为麻烦。

学反

教师点评和总结：

思

第2课时鸽巢问题（2）

教学内容

教材第69页例2

知识与技能

2.

过程与方法

经历鸽巢问题的探究过程，体验数学知识之间的联系和数学知识的广泛应用。

情感态度与价值观

重点、难点

重点

难点

教法

学法

教学准备

多媒体课件。

课题鸽巢问题（2）课型新授课

在上一节课学习的基础上，让学生逐渐摆脱实物，从直观走向抽象，用有余数

的除法算式表示思维的过程，描述了“抽屉原理”更为一般的形式，进一步熟悉用

设计

“假设法”来分析问题的思路，提升对“抽屉原理”的理解水平。课的最后，教师

说明

引导学生总结归纳解决这一类“鸽巢问题”的一般方法，将具体的问题“数学化”，

有利于培养学生的数学思维能力。

课时

1课时

安排

教学

导案学案达标检测

环节

一、回师：上节课我们学习了用

顾旧“枚举法”和“假设法”来解决

知，谈“鸽巢问题”的一些最基本的实学生认真倾

话导际问题。在实际生活中，有时数听教师谈话，进

入。据较大，用“枚举法”就不太方入新课学习。

（3分便，今天，我们将进一步学习用

钟)。“假设法”解决实际问题。

教学例2。(1)学生观1.把17本书放进5个抽

二、自

(1)出示教材第69页例2：看课件，获取相屉，总有一个抽屉至少放进4

主探

把7本书放进3个抽屉，不管怎关信息。本书，为什么？

索,学

么放，总有一个抽屉里至少放进(2)学生小答案：17+5=3...2

会用

3本书。为什么？组交流，用学过3+1=4（本）

“鸽

(2)学生说自己的想法。的方法理解例2.把22名“三好学生”

巢原

小组内交流自己的想法后集体20的名额分配给4个班级，那么

理”解

汇报。(3)学生试用算至少有一个班级分得的名额

决问

(3)能用算式帮助你分析并式解答例2。多于5名。为什么？

题。

表达自己的想法吗？(4)同桌先互答案：22+4=5……2

（25

①学生回答后，师板书：相说，再汇报，剩下的2名任意分给一

分钟)

7+3=2...1,2+1=3（本）最后，仔细观察个班级，就会至少有一个班级

②师规范描述想法：板书，发现解题分得的名额多于5名。

把7本书放进3个抽屉里，规律。

如果每个抽屉放2本,还剩1本。（5）学生回答

剩下的1本不管怎样放，总有1自己的发现。学

个抽屉至少放进3本书。生大致意见不很

（4）提问：如果有8本书严谨，大意是：

会怎样？10本书呢？指名用规把a本书放进3

范化语言说想法，师板书：个抽屉里，如果

84-3=2...2,2+1=3（本）a4-3=b...1（或

104-3=3...1,3+1=4（本）2）,那么，总有

（5）观察板书，你能发现什一个抽屉至少放

么？师归纳并板书：进（b+1）本书。

如果把多于kn个物体任意

放进n个抽屉，那么一定有一个

抽屉（k是正整数，n是非0自

然数）里至少有（k+1）个物体。

三、巩学生独立完

固练成，全班集体订

完成教材第69页“做一做”。

习。（8正，要求用算式

分钟）帮助说明。

四、课

1.说一说你本节课的收获。学生谈本节教学过程中老师的疑问：

堂小

2.布置作业。课收获。

结，拓

展延

伸。

（4分

钟）

鸽巢问题（2）

例274-3=2……12+1=3（本）

五、教

I8+3=2……22+1=3（本）I

学板

10-3=3……13+1=4（本）

书如果把多于kn个物体放进n个抽屉里（k是正整数，九是非0

自然数），那么，一定有一个抽屉里至少有（4+1）个物体。

4N

对于“鸽巢问题”，大部分学生很难判断谁是物体，谁是抽屉。教学中，应该

六、教有意识地让学生理解“抽屉原理”的一般化模型，将问题转化为“有余数的除法”

学反的形式，使学生在运用新知识灵活巧妙地解决实际问题的过程中逐步体验数学的

思价值，感受数学的魅力。

教师点评和总结:

第3课时鸽巢问题（3）

教学内容

教材第70页例3。

教学目标

1.知识与技能

进一步理解“鸽巢原理”，运用“鸽巢原理”进行逆向思维，解决实际问题。

①过程与方法

经历运用“鸽巢问题”解决问题的过程，体验观察猜想和实践操作的学习方法。

②情感态度与价值观

加强数学知识与日常生活的联系，激发学生的学习兴趣，提高学生的动手操作能力。

重点、难点

③重点掌握“鸽巢原理”的逆应用。

④难点能熟练地运用“鸽巢原理”解决问题。

教法与学法

♦教法情景教学法，实验探究引导。

♦学法实验观察，独立思考。

教学准备

教具准备：多媒体课件。

学具准备：每组准备红球、蓝球各4个、1个不透明的盒子。

课题鸽巢问题（3）课型新授课

本节课教学是“鸽巢原理”的具体应用，即运用“鸽巢原理”进行逆向思维。教师呈现问

题后，先让学生通过猜测、验证等方式找到答案，形成初步感悟；在得出答案后，教师引导学

设计说

生把实际问题转化为“鸽巢问题”。教学中，教师努力让学生经历将具体问题“数学化”的过程，

明

帮助学生从现实素材中找出最本质的数学模型，发展学生的思维能力，帮助他们积累数学活动

的经验和方法。

课时安

1课时

排

教学环

导案学案达标检测

节

一、谈上一节课，我们认识了“鸽巢原1.在一个鱼缸里，放

话导理”，学会了用“鸽巢原理”解决简单有珍珠鱼、紫龙鱼、绒球

学生认真倾听教师谈

入。的实际问题。除此之外，我们还可以用鱼三个品种的鱼各12条，

话，进入新课学习。

（3分它来解决哪些问题呢？今天，我们继续至少捞出几条鱼才能保证

钟）来探究“鸽巢原理”在生活中的应用。有2条鱼品种相同？

答案：把三个品种的

二、自1.教学例3O1.（D学生观看课件，

主探(1)出示教材第70页例3：盒子获取相关信息。鱼看成三个抽屉，所以至

究，学里有同样大小的红球和蓝球各4个,要(2)学生猜想结论。少捞4条鱼，可以保证有2

会将具想摸出的球一定有2个同色的，至少要(3)学生以组为单位条鱼品种相同。

体问题摸出几个球？验证猜想并汇报。2.一副扑克牌(去掉

转化为(2)学生猜一猜。(4)学生运用“抽屉大小王)共52张，至少摸

“鸽巢(3)学生验证自己的猜想。原理”解答后讨论、汇报。出几张牌，才能保证至少

问题”。学生以组为单位实验操作，教师加2.(1)①把“摸球问有两种不同的花色？

(24分强巡视。题”转化成“鸽巢问题”：答案：至少摸出14张

钟)(4)学生交流汇报。把红、蓝两种颜色看作2牌，才能保证至少有两种

汇报时可以借助演示来帮助说明，个鸽巢，要摸出的球看作不同的花色。

师生共同梳理、比较各种想法，寻找能鸽子。3.箱子里有黑白两种

保证摸出2个同色球的最少次数,达成②把红色、蓝色看成颜色的袜子各8只，至少

统一认识。即：要想摸出的球一定有2鸽巢。有2个“抽屉”，要摸出(5)只，保证一定有

个同色的，最少要摸出3个球。分放的东西：要摸出的球。2双袜子。

2.引导学生把具体问题转化为“鸽一定摸出相同颜色的球的(颜色相同的为一双)

巢问题数量相当于鸽巢问题中的

师：生活中像这样的例子很多，我“总有一个抽屉至少有的

们不能总是猜测或动手实验,能不能把物体数”？

这道题与前面所讲的鸽巢问题联系起(2)在教师引导下总

来思考呢？结用鸽巢原理解题的步

(1)提出问题：骤。

①“摸球问题”与“鸽巢问题”有

怎样的联系？

②应该把什么看成“鸽巢”？有几

个“抽屉”？要分放的东西是什么？什

么相当于鸽巢问题中的“总有一个抽屉

至少有的物体数”？

(2)方法总结。

用鸽巢原理解题的步骤：

①分析题意：找好''抽屉”与分放

的物品。

②设计鸽巢问题。（有时需要构造

抽屉）

③运用原理，得出“抽屉”中分放

物品的个数。

三、巩

1.完成教材第70页“做一做”。

固练学生独立完成后集体

2.完成教材第71页第4、5题。（第

习。（8交流订正。

4题教师注意适当引导）

分钟）

四、课

教学过程中老师的疑

堂小

问：

结，拓

1.说一说你本节课的收获。

展延学生谈本节课收获。

2.布置作业。

伸。

（5分

钟）

)\

r\

■―^

例32+1=3（只要摸出的球比它的颜色种数多1，就能保证有2个球同色）

五、教解决问题基本步骤：

学板书1.确定什么是鸽巢及有几个鸽巢。

2.确定分放的物体。

3.运用原理得出在某个“鸽巢”中至少分放的物体个数。

本节课教学，教师应充分利用学具操作，为学生提供主动参与的机会，把抽象的数学知识

六、教同具体的实物结合起来，化难为易，化抽象为具体，让学生体验和感悟数学，为学生营造宽松

学反思自由的学习氛围和学习空间，让学生能自己动脑解决一些实际问题，从而更好地理解鸽巢问题。

教师点评和总结：

单元核心知识归纳与易错警示

教学1.初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

目标2.通过“抽屉原理”的灵活运用感受数学的魅力。

教学

初步了解抽屉原理并能应用它解决一些简单的问题。

重点

教学

教具准备：PPT课件

准备

教学环节1:单元核心知识归纳

知识点具体内容

抽屉原理把多于kn个物体放进n个抽屉里，不管怎

么放，总有一个抽屉至少有（k+1）个物体。运用“抽屉原

抽屉原理

理”解决问题时，应明确把什么看成抽屉，要分放的东西

是什么。

在逆用“抽屉原理”时，应注意分清“抽屉”和所分

抽屉原理的逆运用放物体及它们的个数。只要物体个数比抽屉数多L就能保

证有一个抽屉一定有2个物体。