2023-2024学年广东省广州市岭南中学数学高一下期末联考试题含解析

2023-2024学年广东省广州市岭南中学数学高一下期末联考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（）A． B． C． D．2．连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（

）A． B． C． D．3．已知两条直线与两个平面，给出下列命题:①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；其中正确的命题个数为A．1 B．2 C．3 D．44．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）A． B． C． D．5．直线倾斜角的范围是（）A．（0，] B．[0，] C．[0，π） D．[0，π]6．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转后，终边经过点，则（）A． B． C． D．7．方程的解集为（）A．B．C．D．8．下列函数中，在区间上是减函数的是（）A． B． C． D．9．如果，且，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．10．终边在轴上的角的集合（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，设，则阴影部分的面积是__________.12．已知数列满足，，则______．13．已知向量与的夹角为，且，；则__________．14．已知数列的前n项和，则________.15．已知，向量的夹角为，则的最大值为_____.16．在中角所对的边分别为，若则___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线和．（1）若与互相垂直，求实数的值；（2）若与互相平行，求与与间的距离，18．如图1，在中，，，，分别是，，中点，，.现将沿折起，如图2所示，使二面角为，是的中点.（1）求证：面面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.19．已知数列满足关系式，.（1）用表示，，；（2）根据上面的结果猜想用和表示的表达式，并用数学归纳法证之.20．已知函数，若，且，，求满足条件的，.21．已知函数，．（1）求函数的单调减区间；（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

依次分析选项的奇偶性和在区间上的单调性即可得到答案.【详解】因为是奇函数，故A选项错误，因为是非奇非偶函数，故D选项错误，因为是偶函数，由函数图像知，在区间上单调递增，故B选项错误，因为是偶函数，由函数图像知，在区间上单调递减，故C选项正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判断，二次函数单调性的判断，属于基础题.2、C【解析】

利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，基本事件包含：（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面），共有4中情况，出现正面向上与反面向上各一次，包含基本事件：（正面，反面），（反面，正面），共2种，所以的概率为，故选C．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟练利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3、A【解析】

结合线面平行定理和举例判断.【详解】若，则可能平行或异面，故①错误；若，则可能与的交线平行，故②错误；若，则，所以，故③正确；若，则可能平行，相交或异面，故④错误；故选A.【点睛】本题线面关系的判断，主要依据线面定理和举例排除.4、B【解析】

由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.【详解】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为，所以三人中至少有一人被录取的概率为，故选B.【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式，求得结果.5、C【解析】试题分析：根据直线倾斜角的定义判断即可．解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选C．6、B【解析】

先建立角和旋转之后得所到的角之间的联系，再根据诱导公式和二倍角公式进行计算可得．【详解】设旋转之后的角为，由题得，，，又因为，所以得，故选B．【点睛】本题考查任意角的三角函数和三角函数的性质，是基础题．7、C【解析】

利用反三角函数的定义以及正切函数的周期为，即可得到原方程的解.【详解】由，根据正切函数图像以及周期可知：，故选：C【点睛】本题考查了反三角函数的定义以及正切函数的性质，需熟记正切函数的图像与性质，属于基础题.8、C【解析】

根据初等函数的单调性对各个选项的函数的解析式进行逐一判断【详解】函数在单调递增，在单调递增.

在单调递减，在单调递增.故选：C【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．9、D【解析】

由，且，可得．再利用不等式的基本性质即可得出，．【详解】，且，．，，因此．故选：．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．10、D【解析】

根据轴线角的定义即可求解.【详解】A项，是终边在轴正半轴的角的集合；B项，是终边在轴的角的集合；C项，是终边在轴正半轴的角的集合；D项，是终边在轴的角的集合；综上，D正确.故选:D【点睛】本题主要考查了轴线角的判断，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

：设两个半圆交于点,连接,可得直角扇形的面积等于以为直径的两个半圆的面积之和，平分,可得阴影部分的面积.【详解】解：设两个半圆交于点，连接,,∴直角扇形的面积等于以为直径的两个半圆的面积之和，由对称性可得：平分,故阴影部分的面积是：.故答案为：.【点睛】本题主要考查扇形的计算公式，相对不难.12、1023【解析】

根据等比数列的定义以及前项和公式即可．【详解】因为所以，所以为首先为1公比为2的等比数列，所以【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和：属于基础题．13、【解析】

已知向量与的夹角为，则，已知模长和夹角代入式子即可得到结果为故答案为1．14、【解析】

先利用求出，在利用裂项求和即可.【详解】解：当时，，当时，，综上，，，，故答案为：.【点睛】本题考查和的关系求通项公式，以及裂项求和，是基础题.15、【解析】

将两边平方，化简后利用基本不等式求得的最大值.【详解】将两边平方并化简得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值为.【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16、【解析】,；由正弦定理，得，解得.考点：正弦定理.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

(1)根据直线垂直的公式求解即可.(2)根据直线平行的公式求解,再利用平行线间的距离公式求解即可.【详解】解（1）∵与互相垂直,∴,解得．（2）由与互相平行,∴,解得．直线化为：,∴与间的距离．【点睛】本题主要考查了直线平行与垂直以及平行线间的距离公式.属于基础题.18、（1）见解析（2）【解析】

（1）证明面得到面面.（2）先判断为直线与平面所成的角，再计算其正弦值.【详解】（1）证明：法一：由已知得：且，，∴面.∵，∴面.∵面，∴，又∵，∴，∵，，∴面.面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.法二：同法一得面.又∵，面，面，∴面.同理面，，面，面.∴面面.∴面，面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.（2）由（1）知面，∴为直线在平面上的射影.∴为直线与平面所成的角，∵且，∴二面角的平面角是.∵，∴，∴.又∵面，∴.在中，.在中，.∴在中，.【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19、（1），，（2）猜想：，证明见解析【解析】

（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明【详解】解：（1），∴，，；（2）猜想：.证明：当时，结论显然成立；假设时结论成立，即，则时，，即时结论成立.综上，对时结论成立.【点睛】本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题20、，【解析】

利用三角恒等变换，化简的解析式，从而得出结论．【详解】解：，∴，待定系数，可得，又，∴，∴，.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，属于基础题．21、（1），．（2）【解析】

（1）利用降次公式和辅助角公式化简表达式，根据三角函数单调区间的求法，求得函数的单调减区间.（2）首先求得当时的值域.利用换元法令，将转化