尺规作图教案

19.3.1尺规作图主备人：王启彤教学目标1.掌握三种尺规作图的方法及一般步骤，并能熟练掌握基本作图语言。2.通过动手操作、合作探究，培养学生的作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力。3.激情投入，全力以赴，让学生认识到尺规作图与实际生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。教学重点难点重点：掌握作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知角的平分线的作法。难点：尺规作图的理论依据。教学方法教学过程一、预习案1.什么叫“尺规作图”？2.如何作一条线段等于已知线段？3.如何作一个角等于已知角？4.如何作已知角的平分线？二、基础知识探究探究一：作一条线段等于已知线段图1问题1.作一条线段等于已知线段答案：已知：线段MN，如图1.求作：线段AC，使AC=AM.作法：第一步：作射线AB.图2第二步：用圆规量出线段MN的长，在射线AB上截取AC=MN.线段AC就是所要画的线段，如图2所示。问题2.作一条线段等于已知线段的理论依据是什么？答案：圆规的功能是以定点为圆心、定长为半径作圆或弧。归纳总结：作一条线段等于已知线段分为两步：（1）用直尺画出射线；（2）用圆规在射线上截取线段等于已知线段（最后下结论）。探究二：作一个角等于已知角问题1：作一个角等于已知角。答案：已知∠AOB，如图（1），求作：∠，使∠=∠AOB。作法：第一步：画射线。第二步：以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于C，交OB于D.第三步：以点为圆心，以OC长为半径画弧，交于。第四步：以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前一条弧于。第五步：经过点画射线。∠就是所要画的角，如图（2）所示。问题2：作一个角等于已知角的理论依据是什么？答案：作一个角等于已知角的依据是“边边边”三角形全等的判定定理。归纳总结：特别关注作一个角等于已知角的作法，并会运用全等三角形的知识进行理论证明。探究点三：作已知角的平分线问题1：作已知角的平分线。答案：已知：∠AOB，如图所示。求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC。作法：1.在射线OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE.2.分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内，两弧交于点C.3.作射线OC。射线OC就是所求作的∠AOB的平分线，如图所示。问题2：为什么不以小于DE的长为半径画弧？答案：若半径小于DE的长，两弧无交点，则无法作出角平分线。问题3：作已知角的平分线的理论依据是什么？答案：作已知角的平分线的依据是“三边对应相等的两个三角形全等”和“全等三角形的对应角相等”。三、知识综合应用例1.如图，已知线段.求作一条线段，使它的长度等于.思考1：如何作出两条线段的和？思考2：如何作出两条线段的差?例2.如图，已知∠A、∠B，求作一个角，使它等于∠A+∠B.思考1：如何作出两个角的和角？思考2：如何作出两个角的差角？思考3：如何作出两个角的和与差？例3.把如图所示的∠BAC四等分。四、课堂练习1.只用无刻度的直尺就能作出的是（）A.延线线段AB到C，使BC=ABB.作一个角等于已知角C.作已知角的平分线D.从点O经过点P作射线OP2.已知线段AB和线段CD，且AB＞CD，如图所示，求作线段EI，使EF=2（AB－CD）.五、课后作业1.已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（）①作射线OC；②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；③分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点CA.①②③B.②①③C.②③①D.③①②2.根据下图把下列作图语句补充完整。（1）如图（1）所示，在________上截取_________；（2）如图（2）所示，以点_______为圆心，_______的长为半径作弧，交_______于点_______，交_______于点_______。3.如图，作出△ABC的内角平分线AD。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）4.已知线段和∠，如图所示。求作：△ABC，使BC=，AB=，∠ABC=∠.19.3.2尺规作图主备人：王启彤教学目标1.掌握两种尺规作图的方法及一般步骤，并能熟练掌握基本作图语言。2.通过动手操作、合作探究，培养学生的作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力。3.激情投入，全力以赴，让学生认识到尺规作图与实际生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。教学重点难点重点：掌握经过一已知点作已知直线的垂线，作已知线段的垂直平分线的作法。难点：尺规作图的综合应用。教学方法教学过程一、预习案1.如何经过一已知点作已知直线的垂线？2.经过一已知点作已知直线的垂线的理论依据是什么？3.如何作已知线段的垂直平分线？4.作已知线段的垂直平分线的理论论据是什么？二、基础知识探究探究点一：经过一已知点作已知直线的垂线问题1：点与直线的位置关系有哪几种？答案：点在直线上和点在直线外。问题2：如图1，如何经过已知直图1线上一点C作已知直线的垂线？答案：已知：直线和直线上一点C（如图2所示）求作：直线的垂线，使它经过点C.图2作法：如图2所示。1.作平角ACB的平分线CM；2.反向延长射线CM；直线CM就是所求作的垂线。问题3：如图3.如何经过已知直线外一点C作已知直线的垂线？答案：已知：直线和直线外一点C（如图3所示）图3图4求作：直线的垂线，使它经过C。作法：如图4所示，1.以C为圆心，适当长度为半径画弧，交于点A和B。2.分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，在直线的不同点C的一侧，两弧相交于点M。3.作直线CM，直线CM就是所求作的垂线。探究点二作已知线段的垂直平分线问题1：一条线段的垂直平分线有几条？答案：一条。问题2：如何作已知线段AB的垂直平分线（如图）？答案：已知：线段AB（如图1所示）.求作：线段AB的垂直平分线.图1图2作法：如图所示，1.分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和N.2.画直线MN.直线MN就是所求作的线段AB的垂直平分线.归纳总结：（1）若半径等于或小于AB，两弧就只有一个交点或没有交点；（2）直线MN与线段AB的交点就是AB的中点，所以我们也可以用这种方法找出线段的中点。三、知识综合应用例1.如图所示，直线是一条笔直的公路，现在村庄P要修一条最短的路与公路相连，请标出修路位置。思考：你能把这个实际问题转化为数学问题吗？例2.如图，在平面直角坐标系Oy中，点A（0，8），点B（6，8）.只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件：（1）点P到A，B两点的距离相等；（2）点P到∠Oy的两边的距离相等.思考1：点P到A，B两点的距离相等应满足什么条件？思考2：点P到Oy的两边的距离相等应满足什么条件？思考3：如何找到都满足这两个条件的点？四、课堂练习：1.根据图形填空.（1）连结两点（如图1）图1图2图3图4（2）延长线段到点，使BC=（如图2）（3）在AM上截取=（如图3）；（4）以点O为，以m为画，分别交OA，OB于点C，D（如图4）.2.如图，四边形EFGH是一长方形的台球桌面，有黑、白两球分别位于A、B两点的位置，要使白球B先碰到桌边HG反弹再击中黑球，作出白球的入射点O（用尺规作图，保留痕迹）.五、课后作业：1.如图，直线CP是AB的垂直平分线且交AB于P，其中AP=2CP。甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求，对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确，乙错误D.甲错误、乙正确2.利用基本作图不能唯一作出三角形的是（）A.已知三边B.已知两边及夹角C.已知两角及夹角D.已知两边及其中一边对角3.已知△ABC如图，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要求填空：（1）作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（2）作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.由（1）、（2）可得；线段EF与线段BD的关系为互相垂直平分。5.eq\o\ac(○,L)★如图，有分别过A、B两个加油站的公路1、2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路1、2的距离也相等。请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）.19.1命题与定理主备人：王启彤教学目标1.了解命题、公理、定理的含义，会区分命题的题设和结论，会判断真命题和假命题，提高逻辑推理能力。2.结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。3.积极投入，全力以赴，初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值.教学重点难点重点：找出命题的条件（题设）和结论。难点：命题概念的理解。教学方法教学过程一、预习案1.什么叫命题？什么是真命题？什么是假命题？2.命题是由哪两部分组成的？3.什么叫公理?它有什么作用？4.什么叫定理？它有什么作用？二、基础知识探究探究点一命题的定义及结构问题1：什么是命题？命题一定是正确的吗？答案：可以判断一件事情是正确的或是错误的句子就叫做命题；命题有真假之分，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。问题2：命题可以分为几部分？分别是什么？答案：命题分为两部分：题设、结论；题设是指命题中的已知事项，而结论则是由已知事项推出的事项。问题3：命题表述的一般形式是什么？答案：命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，这是命题表述的一般形式；用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。归纳总结：命题是对某一件事情作出结论，与这个结论的正确与否无关，故命题有真假之分；命题可以分为题设和结论两部分，任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式。探究点二：判断假命题问题1：命题“如果＞6，那么＞6”是真命题还是假命题？答案：假命题。问题2：如何说明一个命题是假命题。答案：可以采用举反例的方法说明一个命题是假命题。归纳总结：可以采用举反例的方法说明一个命题为假命题，即找一个例子，使它符合命题的题设，但不符合命题的结论。探究点三：公理和定理问题1：什么是公理？你能举个具体例子吗？答案：公理是指人们在长期实践中总结出来的真命题，是判断其他命题真假的原始依据；如“经过两点有且只有一条直线”，“两点之间，线段最短”等。问题2：什么是定理？你能举个具体例子吗？答案：定理是从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据；如“勾股定理”。问题3：命题、公理和定理之间有什么联系和区别？答案：联系：这三者都是判断一件事情真假的句子，所以公理和定理也是命题；区别：公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题。三、知识综合应用探究例1.下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）延长线段BC；（2）艳阳高照；（3）一个数的绝对值大于它本身；（4）对顶角相等吗？（5）如果；（6）同旁内角互补。例2.写出下列命题的题设和结论：（1）若＞，＞，则＞；（2）对顶角相等；（3）正方形的四个角相等；（4）两直线相交，有两个交点；（5）如果.四、课堂练习1.下列语句中不是命题的是（）A.延长线段ABB.自然数也是整数C.两个锐角的和一定是直角D.同角的余角相等2.下列命题中是真命题的是（）A.平行于同一条直线的两个直线平行B.两直线平和地，同旁内角相等C.两个角相等，这两个角一定是对顶角D.同角的余角不相等3.下列命题是假命题的是（）A.互补的两个角不能都是锐角B.若C.乘积是1的两个数互为倒数D.全等三角形的对应角相等五、课堂练习1.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出它的题设和结论。（1）全等三角形的对应边相等；（2）平行四边形的对边相等。2.指出下列命题中的真命题和假命题。（1）同位角相等，两直线平行；（2）多边形的内角和等于180°.3.判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以证明。（1）两个锐角的和等于直角；（2）两个直线被第三条直线所截，同位角相等。4.把下列命题改成“如果……，那么……”的形式。（1）全等三角形的对应边相等；（2）菱形的对角线相互垂直；（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。5.试证明“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。”即，已知：如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为E、F。求证：AB//CD.19.2三角形全等判定主备人：王启彤教学目标1.掌握用“边角边”、“角边角”和“角角边”、“边边边”、“斜边直角边”判定三角形全等的方法，提高逻辑推理的能力；2.通过动手实践、小组交流，学会证明三角形全等的方法；3.激情投放，享受成功学习的快乐，感受教学逻辑推理的严谨性。教学重点难点重点：用“边角边”、“角边角”和“角角边”、“边边边”、“斜边直角边”判定三角形全等。难点：利用三角形全等证明线段相等或角相等。教学方法教学过程一、复习案判断三角形全等方法：方法一：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。简记为：S.A.S.（或边角边）方法二：如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么定两个三角形相等。简记为：A.S.A.（或角边角）方法三：如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。简记为：A.A.S.（或角角边）方法四：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。简记为：S.S.S.（或边边边）判断两个直角三