2020-2021学年北京市高一（下）期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年北京市海淀区八一学校高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.

1.过平面a外一点A,能做（）条直线与平面a平行

A.0B.1C.2D.无数

2.已知点A（0,73）,3（0,0）,C（1,0）,贝UcosV前，正>=（）

3.下列选项中，能构成钝角三角形的三边长的选项是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,54,5,6

4.把函数/（x）=sm2x的图象向右平移了个单位长度’得到的图象所对应的函数g（x）

的解析式是（）

B.g(x)=sin(2x^-)

A.g(x)=sin(2x

C.g(x)=sin(2x+^-)

D.g(x)=sin(2x-t-r-)

5.若圆锥的母线长与底面半径之比为4：1,则该圆锥的侧面积与底面积之比为（）

A.4：1B.2：1C.TT：1D.TT：2

6.设非零向量二b-则“（£E）•G+E）=0"是"lll=lbl"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.在△ABC中，若。=也半，则△A2C为（

bcosA

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰或直角三角形

8.函数/（x）=Asin（（ox+（p）（A>0,w>0）的部分图象如图所示，则/（“）的值

为（）

TT

D.-1

9.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括

一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称

为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长

的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置

设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即/ABC）为26.5°,夏至正午

太阳高度角（即NAOC）为73.5°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）

为则表高（即AC的长）为（）

asin530

2sin47°

2sin47°

asin530

atan26.5°tan73.5°

tan470

asin26.5°sin73.50

sin47°

10.在棱长为1的正方体ABCD-AIBICIPJ中，点尸在线段ADj上运动，则下列命题错误

的是（）

A.异面直线CiP和CBi所成的角为定值

B.直线CP和平面ABCiDi所成的角为定值

C.三棱锥。-BPG的体积为定值

D.直线CD和平面2PG平行

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11.设xeR,向量W=(X,1),E=(1,-2),且=_1_三，则x=-

12.函数/(尤)=cos2x・cosx-sin2x・sinx的最小正周期为.

13.如图所示，棱长为2的正方体ABCD-AiBCid中，点M为棱的中点，过点4

的平面«与平面BMG平行，则平面a与直线CD的交点到顶点D的距离为；三棱

锥Ai-BMCi的体积为.

14.已知函数/(x)=sin3x+J^cos3X(a)>0),f+f=0,且/(x)在区间

62

(W-,-T-)上递减，则3=.

15.如图，已知四棱锥尸-ABCD,底面A3C。为正方形，E4J_平面ABC。，给出下列命题:

①图中所有线段中尸C最长；

②NBD可能为直角三角形；

③平面PAB与平面PCD的交线与AB平行.

三、解答题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程

16.已知函数f(x)=2(cosx-V3sinx)*sinx-h/3-

(i)求六三二)的值；

6

(2)求函数/(x)的单调递减区间.

17.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PAL平面ABC,AB1BC,点。，E分别为线段AB,

AC的中点，过DE的平面a交平面P2C于尸G.

(1)证明：BC，平面24B；

(2)证明：FG//DE.

18.在AABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,AABC的面积为S,且满足

,2^22_W3_

b+c-a=~--SC-

o

(1)求角A的大小；

(2)设NBAC的角平分线A。交BC于O,且a=2«，求线段AD的长.

19.如图所示，在正四棱柱ABCO-AiBCiA中，尸是线段4G上的动点.

(1)证明：3尸〃平面AC。；

(2)在线段4G上是否存在一点尸，使得平面2。尸，平面ACDi?若存在，请求出4G：

4尸的值；若不存在，请说明理由.

20.设集合4={1,2,3,…，〃}("22,”eN),集合尸UA“，如果对于任意元素抚尸，

者B有X-1&P或X+1&P,则称集合P为A"的自邻集.记a》l《k《n,k£N)为集合4

的所有自邻集中最大元素为人的集合的个数.

(1)直接判断集合尸={1,2,3,5}和。={1,2,4,5}是否为As的自邻集;

（2）比较“和4的大小，并说明理由.

（3）当时,求证：a\i+aj]+...+a：二].

参考答案

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.过平面a外一点A,能做（）条直线与平面a平行

A.0B.1C.2D.无数

解：因为平面a外有无数条直线平行与平面a,

所以过平面a外一点A,能做无数条直线与平面a平行，

故选：D.

2.已知点A（0,遮），B(0,0),C(1,0),则cos<前，AC>=()

1返

B.FC—D.

A・岑-22

解：根据题意，点A（0,日)，B(0,0),C(1,0),

则前=（1，0），AC(1,-M),

则有出。=1，lAd=2,BC・AC=1，

BC-AC1

则cos<BC，AC>

IBCIIACI2'

故选：c.

3.下列选项中，能构成钝角三角形的三边长的选项是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

解：•.T+2=3,.•.这三边不能构成三角形，A错误;

♦.•22+32-42=-3<0,...这三边能构成钝角三角形，B正确；

•.•32+42=52,.•.这三边构成直角三角形，C错误;

•.•42+52-62=16+25-36=5>0,...这三边构成锐角三角形，O错误.

故选：B.

4.把函数/（无）=sin2x的图象向右平移、二个单位长度，得到的图象所对应的函数g（x）

6

的解析式是（）

A.g（x）=sin（2x—7-）B.g（x）=sin（2x「；-）

03

C.g(x)=sin(2xD.g(x)=sin(2x

解：由题意，将函数/（x）=sin2x的图象向右平移-；二个单位长度，

6

JT兀

可得g（x）=sin2（x—1）=sin（2x-3一）的图象，

63

故选：B.

5.若圆锥的母线长与底面半径之比为4：1,则该圆锥的侧面积与底面积之比为（）

A.4：1B.2：1C.IT：1D.n：2

解：设圆锥的母线长为/=4x,则底面半径r=x,

所以圆锥的侧面积为S=m7=4irx2,

圆锥底面面积为8=71/=11工2,

所以该圆锥的侧面积与底面积之比为4：1.

故选：A.

6.设非零向量之，E，则“（薮4•（Z+E）=0"是"域1=百’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：（；-卜•昼+E）=0^a2=b2<^la|2=|b|2^lal=lbl-

故“（；-E）•（；+芯）=0”是=亩”的充要条件.

故选：C.

7.在△ABC中，若旦=22冬，则4ABC为（）

bcosA

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰或直角三角形

解：在△ABC中，•.•包=丝吟=£2冬，

bsinocosA

—sin2A=—sin2B,

22

.\2A—2B或2A=TT-2B,

・・・A=3或A+3=5，

：.AABC为等腰或直角三角形，

故选：D.

11兀

8.函数/（尤）=Asin（a）x+（p）（A>0,a）>0）的部分图象如图所示，则/（一/一）的值

：/3

c.-返D.-1

22

解：•"（X）的最大值为如，最小值为-圾,A>0,

A=i/2,

・・了（x）的周期T=4（片771--T-T）=m

J.4O

2兀。

=—=T-=2,

JT

7兀、—不

7兀、r

在sin-^+隼）=-V2，

6

.7兀3兀，兀，7

+隼=门+2kn,.*.（p=­-+2A:IT,ZeZ,

623

=&sin（1：：।；+2加）=&sin=-圾sin?=-1.

/aoaa

故选：D.

9.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括

一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称

为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长

的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置

设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即/ABC）为26.5°,夏至正午

太阳高度角（即NADC）为73.5°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）

为。，则表高（即AC的长）为（）

Aasin530

2sin470

2sin470

asin530

cataa26.5°tan73.50

,tan470

asin26.5°sin73.5°

sin470

解：由题可知：/BAD=735°-26.5°=47°,

在△BAO中，由正弦定理可知：.叫届=./的,即.M。=.卅1,

sin/BADsmZ_ABDsm47sin26.5

・

则m..c皿as一in26奇5

又在△ACD中，^-=sinZADC=sin73.5°，

asin26.50sin73.5

所以AC=

sin470

故选：D.

10.在棱长为1的正方体ABCO-AiBiCQi中，点尸在线段A。上运动，则下列命题错误

A.异面直线CiP和CBi所成的角为定值

B.直线CP和平面ABCiDi所成的角为定值

C.三棱锥D-BPG的体积为定值

D.直线CO和平面BPCi平行

解：对于A,因为在棱长为1的正方体ABC。-43clz中，点尸在线段Ad上运动,

则CBi_L平面ABGD1,因为CiPu平面ABGA,所以C3」GP,

故这两条异面直线所成的角恒为定值90°,

故选项A正确；

对于3,由线面夹角的定义可知，令与SC的交点为O,

则/CPO即为直线CP与平面ABG。所成的角，

当点尸移动时，/CP。是变化的，

故直线CP和平面ABCiDi所成的角为不是定值，

故选项8错误；

对于C,三棱锥D-BPCi的体积等于三棱锥P-DBCi的体积，

又△DBG的大小一定，因为PEG,而AOi〃平面BOG,

所以点A到平面DBCi的距离即为点P到该平面的距离，

所以三棱锥D-BPCi的体积为定值，

故选项C正确；

对于D,直线C。〃平面ABCiDi,则直线CO〃平面BPCx,

故选项D正确.

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11.设尤6R,向量;=(x,1),b=(1，-2),且2_1_总则x=2

解：X6R,向量之=(x,1),(1,-2),且2_1_芯，

可得：x-2=0,解得x=2.

故答案为：2.

12.函数/(x)=cos2x・cosx-sin2x・sinx的最小正周期为——1_.

O

2兀

解：函数/(x)=cos2x・cosx-sin2x・sinx=cos(2x+x)=cos3%的最小正周期为二一，

o

故答案为：等.

13.如图所示，棱长为2的正方体ABCD-AiSCiA中，点M为棱431的中点，过点4

的平面a与平面BMCi平行，则平面a与直线CD的交点到顶点D的距离为2；三棱

锥的体积为4.

-3-

解：取A3、GA的中点分别为尸、N,连接4尸，AiN,PC,CN,

由AiM〃NG,且4M=NG,故四边形4MC1N为平行四边形，

所以A1N//GM,且AiN=GM,

因为PM,BBi,CCi平行且相等，

则四边形PCCiM为平行四边形，

所以PC与平行且相等，则4N与尸C平行且相等，

故四边形AiNCP为平行四边形，

因为AiN〃GM,ANU平面BMCi,GMu平面

故4N〃平面

因为ARC平面BMCi,MBu平面BMCi,

故4尸〃平面BMCi,

又AiPA4N=Ai,AiP,AiNu平面4NCP,

所以平面4NCP〃平面BMCi,

则平面4NC尸即为平面a,

平面a与直线CD的交点C到顶点D的距离为CD=2,

由等体积法可得，^AJ-BMC^^CJ-BMAJ=yXSABMAXC,B,

O

112

yXyXlX2X2=f，

J/o

2

故三棱锥Ai-BMC、的体积为亲

o

、2

故答案为：2;y.

o

14.已知函数/(x)=sinau+，^cos3x(a)>0),f(-7-)+f=0,且/(x)在区间

62

—~y-T-)上递减，则3=_2

b2

兀

角麻f(x)=sinou+^/§coso)x=2sin(a)x1),

o

由-^~+2k兀43xy厂《三十+2k兀，k€Z,取左=0,得:

兀<x<啬，由于/(X)在区间(卷，与)上单调递减'

63

JT

63A*7

，解得IWcoW石.

771、儿o

,63k2

K71

,•,/(—)+f(—)=0,

62

nK

=。■为/(x)=2sin(ou+-—)的一个中心的横坐标,

..xTN

OO

2

兀7T

・•・丁"后=kll,则3=3%-1，%EZ,

7

又IWcoW/

o

・・.3=2.

故答案为：2.

15.如图，已知四棱锥尸-ABC。，底面A3CD为正方形，PA,平面A3CO,给出下列命题:

①图中所有线段中尸c最长；

②△尸8。可能为直角三角形；

③平面PAB与平面PCD的交线与AB平行.

其中正确的序号是①③

解：对于①：不妨设正方形A3C0的边长为a,PA=b,

所以AB=BC=CD=AD=a,

所以PB=PO=\a2+b2,pC=7pA2+AC2=7b2+2a2-

所以所有线段中PC最长，故①正确；

对于②：由①知Va2+a2=V2^'

PB-+PD2=cr+b-+a^+lr=2a-+2b2,BD~=2a2,

若尸则2哥+^^二瓦丹解得。=o,不合题意，

所以尸8不垂直尸，

PB2+BD2=层+62+2层=3a2+廿，尸》=层+房，

若PB_LBD,则尸解得。=0,不合题意，

所以PB不垂直瓦)，

PD2+BD2=a2+Z?2+2tz2=3a2+b2,PB2=cfi+b-,

PDVBD,则「。2+8。2=尸82,解得。=o,不合题意，

所以PD不垂直8£),故②不正确；

对于③：设平面PAB与平面PCD的交线为I,

因为CZ)〃AB,平面FAB,ABu平面尸AB,

所以CD〃平面PAB,

因为CQu平面PCD,

平面PABFI平面PCD=l,

所以CD//I,

所以AB〃/,故③正确.

故答案为：①③.

三、解答题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程

16.已知函数f(x)=2(cosx-我sinx)，sinxT^.

⑴求T)的值;

(2)求函数/(x)的单调递减区间.

解：(1)f(x)=2(cosx-V3sinx)"sinx-tVs=sin2x-2V3xc°s^x4^/3=

sin2x+^/^c0s2x=2sin(

「Lt、1，5兀、/5兀TT、r—

所以f(~)=2sin(-y-)=F

(2)令£+2k兀q兀

2k兀+~~--(fceZ),

兀”,7H

整理得：，，+k兀4x《k兀马工-(依Z),

所以函数的单调递减区间为：[a+k兀，kK-1^-](在z).

17.如图所示，在三棱锥尸-ABC中，PA，平面ABC,AB±BC,点、D,E分别为线段AB,

AC的中点，过DE的平面a交平面PBC于FG.

(1)证明：平面PAB；

(2)证明：FG//DE.

【解答】证明：(1)因为PA_L平面ABC,BCu平面ABC,

所以尸A_LBC,

又因为A3_LBC,PAHAB=A,

所以BC_L平面尸AB；

(2)因为点。，E分别为线段AB,AC的中点,

所以DE//BC,

因为DEC面尸3C,BCcfflPBC,

所以。£7/面PBC,

因为。£7/面PBC,DEc®a,平面al~l面尸2C=PG,

由线面平行的性质可得：FG//DE.

p

18.在△ABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且满足

,2.22.W3

b+c-a=~--S-

（1）求角A的大小；

（2）设NBAC的角平分线A。交BC于O,且软=2«，求线段的长.

解：（1）在△ABC中，根据余弦定理，b^+c2-a2=2bccosA,且S^bcsinA，

•2.22以反C汨c,,_1W3,.、

••Eb+c-a=~--S行，2bccosA=-^-*--~bcsinA^

；.tanA=«,且Ae（0,TT）,

（2）如图，在△ABC中,a=2/，A吟，,且

.R.尸，穴、如、,M,近、八一娓他

sinB=S1n（——X—^X--—-.

2M二b__

根据正弦定理得，V3=V6+V2-解得b=&+\历，

~2-4-

「/兀/n5兀/7兀L,兀5兀兀

又ZBAD-，ZB=-2—,；./ADC=*，且ZC=7l—z,

sin/ADC=sin(兀号今)=sin脸警，

AD二遍地

.•.在△AC£＞中，根据正弦定理得，企二娓他，解得AD=2&.

~24~

19.如图所示，在正四棱柱ABCD-AKiDi中，尸是线段4G上的动点.

(1)证明：BP〃平面ACOi；

(2)在线段4G上是否存在一点尸，使得平面BZXL平面AC5?若存在，请求出4G：

4P的值；若不存在，请说明理由.

【解答】(1)证明：连接48,CiB,

-AB//C1D1,AB=CQi,...四边形ABCiOi是平行四边形，

可得ADi//BCi,

：AZ)iu平面ACDi,3clet平面AC。，〃平面AC。，

同理AI〃平面AC。，

又AiB、BGu平面AM,且AiBCBCi=B,

平面ACDi//平面BAiCi,而P是线段AiG上的动点，

BPu平面BAiCi,可得B尸〃平面ACZ＞］；

(2)解：当尸为4G的中点，即4G：4尸=2时，平面平面ACDi.

证明如下：若尸为4G的中点，则平面3。尸即为平面BBQ。，

四棱柱ABCD-AACiDi是正四棱柱，

：.AC±BD,88」平面ABC。，BBl±AC,

又BBGBD=B,；.AC_L平面BBQ。，而ACu平面AOZ,

平面ACDi_L平面BBiDiD,即平面平面ACD\.

20.设集合A〃={1,2,3,n]("22,nGN),集合PU4,如果对于任意元素xEP,

都有X-le尸或x+leP,则称集合P为4的自邻集.记a3(l《k《n,k£N)为集合4

的所有自邻集中最大元素为k的集合的个数.

(1)直接判断集合尸={1,2,3,5}和。={1,2,4,5}是否为4的自邻集；

(2)比较。和a：0+a；Q的大小，并说明理由.

(3)当〃24时，求证：a[]+a^_i+...+a]；.

【解答】(1)解：因为4={1,2,3,4,5},所以尸={1,2,3,