2017-2018学年重庆市某中学高二（上）期末数学试卷（理科）

2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理

科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知函数/（*）=：丁+加2+1在x=2处取彳用及值，贝）

A.-1B.1C.-D.--

44

2.（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

正视图侧视图

俯视图

A.15B.20C.30D.60

3.（5分）命题"Vxe（-8,0），均有e，>x+l”的否定形式是（）

A.VXG（-OO,0）,均有x+1B,3XG（-OO,0），使得X+1

C.Vxe[-co,0）,均有/>x+lD.3^e[-oo,0），使得/>%+l

4.（5分）〈"是"Ll"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（5分）我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的

《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示

的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例,则输出的S的值为（）

A.4B.-5C.14D.-23

6.（5分）已知函数“X）的导函数八幻=加+法+。的图象如图，则/（x）的图象可能是（

)

7.（5分）设加、〃是两条不同的直线,a£是两个不同的平面，下列命题中错误的是（

)

A.若m_La,m/In,n!!P，贝[]aJLB.-LJ3,mUa,mVp，贝

C.若机zmua，则a_L〃D.若a上月，〃zua,nu（3，则机_L〃

8.（5分）已知函数/3）=以-/心在区间（1,+oo）上单调递增，则。的取值范围是（）

A.。>1B.a.AC.a<\D.1

9.（5分）如图所示的程序框图输出的结果是S=720,则判断框内应填的条件是（)

A.z„7B.z>7C./；,9D./>9

22

10.（5分）已知点P为椭圆三+匕=1上的一点，点A,8分别为椭圆的右顶点和上顶点，

43

直线以与y交于点“，直线。8与x轴交于点N，则||的值为（）

A.4B.4GC.-D.—

33

11.（5分）已知点P在正方体ABCD-44c4的线段的上,则cosNAPC最小值为（

）

12.（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为匕，且，目两

条曲线在第一象限的交点为P,若△P耳心是以PF、为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离

心率分别为-e2,则e、出的取值范围是（）

A.（0,§）B.（0,—）C.（—,4-oo）D.）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

2

13.（5分）若双曲线二—丁=1（加>0）的离心率为2,则机=.

14.（5分）已知抛物线丁=16x，焦点为尸,A（8,2）为平面上的一定点，P为抛物线上的

一动点，则|PA|+1PF|的最小值为.

15.（5分）三棱锥P-A8C中，必_L平面ABC,AC±BC,AC=BC=\,PA=6,贝！1

该三棱锥外接球的表面积为一.

16.（5分）已知函数/（幻=52-（2a+l）x,g（x）=e*-x-l,若对于任意的％e（0,+<»）,

X2&R,不等式/（X|）„g（£）恒成立，则实数”的取值范围为_.

三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）

17.（10分）如图，四棱锥尸-A8c。的底面是正方形，尸£），底面A8C。，点E在棱PB上.

（1）求证：平面AEC1平面PDB；

（2）当尸。=夜43,且E为P8的中点时，求AE与平面所成的角的大小.

B

18.(12分)已知焦点为F的抛物线C:£=2py(p>0)过点M(2j"),且|MF|=2.

(1)求p,m；

(2)过点M作抛物线C的切线/,交)，轴于点N,求的面积.

19.(12分)已知函数/(x)=g加2_26一3加1+/?在入'=1处切线为4x+y-2=0.

(1)求a,b；

(2)求/(x)在xe[l,7]上的值域.

20.(12分)在多面体ABCDE尸中，四边形A8c。是正方形，EF//AB,DE=EF=\,

DC=BF=2,ZEAD=30°.

(I)求证：M_L平面CD"；

(n)在线段8。上确定一点G，使得平面现)与平面/FG所成的角为30。.

22

21.(12分)已知椭圆C:，+S=l(a>6>0)的上下两个焦点分别为6,F2，过点石与y

轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，\MNF1的面积为上,椭圆C的离心率为今

(I)求椭圆C的标准方程；

(n)已知。为坐标原点，直线/:)，=履+〃，与y轴交于点P(P不与原点。重合)，与椭圆C

交于A,8两个不同的点，使得丽=3万，求机的取值范围.

22.(12分)已知函数/(x)=e"J履-2左(其中e是自然对数的底数，kwR)

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当函数f(x)有两个零点看,々时.证明：x,+x2>-2.

2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理

科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知函数/（x）=gd+*?+1在x=2处取彳瓠值，贝1|8=（）

A.-1B.1C.-D.--

44

【解答】解：函数=+法2+1,可得r（x）=V+2版,

•••/（X）在x=2处取得极值，

:.f（2）=4+46=0,

解得：方=-1；

故选：A.

2.（5分）若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）

俯视图

A.15B.20C.30D.60

【解答】解：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3,4的

直角三角形，高为5.

二咚雌44G=万*3x4X5=30.

故选：C.

3.(5分)命题"Vxe(-8,0),均有，>x+l”的否定形式是()

A.Vxe(F,0)，均有e*,,x+1B.3xe(^»,0),使彳导e*”x+l

C.Vxe[-oo,0),均有e">x+lD.3xe[-oo,0),使得e*>x+l

【解答】解：命题"Wxe（F,O），均有">x+l”的否定形式是：*e（-8,0），使得e*,,x+l.

故选:$B$.

4.（5分）“<一是“二1"的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解:由"x1<x"解得0<x<l,

由"L1"解得0<%,1,

X

故"f<x"是"L.i"的充分不必要条件，

X

故选：A.

5.（5分）我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的

《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示

的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的S的值为（)

A.4B.-5C.14D.-23

【解答】解：模拟程序的运行，可得

5=1,/=1

满足条件i,,4，执行循环体，5=-1,/=2

满足条件i,,4,执行循环体，5=4,i=3

满足条件i„4,执行循环体，S=-5,i=4

满足条件i,,4，执行循环体，S=14,i=5

不满足条件A,4,退出循环，输出S的值为14.

故选：C.

6.(5分)已知函数f(x)的导函数/(幻=加+法+,的图象如图，则/(x)的图象可能是(

)

【解答】解：根据导数与原函数单调性间的关系：从左到右分成三部分，

第一部分导数小于零，第二部分导数大于零，第三部分导数小于零，

则相应的，第一部分原函数为减函数，第二部分原函数为增函数，第三部分原函数为减函数;

满足题意只有。.

故选：D.

7.（5分）设〃?、〃是两条不同的直线,a、B是两个不同的平面，下列命题中错误的是（

)

A.若机_La,m/tn,n///?，贝[]aJ■尸B.若a_L6,m<^a,mVp,/a

C.若修！.£,znua,则a_L〃D.若a_L〃，mua,〃<="，贝!|机_1及

【解答】解：若机_La,mlIn,nl113,

则由平面与平面垂直的判定定理得a，故A正确；

若a_L£,m<ta,m±/3,则由直线与平面平行的判定定理得机//a,故8正确；

若mJ.0,〃?uc,则由平面与平面垂直的判定定理得a_L/?，故C正确；

若al_£,“zua,，则相与〃相交、平行或异面，故。错误.

故选：D.

8.（5分）已知函数/（为=取-/以在区间（l,+oo）上单调递增，则a的取值范围是（）

A.a>1B.a..JC.a<\D.1

【解答】解：•.•函数y=ar-阮v在（1,3内单调递增，

.•.当x>l时，y=a-L.O恒成立，

X

艮口Q..:-fCl-•1

Xf

即。的取值范围为U,-K»）,

故选：B.

9.(5分)如图所示的程序框图输出的结果是S=720,则判断框内应填的条件是()

通

1=10,5=1

i=M

S=Sxj

(^1

A./„7B./>7C./；,9D./>9

【解答】解：第一次运行，i=10,满足条件，5=10x1=10,/=9

第二次运行，/=9，满足条件，5=10x9=90,i=8,

第三次运行，/=8，满足条件，5=90x8=720,z=7,

此时不满足条件，输出S=720,

故条件应为,8,9,10满足，，=7不满足，

故条件为：i>7,

故选：B.

10・（5分）已知点P为椭圆/。I上的一点，点A,8分别为椭圆的右顶点和上顶点,

直线以与了交于点M,直线P8与x轴交于点N，则|AN|口的值为（）

D考

A.4B.4石

【解答】解：如图所示：设P的坐标为（2cos。,石sin。），

由4(2,0),8(0,6),

则直线”的方程为三去外（一）,

令x=0时，则丫=卢吗

1-COS。

即M(0,卢吗),

1-cos。

11

则直线8P的方程为y-有=6："二Gx,

2cos夕

f\mi2COS0

令)'=Q,则"E

即N者吟,0),

1-sin

一……2cos〃,cJ-sing—cos。

「ANH2--------=2-------------

1一sin。1-sin^

尸""叫；：：鬻:黑=4月,

故选：B.

11.（5分）已知点P在正方体ABCD-ARC〃的线段BD,±,则cosNAPC最小值为（

1111

ABcD

一3-2-9-9-

【解答】解：连结AP,以。为原点，D4为x轴，CC为y轴，力〃为z轴，建立空间直角

坐标系，

设正方体ABCO-A与G。的棱长为1,

则〃(0,0,1),fi(l,1,0),D(0,0,0),

A(1,0,0),C(0,1,0),设尸(a,b,c),

D^P=W\B,(O1,

：.(a,b.c-i)=(A,A,0).P(A,2.1-2),

PA=(1-A,-2,A-1),PC=(-A,1-2,A-l).

cosZAPC=cos<PA,PC>=-------------

1PAI」PC|

_-2+22-A+A2+22-2/l+l

322-4A+2

322-4A+2-l,1

=--------------------=1-------------------

3A2-4/l+2322-42+2

2

•••(O1,.-.322-4A+2e[-,2],

3

则COSZAPCG]」,2].

22

cosNAPC最小值为-1.

2

12.（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为耳，入，且两

条曲线在第一象限的交点为P,若△PK入是以PF、为底边的等腰三角形,椭圆与双曲线的离

心率分别为4,%、则q包的取值范围是（）

。□

【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为C,上片|=〃？，|PEI=〃，(m>〃)，

由于A尸耳工是以PF、为底边的等腰三角形.

由椭圆的定义可得，"+〃=2G,

由双曲线的定义可得〃?-〃=24，

可得〃=4-4=2C,可得'-'=2，即乌=13-,

e1e21+2e2

2

由离心率公式可得qe,=—/，

1+2々

、八1~r/白户一2f+l11111

/=1+2弓t>3f—---------—(rH----2)>_x(3—2H—)=一)

t4t4t433

.•w%的取值范围为q,+8).

故选：c.

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)

13.(5分)若双曲线二-y=l(m>0)的离心率为2,则〃?=_g.

nr3

【解答】解：双曲线f-丁=1(〃2>0)的。=〃?，6=1,

c=\j\+tn,贝!Je=£=)+忆=2,解得，m=§.

atn3

故答案为：乎.

14.（5分）已知抛物线y2=16尤，焦点为F,48,2）为平面上的一定点，P为抛物线上的

—点，则|PA|+1PFI的最小值为12.

【解答】解：抛物线的准线方程为：x=-4,焦点为尸（4,0）,

过A向准线作垂线，垂足为B,

:\PA\+\PF\..\AB\=X2.

故答案为：12.

15.（5分）三棱锥P-A8C中，9J_平面ABC,ACJ.BC,AC=BC=\,PA=6,则

该三棱锥外接球的表面积为_57—.

【解答】解：小，平面ABC,ACLBC,

...BCl^PAC,m是三棱锥尸-A8C的外接球直径；

•.•RtAPBA中,AB=y/2,PA=g,

PB=45,可得外接球半径R=^PB=^,

.•.外接球的表面积s=4TTR2=5n.

故答案为5乃.

16.(5分)已知函数-(2〃+l)x,g(x)=e*-x-l,若对于任意的玉G(0,-KO),

X2GR,不等式/(占),,g*?)恒成立，则实数〃的取值范围为__.

【解答】解：由g(x)=e"-x-1,则g，(x)=e1,

令g'(x)>0,解得x>。；令g'(x)<0,解得x<0.

二g(x)在(-oo,0)是减函数，在(0,+oo)是增函数,

即g(x)最小值=g(°)=。-

对于任意的玉e(0,+oo),x,e/?,不等式f(x,)„g(%)恒成立,则有f(x,)„g(0)即可.

即不等式fW„0对于任意的xe(0,+oo)恒成立,

(1)当“=。时，/(%)=-%,对于任意的xe(0,+o0),f(x)„。恒成立，

a=0符合题意；

(2)当a<0时，fM=ax2-(2a+l)x的图象是开口向下的抛物线，且/(0)=0,

要使不等式/(X),,0对于任意的xe(0,+8)恒成立，

则对称轴》=网里,,0,即2a+l..O,a...--,

2a2

得—二"a<0；

2

(3)当。>0时，f(x)=族-(2a+1)的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为

2。+1八

x=----->0,

2a

而/(此=。,

...当里时，〃X)>0，不合题意.

a

综上，〃的取值范围为[-1,0].

2

故答案为：[―,0].

三、解答题(本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.)

17.(10分)如图，四棱锥尸-ABCO的底面是正方形，PZU底面A8C。，点E在棱PB上.

(1)求证：平面AEC1平面PDB；

(2)当PD=42AB，且E为P8的中点时，求AE与平面H汨所成的角的大小.

E

【解答】（I）证明：•.•四边形ABC。是正方形，，AC，BO,

•.•PD_L底面A8CD,

PDA.AC,AC1平面PDB,

二.平面AECJ,平面P/四.

（口）解：设，连接。E,

由（I）知4<:1平面也出于。，

，NAEO为与平面PZ犯所的角,

-0,E分别为的中点，

:.OE//PD,OE=-PD,

2

又底面ABC。，

OE±JR®ABCD,OEYAO,

在RtAAOE中，OE=^PD=^AB=AO,

ZAEO=45°,即AE与平面叨3所成的角的大小为45。.

E

18.(12分)已知焦点为尸的抛物线C:f=2py(p>0)过点M(2,M，且尸|=2.

(1)求p,m；

(2)过点M作抛物线C的切线/,交y轴于点N,求△MFN的面积.

【解答】解：(1)抛物线C:x2=2py的焦点F(0苧，准线方程为y=-^.

由题意可得4=2pn?!2=m+—

2

彳导机=1,p=2；

(2)由卜==得y，=',所以切线的斜率为1,

42

切线方程为y=x-l,得N(O,-1),

由M(2,l),F(O,1),

所以AMFN的面积是」x2x2=2.

2

19.(12分)已知函数jf(x)ugox,-20¥-3讥¥+。在方=1处切线为4x+>-2=0.

(1)求。，〃；

(2)求/(x)在xe[l,7]上的值域.

【解答】解：(1)；函数/'(犬)=」加-2or-3/nr+b在x=1处切线为4x+y-2=0.

2

3

/.fr(x)=ax-2a——,x>0,

x

直线4x+y-2=0斜率为T,

由/(1)=a-2a-3=-4,解得a=l,

由/(1)='a-2a+6=—2,解彳导方=一」.

22

(-j\ri\c3(x—3)(x+1)

(2)f\(x)=x-2——=----------,

xx

由((x)>0，得0<x<3,由尸(幻<0，得x>3,

vxe[l,7],"(x)的减区间是(1,3),减区间是(3,7],

X/(1)=-2,/(7)=10-3/«7>-2,/(3)=-2-3/«3,

"(x)在xe[l,7]上的值域是[-2-3加3,10-3/〃7].

20.(12分)在多面体ABCDEF中，四边形A8CO是正方形，EF//AB,DE=EF=1,

DC=BF=2,ZEAD=30°.

(I)求证：AEl^CDEF；

(H)在线段如上确定一点G,使得平面皿)与平面以G所成的角为30°.

【解答】证明：(I)•.•四边形A8CO是正方形，，AO=OC=2.

在中,———=———,即——-——=―1—,得sinNAEO=l,

sinZAEDsinZEADsinZAEDsin30°

:.ZAED=90°,即,在梯形45所中，过E点作EF//BF,交45于点P.

•：EFHAB，:.EP=BF=2,PB=EF^\,：.AP=AB=PB^\,

在RtAADE中，AE=y[3,AE2+AP2=4,EP2=4,

AE-+AP2=EP2,:.AEYAB,:.AELEF.

5L-.-EF^\DE=E,.-.AE±¥®CDEF.

解：(口)由(I)得AE，OC,ADA.DC,

，OCJ_平面AED,又DCu平面A8CD,

平面ABCD1平面AED,

如图，过。点作平面ABC。的垂线。〃，

以点。为坐标原点，/M,DC,。”所在直线分别为x轴，)，轴，z轴，建立空间直角坐

标系，

则。(0,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),,A(2,0,0),

3A/3-

AF=(--,1,：),DB=(2,2,0),

设成=2丽=(2/l,24，0),2e[0,1],贝！j而=(2/1—2,2A,0).

设平面FAG的一个法向量斤=(x,y,z),

_3G

5!!I-/MF=-2X+-V+TZ=O，令X=-&,=(-73/1,73(2-1),2-52).

«D4G=(2A-2)X+2Ay=0

平面皿＞的一个法向量而=(0,1,0).

由已知得8s3。。=旦叫=J|6('一3=B,

加I1万IJ3.2+3(1-4)2+(2_5M2

化简得9A2—6%+1=0,解得2=—.

3

・•・当点G满足的=：丽时,平面的与平面尸AG所成角的大小为3。°.

AB

X

21.（12分）已知椭圆C=l（a>6>0）的上下两个焦点分别为耳，用，过点耳与y

轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点,\MNF2的面积为石，椭圆C的离心率为与

（I）求椭圆C的标准方程；

（口）已知。为坐标原点，直线/：y=依+〃?与），轴交于点P（P不与原点。重合），与椭圆C

交于A,B两个不同的点，使得AP=3P8,求"7的取值范围.

2b2

【解答】解：（I）根据已知椭圆C的焦距为2c，当y=c时，|仰|=|玉-々1=V

由题意AMNF,的面积为—|凡月||MN|=c||=上=6,

2a

由已知得£=g,.•方=1,.•."=4,

a2

2

，椭圆C的标准方程为V+卜.一（4分）

(n)设A(石，yj,

B(X2,y2),

由])得(左2+4)f+2)血+机2-4=0,

[4x+y-4=0

-2kmnr-4

玉+%=XiX2=----（6分）

公+4'V74,

由已知得A=4m%2-4Gt2+4)Q/-4)>0,BPk2-m2+4>0,

2

由AP=3PB，得=3X2,即玉=-3x；,3(%+x2)+4xtx2=0