2021-2022学年河南省信阳市九年级上期末数学试卷及答案解析

2021-2022学年河南省信阳市九年级上期末数学试卷

一、选择题

1.的相反数等于（）

2

A.-AB.AC.-2D.2

22

2.如图是我国几家银行的标志，其中即是轴对称图形又是中心对称图形的有（）

©③△⑥c

中国银行中国工商银行中国人民银行中国农业银行中国建设银行

A.2个B.3个C.4个D.5个

TT2

3.单项式上上的系数是（）

2

1TT

A.AB.ITC.2D.—

22

4.已知直线a//b//c,a与b的距离为5cm,b与c的距离为2cm,则a与c的距离是（）

A.3cmB.1cmC.3c7〃或D.以上都不对

5.今年，我市全面启动“精准扶贫”工作，某校为了了解九年级贫困生人数，对该校九年

级6个班进行摸排，得到各班贫困生人数分别为12,12,14,10,18,16,这组数据的

众数和中位数分别是（）

A.12和10B.12和13C.12和12D.12和14

6.下列命题为真命题的是（）

A.有公共顶点的两个角是对顶角

B.多项式x3-4x因式分解的结果是x（x2-4）

C.I+Q=a

D.一元二次方程x2-x+2=0无实数根

7.我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至

南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭和大雁分别从南海和北海同时起

飞，经过x天相遇，可列方程为（）

A.（9-7）x=\B.（9+7）尤=1C.（A-A）x=]D.（A+A）x=]

7979

8.如图，在同一直角坐标系中，函数y=区与〉=&+右的大致图象是（）

第1页共25页

9.如图，已知乙4。8=30°,P是/AOB平分线上一点，CP〃0B,交。4于点C,PDA.

OB,垂足为点D,且PC=4,则PD等于（）

A.1B.2C.4D.8

10.如图，正方形ABCZ）中，AB=6,点E在边CD上，1.CE=2DE.将△ADE沿AE对

折至△AFE,延长交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论：①△ABG四△AFG；

②BG=GC；@EG=DE+BG；@AG//CF；⑤S△尸GC=3.6.其中正确结论的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空题

11.计算：卜也|=.

12.太和殿（明朝称为奉天殿、黄极殿），俗称“金銮殿”，面积为2377.00层，用科学记数

法表示这个数是.

13.方程1-3=0的解为_____.

x-2x

14.函数>=正］的自变量x的取值范围.

x-3

第2页共25页

15.将矩形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF,EG为折痕，试问/AEF+/BEG

16.如图，点A,B,C在OO上，ZOBC=18°,则/A=

17.为全面推进“新两基”（基本普及15年教育及县域内义务教育基本均衡）工作，某县对

辖区内的80所中小学上半年工作情况进行了专项督导考核，成绩分别记为A,B,C,D

四等，绘制了扇形统计图（如图），则该县被考核的学校中得A等成绩的有所.

18.如图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第n个图案需要

oO

Oocr©

ooooo

00000oooo

个铜币.第一个图第二个图第三个图第四个图

三、解答题

19.（1）计算：（-1）2016-/9+(cos60°)”+(V2016-V2015)°+83X(-0.125)3

（）化简（二一+-

2-4—^）然后选一个合适的数代入求值.

x+1x2-l『X

20.如图，在△ABC中，AC=BC,ZC=90°,。是AB的中点，DELDF,点、E,尸分别

在AC,上，求证：DE=DF.

第3页共25页

D

E

C1-1----------p-"B

21.在四个完全相同的小球上分别标上1,2,3,4四个数字，然后装入一个不透明的口袋

里搅匀，小明同学随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下

标号.

(1)请你用画树状图或列表的方法分别表示小明同学摸球的所有可能出现的结果.

(2)按照小明同学的摸球方法，把第一次取出的小球的数字作为点M的横坐标，把第

二次取出的小球的数字作为点M的纵坐标，试求出点y)落在直线y=x上的概率

是多少？

22.阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

sin(a+p)=sinacosp±cosasinp

tan(a土m=津土tan」

1+tanCItanB

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.

。。14

例：tan75°=tan(45°+30°)=广=2+«

1an45_+tan30=---------

l-tan45tan30

1-1X可

根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题

(1)计算：sinl5°；

(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战

士.李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度.已知李三站在离纪念碑底7米的

C处，在。点测得纪念碑碑顶的仰角为75°,DC为M米，请你帮助李三求出纪念碑的

高度.

第4页共25页

B

23.2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研:

蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1

元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：

(1)用表达式表示蝙蝠型风筝销售量了(个)与售价x(元)之间的函数关系(12WxW

30)；

(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？

(3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？

24.如图，已知是的直径，点尸为圆上一点，点C为A3延长线上一点，PA^PC,

ZC=30°.

(1)求证：CP是。。的切线.

(2)若。。的直径为8,求阴影部分的面积.

25.如图，抛物线y=o?+bx-1QW0)经过A(-1,0),B(2,0)两点，与y轴交于点

C.

(1)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)点尸在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；

(3)点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的RtA

DNM与RtZkBOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说

明理由.

第5页共25页

第6页共25页

2021-2022学年河南省信阳市九年级上期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1.1的相反数等于（）

2

A.」B.AC.-2D.2

22

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.

【解答】解：二的相反数等于工，

22

故选：B.

【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数相反数.

2.如图是我国几家银行的标志，其中即是轴对称图形又是中心对称图形的有（）

中国银行中国工商银行中国人民银行中国农业银行中国建设银行

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：中国银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意;

中国工商银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；

中国人民银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

中国农业银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

中国建设银行标志：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

故选：A.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直

线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重

合，那么这个图形就叫做中心对称图形.这个旋转点，就叫做中心对称点.

nr2

3.单项式的系数是（)

2

第7页共25页

1TT

A.AB.71C.2D.—

22

【分析】直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，进而得出答案.

2

【解答】解：单项式三工-的系数是：2L.

22

故选：D.

【点评】此题主要考查了单项式的定义，正确把握单项式系数的定义是解题关键.

4.已知直线a//b//c,a与b的距离为5cm,b与c的距离为2cm，则a与c的距离是（）

A.3cmB.1cmC.3cm或1cmD.以上都不对

【分析】分①直线c在直线。、6夕卜，②直线c在直线服。之间两种情况讨论求解.

【解答】解：如图，①直线c在a、b外时，

与。的距离为5cm,6与c的距离为2cm,

与c的距离为5+2=1cm,

②直线c在直线纵。之间时，

■：a与b的距离为5cm,b与c的距离为2cm,

与c的距离为5-2=3>cm,

综上所述，a与c的距离为3cm或7cm.

故选：C.

------------------b

图2

___________a

-----------------b

Sic

【点评】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作

垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离.

5.今年，我市全面启动“精准扶贫”工作，某校为了了解九年级贫困生人数，对该校九年

级6个班进行摸排，得到各班贫困生人数分别为12,12,14,10,18,16,这组数据的

众数和中位数分别是（）

第8页共25页

A.12和10B.12和13C.12和12D.12和14

【分析】依据众数和中位数的定义解答即可.

【解答】解：：12出现的次数最多，

.••众数为12.

将这组数据按照从小到大的顺序排列：10、12、12、14、16、18.

中位数=良+14=13.

2

故选：B.

【点评】本题主要考查的是众数和中位数的定义，掌握众数和中位数的定义是解题的关

键.

6.下列命题为真命题的是()

A.有公共顶点的两个角是对顶角

B.多项式/-4x因式分解的结果是x(7-4)

C.。+ci~~a

D.一元二次方程7-x+2=0无实数根

【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例

排除不正确选项，从而得出正确选项.

【解答】解：A、有公共顶点的两个角不一定是对顶角，如邻补角，是假命题；

B、多项式/-4尤因式分解的结果是x(尤-2)(x+2),是假命题；

C、a+a=2a,是假命题；

D、一元二次方程/-x+2=0,A=1-4X2X1=-7<0,所以无实数根，是真命题；

故选：D.

【点评】此题考查命题问题，关键是根据对顶角、因式分解、合并同类项以及一元二次

方程的知识判断.

7.我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至

南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”(凫：野鸭)设野鸭和大雁分别从南海和北海同时起

飞，经过无天相遇，可列方程为()

A.(9-7)x=lB.(9+7)x=lC.(A-A)X=1D.(•1+■1)x=l

7979

【分析】直接根据题意得出野鸭和大雁的飞行速度，进而利用它们相向而行何时相逢进

而得出等式.

第9页共25页

【解答】解：设野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过X天相遇，可列方程为：

（―+—）x=\.

79

故选：D.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出每天飞行的距离

是解题关键.

8.如图，在同一直角坐标系中，函数y=区与>=依+必的大致图象是（）

【分析】根据反比例函数尸上与一次函数y=kx+e中系数k的符号进行分类讨论即可.

x

【解答】解：•.•函数>=上与>=日+后的系数左相同，合>0,

x

...当%>0时，直线经过一二三象限，双曲线分布在一三象限，与各选项不符；

当上<0时，直线经过一二四象限，双曲线分布在二四象限，与C选项符合，

故选：C.

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解决问题的关键是掌握反比例

函数的性质以及一次函数图象与系数的关系.

9.如图，已知NAOB=30°,P是NAOB平分线上一点，C尸〃08,交。4于点C,PD±

OB,垂足为点O,且PC=4,则等于（）

A.1B.2C.4D.8

【分析】作PELOA于E，如图，先利用平行线的性质得/£”=/4。8=30°,则尸E

第10页共25页

=lpC=2,然后根据角平分线的性质得到尸。的长.

2

【解答】解：作于E,如图，

"CP//OB,

：.ZECP=ZAOB=30°,

在Rt/XEPC中，尸E=J_PC=」X4=2,

22

是NAOB平分线上一点，PE±OA,PD10B,

：.PD=PE=2.

故选：B.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.解决

本题的关键是把求P点到0B的距离转化为点P到的距离.

10.如图，正方形ABC。中，AB=6,点E在边CD上，MCE=2DE.将△4OE沿AE对

折至△AFE,延长E尸交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论：©AABG^AAFG；

②BG=GC；③EG=DE+BG；@AG//CF；⑤&FGC=3.6.其中正确结论的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】先计算出D£=2,EC=4,再根据折叠的性质AF=AD=6,EF=ED=2,ZAFE

=ZD=90°,ZFAE=ZDAE,然后根据“HL"可证明Rt^ABG之Rt/XAPG,贝UGB=

GF,ZBAG=ZFAG,所以/GAE=L/BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE-,设BG=x,

2

则GF=x,CG=BC-BG=6-x,在RtZ\CGE中，根据勾股定理得(6-尤)2+42=(x+2)

2,解得尤=3,则BG=CG=3,则点G为BC的中点；同时得到GF=GC,根据等腰三

角形的性质得NGFC=/GCR再由RtzXABG/RtZkAFG得到/AG2=/AGP,然后根

第11页共25页

据三角形外角性质得/BGF=/GFC+/GCR易得/AGB=NGCF,根据平行线的判定

方法得到C尸〃AG；过下作切_LDC,则△EFHS/^EGC,AEFH^AEGC,由相似比

为2,可计算SMGG

5

【解答】解：：正方形ABCD的边长为6,CE=2DE,

：.DE=2,EC=4,

:把△AOE沿AE折叠使△AOE落在△AFE的位置，

：.AF=AD^6,EF=ED=2,ZAFE=ZD=90°,ZFAE=ZDAE,

在RtAABG和RtAAFG中

[AB=AF,

IAG=AG，

RtAABG^RtAAFG(HL),

：.GB=GF,ZBAG=ZFAG,

：.ZGAE=ZFAE+ZFAG=^-ZBAD=45°,所以①正确；

2

设BG=x,则GF=x,CG=BC-BG=6-x,

在Rt/XCGE中，GE=x+2,EC=4,CG=6-x,

,：CG2+CE2=GE1,

(6-x)2+42=(x+2)2,解得x=3,

.,.BG=3,CG=6-3=3

；.BG=CG,所以②正确；

:EF=ED,GB=GF,

：.GE=GF+EF=BG+DE,所以③正确；

；GF=GC,

：.ZGFC=ZGCF,

又RtAABG^RtAAFG,

ZAGB=ZAGF,

而ZBGF=ZGFC+ZGCF,

：.ZAGB+ZAGF=ZGFC+ZGCF,

：.ZAGB=ZGCF,

C.CF//AG,所以④正确；

过尸作FHLDC

第12页共25页

■:BC1DH,

J.FH//GC,

:•△EFHsXEGC,

・

••—EH——EF,

GCEG

EF=DE=2,GF=3,

：.EG=5,

：*AEFHs丛EGC,

,相似比为：旦旦上2=2,

GCEG5

/•SAFGC=S^GCE-SAFEC=—X3X4-1X4X(2x3)=-11=3.6,所以⑤正确.

2255

故正确的有①②③④⑤，

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了三角形全等的判定与性

质、勾股定理和正方形的性质.

二、填空题

11.计算：|-V2I=_■

【分析】根据一个负实数的绝对值等于它的相反数求解即可.

【解答】解：I-721=V2.

故答案为：V2.

【点评】本题考查了实数绝对值的定义：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的

绝对值是它的相反数，。的绝对值是0.

12.太和殿（明朝称为奉天殿、黄极殿），俗称“金銮殿”，面积为2377。0层，用科学记数

法表示这个数是2.377X1（A/.

【分析】分析：科学记数法表示数，就是把一个数写成aX10”形式，其中“为整数，且

第13页共25页

lW|a|<10,〃为整数.

【解答】解：2377.00=2.377X103

故答案为：2.377X1（）3祖2

【点评】本题考查科学记数法的记法.正确理解科学表示方法是正确求解的关键.

13.方程-3=0的解为x=-3.

x-2x

【分析】依据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出

结论.

【解答】解：去分母，得：5厂3（尤-2）=0,

整理，得：2x+6=0,

解得：尤=-3,

经检验：x=-3是原分式方程的解，

故答案为：x=-3.

【点评】本题主要考查解分式方程能力，熟练掌握解分式方程的步骤是关键.

14.函数y="x-l的自变量尤的取值范围xNl,且xW3.

x-3

【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分.根

据二次根式的意义，被开方数尤-1N0；根据分式有意义的条件,X-3W0,则函数了二£1

x-3

的自变量入取值范围就可以求出.

【解答】解：根据题意得：,x-l#0

Ix-3卉0

解得xNl,且xW3,

即：自变量x取值范围是x2l,且xW3.

【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.

15.将矩形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF,EG为折痕，试问/AEF+/BEG=

90°.

第14页共25页

C'

【分析】根据翻折的定义可以得到各角之间的关系，从而可以得到/AEF+/BEG的度数,

从而可以解答本题.

【解答】解：由题意可得，

ZAEF=ZFEA',ZBEG=ZGEA',

VZAEF+ZFEA'+ZBEG+ZGEA'=180°,

AZAEF+ZBEG=9Q°,

故答案为：90°.

【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件.

16.如图，点A,B,C在上，ZOBC=18°,则NA=7点.

【分析】由OB=OC,利用等边对等角得到一对角相等，进而求出/BOC的度数，再利

用圆周角定理求出NA的度数即可.

【解答】W：'：OB=OC,ZOBC=18°,

；./OBC=/OCB=18°,

AZBOC=144°,

：/A与NBOC都对祕，

AZA=72°,

故答案为：72。

【点评】此题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本

题的关键.

17.为全面推进“新两基”（基本普及15年教育及县域内义务教育基本均衡）工作，某县对

第15页共25页

辖区内的80所中小学上半年工作情况进行了专项督导考核，成绩分别记为A,B,C,D

四等，绘制了扇形统计图(如图)，则该县被考核的学校中得4等成绩的有56所.

【分析】用总学校数XA等的百分比即可.

【解答】解：80X(1-25%-3%-2%)=56(所)；

故答案为：56.

【点评】本题主要考查了扇形统计图，解题的关键是从扇形统计图得出正确的数据.

18.如图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第〃个图案需要—工包

OCTO

OOOOO

OOOOOOO

(w+1)+1个铜币.第一个图第二个图第三个图第四个图

【分析】找出相邻两个图形铜币的数目的差,从而可发现其中的规律，于是可求得问题

的答案.

【解答】解：”=1时，铜币个数=1+1=2；

当n=2时，铜币个数=1+1+2=4；

当〃=3时，铜币个数=1+1+2+3=7；

当”=4时，铜币个数=1+1+2+3+4=11；

第几个图案，铜币个数=1+1+2+3+4+…+〃=工7(〃+1)+1.

2

故答案为：—n(n+1)+1.

2

【点评】本题主要考查的是图形的变化规律，找出其中的规律是解题的关键.

三、解答题

19.(1)计算：(-1)2016-V9+(cos60°)-1+(V2016-V2015)o+83x(-0.125)3

(2)化简+2,然后选一个合适的数代入求值.

x+1x2-l1-X

【分析】(1)根据哥的乘方、负整数指数累、零指数累、积的乘方可以解答本题；

第16页共25页

(2)根据分式的加法和除法可以可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式

子即可解答本题.

【解答】解：(1)(-1)2016-^/9+(cos600)“+(V2016-72015)°+83X(-0.125)

=1-3+2+1+(-1)

=0；

(2)(^―+-^—)+①

x+l1-X

-X-l+1r]-X

(x+l)(x-1)2x

_____X____1-X

(x+l)(x-1)2x

=___1

[(x+l)'

【点评】本题考查事的乘方、负整数指数幕、零指数幕、积的乘方、分式的化简求值，

解答本题的关键是明确它们各自的计算方法.

20.如图，在△ABC中，AC=BC,ZC=9O°,。是AB的中点，OEJ_DF,点E,尸分别

在AC,BC上，求证：DE=DF.

【分析】连接CD,构建全等三角形，证明即可.

【解答】解：连接CD,

VZC=90°,。是A2的中点，

；.CD=IAB=BD,

2

'：AC=BC,

：.CD1AB,ZACD=ZB=45°,

：.ZCDF+ZBDF=9Q°,

第17页共25页

'：ED±DF,

；./EDF=90°,

/.ZEDC+ZCDF=90°,

ZEDC=ZBDF,

:.AECD经4FBD,

【点评】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，运用了直角三角形斜

边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一的性质，同时要熟知等腰直角三

角形的特殊性：如两个锐角都是45。；在全等三角形的证明中，常运用同角的余角相等

来证明角相等.

21.在四个完全相同的小球上分别标上1,2,3,4四个数字，然后装入一个不透明的口袋

里搅匀，小明同学随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下

标号.

（1）请你用画树状图或列表的方法分别表示小明同学摸球的所有可能出现的结果.

（2）按照小明同学的摸球方法，把第一次取出的小球的数字作为点M的横坐标，把第

二次取出的小球的数字作为点M的纵坐标，试求出点y）落在直线y=x上的概率

是多少？

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有可能的结果，注意是放

回实验还是不放回实验；

（2）由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=x的情况，再利用概率公式求解

即可求得答案.

【解答】解：（1）

列表得：

1234

第18页共25页

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

画树状图得:

/Ax

1234123412341234

则小明共有16种等可能的结果;

(2)由(1)中的表格知，共有16个结果，每种结果出现的可能性都相同，其中满足条

件的点有(1，1),(2,2),(3,3),(4,4)落在直线y=x上；

点尸(x,y)落在直线＞=无上的概率是-L=L.

164

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意区分放回与不放回实验，列

表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

22.阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

sin(a+P)=sinacosp+cosasinP

tan(a±p)土tan」

1+tanCLtanB

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.

。。14

例：tan75°=tan(45°+30°)=tan45~+tan3°—=----%==2+晶

l-tan45tan30

IT*万

根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题

(1)计算：sinl5°；

(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战

士.李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度.已知李三站在离纪念碑底7米的

C处，在。点测得纪念碑碑顶的仰角为75°,DC为如米,请你帮助李三求出纪念碑的

第19页共25页

高度.

【分析】（1）把15°化为45°-30°以后，再利用公式sin（a±B）=sinacos0土cosasinB

计算,即可求出sinl5°的值；

（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据即可得出结论.

【解答】解：（l）sinl5°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=返乂

2

V3,V2y1^76-72

2224

（2）在中，VZBED=90°,/BDE=I5°,OE=AC=7米，

BE=DE'tanZBDE^£>£•tan75°.

Vtan75°=2-H/3-

：.BE=1（2-H/3）=14+7后

AAB=AE+BE=V3+14+7V3=14+8^3（米）•

答：纪念碑的高度为（14+8«）米.

【点评】本题考查了：（1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根

据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解.（2）解直角三角形的应用-仰角俯

角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键.

23.2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研:

蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1

元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：

（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量了（个）与售价x（元）之间的函数关系（12WxW

30）；

（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？

（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？

第20页共25页

【分析】(1)设蝙蝠型风筝售价为尤元时，销售量为y个，根据“当售价每个为12元时，

销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函

数关系式；

(2)设王大伯获得的利润为W,根据“总利润=单个利润X销售量”，即可得出卬关于

x的函数关系式，代入W=840求出x的值，由此即可得出结论；

(3)利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W=-10(x-20)2+1000,根据二次

函数的性质即可解决最值问题.

【解答】解：(1)设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，

根据题意可知：y=180-10(x-12)=-lOx+300(12W尤W30).

(2)设王大伯获得的利润为W,则W=(x-10)y=-10^+400%-3000,

令W=840,则-10f+400x-3000=840,

解得：xi=16,X2=24,

答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元.

(3)VW=-10?+400x-3000=-10(x-20)2+1000,

'：a=-10<0,

...当x=20时，W取最大值，最大值为1000.

答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：(1)根据数量关系找出y关于尤

的函数关系式；(2)根据数量关系找出W关于x的函数关系式；(3)利用二次函数的性

质解决最值问题.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出

函数的关系式是关键.

24.如图，已知A3是的直径，点尸为圆上一点，点C为延长线上一点，PA=PC,

ZC=30°.

(1)求证：CP是。。的切线.

(2)若OO的直径为8,求阴影部分的面积.

【分析】(1)证明：连接0尸，如图，利用等腰三角形的性质得NA=NC=30°.ZOPA

第21页共25页

=ZA=30°,再根据三角形外角性质得NCOP=60°,则利用三角形内角和得到NOPC

=90°,然后根据切线的判定定理得到结论；

(2)根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=S扇形进行计算.

【解答】(1)证明：连接0尸，如图，

*：PA=PC,

・・・NA=NC=30°.

•：OA=OP,

：.ZOPA=ZA=30°,

AZCOP=ZA+ZOB\=60°,

.\ZOPC=180°-30°-60°=90°,

：.OP±PC,

・・・C尸是。。的切线；

(2)解：VZPOB=60°,

•••△。尸3为等边三角形，

...阴影部分的面积=5扇形POB-S"OB=§叱Y-^-X42=K-473.

36043

【点评】本题考查了切线的判定与性质