第七章刚体的简单运动教材

第七章刚体的简单运动第七章刚体的简单运动

§7–1刚体的平行移动

§7–2刚体绕定轴的转动

§7–3转动刚体内各点的速度和加速度

§7–4轮系的传动比

§7–5速度和加速度的矢量表示由于刚体几何形状不变,所以研究它在空间的位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。由于刚体有形状和大小,所以研究刚体运动中要考虑其本身形状和尺寸大小，需建立该刚体整体的运动方程，和描述刚体运动快慢和运动变化快慢的量。刚体是由点组成的，各点的运动不一定相同，所以还需要描述各点的运动。研究刚体运动的任务和特点研究刚体运动的任务研究刚体运动的特点

平移的实例§7-1刚体的平行移动

平移的实例ABo1o2如果在刚体内任取一直线，在运动过程中这条直线始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平动或移动。直线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为直线。曲线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为曲线。1、刚体平行移动的定义平动的分类：2、刚体平动理论A1B1B2A2B3A3B4A4OrArBAB

A,B:平移刚体上任取两点,刚体平动时，线段AB的长度和方向都不改变，刚体在运动过程中，A、B两点所描绘出的轨迹曲线的形状彼此相同。是恒矢量，即将A点的运动轨迹搬移一段必与B点运动轨迹重合。★刚体平动时，其上各点的轨迹的形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。结论：刚体的平动可归结为研究刚体内任一点的运动。例题1已知：OA＝l；

＝

t，求：T型杆的速度和加速度。

OABC解：T型杆作平动，建立图示坐标系，取M点为研究。xM§7-2刚体绕定轴的转动

定轴转动的实例1、刚体定轴转动的定义定轴转动定义：在运动过程中，刚体内（或其扩展部分）有一条直线始终保持不动。转轴：固定不动的直线。2、刚体定轴转动理论（1）刚体绕定轴转动的运动方程（转动方程）平面Ⅰ：固定且通过z轴

平面Ⅱ：与刚体固连显然平面Ⅱ的位置确定了，此刚体的位置也就确定了。转动方程：单位：弧度（rad）正负规定：（1个自由度）（2）简化为平面图形绕点的转动在刚体上任取一直线平行于轴z则作平动，可取其上任一点A代表的运动。所以，简化为平面图形绕O点的转动。

平面图形的位置角称为刚体的角坐标。（4）转动刚体的角位移、角速度和角加速度①

角位移：位置角

的变化。dt时间内转角的增量d

称为角位移。②

角速度—描述刚体定轴转动的快慢程度刚体的角速度:单位：弧度/秒(rad/s)或1/s

正负规定：转速n与ω的关系为:

n=转/分(r/min)③角加速度—描述角速度变化的快慢程度刚体的角加速度:单位：弧度/秒2(rad/s2)或1/秒2(1/s2)正负规定：●α与

同号，刚体加速转动；

α与

异号，刚体减速转动。当

=常数,为匀速转动；当α

=常数,为匀变速转动。特殊情况—匀速转动和匀变速转动：常用公式点的运动1、转动刚体上各点的运动取MO为圆周弧坐标的原点，当刚体转动

角时，M点的弧坐标，即动点M沿其圆周轨迹的运动方程为特点：刚体上不在轴线上的各点均作圆周运动；圆周所在平面垂直转轴；圆心均在轴线上；半径为点到转轴的距离。§7-3刚体内各点的速度和加速度转动半径2、转动刚体内各点的速度vO

（1）转动刚体内任一点的速度的代数值等于该点的转动半径与刚体的角速度的乘积，即与转动半径成正比；（2）速度的方向沿圆周的切线方向垂直于转动半径，指向与角速度的转向一致；3、转动刚体内各点的加速度切向加速度法向加速度MO

a

anatvMO

a

●每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径间的夹角都有相同的值。●在每一瞬时，转动刚体内所有各点的加速度的大小，分别与转动半径成正比。加速度也是线性分布。全加速度与法向的夹角2t4222ttanwaqwa==+=+=nnaaRaaa一点注意：●当你遇到速度、加速度，你就应该问：这是哪一个瞬时的速度、加速度；这是哪一个点的速度、加速度。●当你遇到角速度、角加速度，你就应该问：这是哪一个瞬时的角速度、角加速度；这是哪一个刚体的角速度、角加速度。●一般来说：速度、加速度是对点而言，而角速度、角加速度是对刚体（图形）而言。思考题：试计算杆端A点和C点的速度、加速度，并画出其方向。

OABCaab例题2已知：h;vo，求：OA杆的转动方程、角速度和角加速度。解：建立图示坐标系x

v0OAhxy例题3已知：OA=O1B=l=2r,AB=OO1，求：此时轮O1角速度和角加速度OAaACBO1

O1C1

解：将A点的加速度分解

刚体的运动传递实例§7-4轮系的传动比

我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮或者胶带传动来实现变速,它们变速的基本原理是什么呢?1、齿轮传动外啮合内啮合主动轮A，节圆半径r1，角速度

1（转速n1）

主动轮B，节圆半径r2，角速度

2（转速n2）

(1)齿轮传动特点两轮接触点的速度及切向加速度大小相等、方向相同；接触点无滑动。(2)传动比主动轮与从动轮的两个角速度的比值称为传动比，记作i外啮合内啮合如果考虑转向，则“＋”号表示角速度的转向相同，为内啮合情形；“－”号表示转向相反，为外啮合情形。显然当:时,,为升速转动；时,,为降速转动。2、皮带轮传动(1)皮带轮传动特点皮带不可伸长，忽略厚度（理想化）；皮带与轮之间无相对滑动；皮带上各点的速度及切向加速度大小相等。(2)传动比即两轮的角速度与其半径成反比，转动方向相同。★在一些复杂轮系（如变速器）中包含有几对齿轮。可将每一对齿轮的传动比算出后，将它们连乘起来，可得总的传动比。例题4图示为一对外啮合的圆柱齿轮，分别绕固定轴O1和O2转动，两齿轮的节圆半径分别为r1和r2，已知某瞬时主动轮Ⅰ的角速度为ω1

，角加速度为α1，试求该瞬时从动轮Ⅱ的角速度ω2和角加速度α2

，为简便起见，本例的ω1,ω2

，

α1,α2都代表绝对值。ⅠⅡO1O2M1M2ω1ω2α1α2r2r1v1v2a2ta1t解：齿轮传动可简化为两轮以节圆相切并在切点处无相对滑动，因而两轮的啮合点M1与M2恒具有相同的速度与切向加速度。即因而从动轮的角速度和角加速度分别为显然，ω2,α2的转向分别与ω1,α1相反。传动比为§7-5角速度和角加速度及点的速度和加速度的矢量表示法1、用矢量表示角速度和角加速度为了确定刚体定轴转动的角速度的全部性质，应该知道转动轴的位置、角速度的大小(转动的快慢)和转动方向这三个因素。这三个因素可用一个矢量表示出来，称为角速度矢，用

表示。

长度：ω的大小作用线：轴线；指向：右手螺旋法则。沿轴线滑动矢量角加速度矢量当时，说明两者同向作加速转动。当时，说明两者反向，作减速转动。为沿z轴正向的单位矢量2、用矢积表示刚体上点的速度与加速度刚体内任一点的速度可用矢量积表示，在轴线上任选一点O为原点，动点M的矢径为r，则证：大小：|

r|=||

|

r|sin

=||

R=|v|方向：

r

垂直于OMO′平面，而M点的速度v也垂直于该平面，显然方向相同。（1）用矢积表示点的速度（2）用矢积表示点的加速度与

M点的速度方向相同；为点的切相加速度即垂直v又垂直z轴，显然与an方向同。为法向加速度分析：（1）用矢积表示点的速度（2）用矢积表示点的加速度xzy例题6已知：长方体尺寸和；求：长方体上D点的速度。

rADABCDabcd422解：建立图示坐标系结论与讨论1.刚体的平行移动：平