（高中数学）复数专项训练试题（含答案解析）

（高中数学）复数专项训练试题（含答案解析）

一、单选题

1.已知（l-i）?z=3+2i,贝ijz=（）

A.-l--iB.-l+-iC.--+iD.---i

2222

2.已知若a-l+（a-2）混为虚数单位）是实数，则a=（）

A.1B.-1C.2D.-2

3.1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成

两部分，使其积为40”的问题，即“求方程x（10-x）=40的根”，卡尔丹求得该方程的根

分别为5+Q?和5-依，数系扩充后这两个根分别记为5+而i和5-JfW.若

z(5+VEi)=5-炳，则复数z=()

1-岳D1+厉

A.1-V15iB.1+V15iC.

44

4.已知z=2—i，则z(5+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

5.已知i为虚数单位，复数z=H3,

则2=()

1

A.—2-iB.-2+ic.2+iD.2-i

6.复数1［的虚部是（）

1-3i

1、3

A.--B.--c.—D.—

10101010

7.设（l+i）x=l+yi,其中i为虚数单位，x，y是实数，则,+川=（）

A.1B.V2c.GD.2

8.若(1—i)(l—z)=l+i,则5的虚部为()

A.-1B.1c.-iD.i

9.已知i是虚数单位，复数z的共输复数为），下列说法正确的是（）

A.如果4+Z2CR,则4，z?互为共轨复数

B.如果复数Z1,Z?满足k+Zzblz,-z4,则z「Z2=0

C.如果z?=z，则忖=1

D.卜匐=区忆|

10.已知a,%为实数，且当=a+i(i为虚数单位)，则。+历=()

1+1

A.3+4iB.l+2i

C.-3-2iD.3+2i

二、填空题

2,

11.若zwC,且--=i,则Re(z)=________.

z-5

12.i的周期性：当〃是整数时，j4“+l=,j4"+2=,i"+3=

14.设复数Z],z?满足㈤=1,%|=2,z「4=1+后,则％+z2|=.

三、解答题

15.已知复数2=拄理(a£R,i是虚数单位).

1-1

(1)若2是纯虚数，求实数，〃的值；

(2)设Z是z的共朝复数，复数乞在复平面上对应的点在第四象限，求机的取值范围.

16.在复数范围内分解因式：

(1)X4+6X2+9;

(2)X4-2X2-8.

17.设虚数z满足|2z+15|=6p+10卜

(1)求|z|；

(2)若三+0是实数，求实数a的值.

az

18.(1)已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，同=2,且z+1=-2,求z；

(2)已知复数z=j匚-(l+2iM-3(2+i)为纯虚数，求实数，”的值.

试卷第2页，共2页

（高中数学）复数专项训练试题（含答案解析）

1.B

【分析】由已知得2=当，根据复数除法运算法则，即可求解.

-21

【详解】(1-i)2z=-2iz=3+2i,

_3+2i_(3+2i)-i_-2+3i

z——==-l+-i.

-2i-2i-i22

故选：B.

2.C

【分析】根据复数为实数列式求解即可.

【详解】因为（a-D+（a-2）i为实数，所以a—2=0,;.a=2,

故选：C

【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.C

【分析】利用复数除法运算求得z.

【详解】由z（5+Ji?i）=5—洞，

zr3__5-后_（5-后）_25-15-10炳_1-炳

将〜5+V15i（5+V15i）（5-x/15i）25-15i24'

故选：C.

4.C

【分析】利用复数的乘法和共辗复数的定义可求得结果.

【详解】因为z=2—i,故三=2+i，故z「+i）=（2—i）（2+2i）=4+4i-2i-2/=6+2i

故选：C.

5.D

【分析】由复数的除法法则求解即可

【详解】z=——J八J=2-i,

11X（T）

故选：D

6.D

【分析】利用复数的除法运算求出z即可.

答案第1页，共6页

[详解]因为z=---=---——----=—+—/,

1-3/(1-3/)(1+3/)1010

所以复数z=「1、的虚部为3白.

1-3/10

故选：D.

【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.

7.B

【分析】先利用复数相等求得x,y,再利用复数的模公式求解.

【详解】因为(l+i)x=l+yi,

[x=1[x=1

所以，解得，，

[y=x[y=i

所以|x+yi|=y/x2+y2=V2.

故选：B.

8.B

【分析】根据复数除法的运算法则，结合共辄复数的定义、复数虚部的定义进行求解即可.

【详解】因为(1—i)(l-z)=l+i,所以\=

(I-2

所以z=l-i,所以5=l+i,

所以)的虚部为1.

故选：B

9.D

【分析】对于A,举反例4=l+i,z?=2-i可判断；对于B,设Z1=4-4i,Z2=%+bj代

入验证可判断；对于C,举反例z=0可判断；对于D,设4=。+与，z2=c+di,代入可验

证.

【详解】对于A,设4=l+i,z2=2-i,z,+z2=3eR,但z-Z2不互为共辗复数，故A错

误；

对于B,设马=4-伪i(外,仇eR),z2=a2+b2i(a2,仇eR).

由|Z|+z2|=|z「Z2|,得B+Z2「=(4+aJ+(a+ay=|z「Z2-=(4-%『+(仿-仇『，

则442+岫2=0,而

答案第2页，共6页

4/2=（q+始）（%+勾）=（q%-结2）+（44+g）、=羽出+（q%+%Z?Ji不一定等于0，故

B错误；

对于C,当z=0时，有z2=J故C错误；

对于D,设Z]=a+bi,Z2=C+M,则

2222

\z{z2\=个(ac-bd),+(ad+be?=+(bd'++(be)2=^a+b^c+t/)=\z]^z2\,

D正确

故选：D

10.A

【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得〃力，进而得解.

2+M(2+/?i)(l-i)_2-2i+Z?i+fe_/;+2h-2.

【详解】

1+i2222

"2

z(4=3

由题意知,2二解得%=4,所以-3+4i

b-2

故选：A

11.5

【分析】推导出(z—5"=2,从而z=*+5=5—2i,由此能求出Re(z).

i

2

【详解】解：・・・Z£C,且一-=/,

z-5

.-.(z-5)z=2,

22z

二z=：+5=5+』=5-2i,

Re(z)=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查复数的实部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.关键是利用复数的运算求出z的标准形式，并注意准确掌握实部的概念.

12.i-1-i1

【分析】由i2=_l及指数幕的运算性质依次对i"“，产+2,产+3,变形即可得到答案

【详解】由i2=—l及指数幕的运算性质得：尸=T,厂=1

i4n+,=i(i4)"=i,i4,,+2=i2(i4)n=-1,i4,,+3=『(/)“=-i,i4n=(i4)n=l.

答案第3页，共6页

故答案为：i;-1;—i;1.

13.2+i##i+2

【分析】依据复数除法规则进行计算即可解决.

3+4i(3+4i)(2-i)6+5i-4i23=2+i

【详解】

2+i(2+i)(2-i)4-i25

故答案为：2+i

14.不

【分析】由已知可得归-2|=百，进而由％-zj=（Z|-Z2）Z]—2可得"2+Z?Z]=2,从

而有k+Z2『+\z2f+Z^+Z2^,故而可得答案.

【详解】解：因为Z1-Z2=l+0i,所以苗一Z2|=jF+（&）2=百,

又|zJ=L闾=2,

22

所以[Z]-Z2|=(Zj-Z2)z,-z2=ZjZ,+Z2Z2-ZjZ2-z,z,=|zj+|z2|-z,z2-Z2Z|=3,

所以Z|Z2+Z2Zt=2,

2

所以k+z2r=(Z]+z2)ZI+Z,=|zj+\z2[+ZJZJ+Z2Zj=7,

所以k+z?|=>/7,

故答案为：币.

15.⑴:

4

(2)--<m<—

【分析】（1）化简复数z,根据纯虚数的概念可求出机；

（2）求出5,根据复数的几何意义可求出结果.

…如，、,八041+4/ni(l+4/m)(l+i)1-4〃？+(1+4〃顼目/由她

【详解】(1)S^3z=——-==-------------^是纯虚数,

-1(1-0(1+1)2

l-4/n=0，日1

所以得〃?="

1+4mw0'

1-4tn1+4m._1-4/H14-4m.

（2）由（1）知,Z=-----------H--------------1z=---------------------------1

2222

答案第4页，共6页

所以N在复平面内对应的点为(\(—丁4m-，一1+4］/77

1-4加八

>0

2

依题意可得〔I1，解得-1

1+4加八44

------<0

2

16.(l)(x-V3i)2(x+V3i)2

(2)(x+夜i)(x—V2i)(x+2)(x-2)

【分析】(1)(2)结合复数运算求得正确答案.

(1)

由于(x+6i)(x-6)=炉+3,

所以x4+6/+9=(V+3)2=(x-6讲"+6尸.

(2)

由于(》+7^)［一>/^)=%：!+2,

所以f_2/_8=(V+2乂/_4)="+夜i)*_0i)(x+2)(x—2).

17.(1)5^3;(2)±56.

7n

【分析】(1)设2=》+»心,*七尸0)利用复数的模相等即得；(2)先化简三+q又因为是

az

实数，故虚部为零，即得结果.

【详解】^Z=x+yi(x,y&R,y^tO),则2=》一丫1z+10=x+10-yz

则2z+15=2(x+yi)+15=(2x+15)+2yi

|2z+15|=7(2X+15)2+4/=74X2+4/+60JV+225

|z+10|=|x+10-y/'|=J(x+10j+y2=+上+20x+100

|2Z+15|=5/3|Z+10|

即:x2+y2=75

即|z|=y］x2+y2=5G;

aa(x-yi)ax-ayiaxay.

(2)r="r-/r--~2_1

x+yi(x+yi)-(x-yi)x+yx+yx+y

答案第5页，共6页

zax+yiaxy.ax

—+—=———+---