辽宁新高考2023-2024学年高二年级下册3月联合考试数学试题

辽宁新高考联盟（点石联考）2023-2024学年高二下学期3

月联合考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知a=（LO,l）,b=（O,LO）,c=（l,l,l）,下列选项中正确的是（）

A.bc=3B.aLb

C.（6+c）〃aD.=：

2.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调

查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400

名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）.

A.C：〉c短种B.GMC2种

c.C：QC黑种D.C%c机种

3.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，

这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为

了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个

吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都

至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）

A.8B.10C.12D.14

4.已知［6-彳；的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的

最小值为（）

A.-448B.-1024C.-1792D.-5376

5.下列选项中，不正确的命题是（）

A.若两条不同直线/,用的方向向量为匕，v2,贝！匕//6

B.若｛。4,。民℃｝是空间向量的一组基底，=++则点。在

平面ABC内，且。为ASC的重心

C.若卜,6,3是空间向量的一组基底，则b+6,2c,a+6+耳也是空间向量的一组基

底

D.若空间向量a,b，，共面，则存在不全为0的实数无，V,z使xa+yb+zc=O

6.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中

的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是

（）

A.1B.2C.3D,1

5555

7.二面角的棱上有A、B两点,直线AC、8。分别在这个二面角的两个半平面内，且

都垂直于AB已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2加,则该二面角的大小为（）

A.150B.45C.60D.120

22

8.尸是双曲线二=1右支在第一象限内一点，耳，尸2分别为其左、右焦点，A为

45

右顶点，如图圆C是鸟的内切圆，设圆与尸片，尸8分别切于点。，E,当圆C的

面积为4兀时，直线尸乃的斜率为（）

444

A.±-B.一或0C.0D.

33

二、多选题

9.已知正方体ABC。一4片62，贝U（）

A.直线与。4所成的角为90。B.直线与CA所成的角为90。

C.直线BG与平面88ao所成的角为45。D.直线BG与平面ABC。所成的角为45。

10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑

球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件A，&和4表示从甲罐中取出的球

是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红

球，则下列结论正确的是（）

A.P（B）=|

试卷第2页，共6页

B.P（8IA）='

C.事件8与事件4相互独立

D.A，4,人是两两互斥的事件

11.下列命题中，表述正确的是（）

A.直线（3+机）x+4y-3+3瓶=O（m£R）恒过定点（-3,-3）

B.圆V+y2=4上有且仅有3个点到直线+五=0的距离都等于1

C.直线>=左（％-2）+4与曲线y=i+石下有两个不同的交点，则实数上的取值范

围是

D.已知圆+点产为直线:+]=1上一动点，过点尸向圆C引两条切线

PA,PB,A,B为切点，则直线A3经过定点

12.在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收至IJ1的概率为«（0<«<1）,

收到0的概率为1-发送1时，收到0的概率为尸（0<尸<1）,收到1的概率为1-6.

考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传

输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，

收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依

次收到1,0,1,则译码为1）.

A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为£（1-尸尸

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为小1-£）2+（1_月）3

D.当0</<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次

传输方案译码为0的概率

三、填空题

13.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高

为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

14.已知直线/：x-7盯+1=0与1C:（x-iy+y2=4交于A,8两点，写出满足“；ABC面

Q

积为r的机的一个值____.

22

15.已知双曲线C：，-方=1(“>0,6>0)的左、右焦点分别为百，鸟.点A在C上，点B在

2

轴上，则的离心率为.

yF1A±FIB,F2A=--F2B,c

16.已知抛物线C:y2=8x及圆M:(x-2)2+/=1,过(2,0)的直线/与抛物线C和圆M

从上到下依次交于A,P,Q,B四点，贝忸。|的最小值为.

四、解答题

17.在二项式［«一：)的展开式中，.给出下列条件:

①所有偶数项的二项式系数之和为256；

②前三项的二项式系数之和等于46.

试在上面两个条件中选择一个补充在横线上，并解答下列问题:

⑴求(石-展开式的常数项;

⑵求(l-2x)"展开式中系数绝对值最大的项.

18.在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=l,ZABC=60°,四边形ACFE为矩

形，平面ACFE_L平面ABC。，CF=1.

⑴求证：3C，平面ACFE；

⑵若点M在线段屏上运动，设平面肱记与平面广CB的夹角为凡试求cos。的范围.

19.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末

命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为06乙每次

投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概

率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)己知：若随机变量X,服从两点分布，且P(X,=l)=l-P(X,=0)=“=L2,…,〃，则

试卷第4页，共6页

E\[X：=f%.记前〃次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为F,求E(y).

\«=1)i=i

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良

好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),

同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据:

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选

到的人患有该疾病霜与霜的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程

度的一项度量指标，记该指标为兄

P(A|2)P(A|B)

(i)证明:

(ii)利用该调查数据，给出尸(A18),尸(A加)的估计值，并利用(i)的结果给出R

的估计值.

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经

过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是

相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，

P(X=i)=pg=0,l,2,3).

(1)已知Po=0.4,Pi=0.3，a=0.2,03，求E(X)；

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于尤的方程：

°0+”无+?2尤2+03尤3=尤的一个最小正实根，求证：当召(X)W1时，p=l,当E(X)>1

时，P<1;

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

22.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的

总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材

积量(单位：n?)，得到如下数据:

总

样本号i12345678910

和

根部横截面

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

积玉

材积量为0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得=0.038,£y：=16158,》＞d=0.2474.

i=li=li=l

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积

总和为186m，已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该

林区这种树木的总材积量的估计值.

£(%-君(乂-了)

附：相关系数厂=,，&嬴。1.377.

君方(%-9)2

Vi=li=l

23.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜2君,0),离心率为正.

⑴求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为A,4,过点(-4,0)的直线与C的左支交于N两点，

M在第二象限，直线上小与“交于点P.证明:点尸在定直线上.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.B

【分析】

利用空间向量数量积的坐标运算可判断ABD选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断C

选项.

【详解】对于A选项，£>-c=O+l+O=l,A错；

对于BD选项，°.。=0+0+0=0，则a_Lb，B对D错；

对于C选项，6+c=(l,2,l),贝山+c与a不共线，C错.

故选：B.

2.D

【分析】

利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】

根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x缥=40人，高中部共抽取60x照=20,

600600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有c%c黑种.

故选：D.

3.A

【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得

结果.

【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，

当三人组中包含小明和小李时，安装方案有=6种；

当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有段=2种，共计有6+2=8种，

故选：A.

4.C

【分析】

先根据二项式系数的性质可得〃=8,再结合二项展开式的通项求各项系数4=(-2yq,分

析列式求系数最小项时厂的值，代入求系数的最小值.

答案第1页，共18页

【详解】•••展开式中只有第5项是二项式系数最大，贝|〃=8

•1.展开式的通项为4+1=；=(-2/C力T/=0,1,...,8

则该展开式中各项系数%=(-2)rCg,r=0,1,...,8

+2+2

\a-a+2<0[(-2YC；-(-2yq<0

若求系数的最小值，贝V为奇数且'"2/八，即，，2,，解得r=5

[ar-ar_2<0[(-2)q-(-2)C—<o

.•.系数的最小值为为=(-2丫亡=-1792

故选：C.

5.C

【分析】

对于A,根据直线方向向量的定义分析判断，对于B,由三角形重心的定义判断，对于C,

由空间向量的基底的定义分析判断，对于D,由共面向量定理判断.

【详解】对于A,由于两条不同直线/,m的方向向量为匕，v2,当/〃加时，匕//%>当匕〃马

时，l//m,所以A正确，

对于B,因为OD=goA+go8+goC,所以30D_OA_0B_0C=O，

所以(Or>_0A)+(OD_O8)+(O£>_OC)=O,

所以AD+3£)+Cr)=0，所以AD=D3+DC，

2

设E为BC的中点，所以AD=DB+DC=2DE，所以人。=14石，

所以点0在平面A3C内，且。为ABC的重心，所以B正确，

对于C,因为a+/?+c=(a+b)+：x2c,所以〃+/?,2c,〃+b+c共面，

所以｛d+b,2e,6不是空间向量的一组基底，所以C错误，

对于D,由空间向量共面定理可知空间向量a,b,e共面，则存在不全为o的实数x,y,

z使xa+yZ>+zc=O,所以D正确，

故选：C.

6.C

【分析】基本事件总数〃=C:或=15,男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数

答案第2页，共18页

m=C\C\C\+C\C}=9,由此能求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率.

【详解】某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中

的机会均等），

在男生甲被选中的情况下，

基本事件总数w=C；C；=15,

男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数：

m=C'C\C\+C.'Cj=9,

男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是P=—"z=2993.

n155

故选：C.

7.C

【分析】将向量CO转化成CD=C4++2。，然后等式两边同时平方表示出向量C。的模，

再根据向量的数量积求出向量CA与BD的夹角，而向量C4与的夹角就是二面角的补角.

【详解】由条件，知C4.AB=0,42.20=0,CD=CA+AB+B。.

|cZ）|2=|cA|2+|AB|2+|BD|2+2CA-AB+2AB-BD+2.CA-BD

=62+42+82+2X6X8COS（CA,BD>=（2折了，

：.cos（CA,BD>=-^,BP（CABD>=120°,

所以二面角的大小为60°,

故选C.

【点睛】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理

论证能力，属于基础题.

8.D

【分析】

由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为x0=a,又根据圆的面积可求出半径r=2,

可知圆心C（2,2）,可求出tan/C序4,因为C居是/尸8月的角平分线，借助于角相等可求

直线尸工的斜率.

【详解】由题意可知|因=|尸耳，国力=|耳闻,\F2A\=\F2E\,

所以|尸图一|「段=（|如|+|必|）-（|因+|%|）

答案第3页，共18页

=\DFi\-\EF2\=\AFl\-\AF2\=2a,设A（%,0）,

则（x0+c）-（c-x0）=,即％°=a,即A（a,0）=（2,0）,

设圆C半径为r(r>o),因为圆C的面积为4兀,

贝|]兀/=4元，即厂=2,因为CAL耳乙，所以C(2,2),

于是3"84=禺=乙=2,

因为CF?是/「乙月的角平分线，所以

—yy（2N5A）二恚/

4

所以tanNPg尤=tan（兀一ZPF26）=—tanZPF2耳=耳，

4

即直线尸产2的斜率为广

故选：D

9.ABD

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接80、BG，因为D4"/4C,所以直线BG与用C所成的角即为直线BG

与OA所成的角,

因为四边形BBCC为正方形，则4CLBG，故直线BG与。4所成的角为90。，A正确;

连接AC,因为平面871<=平面3月£。，则A,耳，BG，

因为4C_LBC],A,左BXC=B],所以BQ，平面A4C,

又ACu平面A4C,所以BG^CA，故B正确；

答案第4页，共18页

连接AG，设ACBtD,=o,连接B。，

因为24工平面A81GA，G。U平面AB|GA，则ci01BiB，

因为G。，瓦D，=所以G。，平面B8QO,

所以ZQBO为直线BCX与平面8BQO所成的角，

设正方体棱长为1，则C0=比，BCj=夜，sinNGBO=5£=；,

所以，直线BG与平面B8Q。所成的角为30,故C错误；

因为GC，平面ABCO,所以/G8C为直线BG与平面ABCO所成的角，易得NQBC=45,

故D正确.

故选：ABD

10.BD

【分析】

根据事件的条件概率公式、独立性公式等逐一判断可得结果.

51713

【详解】解:依题意得尸⑷=2=:尸(4)=^=g尸(A)*，

544

尸(2IA)=T，尸(阴4)=五,尸传闻=五，

选项A：P(B)=P(a)尸(8IA)+P(A)尸(04)+P(A3)P(BIA3)

15143492

=-x—+-X一+——X一=——w—,故A不正确；

2115111011225

选项B：因为尸(5|4)=JJ，故B正确；

SV551QQ

选项C：因为尸(%)=6；、=不，P^)P(B)=-X-=-,

故尸(3)看尸(A)尸(3)，

所以事件B与事件A不相互独立，故c不正确；

选项D：根据互斥事件的定义可知，A，4,43是两两互斥的事件，故D正确.

故选：BD.

11.BD

答案第5页，共18页

【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半

径的关系比较即可判断选项B；直线＞=左（彳-2）+4过定点产（2,4）,数形结合得如＜心七1

判断选项C；设出点P坐标，求出以线段尸C为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可

得直线的方程，即可判断选项D,进而可得正确选项.

【详解】解：对于选项A：由（3+m）x+4y-3+3«7=0（meR）可得：7Mx+3）+3x+4y-3=0,

fx+3=0（x=—3/、

由3x+4-3=0可得丫=3'所以直线恒过定点（T3）‘故选项A不正确；

对于选项B：圆心（0,0）到直线/:尤-y+&=0的距离等于1,圆的半径r=2,

平行于/:x-y+&=0且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，

所以，圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1,故选项B正确；

对于选项C：由题知直线y=M%-2）+4过定点P（2,4）,

曲线y=l+4^表示以（0,1）为圆心，2为半径的圆在直线y=l及上方的半圆，

如图，直线PB为过点P（2,4）,与半圆相切的切线，切点为8,

所以，要使直线丫=左（》-2）+4与曲线丫=1+及二百有两个不同的交点，则如〈左V%，

所以，当直线、=小-2）+4与半圆相切时，有金天=2,解得即

3

因为％M=1，

答案第6页，共18页

因为R4、尸3分别为过点P所作的圆的两条切线，所以C4_LPA,CBLPB,

所以点A,B在以CP为直径的圆上，以CP为直径的圆的方程为

整理可得：X2+y2-mx-ny=O,与已知圆C:/+y=1相减可得如+=1,

消去m可得：(4-2«)x+ny=1,即〃(y-2x)+4x-l=0,

Jj-2x=0A-4

由《，।八可得彳i，

|4x-l=01

iy=一

I2

所以直线A3经过定点故选项D正确.

故选：BD

12.ABD

【分析】

利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断

C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.

【详解】对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0

接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1-£)(1一a)(l-£)=(1-①(1-A正确；

对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件，

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1-月)。(1-0=夕(1-£)2,B正确;

对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和

1,1,1的事件和，

它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为C；£(l-£了+(1—03=(1一£)2(1+2£),c错误;

对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率尸=(1-①“1+2"),

单次传输发送0,则译码为0的概率P=l-a,而。<a<0.5,

因止匕P-P'=(l-a)2(l+2a)-(l-a)=c(l-cr)(l-2a)>0,即P>P,D正确.

答案第7页，共18页

故选：ABD

【点睛】

关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的

和，相互独立事件的积是解题的关键.

13.28

【分析】

方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据

台体的体积公式直接运算求解.

【详解】方法一：由于：=：，而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

所以正四棱锥的体积为:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱锥的体积为:x（2x2）x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：棱台的体积为$3x06+4+匹可=28.

故答案为：28.

14.2（2,-2,1中任意一个皆可以）

22

【分析】

根据直线与圆的位置关系，求出弦长|他|,以及点C到直线AB的距离，结合面积公式即可

解出.

【详解】设点C到直线的距离为d,由弦长公式得|4?|=224-储，

答案第8页，共18页

所以8.=3*八2函-屋=■!,解得：“=迪或1=2，

2555

由d=+11+^11=下2^，所以方「2二4#年或2"^=2受A/5，解得：机=±2或加=±21.

dl+mdl+mJ'+m511+m252

故答案为：2（2,-2,1-]中任意一个皆可以）.

22

15.手/|>/5

【分析】

方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到卜闾,忸同，忸耳|,|A胤关于。，根的表

达式，从而利用勾股定理求得。=心，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得不=：。,%=-（乙/=船2,将点

A代入双曲线C得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解；

【详解】

方法一：

依题意，设|A£|=2〃2,则忸阅=3切=|即|,|明|=勿+2M,

在RtABG中，9机2+（2a+2机>=25加0，贝I]（。+3777）（。一相）=0,故。=，"或。=一3"（舍去）,

所以=4a,|AF^=2a,|BF21=|BF1\=3a,则|AB|=5a,

故cosZFJAK=

16/72+4/72-4r24

所以在△△耳耳中，cos/月。""C整理得5c2=9/，

2x4"2〃5

故e，=^

答案第9页，共18页

方法二：

依题意，得耳(Y,0),g(c,0),令A(%,%),3(01),

2252

因为&A=一§g8,所以=则毛=§c,%,

又耳AL£B,所以月A/8=1|c,_gd.(c,f)=|c2_g/=o,则/二牝?,

所以25c262T6c2/=9片廿,即25c2(c2-a2)-16a2c2^9a2(c2-a2),

整理得25cJ50/1+9,=o,^(5c2-9a2)(5c2-a2)^0,解得5c?=9/或5c?=/,

又e>L所以《二垣或e=@(舍去)，故e二至.

555

故答案为：述.

【点睛】

关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余

弦定理得到关于。,"c的齐次方程，从而得解.

16.13

【分析】根据圆心/（2,0）即为抛物线C的焦点R利用抛物线的定义，结合基本不等式求

解.

【详解】解：如图所示：

圆心Af（2,0）即为抛物线C的焦点F.

所以|AP|+4忸Q|=(|AF|-l)+4(忸3-1)=|.|+4忸耳-5,

答案第10页，共18页

由抛物线的定义，恒刊=4+g=Z+2,忸刊=+2,

所以|AP|+4|52|=(xA+2)+4(4+2)—5=xA+4xg+5,

==

又易知：XAXB~^^

XB

所以+4+5>2y1xA-4xs+5=13,

当且仅当乙=4XB，即=：时等号成立.

所以|相|+4忸0|的最小值为13,

故答案为：13

17.(1)-672

(2)5376f

【分析】⑴写出二项展开式通项％=C：(石厂•一=(-2/'C>—,结合条件算出的

〃值，常数项即2干=0,可得上的值，即得常数项;

(2)写出二项展开式通项4+|=C：(-2xy=(-2yCk，结合条件算出的"值，解不等式

2c221cL

可得厂的值，即得系数绝对值最大的项

2y>2,+1C^+1

【详解】⑴

选①，所有偶数项的二项式系数之和为2“T=256,可得“=9.

选②，前三项的二项式系数之和为C*+C="+T=46,解得"二%

9-3k

由上知，展开式的通项为方华=(-2)'c^-，

常数项即当气生=0时，左=3,...常数项为7；=(-2)3C；=-672.

(2)由(1)得〃=9,(1-2x)9的二项展开式的通项为(=项(-2尤)'=(-2)'CK，

故第(厂+1)项的系数的绝对值为：2rC；.

答案第11页，共18页

252”中1720

由题设，令2,32”+「解得=『<亍

•♦•厂=6,即第7项系数的绝对值最大，且系数绝对值最大的项为7；=(-2『C=6=5376^.

18.(1)证明见解析

⑵也1

【分析】(1)由余弦定理求得AC?=3,结合AB2=AC2+BC2,得至U3C±AC,结合面面垂

直的性质定理，即可证得3cl平面ACFE；

(2)以C为原点，建立空间直角坐标系，M(a,0,l),分别求得平面歹CB和平面他4B的法

八1

向量，结合向量的夹角公式，求得8S*面(了_丁，即可求解.

【详解】(1)证明：在梯形A8CD中，因为AB〃CD,AD=DC=CB=1,ZABC=G0°,

所以AB=2,由余弦定理得AC?=452+8。2-245-8。8$60。=3,

^AB2=AC2+BC2,所以BCLAC,

因为平面ACFE_L平面ABCD,平面ACFEc平面/WCD=AC,且3Cu平面ABCD,

所以BC1平面ACFE.

(2)解：因为四边形ACFE为矩形，所以bCLAC,

又因为PCu平面ACFE,平面ACFEc平面ABCD=AC,平面ACFE_L平面ABCD,

所以FC，平面ACFE,又因为BC，AC,

以C为原点，以C4,CB,CP所在直线为龙轴，,轴和z轴建立空间直角坐标系C-孙z,

如图所示，

由C4L平面歹CB,可得平面bCB的法向量根=(1,0,。)，

又由0,0),3(0,1,0),设M(a,0,l)(04awK),

可得A3=卜^/^,1,0),BM—(a,-1,1)1

设平面MAB的法向量〃=(x,y,z),<

n•BM=ax—y+z=0

令x=l,可得y=z=a,所以〃=(1,Q),

答案第12页，共18页

1

则8"二辰伍亦卡系R?也+(退一々)2

当时’可得8s。最小为手；当时’C0S6最大为〜

所以cos。的范围为

19.(1)0.6

⑶E⑺晨MIK

【分析】

(1)根据全概率公式即可求出；

(2)设P(d)=R,由题意可得RM=0.4P,+0.2,根据数列知识，构造等比数列即可解出;

(3)先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.

【详解】(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件4,“第i次投篮的人是乙”为事件司，

所以，尸闯=尸(A/)+尸(4用)=尸(A)尸(以IA)+尸(4)尸(以14)

=0.5x(1-0.6)+0.5x0.8=0.6.

(2)设尸(4)=耳，依题可知，P(耳)=1—R,贝IJ

p(A+J=尸(A6+J+尸(44M)=P(A)P(A+/A)+P(B,)P(A"4)，

即R+i=。6口+(1-。8)x(1-R)=0.4pt+0.2,

答案第13页，共18页

构造等比数列加+彳｝,

设加+2=］（B+2），解得力=-；,MOP；+I-1=|［

。JJJ\D）

又0所以［p=］是首项为:，公比为I■的等比数列,

236［3J65

即口1=2©2/-11

十一・

53

(3)因为Pi=gx(g)+；,Z=1,2,--,H,

所以当〃EN*时，E(Y^=p1+p2+

故E(Y)=\n

+3,

【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式,

然后根据数列的基本知识求解.

20.（1）答案见解析

（2）（i）证明见解析；（ii）R=6；

【分析】（1）由所给数据结合公式求出K2的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%

的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；（2）⑴根据定义结合条件概

率公式即可完成证明；（ii）根据（i）结合已知数据求R.

n(ad-bc¥_200(40x90-60x10)2

【详解】⑴由已知片==24,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又尸(K?26.635)=0.01,24>6,635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

，…、卬…P(B\A)P(B\A)_P(AB)P(A)P(AB)P(A)

(2)(i)|大|K———————,

P(B|A)P(B|A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

尸(A3)P(B)P(AB)P(B)

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

P(A\B)P(A\B)

所以A=-=---------—,

P(A|B)P(A\B)

答案第14页，共18页

（ii）

由已知P（A|3）=瑞，P（加方）=捐，

又P（Z|8）=%，P（A\B）=—,

100100

所以氏=理&•虫&=6

P（A|B）P（A\B）

21.（1）1；（2）见解析；（3）见解析.

【分析】（1）利用公式计算可得E（X）.

（2）利用导数讨论函数的单调性，结合，。）=0及极值点的范围可得了（力的最小正零点.

（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.

【详解】（1）E（X）=0x0.4+lx0.3+2x0.2+3x0.1=l.

（2）设"％）=°3为3+。2无2+（口-1）龙+。0，

因为P3+。2+Pl+A）=1，故"X）=+必为2-（。2+Po+P3）X+Po，

若E（X）V1,则四+2P2+3科41,故P2+2P3WP0.

（无）=3P3犬+2P2尤一（02+A）+2），

因为了'（。）=一（。2+。0+03）＜。，f'（l）=P2+2p3—PoW。,

故尸（X）有两个不同零点占,三,且

，

且xe（-oo,%）U（H+＜X＞）时，制火＞0；彳«石,X2）时，/（x）＜0；

故"X）在（-00,不），（々，e）上为增函数，在（％,尤2）上为减函数，

若％=1,因为/（无）在（如+℃）为增函数且/⑴=0,

而当工«0,马）时,因为/（x）在（占,无2）上为减函数，故"X）＞/（&）=/。）=。，

x3

故1为A+Pi+必/+。3尤=尤的一个最小正实根，

若%＞1,因为/'（1）=0且在（0,当）上为减函数，故1为“）+川+2/+小？=%的一个最小

正实根，

综上，若E（X）＜1,则0=1.

答案第15页，共18页

若矶X）＞1,贝I]R+202+30＞1,故必+2?3＞。0.

此时/（。）=一（马+。0+。3）＜。，/'（l）=Z+2p3ro＞0,

故广（X）有两个不同零点尤3，匕，且尤

且％6（-00,七）一（X4，+00）时，制x）＞0；xe（w，X4）时，/'（x）＜0；

故"X）在（-00,£），（辱+00）上为增函数，在（七,国）上为减函数，

而/⑴=0,故/5）＜0,

又〃。）=为＞。，故"X）在（0,%）存在一个零点乙且0＜L