2024中考数学几何求最值五大考点练习（解析版）

考点01胡不归胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为,2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α,使得3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题【模型展示】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1<V2,A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小.3构造射线AD使得sin∠DAN=k,CH/AC=k,CH=kAC.CH=kAC将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小...考点02阿氏圆如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.;证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则△ACD≌△AED(SAS),CD=ED且AD平分∠BDE,接下来开始证明步骤：故M点为,故M点为,作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°,定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆.故N点为定点，即∠考点03费马点费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况：(1)当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。(2)当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60°>构造等边三角形两点之间线段最短求解问题将“不等三爪图”中三条线段转化至同→直线上利用【模型展示】问题：在△ABC内找一点P,使得PA+PB+PC最小.【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等(1)如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE.(2)连接CD、BE,即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE.(3)记CD、BE交点为P,点P即为费马点.(到这一步其实就可以了)(4)以BC为边作等边△BCF,连接AF,必过点P,有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°.在图三的模型里有结论：(1)∠BPD=60°;(2)连接AP,AP平分∠DPE.有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°.原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识!考点04瓜豆原理动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：(1)动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。(2)当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下；①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形【知识精讲】如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.考虑：当点P在圆0上运动时，Q点轨迹是?【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆0有什么关系?考虑到Q点始终为AP中点，连接A0,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ△AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.考虑：当点P在圆0上运动时，Q点轨迹是?是圆.接下来确定圆心与半径.即可确定圆M位置，任意时刻均有△APOo△AQM,且相似比为2考点05将军饮马1.两定(异侧),一动B2.两定(同侧),一动折线问题→→→(利用轴对称的性质)→→→两点间线段最短问题的最小值是()练习于点E,D是线段BE上的一个动点，贝【答案】B·····设AE=a,BE=2a,则有：100=a²+4a²2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连【分析】首先对问题作变式2AD-+3BD故求最小值即可。考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造,条件已经足够明显当D点运动到AC边时，DA=3,此时在线段CD上取点M使得DM=2,则在点D运动过程中，始终存问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM,BM长度的3倍即为本题答案.最大值为..在BC上取M使得此时PE1,【分析】当P.在BC上取M使得此时PE1,从而将问题转化为求PD-PM的最大值.从而将问题转化为求PD-PM的最大值.9上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是,··【分析】作点F关于AC的对称点F',连接EF'交AC于点P,此时PE+PF取得最小值，过点F'作AD的垂线段，交AC于点K,根据题意可知点F'落在AD上，设正方形的边长为a,求得AK··证明△AEP∽△KF'P,可得,即可解答.【详解】解：作点F关于AC的对称点F',连接EF'交AC于点P,过点F'作AD的垂线段，交AC于由题意得：此时F'落在AD上，且根据对称的性质，当P点与P重合时PE+PF取得最小值，设正方形ABCD的边长为a,则∴∠F'AK=45°,∠PAE=45°,AC=√2a,【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴正确画出辅助线是解题的关键.5.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论：PA+PC=PE到△MNG三个顶点的距离和的最小值是【详解】逆时针旋转60°,得到△MPQ,∴点0到三顶点的距离为：0N+0M+OG=0N+0P+PQ,∴当点N、0、P、Q在同一条直线上时，有ON+OM+OG最小，此时，∠NMQ=75°+60°=135°,∴∠AMQ=180°-∠NMQ=45°,∴AQ=AM=MQ·cos45°=4,故答案为：2√29.6.(2023·湖南·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=√7,动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动.当点P不与点AB重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB'P,连接CB',则在点P的运动过程中，线段CB'的最小值为【分析】根据折叠的性质得出B'在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC上时，当P在AD上时，即可求解.【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB=2,AD=√7,如图所示，当点P在BC上时，此时CB'=AC-AB′=√I-2,当点P在DC上时，如图所示，此时CB'>√11-2当P在AD上时，如图所示，此时CB'>√11-27.(2023·广西·统考中考真题)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的动点，M,N分别是EF,AF的中点，则MN的最大值为.【详解】如图所示，连接AE,∵M,N分别是EF,AF的中点，∴AE=√AB²+BE²=√4+BE²;”点E是BC上的动点，∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.8.(2023·山东·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE,则线段BF的最小值为.【分析】设AD的中点为O,以AD为直径画圆，连接OB,设OB与OO的交点为点F',证明∠DFA=90,可知点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与OO的交点F'时，线段BF有最小值，据此求解即可.【详解】解：设AD的中点为O,以AD为直径画圆，连接OB,设OB与0O的交点为点F',∴点F在以AD为直径的半圆上运动，∴当点F运动到OB与OO的交点F'时，线段BF有最小值，.AD=4,【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点E(m,0),F(m+3.0),连接用解直角三角形求得利用待定系数法求得直线CD的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作DG⊥y轴于点G,此时3BH+5DH的最小值是5DG的长，据此求解即可.作CD⊥AB于点D,交x轴于点F,过点B'作B'E//CD交x轴于点E,则四边形EFCB'是平行四边形，∴BE+DF=CF+DF=CD有最小值，作CP⊥x轴于点P,设直线CD的解析式为y=kx+b,∴直线CD的解析式为y=3x-11,即过点D作DG⊥y轴于点G,;【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所在直线折叠得到△EB’F,连接B’D,则B’D的最小值是【详解】如图所示点B’在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B’、E共线时，B'D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB'F,∴∠B=∠EB’F,EB'=EB.故答案为2√10-2.点距离之和PA+PB的最小值为【解析】解：设△ABP中AB边上的高是h.∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.在Rt△ABE中，∵AB=10,AE=4+4=8,∴BE=√AB²+AE2=√102+8²=2√41,即PA+PB的最小值为2√41.故答案为：2√41.12.如图，等边△ABC的边长为4,AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2,当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少?【答案】∠ECF=309【解析】解：过E作EM//BC,交AD于N,如图所示：*AC=4,AE=2,∴EC=2=AE,∴AM=BM=2,∴AM=AE,∵AM=AE,∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F,连接EF,则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°,AC=BC,∵AM=BM,13.(1)如图1,在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD,桥建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直)A.图1(2)如图2,在A和B两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是MN和PQ,桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直)A.【答案】(1)【解析】解：(1)如图，过点B作BB’垂直于河岸，且使BB’长度等于这条河宽，连接AB’交河的一岸于点C,过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点为D,则CD即为架桥最合适的位置.(2)如图，过点A作AA’垂直于距点A较近的河岸，且使AA’长等于该河宽，同样，过点B作BB’垂直于距点B较近的河岸，且使BB’长等于河宽，连接A’B’分别交两条河相邻的河岸于点N,P,过点N作MM垂直于该河河岸，与另一岸交点为M,过P作PQ垂直于该河河岸，与另一岸交点为Q,则MN,PQ即为架桥最合适的位置.动点，试求CM+MN的最小值.4【解析】如图所示，过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M',过点M'作M'N'⊥BC于N',则CE即为CM+MN的最小值.∵BC=4√2,∠ABC=45°,BD故CM+MN的最小值为4.(1)求证：△AMB≌△ENB;②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由(3)当AM+BM+CM的最小值为√3+1时，求正方形的边长【答案】②连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时，②如图，连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时，∵∠MBN=60°,MB=NB,根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短(3)过E点作EF⊥BC交C