苏教版高数必修二第4讲：平行的基本性质与空间中的线线关系(教师版)

平行的基本性质与空间中的线线关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解和掌握平面的性质定理；掌握直线与直线的位置关系.一、平面的基本性质1.公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：．如图示：或者：∵，∴公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内；③检验面是否是平面．2.公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：如图示：或者：∵，∴公理2的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置；(2)判断点是否在线上今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．3.公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：与重合或者：∵不共线，∴存在唯一的平面，使得.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．二、平行直线1.公理4平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：．(1)它是判断空间两条直线平行的依据；(2)它说明平行关系具有传递性2.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等．由球的半径R计算球表面积的公式：S球＝4πR2.即球面面积等于它的大圆面积的三、异面直线1.定义：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线；(2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线(3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法．2．异面直线的画法画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．3．异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线推理模式：直线与直线是异面直线四、异面直线所成的角1.定义：已知，是两条异面直线，经过空间任意一点作直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线，所成的角．(1)异面直线所成的角与点的位置无关．(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作．(3)异面直线所成角的范围是．2.求异面直线所成角的步骤（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；（2）证平行关系成立；（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．五、空间两直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个公共点平行直线在同一平面内没有公共点异面直线不同在任何一个平面内没有公共点类型一平面及其性质例1：(2014·邵阳一中月考)对下图的几何图形，下列表示错误的是()A．l∈α B．P∉lC．l⊂α D．P∈α解析：由图形可知，l⊂α，P∉l，P∈α，故选A.答案：A练习1：判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）平面的形状是平行四边形（）（2）任何一个平面图形都可以表示平面（）（3）平面ABCD的面积为10㎡（）（4）空间图形中，后引的辅助线是虚线（）答案：（1）（3）（4）错，（2）正确．练习2：下列说法正确的个数（）①铺的很平的一张纸是一个平面；②可以一个长20cm、宽30cm的平面；③通常300页的书要比10页的书厚一些，那么300个平面重合在一起时一定比10个平面重合在一起厚．A、0个 B、1个 C、2个 D、3个答案：A练习3：若点在直线上，在直线平面内，则之间的关系可记作（）A、 B、 C、 D、答案：B例2：如右图，已知分别为空间四边形各边上的点，且，求证：共线．解析：由公理2可判断D点在交线上．答案：证明：∵∴∵平面∴平面同理平面∵平面平面∴∴共线练习1：已知与三条平行线都相交，求证：与共面．答案：证明：如右图所示∵∴直线与直线确定一个平面，设为∵∴∴∴∵∴直线与直线确定一个平面，设为同理可证∵∴平面与平面重合∴与共面练习2：两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（）A、2个 B、有无数个且在一条直线上C、一个或无数个 D、1个答案：B练习3：下列命题：①公理1可用集合符号叙述为：若且，则必有；②四边形的两条对角线必交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四边作为平面边界线；④梯形是平面图形．其中正确的命题个数为（）A、1 B、2 C、3 D、4 答案：D类型二直线及其位置关系例3：(2014·甘肃嘉峪关市一中高一期末测试)若a、b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．异面或相交解析：如图，借助正方体可知c与b相交或异面．答案：D练习1：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BD和CD的中点，长方体的各棱中与EF平行的有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条答案：如图所示∵E、F分别为BD、CD的中点，∴EF∥BC，又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1，同理，EF∥A1D1，EF∥AD.故选D．练习2：空间四边形ABCD中，给出下列说法：①直线AB与CD异面；②对角线AC与BD相交；③四条边不能都相等；④四条边的中点组成一个平行四边形．其中正确说法的个数是()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：本题主要考查空间四边形，关键要理解空间四边形的概念．由定义知①正确；②错误，否则A、B、C、D四点共面；③不正确，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；④正确，由平行四边形的判定定理可证．故选B．练习3：a、b、c是空间中三条直线，下面给出几种说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；③若a、b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．上述说法中正确的是________(仅填序号)．答案：由基本性质4知①正确．若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，②错误．若平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．例4：已知正方体,、分别为、的中点，求证:解析：平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．答案：证明：如右图，取中点，连结、．∵为的中点∴∴四边形为平行四边形∴又∵∴∴四边形为平行四边形∴∴练习1：已知棱长为正方体,、分别为、的中点，求证:四边形是梯形答案：证明：如右图∵、分别为、的中点∴由正方体的性质知∴∴四边形是梯形．练习2：已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(1,2)，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(1,3)，则四边形EFGH形状为________．答案：如右图在△ABD中，∵eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(1,2)，∴EH∥BD且EH＝eq\f(1,2)BD.在△BCD中，∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(1,3)，∴FG∥BD且FG＝eq\f(1,3)BD，∴EH∥FG且EH>FG，∴四边形EFGH为梯形．例5：已知、分别是正方体的棱、的中点．求证：解析：由等角定理，证明角的边之间的关系，进而得到角的关系．答案:证明：如右图，连结∵、分别是、的中点∴∴四边形为平行四边形∴又∵∴∴四边形是平行四边形∴同理可证：又与方向相同∴练习1：如右图，不共面，且,求证：△≌△答案：证明：∵∴四边形是平行四边形∴同理可证：又∵和方向相同∴∴△和△中有∴△≌△练习2：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1求证：∠NMP＝∠BA1D.答案：如图，连接CB1、CD1，易得四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C∵M、N分别是CC1、B1C1∴MN∥B1C，∴MN∥A1D∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1.∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，∴MP∥A1B，∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，∴∠NMP＝∠BA1D.例6：如右图，已知不共面的直线相交于点，、是直线上两点，、分别是直线、上一点．求证：和是异面直线．解析：证明其中一点不属于两外三点确定的平面即可．答案：证明：∵∴由、确定一个面，设为∵∴∴且又∵不共面，∴∴和是异面直线练习1：两条异面直线是指（）A、空间没有公共点的两条直线 B、分别位于两个平面内的直线C、平面内的一条直线与平面外的一条直线 D、既不平行也不相交的两条直线答案：D练习2：下列说法正确的有________．．①两直线无公共点，则两直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任一直线均构成异面直线；④和两条一面直线都相交的直线的两直线必是异面直线．答案：②练习3：已知且，求证：，为异面直线．答案：证明：如右图∵∴而∴在直线上任取不同于的一点∵∴∴与是异面直线，即，为异面直线例7：正四面体的棱长为，、分别为棱、的中点，求异面直线和所成角的余弦值．解析：找出其中一条直线的平行线，构造三角形求解．答案：如右图，连结，在面内过点作交于，则(或其补角)为异面直线与所成的角，且是的中点．又∵为的中点∴∵△和△均为等边三角形，且边长为，、分别是它们的中线∴，则在△中，∴在△中，即异面直线与所成的角的余弦值为在△中，∴在等腰△中，∴异面直线与所成角的余弦值练习1：已知、为异面直线，，，，则直线（）A、与、都相交 B、与、至少一条相交C、与、都不相交 D、至多与、中的一条相交答案：B练习2：在棱长为1的中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（）A、 B、 C、 D、答案：D练习3：如右图，等腰直角三角形中，,若，且为的中点．求异面直线与所成角的余弦值．答案：取的中点，连结，在△中，、分别为、的中点．∴∴或其补角即为所求异面直线与所成的角在△中，∴在△中，∴1．在空间内，可以确定一个平面的条件是（）A、两两相交的三条直线 B、三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C、三个点 D、三条直线，它们两两相交，但不交于同一点 E、两条直线答案：D2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．异面 B．相交C．平行 D．异面或相交答案：D3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是（）A、相交 B、异面 C、平行 D、相交或异面答案：D4．从空间一点分别向的两边作垂线，垂足分别为，则与的关系为（）A、互补 B、相等 C、互补或相等 D、以上都不对答案：D5．在正四面体中，为的中点，则与所成角的余弦值为．答案：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.空间有四个点，其中无三点共线，可确定________个平面；若将此四点两两相连，再以所得线段中点为顶点构成一个几何体，则这个几何体至多有________个面．答案：1或4，82、三个两两相交的平面最多可把空间分为________个部分．答案：83、下面6个命题：①四边相等的四边形是菱形；②两组对边相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角相等，则该四边形是圆内接四边形；④在空间，过已知直线外一点，引该直线的平行线，可能不只一条；⑤四条直线两两平行，无三线共面，它们共可确定6个平面．其中正确命题的个数是（）A、0 B、1 C、2 D、3答案：B4.在正方体中，与成的面对角线共有（）A、4条 B、6条 C、8条 D、10条答案：C5.已已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．答案：平行能力提升6.(2014·山东泰安肥城高一期末测试)如