山西省长治二中2025届高一数学第二学期期末经典试题含解析

山西省长治二中2025届高一数学第二学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是对角线AC上一点，，过点P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于点M，E，N.若(m>0，n>0)，则2m＋3n的最小值是()A． B．C． D．2．设，满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A．3 B． C．1 D．3．各棱长均为的三棱锥的表面积为（）A． B． C． D．4．下列关于函数（）的叙述，正确的是（）A．在上单调递增，在上单调递减B．值域为C．图像关于点中心对称D．不等式的解集为5．某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如下表所示，先将他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组，则这个小组年龄不超过55岁的人数为（）3940112551366778889600123345A．1 B．2 C．3 D．46．将函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则函数f（x）的最小正周期不可能是（）A． B． C． D．7．在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．78．中，，则是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形9．若，则A． B． C． D．10．已知函数的最小正周期是，其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数.有下列结论：①函数的图象关于点对称；②函数的图象关于直线对称；③函数在上是减函数；④函数在上的值域为.其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在圆心为，半径为的圆内接中，角，，的对边分别为，，，且，则的面积为__________．12．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第一象限的概率为__________．13．已知向量、满足，，且，则与的夹角为________.14．在区间上，与角终边相同的角为__________．15．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即的，其中分别为内角的对边.若，且则的面积的最大值为____．16．在中，，过直角顶点作射线交线段于点，则的概率为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是:，.（1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟?(精确到整数)（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟?(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)（3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长.求这名组长分别选自和的概率是多少？18．高一某班以小组为单位在周末进行了一次社会实践活动，且每小组有5名同学，活动结束后，对所有参加活动的同学进行测评，其中A，B两个小组所得分数如下表：A组8677809488B组9183？7593其中B组一同学的分数已被污损，看不清楚了，但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高出1分.（1）若从B组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；（2）从A组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m，n，求的概率.19．在三棱锥中，平面平面，，，分别是棱，上的点（1）为的中点，求证：平面平面.（2）若，平面，求的值.20．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为．（1）求1张奖券中奖的概率；（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．21．在中，角，，所对的边为，，，向量与向量共线.（1）若，求的值；（2）若为边上的一点，且，若为的角平分线，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】设，则又当且仅当时取等号，故选点睛：在利用基本不等式求最值的时候，要特别注意“拆，拼，凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数），“定”（不等式的另一边必须为定值），“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误．2、C【解析】

作出不等式组对应的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最大值．【详解】作出不等式组对应的平面区域，如阴影部分所示；平移直线，由图像可知当直线经过点时，最大．，解得，即，所以的最大值为1．故答案为选C【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，也考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题．3、C【解析】

判断三棱锥是正四面体，它的表面积就是四个三角形的面积，求出一个三角形的面积即可求解本题.【详解】由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，即，

所以C选项是正确的.【点睛】本题考查棱锥的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题.4、D【解析】

运用正弦函数的一个周期的图象，结合单调性、值域和对称中心，以及不等式的解集，可得所求结论.【详解】函数（），在，单调递增，在上单调递减；值域为；图象关于点对称；由可得，解得：.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.5、B【解析】

求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可．【详解】解：样本间隔为，年龄不超过55岁的有8人，则这个小组中年龄不超过55岁的人数为人．故选：．【点睛】本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题．6、D【解析】

利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，对称性和周期性，求得函数的最小正周期为，由此得出结论．【详解】解：将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，根据所得到的函数图象关于轴对称，可得，即，．函数的最小正周期为，则函数的最小正周期不可能是，故选．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，对称性和周期性，属于基础题．7、B【解析】

根据三角形的面积公式，建立关于的关系式，结合基本不等式，利用1的代换，即可求解，得到答案.【详解】由题意，因为，的平分线交于点，且，所以，整理得，得，则，当且仅当，即，所以的最小值9，故选B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中合理利用1的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、C【解析】

由平面向量数量积运算可得，即，得解.【详解】解：在中，，则，即，则为钝角，所以为钝角三角形，故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题.9、B【解析】

分析：由公式可得结果.详解：故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.10、C【解析】

根据函数最小正周期可求得,由函数图象平移后为奇函数,可求得,即可得函数的解析式.再根据正弦函数的对称性判断①②,利用函数的单调区间判断③,由正弦函数的图象与性质判断④即可.【详解】函数的最小正周期是则,即向右平移个单位可得由为奇函数,可知解得因为所以当时,则对于①,当时,代入解析式可得,即点不为对称中心,所以①错误;对于②,当时带入的解析式可得,所以函数的图象关于直线对称,所以②正确;对于③,的单调递减区间为解得当时,单调递减区间为,而,所以函数在上是减函数,故③正确;对于④,当时,由正弦函数的图像与性质可知,,故④正确.综上可知,正确的为②③④故选:C【点睛】本题考查根据三角函数性质和平移变换求得解析式,再根据正弦函数的图像与性质判断选项,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

已知条件中含有这一表达式，可以联想到余弦定理进行条件替换；利用同弧所对圆心角为圆周角的两倍，先求出角的三角函数值，再求的正弦值,进而即可得解.【详解】，，在中，代入（1）式得：，整理得：圆周角等于圆心角的两倍，，（1）当时，，，.（1）当时，，点在的外面，此时，，．【点睛】本题对考生的计算能力要求较高，对解三角形和平面几何知识进行综合考查.12、【解析】

首先求出试验发生包含的事件的取值所有可能的结果，满足条件事件直线不经过第一象限，符合条件的有种结果，根据古典概型概率公式得到结果.【详解】试验发生包含的事件，，得到的取值所有可能的结果有：共种结果，由得，当时，直线不经过第一象限，符合条件的有种结果，所以直线不经过第一象限的概率.故答案为：【点睛】本题是一道古典概型题目，考查了古典概型概率公式，解题的关键是求出列举基本事件，属于基础题.13、【解析】

直接应用数量积的运算，求出与的夹角．【详解】设向量、的夹角为；∵，∴，∵，∴.故答案为：．【点睛】本题考查向量的夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.14、【解析】

根据与终边相同的角可以表示为这一方法，即可得出结论．【详解】因为，所以与角终边相同的角为.【点睛】本题考查终边相同的角的表示方法，考查对基本概念以及基本知识的熟练程度，考查了数学运算能力，是简单题．15、【解析】

由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求积”公式即可求得答案．【详解】因为，所以整理可得，由正弦定理得因为，所以所以当时，的面积的最大值为【点睛】本题用到的知识点有同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理等，考查学生分析问题的能力和计算整理能力．16、【解析】

设，求出的长，由几何概型概率公式计算．【详解】设，由题意得，，∴的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查几何概型，考查长度型几何概型．掌握几何概型概率公式是解题关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)分钟.(2)58分钟；(3)【解析】

（1）根据中位数将频率二等分可直接求得结果；（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】（1）设中位数为，则解得：（分钟）这名手机使用者中使用时间的中位数是分钟（2）平均每天使用手机时间为：（分钟）即手机使用者平均每天使用手机时间为分钟（3）设在内抽取的两人分别为，在内抽取的三人分别为，则从五人中选出两人共有以下种情况：两名组长分别选自和的共有以下种情况：所求概率【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数、古典概型概率问题的求解；关键是能够明确平均数和中位数的估算原理，从而计算得到结果；解决古典概型的常用方法为列举法，属于常考题型.18、（1）（2）【解析】

（1）先设在B组中看不清的那个同学的分数为x，分别求得两组的平均数，再由平均数间的关系求解.（2）先求出从A组这5名学生中随机抽取2名同学所有方法数，再用列举的方法得到满足求的方法数，再由古典概型求解.【详解】（1）设在B组中看不清的那个同学的分数为x由题意得解得x=88所以在B组5个分数超过85的有3个所以得分超过85分的概率是（2）从A组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m，n，则所有共有共10个其中满足求的有:共6个故|的概率为

【点睛】本题主要考查了平均数和古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）根据等腰三角形的性质，证得，由面面垂直的性质定理，证得平面，进而证得平面平面.（2）根据线面平行的性质定理，证得，平行线分线段成比例，由此求得的值.【详解】（1），为的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）∵平面，面，面面∴，∴.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查线面平行的性质定理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20、（1）（2）【解析】

（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,且、、两两互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可；（2）“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”的对立事件为“1张奖券中特等奖或中一等奖”,则利用互斥事件的概率公式求解即可【详解】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,设“1张奖券中奖”为事件,则,因为、、两两互斥,所以故1张奖券中奖的概率为（2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以,故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查古典概型,考查利用对立事件求概率2