湖南省株洲市醴陵市第二中学2025届数学高一下期末监测试题含解析

湖南省株洲市醴陵市第二中学2025届数学高一下期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知,当取得最小值时（）A． B． C． D．2．如果在一次实验中，测得x,y的四组数值分别是A1,3，B2,3.8，C3,5.2，D4,6，则A．y=x+1.9 B．C．y=0.95x+1.04 D．3．在中，角的对边分别为，若，则A．无解 B．有一解C．有两解 D．解的个数无法确定4．已知函数f(x)满足：f(x)=-f(-x)，且当x∈(-∞，0]时，成立，若则a，b，c的大小关系是（）A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a5．圆，那么与圆有相同的圆心，且经过点的圆的方程是（）．A． B．C． D．6．已知圆与圆有3条公切线，则（）A． B．或 C． D．或7．若且则的值是().A． B． C． D．8．等比数列,…的第四项等于(

)A．-24 B．0 C．12 D．249．如图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（）A． B．C． D．10．已知之间的几组数据如下表：

1

2

3

4

5

6

0

2

1

3

3

4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为中的前两组数据和求得的直线方程为则以下结论正确的是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知正方体的棱长为，点、分别为、的中点，则点到平面的距离为______.12．若在等比数列中，，则__________．13．已知数列，，若该数列是减数列，则实数的取值范围是__________．14．用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______.15．已知sin＝，则cos＝________．16．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图几何体中，底面为正方形，平面，，且.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小.18．某校为了了解学生每天平均课外阅读的时间（单位：分钟)，从本校随机抽取了100名学生进行调查，根据收集的数据，得到学生每天课外阅读时间的频率分布直方图，如图所示，若每天课外阅读时间不超过30分钟的有45人.（Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)根据频率分布直方图，估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表).19．为了解人们对某种食材营养价值的认识程度，某档健康养生电视节目组织名营养专家和名现场观众各组成一个评分小组，给食材的营养价值打分（十分制）．下面是两个小组的打分数据：第一小组第二小组（1）求第一小组数据的中位数与平均数，用这两个数字特征中的哪一种来描述第一小组打分的情况更合适？说明你的理由．（2）你能否判断第一小组与第二小组哪一个更像是由营养专家组成的吗？请比较数字特征并说明理由．（3）节目组收集了烹饪该食材的加热时间：（单位：）与其营养成分保留百分比的有关数据：食材的加热时间（单位：）营养成分保留百分比在答题卡上画出散点图，求关于的线性回归方程（系数精确到），并说明回归方程中斜率的含义．附注：参考数据：，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．20．设二次函数.（1）若对任意实数，恒成立，求实数x的取值范围；（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围.21．已知函数.（1）当时，，求的值；（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

可用导函数解决最小值问题，即可得到答案.【详解】根据题意，令，则，而当时，，当时，，则在处取得极小值，故选D.【点睛】本题主要考查函数的最值问题，意在考查学生利用导数工具解决实际问题的能力，难度中等.2、B【解析】

求出样本数据的中心(2.5,4.5)，依次代入选项中的回归方程.【详解】∵x∴样本数据的中心为(2.5,4.5)，将它依次代四个选项，只有B符合，∴y与x之间的回归直线方程是y=1.04x+1.9【点睛】本题的考点是回归直线经过样本点的中心，而不是考查利用最小二乘法求回归直线方程.3、C【解析】

求得，根据，即可判定有两解，得到答案.【详解】由题意，因为，又由，且，所以有两解.【点睛】本题主要考查了三角形解的个数的判定，以及正弦定理的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、B【解析】

根据已知条件判断出函数的奇偶性，利用构造函数法，结合已知条件，判断出的单调性，结合的奇偶性比较出的大小关系.【详解】由于，所以为奇函数.构造函数，依题意，当时，，所以在区间上递减.由于，所以为偶函数，故在上递增..，.由于，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查构造函数法判断函数的单调性，考查比较大小的方法，属于中档题.5、B【解析】

圆的标准方程为，圆心，故排除、，代入点，只有项经过此点，也可以设出要求的圆的方程：，再代入点，可以求得圆的半径为．故选．点睛：这个题目主要考查圆的标准方程，因为这是一道选择题，故根据与条件中的圆的方程可以得到圆心坐标，进而可以排除几个选项，如果正规方法，就可以按照已知圆心，写出标准方程，代入已知点求出标准方程即可．6、B【解析】

由两圆有3条公切线，可知两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，求解即可.【详解】由题意，圆与圆外切，所以，即，解得或.【点睛】本题考查了两圆外切的性质，考查了计算能力，属于基础题.7、C【解析】由题设，又，则，所以，，应选答案C．点睛：角変换是三角变换中的精髓，也是等价化归与转化数学思想的具体运用，求解本题的关键是巧妙地将一个角变为已知两角的差，再运用三角变换公式进行求解．8、A【解析】由x，3x+3，6x+6成等比数列得选A.考点：该题主要考查等比数列的概念和通项公式，考查计算能力.9、A【解析】

根据线性回归模型建立方法，分析选项，找出散点比较分散且无任何规律的选项可得答案.【详解】根据题意，适合用线性回归拟合其中两个变量的散点图必须散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，分析选项可得A选项的散点图杂乱无章，最不符合条件.故选A【点睛】本题考查了统计案例散点图，属于基础题.10、C【解析】b′＝2，a′＝－2，由公式＝求得．＝，＝－＝－×＝－，∴<b′，>a′二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

作出图形，取的中点，连接，证明平面，可知点平面的距离等于点到平面的距离，然后利用等体积法计算出点到平面的距离，即为所求.【详解】如下图所示，取的中点，连接，在正方体中，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，且，又，，平面，平面，平面，则点平面的距离等于点到平面的距离，的面积为，在正方体中，平面，且平面，，易知三棱锥的体积为.的面积为.设点到平面的距离为，则，.故答案为：.【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．12、【解析】

根据等比中项的性质，将等式化成即可求得答案．【详解】是等比数列，若，则．因为，所以，．故答案为：1．【点睛】本题考查等比中项的性质，考查基本运算求解能力，属于容易题.13、【解析】

本题可以先通过得出的解析式，再得出的解析式，最后通过数列是递减数列得出实数的取值范围．【详解】，因为该数列是递减数列，所以即因为所以实数的取值范围是．【点睛】本题考察的是递减数列的性质，递减数列的后一项减去前一项的值一定是一个负值．14、【解析】

根据左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1求解即可.【详解】因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1所以，左边的式子为，故答案为.【点睛】项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.15、【解析】

由sin＝，得cos2＝1－2sin2＝，即cos＝，所以cos＝cos＝，故答案为.16、【解析】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），所以.【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）由，，结合面面平行判定定理可证得平面平面，根据面面平行的性质证得结论；（2）连接交于点，连接，利用线面垂直的判定定理可证得平面，从而可知所求角为，在中利用正弦求得结果.【详解】（1）四边形为正方形又平面平面又，平面平面平面，平面平面平面平面（2）连接交于点，连接平面，平面又四边形为正方形平面，平面即为与平面所成角且又即与平面所成角为：【点睛】本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够通过垂直关系将所求角放入直角三角形中来进行求解.18、（Ⅰ)；（Ⅱ)中位数估计值为32，平均数估计值为32.5.【解析】

（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出，；（Ⅱ）由频率分布直方图，能估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值．【详解】（Ⅰ)由题意得，解得（Ⅱ)设该校学生每天课外阅读时间的中位数估计值为，则解得：.该校学生每天课外阅读时间的平均数估计值为：.答：该校学生每天课外阅读时间的中位数估计值为32，平均数估计值为32.5.【点睛】本题考查频率、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19、（1）中位数为，平均数为，中位数更适合描述第一小组打分的情况；（2）由可知第二小组的打分人员更像是由营养专家组成；（3）散点图见解析；回归直线为：；的含义：该食材烹饪时间每加热多分钟，则其营养成分大约会减少．【解析】

（1）将第一小组打分按从小到大排序，根据中位数和平均数的计算方法求得中位数和平均数；由于存在极端数据，可知中位数更适合描述第一小组打分情况；（2）分别计算两组数据的方差，由可知第二小组打分相对集中，其更像是由营养专家组成；（3）由已知数据画出散点图；利用最小二乘法计算可得回归直线；根据的含义，可确定斜率的含义.【详解】（1）第一小组的打分从小到大可排序为：，，，，，，，则中位数为：平均数为：可发现第一小组中出现极端数据，会造成平均数偏低则由以上算得的两个数字特征可知，选择中位数更适合描述第一小组打分的情况．（2）第一小组：平均数为方差：第二小组：平均数：方差：可知，，第一小组的方差远大于第二小组的方差第二小组的打分相对集中，故第二小组的打分人员更像是由营养专家组成的（3）由已知数据，得散点图如下，，且，则关于的线性回归方程为：回归方程中斜率的含义：该食材烹饪时间每加热多分钟，则其营养成分大约会减少．【点睛】本题考查计算数据的中位数、平均数和方差、根据方差确定数据的波动性、回归直线的求解问题；考查学生对于统计中的公式的掌握情况，对于学生的计算和求解能力有一定要求，属于常考题型.20、（1）（2）【解析】

（1）是关于m的一次函数，计算得到答案.（2）易知，讨论和两种情况计算得到答案.【详解】（1）对任意实数，恒成立，即对任意实数恒成立，是关于m的一次函数，，解得或，所以实数x的取值范围是.（2）存在，使得成立，即，显然.（i）当时，要使成立，即需成立，即需成立.，(当且仅当时等号成立)，，.（ii）当