高考数学第一轮复习复习第2节　用样本估计总体（讲义）

第2节用样本估计总体[课程标准要求]1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数、百分位数),理解集中趋势参数的统计含义.2.能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),理解离散程度参数的统计含义.1.百分位数(1)第p百分位数的定义:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.(2)四分位数:25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数,其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.第50百分位数就是中位数,中位数是百分位数的特例,百分位数是中位数的推广.2.总体集中趋势的估计数字特征样本数据频率分布直方图众数出现次数最多的数据取最高的小矩形底边中点的横坐标中位数将数据按大小顺序依次排列,处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分,分界线与x轴交点的横坐标平均数样本数据的算术平均数x=1n(x1+x2+…+xn每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和平均数、中位数、众数分别从不同角度描述了一组数据的特征,刻画了一组数据的大致情况.平均数表示“一般水平”,中位数表示“中等水平”,众数表示“多数水平”.一组数据的平均数、中位数都是唯一的.众数不一定唯一,还可以没有,且众数一定是原数据中的数,而平均数和中位数都不一定是原数据中的数.3.总体离散程度的估计设一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为x,则这组数据的方差和标准差分别是s2=1n∑i1.若数据x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为s2,则数据mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为mx+a,方差为m2s2.2.s2=1n∑i=1n(xi-x)21.(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则(CD)A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同解析:设样本数据x1,x2,…,xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为x,m,σ,t,依题意,得新样本数据y1,y2,…,yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为x+c,m+c,σ,t,因为c≠0,所以C,D正确.2.(多选题)(2022·辽宁沈阳一模)某团队共有20人,他们的年龄分布如表所示,年龄28293032364045人数1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的是(ACD)A.众数是32 B.众数是5C.极差是17 D.25%分位数是30解析:年龄为32的有5人,故众数是32,A正确,B错误;45-28=17,极差为17,C正确;因为20×25%=5,所以(30+30)÷2=30,故25%分位数是30,D正确.3.如图是某学校随机抽取的100名学生数学月考成绩的频率分布直方图,据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),下列说法正确的是(D)A.平均数为74B.众数为60或70C.中位数为75D.该校数学月考成绩在80分以上的学生约占25%解析:对于A,x=0.005×10×55+0.04×10×65+0.03×10×75+0.02×10×85+0.005×10×95=73,故A不正确;对于B,由频率分布直方图可知众数为65,故B不正确;对于C,设中位数为x,则0.005×10+0.04×10+0.03×(x-70)=0.5,解得x=7123对于D,数学月考成绩在80分以上的学生约占0.02×10+0.005×10=0.25=25%,故D正确.4.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是,该组数据的方差是.

解析:由已知,得4+2a+3-a+5+6=20,所以a=2.s2=15×[(4-4)2+(4-4)2+(1-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=14答案:214总体百分位数的估计离散型数字的百分位数[例1]按从小到大顺序排列的9个数据:10,16,25,33,39,43,m,65,70,若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73,则m等于()A.40 B.48 C.50 D.57解析:因为9×25%=2.25,所以第一四分位数为25;因为9×75%=6.75,所以第三四分位数为m,所以25+m=73,解得m=48.故选B.计算一组数据的p%分位数的步骤连续型数字的百分位数[例2](2022·北京期末)某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况(单位:min),并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图,则估计样本数据的85%分位数为.

解析:因为(0.0005+0.002×2+2a+0.006+0.0065)×40=1,所以a=0.004,又观看时长在200min以下的占比为(0.0005+0.002+0.004+0.006+0.0065)×40=0.76<0.85,观看时长在240min以下的占比为0.76+0.004×40=0.92>0.85,所以85%分位数位于[200,240)内,所以85%分位数为200+40×0.答案:222.5频率分布直方图中第p百分位数的求解方法可以模仿中位数的求解思路:(1)确定第p百分位数所在的区间[a,b).(2)确定小于或等于a和小于或等于b的数据所占的百分比分别为fa%,fb%,则第p百分位数为a+p%-f[针对训练]1.如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图,则由直方图得到的25%分位数为()A.66.5 B.67 C.67.5 D.68解析:因为第一组的频率为0.010×10=0.1,前两组的频率之和为(0.010+0.020)×10=0.3,所以25%分位数在[60,70)内,所以25%分位数为60+0.252.将20个数据按从小到大的顺序排列,若第70百分位数为8.2,第14个数据为7.8,则第15个数据为.

解析:因为70%×20=14,所以x14+x答案:8.6总体集中趋势的估计[例3](多选题)在某次高中学科知识竞赛中,对4000名考生的参赛成绩(成绩范围为[40,100])进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中间值代表,则下列说法正确的是()A.考生成绩的众数约为75分B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数约为75分解析:最高矩形所在区间[70,80)的中点为75,故A正确;成绩在[40,60)的频率为0.01×10+0.015×10=0.25,因此,不及格的人数为4000×0.25=1000,故B正确;考生竞赛成绩的平均分约为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,故C正确;因为成绩在[40,70)的频率为0.45,在[70,80)的频率为0.3,所以中位数约为70+10×0.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数(1)众数:取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数.(2)中位数:在频率分布直方图中,把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数.(3)平均数:平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.[针对训练](多选题)为响应自己城市倡导的低碳出行,小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具,他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间(单位:min),得到下列两个频率分布直方图.基于以上统计信息,正确的是()A.骑车时间的中位数的估计值是22minB.骑车时间的众数的估计值是21minC.坐公交车时间的40%分位数的估计值是19minD.坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值解析:根据频率分布直方图可得骑车时间为22min的频率为0.6不是0.5,所以中位数估计值不是22min,所以A错误;根据频率分布直方图可得骑车时间的众数估计值为20+222=21,所以B正确;根据频率分布直方图可得坐公交车时间的40%分位数的估计值是18+202=19,所以C正确;根据频率分布直方图可得坐公交车时间、骑车时间平均数的估计值分别为(13+27)×0.05+(15+25)×0.1+(17+23)×0.15+(19+21)×0.2=2+4+6+8=20,19×0.2+21×0.4+23×0.3+25总体离散程度的估计[例4](2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如表所示,旧设备9.810.310.010.29.9新设备10.110.410.110.010.1旧设备9.810.010.110.29.7新设备10.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s12和(1)求x,y,s12,(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y-x≥2s1解:(1)x=110×y=110×10.3,s12=110×(0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22s22=110×(0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12(2)依题意,y-x=0.3=2×0.15=20.152=20.022符合y-x≥2s1利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定.(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.[针对训练](2019·全国Ⅱ卷)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组企业数[-0.20,0)2[0,0.20)24[0.20,0.40)53[0.40,0.60)14[0.60,0.80)7(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附:74≈8.602.解:(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14+7100产值负增长的企业频率为2100用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y=1100×(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×s2=1100∑i=15ni(y=1100×[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×=0.0296.s=0.0296所以这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.[例1]某班统计某次数学测验的平均分与方差(成绩不完全相同),计算完后才发现有名同学的分数录入了两次,只好重算一次.已知第一次计算所得平均分和方差分别为x,s2,第二次计算所得平均分和方差分别为x1,s12A.x=x1,s2=s12 B.x=x1C.x=x1,s2>s12 D.x<x1解析:设这个班有n个同学,分数分别是a1,a2,a3,…,an,假设第i个同学的成绩录入了两次,第一次计算时,总分是(n+1)x,方差为s2=1n+1[(a1-x)2+(a2-x)2+…+(ai-第二次计算时,x1=(n+1s12=1n[(a1-x)2+(a2-x故有x=x1,s2<s[例2]为了了解某校高一年级学生注射疫苗的情况,从所有班级中抽取了3个班级,统计得到每班注射疫苗的人数各不相同.已知这些数据的平均数为6,方差为6,则这些数据中最大的数是.

解析:设3个样本数据分别为x,y,z,则x不妨设x<y<z,且x,y,z∈N*,所以x≤5,当x=5时,y=6,z=7,舍去;当x=4时,y=5,z=9或y=6,z=8,不符合题意,舍去;当x=3时,x=3,y=4,z=11即这些数据中最大的数是9.答案:9[选题明细表]知识点、方法题号百分位数计算3,7样本数字特征的计算1,2,6,8,10,12,13综合问题4,5,9,11,14,151.(多选题)(2022·河北石家庄二模)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,发生改变的数字特征是(BCD)A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差解析:中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后,处于中间位置的数据,因而去掉1个最高分和1个最低分,不变的是中位数,平均数、方差、极差均受影响.2.已知样本数据x1,x2,…,xn(n∈N*)的平均数与方差分别是a和b,若yi=-2xi+3(i=1,2,…,n),且样本数据y1,y2,…,yn的平均数与方差分别是b和a,则a-b等于(A)A.1 B.2 C.3 D.4解析:由题意得-解得a故a-b=1.3.高二(1)班共有40人,甲同学在一次测验中的成绩是第9名,则甲同学成绩的百分位数约是(D)A.25 B.20 C.40 D.80解析:设甲同学成绩的百分位数约是x,依题意得x100·4.(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图,则(B)A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差解析:对于A,讲座前问卷答题的正确率的中位数是70%85%,90%,90%,95%,100%,100%,其平均数显然大于85%,所以B正确;对于C,由题图可知,讲座前问卷答题的正确率波动较大,讲座后问卷答题的正确率波动较小,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差,所以C错误;对于D,讲座前问卷答题的正确率的极差是95%-60%=35%,讲座后问卷答题的正确率的极差是100%-80%=20%,所以讲座前问卷答题的正确率的极差大于讲座后问卷答题的正确率的极差,所以D错误.5.(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图,根据此频率分布直方图,下列结论不正确的是(C)A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间解析:对于A,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02+0.04)×1=0.06,正确;对于B,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)×1=0.10,正确;对于C,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入的平均值估计为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元),错误;对于D,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10+0.14+0.20+0.20)×1=0.64,正确.6.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两名同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数,甲得到10位市民的幸福感指数分别为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,乙得到10位市民的幸福感指数的平均数为8,方差为2.2,则这20位市民幸福感指数的方差为(C)A.1.75 B.1.85C.1.95 D.2.05解析:设甲得到的10位市民的幸福感指数分别为x1,x2,…,x10,乙得到10位市民的幸福感指数分别为x11,x12,…,x20,故这20位市民的幸福感指数的方差为120(x12+x22+…+x102因为乙得到10位市民的幸福感指数的平均数为8,方差为2.2,x11+x12+…+x20=8×10=80,故x=5+6+6+7+7+7+7+8+8+9+10×820=7.5,而110(x11故x112+…+而x12+x22+…+x102=52+62+62+4×72+2故所求的方差为120(502+662)-7.527.(2022·山东济南二模)2022年4月24日是第七个“中国航天日”,今年的主题是“航天点亮梦想”.某校组织学生参与航天知识竞答活动,某班8名同学成绩如下:7,6,8,9,8,7,10,m.若去掉m,该组数据的第25百分位数保持不变,则正整数m(1≤m≤10)的值可以是.(写出一个满足条件的m值即可)

解析:7,6,8,9,8,7,10,m,若去掉m,该组数据从小到大排列为6,7,7,8,8,9,10,则7×0.25=1.75,故第25百分位数为第二个数即7,所以7,6,8,9,8,7,10,m,第25百分位数为7,而8×0.25=2,所以7为第二个数与第三个数的平均数,所以正整数m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10.答案:7(或8或9或10)8.已知某工厂连续5天生产的口罩数依次为x1,x2,x3,x4,x5(单位:十万只),若这组数据x1,x2,x3,x4,x5的方差为1.44,且x12,x22,x32,解析:依题意,得x12+x2设x1,x2,x3,x4,x5的平均数为x,根据方差的计算公式有15[(x1-x)2(x2-x)2+…+(x5-x)2]=1.44,所以(x12+x22+…+x52)-2x(x5x2=7.2,即20-10x2+5x2答案:1.69.为了调查疫情期间物理网课学习情况,某校组织了高一年级学生进行了物理测试.根据测试成绩(总分100分,成绩范围为[40,100]),将所得数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,其频率分布直方图如图所示.(1)求图中a的值;(2)试估计本次物理测试成绩的平均分;(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(3)该校准备对本次物理测试成绩优异(将成绩从高到低排列,排在前13%的为优异)的学生进行嘉奖,则受嘉奖的学生分数不低于多少.解:(1)由(0.005+0.010+0.015×2+a+0.030)×10=1,解得a=0.025.(2)45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.15+95×0.1=71,故本次物理测试成绩的平均分为71.(3)设受嘉奖的学生分数不低于x分,因为[80,90),[90,100]对应的频率分别为0.15,0.1,所以(90-x)×0.015+0.1=0.13,解得x=88,故受嘉奖的学生分数不低于88分.10.某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成情况,随机采访了9个代表,得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用样本估计总体,年龄在(x-s,x+s)内的人数占公司人数的百分比是(其中x是平均数,s为标准差,结果精确到1%)(C)A.14% B.25% C.56% D.67%解析:依题意,x=19×s=19×(所以年龄在(x-s,x+s)内的人数即在(1103,1303)的人数有5人,故年龄在(x-s,x+s)内的人数占公司人数的百分比为511.(多选题)(2022·广东湛江高三月考)某中学为了解高三男生的体能情况,通过随机抽样,获得了200名男生的100m体能测试成绩(单位:s),将数据按照[11.5,12),[12,12.5),…,[15.5,16]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图推断,下列选项正确的是(BC)A.a的值为0.38B.估计本校高三男生100m体能测试成绩的众数为13.75sC.估计本校高三男生100m体能测试成绩不大于13s的人数为54D.估计本校高三男生100m体能测试成绩的中位数为13.7s解析:因为在频率分布直方图中,所有小矩形的面积之和为1,所以(0.08+0.16+0.30+a+0.52+0.30+0.12+0.08+0.04)×0.5=1⇒a=0.4,因此A错误;分布在[13.5,14)小组的矩形面积最大,所以众数出现在这个小组内,所以估计众数为13.5+142=13.75,因此B正确;成绩不大于13s的频率之和为(0.08+0.16+0.30)×54,因此C正确;设中位数为b,则(0.08+0.16+0.30+0.40)×0.5+0.52(b-13.5)=0.5⇒b≈13.56,因此D错误.12.气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度(都是正整数,单位:℃)的记录数据如下:①甲地5个数据的中位数为26,众数为22;②乙地5个数据的平均数为26,方差为5.2;③丙地5个数据的中位数为26,平均数为26.4,极差为8,则从气象意义上肯定进入夏季的地区是(D)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③解析:①因为众数为22,所以至少出现2次,若有一天低于22,则中位数不可能是26,所以甲地肯定进入夏季;②设温度由低到高为x1,x2,x3,x4,x5,所以(x1-26)2+(x2-26)2+(x3-26)2+(x4-26)2+(x5-26)2=26,若有一天低于22,不妨设x1=21,则有一天为25或27,其他天均为26.不满足平均数26,故没有低于22的,所以乙地进入夏季;③设温度由低到高为a,b,c,d,e,由题意可得c=26,e=a+8,取a=21,则e=29,故b≤26,d≤29,b+d≤55,由平均数的定义可得1513.某校高一年级有甲、乙、丙三名学生,他们前三次月考的物理成绩如表所示,第一次月考物理成绩第二次月考物理成绩第三次月考物理成绩学生甲808590学生乙818385学生丙908682则下列结论正确的是.(填序号)

①甲、乙、丙第三次月考物理成绩平均数为86;②在这三次月考的物理成绩中,丙的平均分最高;③在这三次月考的物理成绩中,乙的成绩最稳定;④在这三次月考的物理成绩中,丙的成绩方差最大.解析:由题表中数据知,甲、乙、丙第三次月考的物理成绩的平均数为90+85+823=2573<86,因此①错误;这三次月考的物理成绩中,x甲(80+85+90)=85,x乙=13×(81+83+85)=83,x丙=13×(90+86+82)=86,所以②正确;由s甲2=13×[(80-85)2s乙2=13×[(81-83)2+(83-83)2+(85-83)2s丙2=13×[(90-86)2+(86-86)2+(82-86)2答案:②③14.(2022·黑龙江哈尔滨高三模拟)某经销商采购了一批水果,根据某些评价指标进行打分,现从中随机抽取20筐(每筐10kg),得分数据为17,23,29,31,34,40,46,50,51,51,58,62,62,68,71,78,79,80,85,95.根据以往的大数据认定:得分在区间(0,25],(25,50],(50,75],(75,100]内的分别对应四级、三级、二级、一级.(1)试求这20筐水果得分的平均数;(2)用样本估计总体,经销商参考以下两种销售方案进行销售,方案1:将得分的平均数换算为等级,按换算后的等级出售;方案2:分等级出售.不同等级水果的售价如表所示:等级一级二级三级四级售价/(万元/吨)21