浙江省东阳市2024届高三年级下册5月模拟考试数学试题 含答案

东阳市2024年5月高三模拟考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本

试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知全集U=R,集合A={x|x—2d2―15},5=3或xN2},则A=()

A.——,2JB.^—3,——C.(—3,3]D.(2,3]

2.2知口=4,忖=3,卜+q=卜一耳,则〃()

A.-16B.16C.-9D.9

3.命题尸：再，x2,不。的平均数与中位数相等；命题Q%，/，…，4)是等差数列，则尸是Q

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知△ABC中，A=—fa=y/13,b=2,则。=()

6

A.V2B.y/3C.3后D.36

5.已知数列{氏}的前〃项和为S〃，若3S〃=2〃〃—1,则%〃3%=()

A.-8B.8C.-64D.64

6.从数字1,2,3,4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数

个数为()

A.36B.54C.60D.72

22

7.已知椭圆。：^+女=1(。〉石)，K、B分别为其左右焦点，点M在。上，且N峥鸟=60。，若

△询工的面积为孚，则。=()

A.2A/2B.3C.2A/3D.4

8.若存在直线与曲线/（x）=%3—%,g（%）=%2+a者B相切，则〃的范围为（）

5

A.[—1,+00)C.D.—00,——

27

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z,则（）

A.|z|=lzlB.Iz+zl=|z|+zlC.z2=IzlD.z-z=|z|2

10.已知函数/(x)=sin2G%cos(p+cos2coxsin(p\co>0,0<(p<—的部分图象如图所示，则（)

A.（D——B.。=2

6

C.小为偶函数D.仆）在区间0,1的最小值为-g

11.某班主任用下表分析高三前5次考试中本班级在年级中的成绩排名y与考试次数x的相关性时，忘记了

第二次和第四次考试排名，但他记得平均排名y=6,于是分别用爪=6和加=8得到了两个经验回归方程：

丁=4尤+q,丁=&工+。2,对应的样本相关系数分别为小/排名y对应的方差分别为父，学，则（）

X12345

y10m6n2

A.B.rx<r2C.bx<b2D.ax<a2

£(%.-矶%-y)Y,x^-nx-y

附：r=日=[“-1,,

a=y—bx■

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知角a的顶点为坐标原点，始边与无轴的非负半轴重合，若尸（-1,2）为角a终边上的一点，则cosa=

13.已知半径为1的圆经过点（3,4）,则其圆心到直线3x—4y—3=0距离的最小值为.

14.四棱锥P—A6CD的底面ABCZ）为正方形，E4_L平面且PA=&,AB=\.四棱锥P—ABCD

的各个顶点均在球。的表面上，Bel,d0B,则直线/与平面B4c所成夹角的范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

在［鼻-的二项式展开式的所有项中，依次不放回地抽取两项，且每一项被取到的可能性相等.

（1）在第一次取到有理项的条件下，求第二次取到无理项的概率；

（2）记取到有理项的项数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.

16.（15分）

已知函数/（x）=at+xlnx在x=e（e为自然对数的底数）处取得极值.

（1）求实数a的值；

（2）若不等式工^〉女（1+!］恒成立，求左的范围.

xxJ

17.（15分）

如图所示的多面体由一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，四棱锥尸-与三棱柱ABC-431cl的所

有棱长都为2,ZC1G4=ZC1CB=120°.

（1）求直线A8与平面PA用的距离;

（2）求平面尸8片与平面43cl夹角的余弦值.

18.（17分）

已知抛物线：r：y2=4%,焦点为RA（%,%）（为70）为「上的一个动点，/是「在点A处的切线，点

尸在/上且与点A不重合.直线PF与「交于8、C两点，且/平分直线和直线AC的夹角.

（1）求/的方程（用飞,先表示）;

（2）若从点尸发出的光线经过点A反射，证明反射光线平行于无轴;

（3）若点A坐标为求点P坐标.

19.（17分）

若正实数数列｛%｝满足c,+；<c,c“+2（〃eN*）,则称｛qj是一个对数凸数列；若实数列｛4｝满足

2dn+l<dn+dn+2,则称｛4｝是一个凸数列。已知｛4｝是一个对数凸数列，2=ln%.

(1)证明：4%o>a5a6；

(2)若％。2…%024=1，证明：〃1012〃1013<1；

(3)若4=1,b2024=2024,求九的最大值.

东阳市2024年5月高三模拟考试

数学试题参考答案

化简得：pc=5,所以p=9,q=2a--,

cc

2.22iDC

另外，由余弦定理得：B=—,结合以上两个式子，消元得4c2-4/+」型=10,

2-p-2c2c

?r-

又因为/—/=/=5,所以化简可得：一c二—,结合b=4i,可得〃=3.故选：B

a3

8.设直线与/（无）相切与点（石芯―%），V/（%）=3%2-1,

所以切线方程：y—(左；—%)=(3x；—l)(x—石)，即y=(3才_1卜—2龙；，

设直线与g(x)相切与点(%2，X+a)，

2y—Qy2—1

1

:g'(x)=2%2，所以切线方程：y=2x2x-x1+a,.*.<；3,

〜[-%2+a=-2xf

z2、2

：.a=xl-2x^=—2x；=：x：—2x”|x；+：有解，

a3i

令/z(%)=-%4—2d—+],"(％)=9%3—6%2—3x=3X(3JT+1)(X—1),

所以函数在[-8,-；],(0,1)上单调递减，在[-；,o],(L+8)上单调递增,

=Al=/./t(x)mn=/?(1)=-1,：.a>-l,故选：A

-1+2+3+4+5—10+6+6+n+2

11.当加二6时,x=--------------y二---------------解得72=6,

55

5

贝UZ%%=1x10+2x6+3x6+4x6+5x2=74

/=i

5__

=12+22+32+42+52=55,x-y=18

i=l

=（l-3）x（10-6）+（2-3）x（6-6）+（3-3）x（6-6）+（4-3）x（6-6）+（5-3）x（2-6）

=-16

Vxy；-nx-y

白,74-5>188--54

得q—y—byX=

S2~丁-55-5x325

Z=1

1—\2（10—6）+（6-6）+（6-6）+（6-6）+（2-6）32

=

益白依一"5=y

同理，当根=8时，b2=—2,a2=12,r2=—1,s：=8,

所以<sf,bx>b2,ax<a2,故选：AD.

三、填空题:

12小

5

13.1

14.解：如图建立坐标系，并设直线/上异于8的一点H（x,y,z）,所求线面角为8

则BR=（x-l,y,z）,BO=，BQ=

I2’2'2J11°

由酸IOMO可得x=y+缶+1

x1y

----11—II

sin0=cos（BR,3Q）|=’——-----=/闺

1f.J（1）2+/+Z2J2y2+3Z?+2岳Z

另解：如图，8。_1面出（7,BO工BR（BR）,O8_L平面平面BRR'c平面B1C=R/?',

BR(BR)与面PAC所成的线面角为ZBRQ(BR'Q),

当/u平面A2C£＞时，显然有/_L平面03。，

又：AC_L平面。80,.•.此时ACI,6=0,

结合平面BHR'c平面B4C=欣'，，AC〃平面ACRR'.

所以，当BR最短，即5火，火区时，血(/)与面阳C所成的线面角最大,

此时QRLRR,0,Q,R三点共线，

易得QR——,BR=1,sinNBRQ=----=—,

2BR2

综上，singe0,弓，,ee0,7.

令8—-eZ,解得「=0,3,6.故二项展开式中有3项有理项,6项无理项.

3

记事件A="第一次取到有理项”，事件3="第二次取到无理项”

则。(四力=以黑=。6分

V17P(A)4

(2)X=0,l,2,尸(X=0)=《，P(X=l)=g,尸(X=2)=\

分布列为

10分

（）12

EXW+—=13分

63

16.(1);=or+xlnx,:・/'(x)=a+lnx+l,2分

•・•函数/(%)=ar+xlnx在点％=e处取得极值，

・•・/'(e)=a+2=0,・•・〃=—2,经检验，符合题意，・・・〃=—2；5分

f(x\

(2)/(%)=—2%+xlnx,k<----■恒成立,

即k<''+'In'对任意无£（0,+8）恒成立.7分

x+1

-2x+x]nxlnx_x-l

令g(x)=则g'(x)=9分

x+1(x+犷

设/z(x)=lnx+x—l(x>0),易得/z(x)是增函数,

而〃⑴=0,；.x>l时，/i(x)>0,即g<x)>0,

0<%<1时，7z(x)<0,即g'(x)<0,

.•・g(x)在(1,+O。)上单调递增，(0,1)上单调递减，13分

."(山小8⑴二-1,Iv—L15分

17.解1：（1）取AB中点。和4月中点&，连。尸、。。1、01P,

作"为垂足，连A3],与交于点M,连OQ,显然。。过M点,

,ZPA=PB],M为ABl中点，；.PM±AB,,同理，PM±A.B,

又•/ABtAlB=M,：.PML平面ABB}A.

而4月u平面ABB1A,；.PM_L4用，

•:PA=PB[,：.1O.P,又：PMOlP=P,A3,平面POO],

而oqu平面POO],：.44LOOX,而oo}BB「：.AXBX±BB「

...四边形A544为矩形.

(也可由/。1以=/£03=120。，得到£4=。]3=26，AB±OCX,

又平面OCG，；•四边形A54A为矩形).2分

•••QHu平面POO],.•.由44,平面尸OO],可知，\BX1OHX,

又,：OH上O]P,O}PA4=O|,；.OH_L平面44.4分

L3+3-41

•：OP=O\P=6,OOi=2,cosNOPO.=—

2v3-V33

OHOPsinZOPO,=

2/7

综上，直线AB与平面PA^的距离为个一.6分

(2)连CA、CBX>C。]、001、OC,

由44,平面poo，4用，平面OCG可得P、。、c、G、。五点共面，

由ZQCA=gCB=120°可得，ZCQA=ZCQB1=60°,

.•.5==2，CO=COI=CR=6,；.△Poe也△coo】也△qcG,

NPOQ+ZOQC+ZCOQ=180°,

：.p.。「G三点共线，，P、B「G、A四点共面.9分

如图，以。为原点，OB、OC,0H所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系,

则4(-1,0,0),5(1,0,0)，C(0,6。)，半，

I33)

RC2百2新]/I2有2#](5月

333333

设平面PBBX的一个法向量为m=(x,y,z>

6J瓜_n

m-BP=0-x-Ty+^-z=0,可取加=（后「3,1）

则n11分

m-PB=0

{x+百y=0

设平面A.BQ的一个法向量为n=（旦/,z'）,

2g,2^6,„

n-BAi=0-2xd----yH-----z=0

则=>3-3，可取〃=卜国「20）13分

n-AXCX=0x'+y/3y'=0

设所求平面PBB］与平面43cl夹角为。,

|-3A/2-V2-2V2[

则cos0=cos（m-nL逅,

V6+2+1-V3+1+8-3，

综上，平面P5瓦与平面43G夹角的余弦值为当

15分

解2：如图，将三棱柱ABC-431G补形为平行六面体ZMC5-24G4，

由ZC.CA=NQCB=120°可得，在此平行六面体中，DXA=DXB==24=2,

而PA=尸3=尸4=尸g=2,

A点与p点重合，；.「、耳、G、A四点共面.9分

下面考虑平面PDBB｝与平面A.DBQ的夹角即可.

取中点连MB、MAX,易得又B=M4,=G，

由（1）可知四边形43与A为矩形，

A\B=272,又•：BD=2,4。=26，=BD2+\B-,：.\BLBD.

又；MB_LPBj,：.MB工BD,

/.ZMBA,即为所求平面PDBBi与平面A.DBQ的夹角,13分

……3/亚

2-V3-2V23

综上，平面P35］与平面43cl夹角的余弦值为当

15分

18.（1）显然切线/的斜率不为0,设/方程为：％—%0=根（丁—%）

与J=4x联立得：y2_4/ny+4my0-4x0=0，

2

由A=16m-16my0+16x0=0，

2

得m2一my+—=0,解得m=—

042

；./的方程为x—%=

化简得为y=2(x+Xo),也即y=—x+—4分

,为2

（2）过A点作/的垂线并交x轴于。点，则AQ直线的方程为y-%=—

取y=0,解得x=x()+2,即Q(Xo+2,O>6分

=

F(1,0^,||=/+2—1XQ+1>

作A点在抛物线准线上的投影H,由抛物线定义可知|AF|=|AH|=x0+l,

...\AF\=\FQ\,：.ZFAQ=ZFQA,

设T为反射光线上与A相异的一点，则有N7XQ=NE4Q,

综上，ZTAQ=ZFQA,：.AT%轴，即从点/发出的光线经过4点反射后平行于x轴.10分

（3）此时/方程为y=2x+g,连HF,取H,尸的中点为K[o,g],

=：K点在/上，/,HF,

设直线AC、AB与HF的交点分别为。，E,则K为。，E的中点，12分

设直线PF的方程为x=°+l,与/=4x联立得：/_4疗—4=0,

设5al,%）,C（x2,y2）,则有x+%=4/,%%=-4,

••k-8T_J2T_4

X」为1%+l

石4T-4

，直线AC的方程为y—l=—工],也即y=」一x

%+M4J%+l%+l

而直线成的方程为y=-▲%+▲,联立得租=上五，

22%+9

同理，X=上也，15分

X+9

由出+4=0得口+R=0，整理得X为+4（%+%）=9,

%+9必+9

1313

4+16/=9,；;=—，.•.直线BC的方程为犬=—y+1,

1616

与直线/:丁=2犬+3联立得尸点坐标为1—：9,—4].

17分

4

19.(1)由题意得：。3<%4+2，，•2也》22-2…”，

an+\°nan-\an-2

.〃io〉。6。9〉。5“8>。4。7〉。3。6〉

^^9^^5^^8^^4^^7^^3^^6^^2^^5

将以上式子累乘得：孤也即。必02%。6成立.

a5ax

另解：由题意得：迎2…2红2”,

；.o1alo2a2a92a3a82a4a72a5a6，；•Ho2a5a6成立•4分

⑵证1：\'a"+l<a"+2,；./twa"-"+1WW""+iW。”+2《《a〃+/+i

一'a„a“+l，,•an-k-X_an-k__an4+]-4+*

aaa

・•・n+k•n-k<O〃+H1,n-k-l(14左〈九)，

则4012.1013—“Oil•^1014—4()10.6015％,%024，

,•(%012.%013)<=1'••々1012.41013〈1.10分

证2：考虑反证法，假设。1012%013>1，

由4+1<《2+2得41012<a1013va1014

°nan+\"1011"1012”1013

・・〃IOI24(H3—^1011^1014'**^1011^1014>1

同理.41012_a1012.41011<41014.41015_41015

“1010"1011"1010"1013"1014”1013

・・^1010^015〉4。12。1013'**^1010^1015>1，

问理可证：〃1009〃1016>L〃1008〃1017>L…，〃1。2024>L

综上可得：q%…。2024>L与条件矛盾,

・••假设不成立，，％oi2%013Vl成立.10分

证3：*.*。]。2•…・。2024=1，「・…。2024)=°，也即4+62H----------F/?2024=。'

同时，由说+1<44+2可得：1n(a；+i)〈ln(a“a"+2),

2%i<bn+bn+2,也即%—bn<bn+2-bn+l,

,,61013一。012"“2024-4()23'"1012一"10114“2023一”2022，"2一"14"101314()12

将以上式子累加得：