四川省成都市2024届高三年级下册高考模拟(一)数学(文)试题(含答案与解析)

成都外国语学校高2024届高考模拟试题（一）

数学（文）

本试卷分选择题和非选择题两部分.

第I卷（选择题）1至2页，第n卷（非选择题）3至4页，共4页.

满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

5.考试结束后，只将答题卡交回.

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

,人"A={x\-5<x<2},B={x||x|<3},,,,

1,已知集合i'"，则R()

A(-5,3)B,C,(-3,2)D.(-°°,2)

2.命题*eLT』」,x+W<0的否定是()

A.3xG[-l,l],x+|x|>0

B.Vxe[-l,l],x+|x|>0

C.Vxe(^x),-l)o(l,-K»),x+|x|>0

DVxe(-^o,-l)u(l,+2o),x+|x|<0

abz

3.定义运算=ad-bc,贝懦足、=°（i为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在

cd1-i

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.已知函数/(x)=/sin(3x+cp)(/>0,co>0,0<甲〈兀)的部分图象如图所示，则/⑴的解析式是

)

A./(x)=2sin^x+_JB./(x)=2sin[x+力

C./(x)=2sin〔2x+£]D./(x)=2sin[^2x+^

5.如图，△O'HB'是水平放置的AOAB用斜二测画法画出的直观图(图中虚线分别与£轴和了轴平

行)，O'B'=2O'D'=6,O'C'=8,则AOAB的面积为()

6.如图，。在A4BC的内部，。为48的中点，且。Z+O8+2OC=0,则A4BC的面积与A4OC的

面积的比值为

A.3B.4C.5D.6

7.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被

抽到”的可能性与“第二次被抽至U”的可能性分别是()

11

8若tan2a+4tana+弓=0,则sin2a=（

(x2+l+x)若等差数列

｝的前〃项和为S,且/（4—1）=-10,

9.已知函数/(X)=X3+lg

/%一3)=1。，则％4

A.-4048C.2024D.4048

10.某同学制作了一个工艺品，如图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱为4的正方体的六个面所截

后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一截面圆的周长为2兀，则原来被截之前的球的表面积

D.12TI

11.抛物线》2=4》的焦点为R，准线为/,A,B是抛物线上的两个动点，且满足尸为线段

\PQ\

48的中点，设尸在/上的射影为。，则匕〃的最大值是()

\AB\

12.在中，角B,C所对的边分别为a,b,c,给出以下4个命题:

C1)若a>b,则cos2/<cos2B；

(2)若acos8—bcosZ=c,则一台。一定为直角三角形；

（3）若。=4,b=5,c=6,则AASC外接圆半径为四Z；

（4）若（：05（2-8）35（8-0（：05（。-2）=1,则44BC一定是等边三角形.

则其中真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

第n卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若曲线V=lnx+ox在x=l处的切线经过点尸（2,0）,则实数。=.

14.如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是卷名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数

据的中位数相等，且平均值也相等，贝于+>=.

甲队乙队

7089

2219y

0X258

13

kx+y<4

2y-x<4

15.若X-满足Ko且2="一'的最小值为一8,则人的值为

y>o

16.已知椭圆c：n+r=iQ,〉o）与双曲线：三一r=1（%〉°涉，〉°）有相同的左右焦点

）a2b2112cl2b222

1122

",若点p是q与在第一象限内的交点，且|勺马=4|”|,设q与C2的离心率分别为则

e-e的取值范围为

21-----------------------

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知S为数列｛a｝的前〃项和，且。+2S=1.

nnnn

（1）求数列｛a｝的通项公式；

n

（2）设T=a+3Q+5QH-----F（2〃—l）a,求T.

n123nn

18.刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们

的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查，并从参与者中随机抽

取200人（中老年、青少年各100人），根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.

频率

“砺

0.025.............j—I—>

0.020.........|—

a............................

b---1-

0.005--……-……一।

。六105060708090%浦意度/%

上图有两个数据没有标注清晰（即图中。，6）,但已知此直方图的满意度的中位数为68.

（1）求。、6的值；并据此估计这200人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代

表）；

（2）已知抽取的这200人中对“刷脸支付”安全满意度高于平均数的中老年人有38人，判断是否有99%的

把握认为对“刷脸支付''安全满意度是否高于平均数与年龄有关.

n(ad-bc)2

n=a+b+c+d.

(a+Z7)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(/2>k)

0.050.010.0050.001

0

k3.8416.6357.87910.828

0

19,直三棱柱48C-中，AA^AB=AC=1,E,尸分别是CC,8c的中点，AE1AB9

iiiiiii

。为棱4々上的点.

(1)证明：DFLAE■,

（2）当。为44中点时，求匕

11A-DEF

20.已知T是O/：（x+l）2+产=16上的动点（4点是圆心）.定点5（1,0）,线段窃的中垂线交直线L4

于点P.

(1)求P点轨迹「；

(2)设曲线「在P点(不在x轴上)处的切线是/,过坐标原点。点做平行于/的直线，交直线尸/于点

C.试求？4：?C的取值范围.

21.已知函数/(x)=Qx2—X3)ei,其中x>0.

(1)求］(x)的最大值;

(2)若不等式"2ei+|lnx|2a对于任意的xe(0,3)恒成立，求实数.的取值范围.

四、请考生在第22,23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，

用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

选修4-4：极坐标与参数方程

x=t,

22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线为参数)，以坐标原点。为极点，x轴正

I2

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：P=2acos9(a〉0).

(1)求曲线q的极坐标方程和曲线c?的直角坐标方程；

(2)设射线e=w(pzo)与q相交于aB两点，与°?相交于河点(异于。)，若求以

选修4-5：不等式选讲

23.已知函数/(0=卜一2|+卜一”(，>0)的最小值为2.

(1)求不等式/(%)+卜一4»8的解集；

(2)若々+1>0,且4a2+3核+2。3=2/+1,求2/+加+2CQ的最大值.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,已知集合/={爪5<><2},2={胭<3},则仙=()

A(-5,3)B,(-°o,3)C,(-3,2)D.(-°°,2)

【答案】A

【解析】

【分析】将集合43化简，再由并集的运算，即可得到结果.

【详解】因为8={刈可<3}=(—3,3),且幺={吊—5<x<2}=(—5,2),

所以Zu8=(—5,3)

故选：A

2.命题二6[-1,1],》+网<0的否定是(

)

A.e[-l,l],x+|x|>0

B.Vxe[-l,l],x+|x|>0

C.Vxe(-oo,-l)o(l,-K»),x+|x|>0

D.VxG(-oo,-l)u(1,+oo),%+|x|<0

【答案】B

【解析】

【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果

[详解]因为命题e[-l,l],x+|x|<0,

则其否定为VXG[-1,1],X+|X|>0.

故选:B

3.定义运算ad-尻，则满足1..=0(i为虚数单位)的复数z在复平面内对应的点在

1—1—Z1

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由已知得一2iz+i(l—i)=0,变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

[详解]由题意，/,：=0可化为_2iz+i(l—i)=0,

1—1—2A.

1+i(l+i)(-i)

11.

所以Z=

~2T~~-22

所以z在复平面内对应的点的坐标为

所以复数Z在复平面内对应的点在第四象限.

故选：D.

4,已知函数/（》）=/5诂（3》+甲）（/〉0,CO＞00＜甲4兀）的部分图象如图所示，则/（X）的解析式是

C./(X)=2sinf2x+lD./(x)=2sinf2x+^.

【答案】D

【解析】

【分析】

结合图象，依次求得43,（P的值.

所以/G)=2sin(2x+(p),

【详解】由图象可知/=2,豆

兀TC2TC

依题意0＜（p＜兀，则亍,

1-S=2sin|T+4=0,—；+八兀

所以/(%)=2sin2x+—

3

故选：D.

【点睛】方法点睛：根据三角函数/(x)=Zsin(3x+(p)+b或的部分图象求函数解析式的方法：

.…_/G)—/G),_/G)+/G)

(1)求AA、D.A=-----max-------ain_,D-.....xaax,-------miu-;

22

2K

(2)求出函数的最小正周期T,进而得出8=7；

(3)取特殊点代入函数可求得中的值.

5.如图，△0W5'是水平放置的AOAB用斜二测画法画出的直观图(图中虚线分别与X,轴和了轴平

行），O'B'=2O'D'=6,O'C'=8,则△0/5的面积为（）

C.24D.48

【答案】D

【解析】

【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.

【详解】由直观图可得如下平面图形:

其中OB=O'B'=6,OD=O'D'=3,OC=2O'C'=16,Z。/加轴，且/D=OC=16,

所以S=_x6xl6=48

「八八-OAB2

6.如图，。在A4BC的内部，。为4g的中点，且。4+。5+20。=0,则A4BC的面积与A4O。的

面积的比值为

C

ADB

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【详解】分析：根据平面向量的几何运算可知。为CD的中点，从而得出答案.

详解：vD为AB的中点，.•・02+05=20。

■.OA+OB+2OC=0

.-.0C=-0D

••.0是CD的中点，

11

.Q=Q=J_s=_s

••AAOCAAOD2AAOB4△ABC'

故选B.

点睛：本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题.解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三

角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向

量为基底.

7.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被

抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）

1131

B

W910-10)5

1132

10,9口10,9

【答案】A

【解析】

【分析】根据简单随机抽样的等可能性，即可判断和选择

19

【详解】总体有10个个体，从中抽取第一个，若为°,则其可能性为石，若不为。，则其可能性为不;

抽取第二个，若其为a,则第一次一定不是。，再从9个个体中抽取1个，且为。，则其可能性为

911

一X—=一

10910,

11

综上所述，某一个体1第一次被抽至『'的可能性与“第二次被抽到''的可能性分别是瓦，石.

故选：A.

71

8.若tan2a+4tana+——二°,贝ijsin2a=(

4)

4224

A.B.C.D.

5555

【答案】A

【解析】

【分析】由二倍角公式以及两角和等三角恒等变换公式化简运算即可得解.

2tana4(l+tana)

【详解】由已知得--------+----------=0,即212112(1+51211(1+2=0(tana±1),

l-tan2a1-tanoc

15.八2sinacosa2tana4

贝口+tan2a=――tana.从而sin2a=—...........=--------=—一.

2sinza+cos2aI+tan2a5

故选：A.

9.已知函数/(x)=x3+lg\/x2+l+x4若等差数列｛a｝的前〃项和为S,且/(a-D=—10,

nnI

f(a-3)=l0,则S=()

20242024

A.-4048B.OC.2024D.4048

【答案】D

【解析】

【分析】根据/G）的解析式，判断其为单调增函数且为奇函数，再结合等差数列的前"项和公式，即可求

又“（X）为R上的奇函数，故〃Q）在R上为单调增函数;

又函数＞=X3为R上的奇函数，且为增函数，故/（X）为R上的单调增函数且为奇函数;

/G-i)=-io,/G-3)=io则。-1+。一3—0即—4.

120241202412024'

2024(。+Q)

故S.4=__________12024=4048.

2

故选：D.

10.某同学制作了一个工艺品，如图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱为4的正方体的六个面所截

后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一截面圆的周长为2兀，则原来被截之前的球的表面积

20兀C.1671D.1271

【答案】B

【解析】

【分析】设球的半径为R,截面圆的半径为厂，根据题意，结合球的截面的性质，求得尺2=5,进而求得

球的表面积，得到答案.

【详解】设球的半径为R,截面圆的半径为厂，两个截面圆间的距离为2d,

因为截面圆的周长为2兀，可得2m・=2兀，解得井=1,

又因为该工艺品可以看成是一个球被一个棱为4的正方体的六个面所截后剩余的部分,

所以两截面圆之间的距离为24=4,解得4=2,

根据球的截面的性质，可得尺2=厂2+42=12+22=5,

所以球的表面积为S=4兀A=20兀.

故选：B.

11.抛物线X2=4y的焦点为少，准线为/,A,B是抛物线上的两个动点，且满足尸为线段

PQ

48的中点，设尸在/上的射影为。，则的最大值是（）

AB

A.£B.£C.正D.卫

3322

【答案】C

【解析】

【分析】设|皮丫台，连接正、即，由抛物线定义得|00=孚，由勾股定理可得|/理

PQ

=。2+从，进而根据基本不等式求得|/目的取值范围，再利用此结论求,J的取值范围.

AD

【详解】设怛勺=6,A,B在/上的射影分别为"，N,

则k叫"8q=|8凹，故|pg」"叫;笆叫=坐,

又4F_LBF,所以2回=,,坪+悭42=〃2+4,

,,.,.c,,,、(a+b)2(a+bY

因为口2+4=(a+b)2-2ab>(a+b)2---------=----------,

所以Ja2+t>2>,当且仅当。=/)时等号成立,

PQa+b<a+by/2

故4B2ja2+bi之乂&国+62-

x2

故选：C.

【点睛】本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值等知识，属于中档题.

12.在“8。中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,给出以下4个命题：

(1)若a>b,则cos2/<cos28；

（2）若acosB—bcosZ=c,则AASC一定为直角三角形；

（3）若。=4,b=5,c=6,则AA8C外接圆半径为16",；

7

（4）若以5（/-8）（\）5（8-00）5（。一/）=1,则AA8C一定是等边三角形.

则其中真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理得到sin/和sinB的大小关系，再利用倍角公式可以比较cos2/和cos28,进而

判断（1）；利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式求角，判断Q）；利用余弦定理求出cos/,再

利用同角三角函数关系得sin/,由正弦定理可以得到外接圆半径根据三角形内角的范围和余弦值的范围

可以对（4）进行判断

【详解】(1)若a>b,则sin/>sinB>0,X!1sin2A>sin2B,

则1一2sin2/<l-2sin?3,即COS2/<cos28,故(1)是真命题；

(2)若acosB-Z?cosZ=c,由正弦定理得sin/cosB—sinBcos/=sin。,

又因为0=兀一(/+8),所以sinC=sin0+5)=sinAcosB+cosAsinB,

即sinAcos5-sin5cosA=sin/cos5+cos/sin5整理可得cos4sin5=0,

因为8e(0,兀)，所以sinBwO,所以cos/=0,因为Ne(0,兀)，故/=；,

所以AA8C一定为直角三角形，故(2)是真命题；

一(7厂।人、、e/Z72+c2-Q225+36-163

(3)右。=4,b=5,c=6,由余弦定理得cosZ=---------=--———：—,则t

2bc2x5x64

sinA=-cos2A=,

4

2心—*80

由正弦定理得sinZJ77，故外接圆半径及=>一，故(3)是假命题；

7

4

(4)若cos(A—B)cos(8—C)cos(C—A)=1,则cos(/—B)=cos(5—C)=cos(C—A)=1,

则/—8=8—C=C—N=0,从而4=B=C,则"BC一定是等边三角形，故（4）是真命题;

综上，真命题有3个.

故选：c.

第n卷（非选择题）

、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若曲线V=lnx+ox在x=l处的切线经过点尸（2,0）,则实数。=.

1

【答案】一亍##-0.5

【解析】

【分析】根据导数的几何意义得到切线斜率，然后利用点斜式写出切线方程，最后将庶代入切斜方程求

解即可.

【详解】由题意得V4+。，所以曲线gnx+依在x=l处的切线的斜率为1+。，切点为（臣）,则

切线方程为y~a=（i+^）G-i）,

将点尸（2,0）代入切线方程中可得：—Q=l+Q,解得［=—g.

、1

故答案为：一爹.

14.如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各名球员某份比赛的得分数据（单位：分）若这两组数

据的中位数相等，且平均值也相等，则+>=______.

甲队乙队

7089

2219y

0x258

I3

【答案】3

【解析】

【分析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出y即可求解

12+2019+10+v-

【详解】由题意，甲的中位数为:F—=16,故乙的中位数一二上=16①

—Y=7+12+12+20+20+X+31­102+x

甲6―6~

—=8+9+19+10+v+25+28_99+y

乙66

102+x99+y

因为平均数相同，所以—一②,

-6-

由①②可得y=3,%=o,

所以x+y=3,

故答案为：3.

kx-\-y<4

2-x＜4

6若X,了满足Ko且z=5y-X的最小值为一8,则人的值为

7>o

【答案】^##0.5

2

【解析】

【分析】利用约束条件作出可行域，根据截距式计算即可.

【详解】若左＜0,则可行域如图所示：

此时z=5y—x无小值，与题设矛盾，故左＞0,

xzXZ

由2=5y—X,得了二弓+,，由图可知，当直缆=5+,过/时,

—8n左」

直线在V轴上的截距最小,z有最小值为■2'

故答案为：:

16.已知椭圆£：上+［=1Q,〉b〉0）与双曲线C:n―£=1Q〉0,b〉0）有相同的左右焦点

1Q2b2112a2b222

1122

若点p是q与在第一象限内的交点，且1Aqi=4|"|,设q与C2的离心率分别为e^,则

,2一1的取值范围为------------

【答案】

【解析】

【分析】设椭圆与双曲线的焦距:勺=2c,I巧口，由题意可得力—匕=1用e2表示出［,结合

二次函数的性质即可得答案.

【详解】设椭圆与双曲线的焦距氏勺1=2c,I巧口，

由题意可得：（+,=2。］,t--=2a,

ccCC

t-2a--,t-2a+—,/.2a――=2。+—,

e+2'

e-e=e

e+2e+2T~

一十

。2

e>l,O<e<1,一

2x2+x<3

故答案为：

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知S为数列%｝的前〃项和，且。+2S=1.

nnnn

(1)求数列｛a｝的通项公式；

n

（2）设T=a+3Q+5QH-----F（2〃—1）Q,求T.

J〃123nn

1

【答案】（1）a=—；

"5n

（2）7=1-?

«jn

【解析】

【分析】(利用。忑的关系，结合等比数列的定义求通项公式.

1)nn

(2)利用错位相减法求和可得结果.

【小问1详解】

当〃=1时，a1+2S]=3q=1,可得％；w0,

a+2S=1a1

当〃22时，＜nn，可得3a=a则广=彳，

a+2S=1n«-iaJ

n-\n-\n-\

｝是首项、公比都为彳的等比数列,

n3

1

故〃-Y--

【小问2详解】

由题设，+

£=1+3.1+5.1+...+（2,-3）.—+（2n-l）-J_,

33233343«3«+i

2T1°111（

则丁=W+2•——+——+—++-2n,

32333439

2Tc门111-（2〃-DRW

所以丁=2•—+—+—+—+

[3323334

1

=2-1122〃+2

3用333«+i

所以7=1-宇

n3〃

18.刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们

的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查，并从参与者中随机抽

取200人（中老年、青少年各100人），根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.

频率

，砺

0.025...............1—j—।

0.020..........1—

a............................

b---1—

0.005.........--..........—I

———L»

°405060708090100满意度/%

上图有两个数据没有标注清晰（即图中a,b\但已知此直方图的满意度的中位数为68.

（1）求。、方的值；并据此估计这200人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代

表）；

（2）已知抽取的这200人中对“刷脸支付”安全满意度高于平均数的中老年人有38人，判断是否有99%的

把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关.

n(ad-bc)2

n=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(Z7+d)

pl2左)

0.050.010.0050.001

0

k3.8416.6357.87910.828

0

【答案】（1）0.015,0.010,68

（2）有99.9%的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关；

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中满意度的中位数为68,可知满意度为68%时对应得频率为0.5,由此

计算出6的值，再由概率和为1可得出4的值，由频率分布直方图平均数的计算公式计算可得出平均数.

（2）根据这200人对“刷脸支付”安全满意度的中位数也为68%,可得出高于平均数的人数，进而得到青

少年中高于平均数的人数，从而可得2x2列联表，根据K2的公式计算K2的观测值，得出结论.

【小问1详解】

由题意可得，此直方图的满意度的中位数为68,即满意度为68%时对应得频率为0.5,

所以0.025x10+0.02x10+106=0.5,解得：6=0.010,

又10x(b+0.020+0.025+0.025+a+0.005)=1,代入6=0.01可得：a=0,015

,/45x0.1+55x0.2+65x0.25+75x0.25+85x0.15+95x0.05=68,

这200人满意度的平均数为68.

【小问2详解】

由（1）可知：这200人对“刷脸支付”安全满意度的中位数也为68%,所以高于68%的频率为0.5,200

人中共有100人高于平均数，故青少年中高于平均数的有62人，可得2x2列联表如下:

青少中老

合计

年年

不高于平均

3862100

数

高于平均数6238100

合计100100200

200x(38x38-62x621

所以K2的观测值左==11.52>10,828

100x100x100x100

所以有99.9%的把握认为对“刷脸支付，，安全满意度是否高于平均数与年龄有关;

19,直三棱柱480N8C中，AA=AB=AC=1,E,歹分别是CC,5C的中点，AELAB,

1111111

。为棱4H上的点.

(1)证明：DFLAE-

（2）当。为4々中点时，求匕­

11A-DEF

【答案】（1）证明见解析

(2)

【解析】

【分析】(1)由面面垂直证明线面垂直；

(2)由向量法求点。到平面4EF的距离，利用锥体的体积公式可得.

【小问1详解】

如图，取/C的中点G,连接FG,AG,则/G//N8//44,£G,「四点共面，由题意可知，四

边形NCCN为正方形，又E为CC的中点，G为/C的中点，

111

所以ZE,qG,又AB^AG=A^,々Bj&Gu平面FG4R,

所以ZE,平面又DFu平面所以。FLZE.

【小问2详解】

由题意48,幺4，由ZE，4V可得4S,

又z4czE=Z,44/ZEU平面zcqZ],所以ZB_L平面zcqq,

因NCu平面NCqZ],所以45_I_4C,故4S,NC,44[两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

则N(0,0,0),

—■「11、~■—■11

FE=AF=\-,-,QFE・AF=——+_=。

第4],(22/44

所以E/斤,工网/啊附=；x看乎=乎,

设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z\

AF-n=—x+—y=0

22

则j—,[]]，令x=l得y=-1,Z=2,

FE-n=-_x+_y+_z=0

I222

所以1,2),又因Z£»=1_,0,lj,

AD-n2—回

则D到平面AEF的距离d=AD2-

\INJ12

4-DEFD-AEF3TTT48"

20.已知T是OZ:(x+l)2+产=16上的动点(/点是圆心).定点3(1,0),线段7B的中垂线交直线。

于点P.

(1)求P点轨迹「；

(2)设曲线「在P点(不在x轴上)处的切线是/,过坐标原点。点做平行于/的直线，交直线PN于点

C.试求P4：?C的取值范围.

X2V2.

【答案】(1)—+^-=1

13

(2)P4：PCe

252

【解析】

【分析】(1)利用中垂线的性质，结合椭圆的定义求解；

\PA\

(2)设直线/的方程，联立方程组由条件求的取值范围.

【小问1详解】

由中垂线的性质得1必|=|尸TI,所以|P3|+|P*=|上4|+|PT|>4|Z8|=2,

所以动点尸的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆，

Y2V2

设该椭圆的方程为一+J=1(〃>0),

〃2b2

l「X2”2.

则。=2,b=y/3,所以P点轨迹「为彳+3=1；

\PA\y

则1口=y与,因为"存在斜率,

“p々

设直线/的斜率为左，所以直线/的方程为V=-%—Xp)+Vp,

X2V2

一+—=1

联立可得143消去九

y=k(x-x)+y

pp

(4左2+3)x2+8(y-kx)kx+4(y-kx)2-12=0①，

pppp

由题意得方程①的判别式A=64(y-依)2左2—4(4左2+3)[4(了-kx)2-12]=0,

pppP

所以4左2-3-kx)2+3=0,

pP

所以(4一X2)左2+2xy左一歹2+3=0②，

方程②的判别式A=4x2产—4(4—%2)(3—产)=16产+12x2—48,

2PPPPPP

因为—£_+2^£.=1,即312+4歹2=12

43PP

xy

所以A,二0,所以方程②的解为％=-7j,

24—X2

P

因为4产=3（4—X2）,所以左=一汗，

pp4y

p

所以直线/的方程为｝x+*y=l,

X+1

所以00:1》+今》=0③，直线R4：X=—R.----1④,

联立③④可得^^~y_1)+今了=0,

'P

xy|PA|y4+x

所以乙二k,代入得

PPc

因为-2<o<2,所以身（毅』

【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于联立直线和椭圆方程求出直线/的斜率，结合条件表示出

身，根据条件求出。坐标进而即得.

rcl

21.已知函数/(x)=Qx2—X3)ei,其中x>0.

（1）求一（X）的最大值;

(2)若不等式ax2e—+|lnx白。对于任意的xe(0,3)恒成立，求实数.的取值范围.

【答案】(1)1；(2)[-1,11.

【解析】

【分析】(1)求得/'(x),根据/’(%)的正负，即可判断函数单调性，从而求得函数最大值；

(2)讨论x=l,xe(0,l),xe(l,3)三种情况下，结合对参数。的讨论，根据函数不等式恒成立，即可

求得。的范围.

【小问1详解】

/(%)=(2x2-x3)ei,%>0,则/，(x)=Ox-3x2)e』一(2x2-心)e~=xei-x(X-OG-4),

故当xe(0,D,f'(x)>0,>=/G)单调递增；野e(l,4),f'(x)<0,>=/Q)单调递减；

当xe(4,+co),f'(x)>0,y=/G)单调递增;又/(D=l,/(4)=-32e-3<0,

且当x>4时，/(x)=x2(2-x)ei-x<0,故/G)的最大值为=

【小问2详解】

设g(x)=meir+|lnx|-a,其中a>0；

①当x=l时，g(l)=O,满足题意；

②当XW(0,1)时，g(x)=mei-x-Inx-a,且=aQx—x2)ei-x-.

'，''一"一，xxa\'

由⑴中，/G)在(0』)单调递增，故/(X)e(/(O)J(1))=(O,D；

若a<0,g'(x)<0,gG)单调递减，g(x)>g(l)=O,满足题意；

若a=0,g(x)=-lnx>0,满