河北省张家口市2022-2023学年高一年级下册期末数学试题（含解析）

张家口市2022〜2023学年第二学期高一期末

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.数据68,70,80,88,89,90,96,98的第30百分位数为（）.

A70B.75C.80D.88

2.已知向量a,b满足|a|=2,|可=3,a-b=l'则人在a上的投影向量为（）.

1.1.11,

A—u,B.—ciC.-bD.-b

4293

3.已知圆锥的体积为递7T，底面面积为2兀，则该圆锥的侧面积为（）.

3

A.20HB.回乳C.3兀D.2屈

4.某校为了让学生度过一个充实假期生活，要求每名学生都制定一份假期学习的计划.已知该校高一年

级有400人，占全校人数的工，高三年级占4，为调查学生计划完成情况，用按比例分配的分层随机抽样

36

的方法从全校的学生中抽取10%作为样本，将结果绘制成如图所示统计图，则样本中高三年级完成计划的

A.80B.90C.9D.8

5.在AABC中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足MC=3AM，则

A.GM=-AB+—ACB.GM=--AB-—AC

312312

1717

C.GM=——AB+—ACD.GM=-AB——AC

312312

6.在三棱锥A-BCD中，ABAC=ZCAD=ZDAB=4()°,AB^AC=AD=2,一只蜗牛从B点出

发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱AB的中点E，则蜗牛爬行的最短距离是().

A.+B.75C.76D."

7.在棱长为2的正方体中，P,Q是GR,的中点，过点A作平面a,使得平面

。//平面8。「。，则平面a截正方体所得截面的面积是()

A.B.2C.-D.—

222

8.在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin8一百cosC=9"二")，

2ab

b

则一的取值范围为().

c

A.32B.仁,+8

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.实数x,y满足(l+i)x+(i-l)y=2,设2=》+同，贝ij().

A.z在复平面内对应的点在第一象限B.|z|=V2

2

C.Z的虚部是-1D.-=-i

Z

10.已知函数/(x)=4cos(2x-m),则()

A.f(x)图象的对称中心为［五+彳,()|,ZeZ

B./(/x)\的单调递减区间为一§71+2E，d7C+2EI,keZ

C.为了得到函数y=4cos2x的图象，可将/(x)的图象上所有的点向左平移?个单位长度

D.为了得到函数y=4sin2x的图象，可将/(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度

6

11.一个装有6个小球的口袋中，有编号为1,3的两个红球，编号为2,4的两个蓝球，编号为5,6的两

个黑球.现从中任意取出两个球，设事件A="取出的两球颜色相同"，8="取出的两球编号之差的绝对值

为1"，C="取出的两球编号之和为6或7"，£>=''取出的两球编号乘积为5”，则下列说法正确的是

().

A.事件A与事件8相互独立B.事件A与事件C相互独立

C.事件B与事件C相互独立D.事件B与事件D互斥

12.如图，已知正方体的棱长为1，M是。C中点，E是线段AG(包含端点)上任意一

A.三棱锥3-AWE的体积为定值

B.存在点E,使得直线3E与平面A5CO所成角为30°

C.平面BCGg内一定存在直线/,使得/〃平面

D.存在点E,使得8A_L平面4啰

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.一枚质地均匀的骰子，抛掷三次，事件A为“三次抛掷的点数均为奇数”，事件B为“恰有一次点数为偶

数”，事件C为“至少有两次点数是偶数“，则P(A)+P(B)+P(C)=.

14.已知|z-2+i|=2,则|z|的取值范围是.

15.已知函数/(x)=2sin［s+；j®>0)在区间［0,兀］上恰有三个零点，则。的取值范围是

16.已知正四面体A-BCD，。是底面88的中心，以Q4为旋转轴，将正四面体旋转180°后，与原四

面体的公共部分的体积为之包，则正四面体A-3CD外接球的体积为.

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向量a,b=(2,A).

(i)若a//。，求的值；

(2)若卜叫=,+可，求实数X的值；

(3)若a与〃的夹角是钝角，求实数X的取值范围.

18.为了了解全校学生计算能力的情况，某校组织了一次数学计算能力测验.现对全校学生的测验成绩做

统计，得到了如图所示的频率分布直方图.

(1)求此次测验成绩的平均数;

(2)为了更加深入了解学生数学计算能力的情况，从成绩在［80,HX)］之间的学生中，采用按比例分配的分层

随机抽样方法，选取7名学生进行访谈，再从这7名学生中任选2名学生在总结大会上发言，求抽到的两

人中至少一人的成绩在［90,100］的概率.

19.如图，在直三棱柱ABC-AgG中，D,M,N,P分别是AB,M,BB,,CC的中点.

⑴求证：BP//平面MDC；

(2)设A5=AC=CB=2,34=4,求异面直线GN与CM所成角的余弦值.

20.如图，在一ABC中，/84C为钝角，。在8c上，且满足/CAD=$,AB=3,BC=3日

6

(1)若。二一，求Z8W；

6

(2)若M是3c的中点，cosZBAC=--,求AM的长度.

21.已知函数/(x)=4sin5cos

⑴若=求cosa+

6)

⑵若不等式/2(6-%〈/(力+2对任意xe-py恒成立，求4的取值范围.

22.如图，在平行四边形ABCD中，NA=60°，AD=2.AB=4，将△AB£＞沿8。折起到一A'BD,

满足AC=2石.

⑴求证：平面A3OJ_平面3CO；

(2)若在线段AC上存在点M,使得二面角M—BD—C的大小为6()。，求此时CM的长度.

张家口市2022〜2023学年第二学期高一期末

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.数据68,70,80,88,89,90,96,98的第30百分位数为（）.

A70B.75C.80D.88

【答案】C

【解析】

【分析】把给定的由小到大排列的数据，根据第p百分位数的定义求解作答.

【详解】依题意，8x30%=2.4,所以所求第30百分位数为80.

故选：C

2.已知向量匕满足同=2,1|=3,ab则b在a上的投影向量为（）.

1.1.八1:1,

A.—ciB.—aC.—bD.-b

4293

【答案】A

【解析】

【分析】根据投影向量的定义即可求解.

aba\a\

【详解】根据投影向量的定义可得，匕在。上的投影向量为〒=彳乂彳=：。.

同冏224

故选：A

3.已知圆锥的体积为迪兀，底面面积为2兀，则该圆锥的侧面积为（）.

3

A.2及兀B.V107tC.D.2A/3TT

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆锥体积公式可求得高〃=百，根据圆锥的底面积公式可求得半径「=血，从而可求得

圆锥的母线长/=石，进而利用圆锥的侧面积公式即可求解.

【详解】令圆锥的高为4,底面半径为，，母线为/,

由圆锥的体积公式V=，S/7,可得逑兀=』x2无x/7,解得/l=G，

333

由圆锥的底面积公式S=7i，，可得兀/=2兀，解得厂=垃，

所以圆锥的母线长/=折17=6，

所以5侧=nrl=nx\/2xy[5=V107t.

故选：B.

4.某校为了让学生度过一个充实的假期生活，要求每名学生都制定一份假期学习的计划.已知该校高一年

级有400人，占全校人数的工，高三年级占!，为调查学生计划完成情况，用按比例分配的分层随机抽样

36

的方法从全校的学生中抽取10%作为样本，将结果绘制成如图所示统计图，则样本中高三年级完成计划的

【答案】D

【解析】

【分析】首先计算出计算出样本容量为120人，则高三年级有20人，根据高三完成率即可得到答案.

【详解】丁=1200,1200x10%=120,故样本容量为120,其中高三年级有120x1=20人，

36

由图可知，样本中高三年级假期学习计划的完成率为40%,

故样本中高三年级完成计划的人数为20x40%=8，

故选：D.

5.在A48c中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足MC=3AM，则

A.GM=-AB+—ACB.GM=--AB-—AC

312312

1717

C.GM=——AB+—ACD.GM=-AB——AC

312312

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论.

【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：

根据向量加法运算可得GM=G4+AM

因为G为AABC的重心，M满足MC=3AM

2111

所以AG=-x-(AB+AC)=-(AB+AC),AMAC

3234

所以GM=—(gA8+gAc]+；AC

11

=——AB——AC

312

所以选B

【点睛】本题考查了三角形重心的性质，向量的线性运算，属于基础题.

6.在三棱锥A—中，ABAC^ZCAD^ZDAB=40°,A3=AC=AT>=2,一只蜗牛从B点出

发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点£,则蜗牛爬行的最短距离是0.

A.73B.V5C.76D.V7

【答案】D

【解析】

【分析】将三棱锥的侧面展开，从而可知线段8E为所求，再利用余弦定理即可得解.

【详解】如图所示，将三棱锥的侧面展开，则线段5E为所求，

由题意得，ZEAB=120°,AB=2,AE^\,

由余弦定理可得BE。=AB2+AE2-2AB-AE-cosZ.BAE=4+l-2x2xlx[-；）=7,

则BE=5，即蜗牛爬行的最短距离是手.

故选：D.

7.在棱长为2的正方体ABC。—A4Gq中，P，。是G。，4G的中点，过点A作平面a,使得平面

。//平面6。「。，则平面a截正方体所得截面的面积是（）

A.B.2C.-D.—

222

【答案】C

【解析】

【分析】取4。中点用，44中点N,利用面面平行的判定定理确定平面a,利用余弦定理及三角形面

积公式求解即可.

【详解】如图，取AA中点M，A"中点N,连接MN,AM,4V,

因PQ//MN,MNU平面BDPQ,PQu平面8DPQ,所以MN//平面5。尸。，

又PD//AN,4NZ平面8。尸。，PDu平面BDPQ,所以4V//平面BOPQ,又

AMoAN^A,

AMu平面A肱V,4Vu平面AA/N,所以平面PQB。//平面4VW,

即三角形AMN为所得截面a,

在，中，AM=AN=jAA^+AN2=6MN=y[i，

AM2+AN2-MN5+5-24

由余弦定理得cosNMAN=----------------

2AMAN2xV5xV5-5

所以sinNMAN=A/1-COS2ZM47V=-,

所以S”,==AM-ANsinNMAN=L义下又加义2=

2252

故选：C.

V3(c2-a2

8.在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin8-geosC=

2ab

b

则2的取值范围为（）.

c

B.1化2+00

12，

【答案】A

【解析】

【分析】利用正余弦定理进行边角互化，从而可得sinA=Y3.，进而求得A=g,再把勺化为

23c

sinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinC171兀

----------------------------------------------=---------------1—,结合Ce即可求解.

sinCsinCsinC2tanC26,2

【详解】sinB-y/3cosC-——------,:.2absinB-2\/3abcosC-y/3c2—y/3a2,

2ab

/.2absinB=V3c2-V3tz2+lyfiahcosC=y/3^c2-a2+2ahcosC)=>/3(c2-«2+(72+/?2-c2),

即labsmB=V3Z?2,/.2sinAsin2B=>/3sin2B，

匹［％］，「•sinBwO，小也人二*.

AGI0,—I,.,.A=—cosA=—,

I2j32

bsinB_sin(/4+C)_sinAcosC+cosAsinC_>/3

csinCsinCsinC2tanC2

,JI兀

C6

23(22

tanCe,+8---—€(0,—€2

?tanCcr-

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.实数x,y满足(l+i)x+(i—l)y=2,设z=x+yi,则().

A.z在复平面内对应的点在第一象限B.\z\=V2

z.

C.z的虚部是-]D.­=—1

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用复数相等求出复数z,再逐项分析计算作答.

x-y=2

【详解】由(l+i)x+(i-l)>=2,得(x-y)+(x+y)i=2,而x,yeR,则<解得

x=-y=l,即z=l-i，

对于A,复数z在复平面内对应的点(1,-1)在第四象限，A错误;

对于B,|Z|=yji2+(―I)2=V2，B正确;

对于C,z的虚部是-1,C正确;

z1-i(l-i)(l-i)-2i

对于D,3=4r(i+i)(i-i)=T=fD正确.

故选：BCD

10.已知函数/(x)=4cos(2x-*1),则()

57tku

A.7(x)图象的对称中心为一十一,0,keZ

122

/\717CI

B./(x)的单调递减区间为一§+2E，d+2E,keZ

C.为了得到函数y=4cos2x的图象，可将/(x)的图象上所有的点向左平移?个单位长度

D.为了得到函数y=4sin2x的图象，可将/(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度

6

【答案】AC

【解析】

【分析】用余弦函数的图像与性质，采用整体代入的思想判断A、B,利用图象左右平移法则判断选项C、

D.

【详解】令2》-署界也，解得》=*等，A=，所以函数〃x)图象的对称中心为佟+等,。]，

ktZ,

故A正确；

兀7C2兀

令2EW2x—〈兀+2E,解得一+E<x<---kkit,

363

所以函数/(X)的单调递减区间为2+E，斗+EMGZ,故B错误；

将“X)的图象上所有的点向左平移5个单位长度得y=4cos2x+gg=4cos2x,故C正确；

6[_\6J3_

将/(x)的图象上所有的点向右平移4个单位长度得

6

v=4cos2x————=4cos2x----|H4sin2x,

LI6j3jI3)

故D错误；

故选：AC

11.一个装有6个小球的口袋中，有编号为1,3的两个红球，编号为2,4的两个蓝球，编号为5,6的两

个黑球.现从中任意取出两个球，设事件A="取出的两球颜色相同"，8="取出的两球编号之差的绝对值

为1"，C="取出的两球编号之和为6或7”，。="取出的两球编号乘积为5”，则下列说法正确的是

().

A.事件A与事件B相互独立B.事件A与事件C相互独立

C.事件3与事件C相互独立D.事件B与事件。互斥

【答案】ABD

【解析】

【分析】列出6个小球任意取出两个球的全部结果，从而可以求解事件48,。,。,48,4。,8。的概率，

再结合互斥事件与独立事件的定义即可判断.

【详解】根据题意可知，6个小球任意取出两个球，共有15种可能，分别为(1,2),(1,3),(1,4),

(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).

31

事件A包含3种可能，即(1,3),(2,4),(5,6),.-.P(A)=—=-；

事件B包含5种可能，即(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),r.P(8)=5=：；

事件C包含5种可能，即(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(3,4),P(C)=得=；；

事件。包含1种可能,即(1,5),.•.p(£>)$.

事件A8,AC,8c分别为(5,6),(2,4),(3,4)各1种可能，

对于A,P(AB)=x=P(A)P(B),A对；

对于B,P(AC)$=P(A)P(C),B对;

对于C,P(3C)=AHP(B)P(C),C错；

对于D,事件B与事件。不能同时发生，故事件8与事件。互斥，D对.

故选：ABD.

12.如图，已知正方体ABCD-A4GR的棱长为1，M是。C中点，E是线段4G(包含端点)上任意一

点，则().

a♦

A.三棱锥5-的体积为定值

B.存在点E,使得直线8E与平面A8CO所成角为30。

C.在平面内一定存在直线/,使得/〃平面

D.存在点E,使得BD、1平面AME

【答案】AC

【解析】

【分析】利用等体积法进行转化顶点结合棱锥体积公式即可判断A,对B,过E作"垂足为尸，

求出防的范围，则得到tan/EBE的范围，即可判断B,对C,利用线面平行的判定即可，对D,首先证

明BD,，平面ACB,,再利用反证法即可判断.

【详解】yB-AME=yEABM=^SAawxl=lxllxlxl=i,故A正确；

过£作所14。，垂足为尸，连接■，则尸为直线的与平面A3CD所成角，则

EF

tanNEBF-.....,又因为AA,//BB1,AA=BB,BB、〃CC1,BB、—CC,

BF（X]

则四边形AACG为平行四边形，因为平面ABC。，ACu平面A3CZ）,

则AA^AC,则四边形4ACG为矩形，则EF//CCi，EF=CCr.・.EF=1,

当尸与A或C重合时，（BE）3X=1,当BE1AC时，（BE）,="，所以BFw4,1,故

min22

tanZ£BFe[l,V2],tan30=与弑1,6\，故B错误；

对C,显然直线A"与BC在底面内相交，故平面与平面8CGS相交，在平面BCG4内一定存

在直线/与交线平行，则///平面AEM，故C正确；

对D,因为。幺，底面ABC。，ACu平面ABC。，..OA，AC,

又因为4C18Q,且8。「DD、=D,BD,DRu平面BDQ,

所以AC_L平面因为6D|U平面8。。，所以AC，8。，

延长CC,使得GN=1,再分别连接RN,BN,

因为AO//BC,AO=BC,BC//BG，BC=Be，

所以A。//瓦G,A。=用G,所以四边形A。4G为平行四边形，

所以ABJ/DCi，因为。Q//£N,。。=GN,所以四边形〃OQN为平行四边形，

所以DCJ/RN,所以ABJ/RN,则异面直线。啰与AS的夹角即为NBRN或其补角，

因为ABuJr+F+F=6,D\N=&BN=jF+22=石,

所以D]B?+QN?=BN?,所以所以

又因为AC_LBD|,ACKg=A,AC,Agu平面ACS,

所以BR,平面AC4,假设BR_L平面4WE,

则平面4WE与平面4cs重合，显然假设不成立，故D错误.

【点睛】关键点睛：本题B选项的关键是通过作过E作防工AC，从而

计算出tanNEBE的范围即可，对D选项，首先证明8Q，平面ACg,然后再利用反证法即可.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.一枚质地均匀的骰子，抛掷三次，事件A为“三次抛掷的点数均为奇数”，事件3为“恰有一次点数为偶

数”，事件C为“至少有两次点数是偶数“，则P（A）+P（B）+尸（C）=

【答案】1

【解析】

【分析】判断试验的空间与事件4民C的关系，即可求解作答.

【详解】依题意，一枚骰子抛掷三次的试验的所有基本事件构造的空间。=ADBUC，而事件A,6,C

两两互斥，

所以尸（A）+P（3）+P（C=P（Q）=1.

故答案为：1

14.已知|z-2+i|=2,则|z|的取值范围是.

【答案】[点-2,括+2]

【解析】

【分析】|z-2+i|表示复平面内复数z所对应的点与点(2,-1)的距离，利用圆的性质即可求解.

【详解】因为|z-2+i|表示复平面内复数z所对应的点与点(2,-1)的距离，

故z所对应的点在以。(2,-1)为圆心，半径r=2的圆上，如下图所示，

则|z|最小值为|Q4|=|OC|—r=6一2,最大值为|。卸=|OC|+r=6+2,

故|z|的取值范围是［、万一2,、6+2］.

故答案为：［、万一2,、万+2］

15.已知函数/(x)=2sin,x+曰®>0)在区间［0,兀］上恰有三个零点，则。的取值范围是

【答案】454J

【解析】

【分析】由xw[0,7T]可得cyx+：e6M+-,再由函数/(x)在区间［0,兀］上恰有三个零点可得则

4144

兀

3K<6971+—<471,求解即可.

4

717C7T

【详解】因为xe[0,7i],则tyx+;e<vn+-

444

又因为函数/(x)在区间［0,兀］上恰有三个零点，

则3兀43兀+工<4兀，解得一<co<—,

444

所以。的取值范围为7，-

1115

故答案为:

16.已知正四面体A-BC。，。是底面8CD的中心，以Q4为旋转轴，将正四面体旋转180°后，与原四

面体的公共部分的体积为逑，则正四面体A-BCD外接球的体积为

2

【答案］丕但兀

8

【解析】

【分析】根据给定条件，作出变换后的公共部分图形，由其体积求出原正四面体的棱长，再求出外接球半径

作答.

【详解】以。4为旋转轴，将正四面体A-3CZ）旋转180°后，公共部分为正六棱锥如

图,

则AO=yjAB2-BO2=—a，

33

正六边形EFGHIJ的边长EF=,8。=0，=6x且KF?

33EFGHIJ46

23

因此公共部分的体积匕EFCHIJ=-SEFGHI.AO=-x^-ax^-a=^a=-42,解得a=3,

A-CrljnlJ3t,r\jniJ363]82

显然正四面体的外接球球心。'在AO上，设此球半径为由R2=（］ga）2+dFa_R）2,得

R』淮,

44

所以正四面体A—BCD外接球的体积丫=如/?3=如

33

故答案为：I兀

8

【点睛】关键点睛：儿何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解

题的关键.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向量a=(-1,2),b=(2,A).

⑴若a//。，求忖的值;

(2)若卜一耳=%+可，求实数X的值；

(3)若。与〃的夹角是钝角，求实数2的取值范围.

【答案】(1)26

(2)1

⑶(-8,-4)5工1)

【解析】

【分析】(1)根据向量共线解出/1=-4,则b=(2,-4),则得到人的模;

(2)根据题意推出则得到关于；I的方程，解出即可；

(3)由题意得〃/<(),且a与b不反向共线，解出X的范围即可.

【小问1详解】

allba=(-1,2),b=(2,2),•4•(―l)xZ-4=0,/.2=-4,

.'./?=(2,-4),.-.1^1=百+(-4)2=26

【小问2详解】

\a-b\^a+b\,两边同平方得|a-b|2=|a+B|2,则化简得〃”=(),

.二。_!_/?，..Q・Z?=-2+24=0，A=1.

【小问3详解】

a与人的夹角是钝角，a力<0,且a与/?不反向共线，

即a2=-2+24<0，由(1)可知丸。一4，

则;1<1,且;1。-4,故实数4的取值范围为(F,-4)5T,1).

18.为了了解全校学生计算能力的情况，某校组织了一次数学计算能力测验.现对全校学生的测验成绩做

统计，得到了如图所示的频率分布直方图.

⑴求此次测验成绩的平均数；

(2)为了更加深入了解学生数学计算能力的情况，从成绩在［80,1(X)］之间的学生中，采用按比例分配的分层

随机抽样方法，选取7名学生进行访谈，再从这7名学生中任选2名学生在总结大会上发言，求抽到的两

人中至少一人的成绩在［90,100］的概率.

【答案】(1)76

11

⑵五

【解析】

【分析】(1)先根据频率之和为1求得a=0.025,再根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解；

(2)由图可知成绩在180,90)与［90,100］的样本比例为5:2,从而可求得7名学生中有5名成绩在

［80,90),2名成绩在［90,100］,再利用列举法可求得概率.

【小问1详解】

由题意得(0.005+2a+0.035+0.01)xl0=l,可得。=0.025,

所以［0.005x55+0.025x(65+85)+0.035x75+0.01x95］xl0=76,

所以此次测验成绩的平均数为76分.

【小问2详解】

由(1)知，成绩在［80,90)与［90,100］的样本比例为5:2,

所以7名学生中有5名成绩在［80,90),2名成绩在［90,100］,

若[80,90）中5人分别为a,h,c,d,e,[90,100]中2人分别为演N,

则从中抽取2人的所有组合为

{ah.ac.ad.ae,be,hd.be,cd,ce,de,ax,ay,bx,by,ex,cy,dx,dy,ex.ey.xy],有21种情况,

两人中至少一人的成绩在［90,100］{xy,ax,ay,bx,by,ex,cy,dx,dy,ex,ey},l1种情况,

所以抽到的两人中至少一人的成绩在［90,100］的概率为3.

19.如图，在直三棱柱ABC-AgG中，D,M,N,尸分别是AB,M,CQ的中点.

⑴求证：BP//平面MDC；

(2)设AB=AC=CB=2,BB}=4,求异面直线GN与CM所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析:

1

⑵“

【解析】

【分析】(1)连接AP,设APMC=O,连接。。，利用线面平行的判定推理作答.

(2)利用定义法求出异面直线夹角的余弦作答.

【小问1详解】

在直三棱柱ABC-A4G中，连接4＞，设APMC=O,连接。O,如图，

由分别是矩形A4G。对边A4，CG的中点，得四边形M4CP是矩形，即。是好的中点,

而。是AB的中点，于是。D//3P,又平面用。C,Q£>u平面

所以BP//平面MDC

【小问2详解】

因为N,P分别是矩形G。对边B4,CG的中点，则G2//NB,GP=NB,

因此四边形BPQN是平行四边形，则NQHBPHOD,

于是NMOD或其补角是异面直线C、N与CM所成角,

由AB=AC=C8=2,34=4,得BP=CM=26，,DM=布,

在,O“。中，OD=OM=O,DM=非,则COSNM。。=.?乂而正=一，，

所以异面直线CM与CM所成角的余弦值为I.

4

20.如图，在ABC中，/84C为钝角，。在上，且满足NC4O=g,A8=3,BC=36.

兀

(1)若。=乙，求/B4D；

6

(2)若M是BC的中点，cosZBAC=--,求AM的长度.

12

【答案】⑴百

2

⑵叵

2

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理即可得解；

(2)利用余弦定理求得AC,再利用平面向量的线性运算与数量积运算即可得解.

【小问1详解】

在,ABC中，由正弦定理可得」也=———,

sinCsinABAC

.BCsinC3^X26

AB32

2兀

・「ZR4C为钝角，/.ZBAC=—,

3

TT

：.ZBAD=ABAC-ACAD=-

2

【小问2详解】

在.ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosZBAC，

即27=9+AC2-2X3XACX[-=J,解得AC=4(负值舍去)，

1

M为3C中点，则4例=—(A3+AC),

2

.21/-2-2\1(12、

:.AM=-^B>AC'+2|715MACIcosZBACj=-9+16+2x3x4x1-—I=—

.・.|4"|二叵，即的长度为叵.

22

JQ

21.已知函数/(x)=4sin5cos

(5

⑴若〃a)=g,求cos[a+q兀

⑵若不等式|尸⑺一小”力+2对任意的一患恒成立，求；I的取值范围.

【答案】(1)一/

⑵[0,4]

【解析】

【分析】(1)利用三角函数的恒等变换化简/(x),从而得到sin[a+。]的值，再利用三角函数的诱导公式

即可得解.

(2)先利用三角函数的性质求得了(x)的值域，从而将问题转化为恒成立问题，再利用二次函数的性质即可

得解.

【小问1详解】