2024届安徽省阜阳市皖江联盟高三模拟预测数学试题含答案

姓名座位号

（在此卷上答题无效）

2024届安徽省阜阳市皖江名校联盟高三模拟预测数学试题数学

本试卷共4页，19题。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合A={—1,0,1},B=[y\y=2x,x&A],则（）

A.AB={1}B.A.B={-1,0,1}C.BcAD.AoB

V2y2

2.已知双曲线一J=1的焦距为4,则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（

3m

A石nn屈

A.B.----C.-----D.------

333

4

3.记a=244,b=0.4^,c=log042,则（）

X.b<c<aB.c<b<aC.c<a<bY）.a<c<b

4.已知空间中不过同一点的三条直线/，祖，n.ul,m,“共面”是“/,/〃，〃两两相交”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知复数z满足z2+z+l=0,则下列结论正确的是（）

A.z=1B.z+z=1C.z—z=1D.z3=1

6.在二项式g）的展开式中，下列说法正确的是（）

A.常数项为，B.各项的系数和为64

4

C.第3项的二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为-32

7.在平面直角坐标系x0y中，已知向量OA与03关于y轴对称，若向量a=(l,0)满足

.2•

OA+a-AB=0,记A的轨迹为£,贝U()

A.E是一条垂直于x轴的直线B.E是两条平行直线

C.E是一个半径为1的圆D.E是椭圆

1(］)

8.设正数数列｛4｝的前〃项和为S“，且S”=51a,+『J(〃cN*),则()

A.｛4｝是等差数列B.｛S“｝是等差数列C.｛a〃｝单调递增D.｛S〃｝单调递增

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.设离散型随机变量x的分布列如表，若离散型随机变量y满足y=2x-1,则()

X01234

P0.10.4X0.20.2

A.x=0.2B.E(X)=2,D(X)=1.8

C.E(X)=2,D(X)=1.4D.E(Y)=3,D(Y)=7.2

IT

10.已知函数/(x)=Asin(ox+e)(A>0,a)>0,\(p\<~)的部分图象如图所示，且图中阴影部分的

面积为4兀，贝！］()

A"(x+兀)=/(%)

B.点|詈,0］是曲线y=/(X)的一个对称中心

7兀

C.直线x是曲线y=/(x)的一条对称轴

6

D.函数在区间内单调递减

11.抛物线炉=8y的焦点为尸，准线为直线/,过点E的直线交抛物线于A,3两点，分别过A,8作

抛物线的切线交于点P,于点A,班'，/于点8,则()

A.点P在直线y=T上B.点尸在直线上的投影是定点

C.以A8为直径的圆与直线AB相切D」A.+1的最小值为2

\PF\4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知Igx+lgy=2,则x+y的最小值为.

13.已知三棱锥P—ABC的外接球为球0,PC为球。的直径，且PC=2,PA=PB=6AB=1,

则三棱锥P-ABC的体积为.

14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数

a(n):VnGN\为〃的所有正因数之和，如。(6)=1+2+3+6=12,则b(20)=；

四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知函数/(x)=cos(0x+°)［ty〉0,—0］的最小正周期为兀,且函数/(%)的图象向左平移巳个

单位后得到的函数为偶函数.

牛

1

1........二.

2

~0Z2ITIlir"~

,6-i2-IT

(1)求函数了(无)的解析式，并通过列表、描点在给定坐标系中作出函数/(X)在［0,兀］上的图象；

(2)在锐角ZVIBC中，a,b,c分别是角A,B,。的对边，若=-----,求/(B)的值域

cosBcosC

16.(15分)

篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》SFSA全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13

日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.

(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调

查，得到2x2列联表如下：

喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计

男性6040100

女性2080100

合计80120200

依据小概率值c=0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关?

(2)某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者

都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第〃次

触球的概率为匕，则［=1.

(i)证明：数列｛匕是等比数列；

(ii)判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.

n(ad-be)?

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.(15分)

如图，在圆台。。中，/用，AB分别为上、下底面的直径，且4与〃45，AB=2A4，CG为异于

AAr8月的一条母线.

(1)若〃为AC的中点，证明：GM〃平面AB51A；

(2)若0。=3,AB=4,ZABC=30°,求二面角A——0的正弦值.

18.(17分)

已知函数/(x)=ox"-61nx,其中。>0.

(1)若曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线方程为y=l,求的最小值；

(2)若2对于任意x>0均成立，且g(a)=〃+总的最小值为1,求实数左.

a

19.(17分)

22

如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形ABCD内接于椭圆E：++9=l(a〉6〉0),其中点A,B分

别在第三、四象限，边A。，与x轴的交点为A/1，M2.

(1)若A3=3C=1,且AZ2为椭圆E的焦点，求椭圆E的离心率；

(2)若是椭圆E的另一内接矩形，且点A也在第三象限，若矩形ABCD和矩形4片。|2的面

积相等，证明：|。4『+|Q4『是定值，并求出该定值；

(3)若ABCD是边长为1的正方形，边AB,与y轴的交点为加3，%,设£(7=1,2,…，

100

100)是正方形ABCD内部的100个点，记4=力.㈤，其中左=1，2,3,4.证明：4,d2,

i=l

d3,《中至少有两个小于81.

数学参考答案及评分标准

、选择题:

题号1234567891011

答案ABCBDACDBDABCBCD

【解析】

1.依题意A={—1,0,1},B={y|y=2\xeA)=H,l,2l,因此AB={1},选项A正确

2.因为双曲线上-J=l的焦距为4,所以3+7后=22,解得m2=1,所以则该双曲线经过一、三象限

3m2

的渐近线的斜率为选项B正确.

4

3.显然0<。=2-°-4<2°=1,/?=0.4^>0.4°=1,c=log042<log04l=0,故选项C正确.

4.依题意，直线/，根，〃不过同一点，因此，若加，〃两两相交”则必有加，〃共面（由

三个交点确定的平面）"，但若加，〃共面”，有可能有两条直线平行，与第三条之间分别相交，但此

时，“/,/〃，〃两两相交”结论错误，故选项B正确.

5.因为z2+Z+l=0,所以z3—l=(z—1)卜2+z+l)=0,从而z3=l,选项D正确.

6.（«—的展开式通项为7；M=玛•（五）6-'1—g[=玛[—g]当r=2时，常数项为

C：1—g]=£,选项A正确；令x=l,得各项的系数和为（1—g]=},选项B错误；展开式共7

项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；依题意奇数项二项式系数和为

16

C：+C：+C：+C：=wZC；=32,选项D错误.

2/=0

.»2•

7.不妨设点A的坐标为(x,y),OA=(x,y),OB=(-x,y),由。A+a.AB=0可得o£+y?-2x=0,

即（x—1）2+;/=1,故选项c正确.

if1)|1『—；令

.依题意a+—―—nSS,=i,

8nS“=—nnn2ns.=Sn”—nS-i“i+0-----cl---n"n+S,i

/I%J»〃一1

n=l,解得工=1,从而Sj=〃,Sn=G，册=品7n_\，易知选项D正确.

9.因为0.1+04+x+02+02=L所以尤=0.1，A选项错误;

0+1+2+3+4~

由E(X)=OxO.l+lxO.4+2xO.l+3xO.2+4xO.2=2,而乂=------------------=2,

5

故O(X)=(0—2)2x0.1+(l—2)2x0.4+(2—2)2x0.1+(3—2)2x0.2+(4—2)2x02=1.8,

因此选项B正确；

又y=2X—1,所以，£(Y)=2£(X)—1=3,D(y)=4D(X)=7.2,故C错D对.

10.由题意，A=2f4T=4兀，所以T=—=兀，即G=2,

CD

又y(0)=l,所以2sin0=l,可得。=弓，因止匕/(x)=2sin[2x+g

显然，函数周期为兀，/(x+^)=/(%),选项A正确;

若xe(乌即乌<x<羽，则@<5+0<2，函数先减再增，D错误.

U4J4433

11.依题意焦点F的坐标为(0,2),准线为直线l;y=-2,

不妨设A8(/，%)，直线的方程为y=fcc+2,

联立y=Ax+2与炉=8y,得％之-8Ax-16=0,从而再+々=8攵，x(x2=-16,

11

由题意，y——x9,yr=—x9

84

故抛物线过点A,8的切线方程分别为y—%=；X](x—xj,y—%=；X2(X—X2),

解得点尸的坐标为[土产,-2],故A错误；

因为AB-PF=0,所以？FLAB,

即点P在直线AB上的投影是点尸(定点)，故选项B正确；

可证RtZXAEP也RtZXA'EP,RtABFP^RtA^FP,因此»=AP=6'P,

即以A5'为直径的圆与直线AB相切，选项C正确；

对于选项D,因为|45|=必+%+4=84？+8,|PF|=716^+16=4^2+1)

从『好L-

9

单调性易知，t=l,函数取最小值一.D正确.

4

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2013,中14.42；1）（3向—1）.（第一空2分，第二空3分）

【解析】

12.依题意无>0,y>0,xy=100,所以九+y22j^=20,等号成立当且仅当x=y=10.

13.如图，易知NB4C=NPBC=90°,AC=BC=1,

作于点“，易知9AH=BH=—,

2

AH?+BH?-AB?1

cos/AHB=

2AHBH3

S=LAHBH-smZAHB=-x^^=—,

MHB2834

故三棱锥P-ABC的体积为:SPC=与.

3MHB6

14.cr(20)=l+2+4+5+10+20=(2°+2+22)(5°+5)=42

b(6")=(l+2+4++2")(l+3+9++3n)=1(2n+1-l)(3,!+1-l).

四、解答题:

15.（13分）

解：(1)函数/(%)的最小正周期7=——=兀，♦,.G=2,

0)

向左平移后/[x+巳]=cos[2x+g+o]为偶函数，且—■!＜夕＜0,:.(p=-^,

故/(x)解析式为/(x)=cosj2x-^j.

列表如下:

715兀2兀11兀

X0兀

I12T~n

兀713兀571

兀

2%--一§0

32~2T

f(x)10-10

22

/(x)=cos2x-|k[0,兀]上的图象如图所示:

_bc

(2)-------=-------,/.(2a-b)cosC-ccosB,

cosBcosC

1兀

即2acosC=Z?cosC+ccos5,解得cosC=—,即。=—,

23

7T7T

又因为“BC是锐角三角形，所以一＜B＜一,

故0＜28—]＜g,即/(x)=cos[23—m]e]—；,l]

16.(15分)

解：(1)假设“°：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.

200x(60x80-20x40)2

根据列联表数据，经计算得％2==-y-＞10.828="ooi,

100x100x80x120

依据小概率值c=0.001的独立性检验，我们推断“0不成立,

即能认为喜爱篮球运动与性别有关，从此推断犯错误的概率不超过0.001.

(2)(i)由题意,

PP+

n=n-\=+J，

所以忆：=-m

13［1］31

又wO,所以匕――是以一为首项，——为公比的等比数歹U.

14414j43

(ii)由⑴,

所以%=;3•11

44

故甲第25次触球者的概率大.

17.（15分）

解：（1）证明：连接AG-

因为4耳，分别为上、下底面的直径，且4与〃45.

所以AA］，BB-CG为圆台母线且交于一点•因此A，A，C,G四点共面.

因为圆台。&中平面ABC//平面，

平面A41clC［平面ABC=AC,平面A41Go平面=AG，

所以AC〃AG，

又因为4片〃45,45=24与，所以篝=妥=3，

从而6=g=!，即G为。C的中点.

PCPA2

在△PAC中，4为AC的中点，所以〃/招.

因为三平面,。］口《平面43514，

所以〃平面AB514.

（2）以。为坐标原点，0B,。0］分别为y,z轴，过点。且垂直与平面的直线为x轴，建立

空间直角坐标系。-孙z.

因为NABC=30°,所以NAOC=60°,所以A(0,—2,0),C(6,—1,0),Q(0,0,3),

因为OC=(G,—1,0),所以。£=:OC=

—故G再」3

2222

IJ7

所以GC=T，-3「

%-OC—0,

设平面ocq的法向量为4=a，X，zJ,贝k

々・CC=0,

也%-％=o,_

即《、ni,所以平面OCG的一个法向量为4=（i,6,°）•

~x1~~y\~^z\=o，

、乙乙

又AC=（百,L0）,设平面AC£的法向量为巧=（X2，%，Z2），

+%=0，

n?-AC=0,

所以《2即《

n2-CC=0,

所以平面oca的一个法向量为%=i,-A

设二面角M-CC.-O的大小为0,

从而sin0=^1-cos2<>=>：：

所以二面角M-CC.-O的正弦值为理。.

18.(17分)

解：（1）①由题意，且了（%）的定义域为（0,+8）

a2xa-b

f'(x)=a2xa-1--

Xx

/(1)=1,a=l,a=l,

依题意《即从而＜

r(i)=o,a2—b—0^b=l,

故/(x)=x-lnx,/\x)=――,

x

从而函数于（X）在（0,1）上单调递减，在（1,内）上单调递增,

所以/(%)*="1)=1・

bb

(2)依题意，xa—Inx>3%-2,其中a>0,记/z(%)=x"—Inx-3%+2,贝！J/z(x)20,

aa

因为飘1)=0,h(x)>h(I)f即为1)是=%)的极小值也是最小值,故"(1)=0,

bb

而〃(九)=依"一1--------3,所以〃-----3=0,解得6=/—3〃，

axa

此时h(x)=/一(〃一3)In犬一3%+2(%>0),

若0v〃<3,则x―>0时，xa—>0,Inx—>—oo,—(a—3)Inx―>—oo,—3x+2—>2,

即力(%)fTO,与/z(%)NO矛盾!

蓼/“、«-i。一3.axa-3x-a+3a(xfl-l)-3(x-l)

右aN3,h\x)-ax---